非线性积分方程的耦合解定理

2埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，266原创文章非线性积分方程的耦合不动点结果Wutiphol Sintunavarat，Poom Kumam*数学系，理学院，King Mongkut接收日期：2013年1月29日;接受日期：2013年2013年4月23日在线提供本文在偏序度量空间中，通过放弃交换条件，证明了一类具有混合单调性质的非线性压缩映象的耦合重合点定理。证明了w-相容映象的耦合公共不动点定理.一个非线性压缩映射的例子，Lakshmikantham和C′iric′的定理[1]，但我们的结果是应用的。此外，我们应用本文的结果推广到非线性积分方程解的存在性定理2000年数学潜规则分类：47时10分、47时09分、54时25分？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 引言和附录自从经典的Banach压缩映射原理出现以来这方面的一些例子见[2Ran和Reurings[9]，Bhaskar和Lakshmikantham[10]，Nieto和Lopez[11，12]以及Agarwal等人最近研究了偏序度量空间中压缩映射的一些新的不动点定理[13]第10段。文[14Bhaskar和Lakshmikantham[10]考虑了耦合不动点及其在二元映射中的应用。回想一下，如果（X，6）是一个偏序集，并且F：Xfix使得对于x，y2X，x6y蕴涵F（x）6F（y），则一个映射-*通讯作者。联系电话：+66 24708998。电子邮件地址：poom. kmutt.ac.th（P。Kumam）。PINGF被称为非递减。类似地，定义了一个非递增映射。在[10]中，Bhaskar和Lakshmikantham引入了以下混合单调映射和耦合不动点的概念。定义1.1.（Bhaskar和Lakshmikantham[10]。设（X，6）是偏序集，F：X·Xfix.称映射F具有混合单调性，如果F的第一个变元单调非减，第二个变元单调非增，即对任意x，y2Xx1;x22 X;x16x2） F x1; y6 F x2;y1：1和y1;y22 X;y16y2） F x; y1P F x; y2：1：2定义1.2.（Bhaskar和Lakshmikantham[10]。 设X是一个非空集。一个元素（x，y）X·X称为映射F：X·X fix的一个耦合不动点，如果1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.03.006关键词耦合不动点;耦合重合点;耦合公共不动点;混合单调性;偏序集;积分方程;非线性积分方程的耦合不动点结果267K22K2211点！22x¼Fx;y和 y<$Fy;x：Bhaskar和Lakshmikantham在[10]中的主要结果是下面两个经典的耦合不动点定理。定 理 1.3. （ Bhaskar 和 Lakshmikantham[10] 。 设 （ X ，6）是一个偏序集，且X上存在一个度量d，使得（X，d）是一个完备度量空间. 设F：X·X fix是X上具有混合单调性质的连续映射。假设存在k2 [0，1），dFx;y;Fu;v62½dx;udy;v]1：3对于所有x，y，u，v2 X，其中xP u和y6 v。如果存在x0，y02 X，x06Fx0;y0和 y0PF<$y0;x0<$;则存在x，y2X使得x¼Fx;y和 y<$Fy;x：定理1.4.（Bhaskar和Lakshmikantham[10]。 设（X，6）是一个偏序集，且X上存在一个度量d，使得（X，d）是一个完备度量空间. 假设X具有以下性质：(i) 如果一个非递减序列{xn}fix，则xn6x对于所有nN，(ii) 如果一个非递增序列{yn}fy，则y6yn对于所有n2N.设F：X·Xfix是X上具有混合单调性质的连续映射。假设存在一个k [0，1），dFx;y;Fu;v62½dx;udy;v]1：4对于所有x，y，u，v2 X，其中xP u和y6 v。如果存在x0，y02 X，x06Fx0;y0和 y0PFy0;x0;则存在x，y2 X使得单调g-在其第二个参数中不增加，即对于任何x，y2Xx1;x22X;gx16gx2 ）Fx1;y6Fx2;y1：6和y1;y22X;gy16gy2）Fx;y1PFx;y2：1：7定义1.6. （Lakshmikantham和C'iric'[1]。 设X是一个非空集。一个元素（x，y）X·X称为映射F：X· X ∈ X与g：X ∈ X的耦合相合点，如果gxFx;y和 gyFy;x：定义1.7. （Lakshmikantham和C'iric'[1]。 设X是一个非空集。一个元素（x，y）X·X称为映射F：X·Xfix与g：Xfix的耦合公共不动点，如果x¼g×x¼F×x;y和 ygyFy;x：定义1.8. （Lakshmikantham和C'iric'[1]。 设X是一个非空集，F：X·X fix和g：X fix。我们说F和g是交换的，如果gFx;yFgx;gy对于所有的x，y2X.他们利用这一概念建立了耦合重合点的存在性和耦合公共不动点定理，比定理1.3和1.4更一般。结果如下：定理1.9. （Lakshmikantham和C'iric'[1]。 设（X，6）是一个偏序集，且X上存在一个度量d，使得（X，d）是一个完 备 度 量 空 间 . 假 设 有 一 个 函 数 u ： [0 ， ） fi[0，），其中u（t）0，并且f：0; TRRR。接下来，引理由于Haghi et al.[29]主要有结果引理1.11.（Haghi et al.[29]第10段。 设X是一个非空集，g：X是一个函数。然后，存在一个子集E c X，使得g（E）=g（X），并且g：Efix是一对一的。2. 无交换条件的耦合重合点定理首先，让我们讨论证明本文其他结果所需的第一个定理事实上，该定理是在偏序度量空间中得出某些映射的耦合 不 动 点 存 在 性 的 一 个 同 时 ， 该 定 理 是 Bhaskar 和Lakshmikantham在[10]中定理1.3和1.4的推广和推广.定理2.1. 设（X，6）是一个偏序集，且X上存在一个度量d，使得（X，d）是一个完备度量空间.假设有一个函数u：[0，1）f[0，1），其中u（t） 0，还假设F：X· X f X具有混合单调性质不是空的。 设（x，y）和（z，t）是F的耦合不动点，即x=F（x，y），y=F（y，x），z=F（z，t），t = F（t，z）. 其次，我们要求x = z和y = t。通过假设，存在（u，v）2X·X，其可与（x，y）和（z，t）相比较。我们把u0=u和v0=v，并通过以下方式构造序列{un}和{vn}：un<$Fun-1;vn-1和 vn<$Fvn-1;un-1for alln2N：12：20由于（u，v）与（x，y）可比较，我们假设（u0，v0）6（u，v）6（x，y）.通过使用数学归纳法，很容易证明，n;v n为所有 n2N：12：30根据（2.1）和（2.3），我们有dun1;xdFun;vn;Fx;y6u. dun;xd vn;y：2：4同样，我们得到dy;vn1;dFy;x;Fvn;un和dFx;y;Fu;v6u. dx;udy;v2：16u. dy;vnd x;un：12：502对于所有的x，y，u，v，2，X，6，u和y，P，v。假设(a) F是连续的，或(b) X具有以下性质：(i)如果一个非递减序列{xn}fix，则xn6x根据（2.4）和（2.5），我们有dun1;xdvn1;y6u. dun;xd vn;y2：6对于所有的n2N.通过重复这个过程，我们得到dun1;xdvn1;y6un. du1;xdv1;y2：7对于所有n2N，2 2Z非线性积分方程的耦合不动点结果26911点！2K2222第1-2页- 2122比1¼22设F（X· X）cg（X），g是连续的，g（X）是com-1 12000000对于所有的n2N. 因为你不<喜欢和林先生！tur0，1 u t = 1/4 0。因此，从（2.7），我们有limdun1;x¼0 andlimdvn1;y2：8利用定理2.1和映射U，存在一个耦合不动点a，b2g（X），使得a=U（a，b），b= U（b，a）. 由于a，b 2 g（X），我们得到a = g（w）和b = g（z），你好！1你好！1一些w，z2X，然后g（w）=U（g（w），g（z））和g（z）=同样，我们可以证明，limdun1;z0 andlimdvn1;t2：9U（g（z），g（w））. 因此，g（w）= F（w，z）和g（z）= F（z，w），因此F和g具有耦合重合点。 H你好！1n！1根据三角不等式（2.8）和（2.9），dx;z6dx;un1dun1;z！ 0 并且如 你好！ 1分2秒10和dy;t6dy;vn1d vn1;t！0作为N！1：02：11由式（2.10）和式（2.11），我们得出x=z，y=t的结论。因此，F有唯一的耦合不动点。H其次，我们证明了耦合重合点定理的存在性，并且不要求F和g是交换的。定理2.3. 设（X，6）是一个偏序集，且X上存在一个度量d. 假设有一个函数u：[0，）fi[0，），其中u（t）t和limrt均为t>0，并且还假设F：X·Xfix和g：Xfix使得F具有混合g-单调性质，<F<$x;y<$和 gyFy;x;也就是说，F和G有一个重合的固定点。证据 在定理2.3中，取u（t）=kt，其中k [0，1），我们得到推论2.4。H现在，我们将给出一个例子来验证定理2.3。实 施 例2.5. 设 XR和 定 义偏 序 6 由 a6b 当 且 仅当 ba[0，）对于a，b X。定义一个映射d：X·Xf[0，）byd（x，y） =xy对所有x，yX. 设F：X·Xfix和g：Xfix定义为：F=x;y=1，2-3克对于所有x X。则g（X）=[3，]是X. 以来gFx;yg1-2dUgx; gy;Ugu;gv6u. dgx;gudgy;gv2012年2月13日对所有的x，y，X，我们有F和g不是交换的。因此，Lakshmikantham和Ciric′在[1]中的定理2.1不能应用于这个例子。让映射270W. Sintunavarat，P. 库马姆2对于所有g（x），g（y），g（u），g（v）g（E），其中g（x）6g（y），g（y）Pg（v）.此外，当F具有混合g-单调性时，我们得到U具有混合单调性. U也是连续的，因为F是连续的。u：[0，）f[0，）定义为u（t）= kt，其中k [0，1）。通过简单的检验，我们发现F和g满足（2.12），并且F具有混合g-单调性.此外，g和F是连续的，并且存在点0，32X，使得非线性积分方程的耦合不动点结果271122.ðÞ¼[2019 -04-21][2019 -04-21]2千半]分0g0.001- 361¼F0;3.00和g300000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000因此，定理2.3的假设成立。因此，我们得出结论，F和g在X中有一个耦合不动点。这个耦合不动点是（x，y）=（2，-2），即g（2）=F（2，-2）和g（-2）=F（-2，2）。备注2.6.虽然Lakshmikantham和Ciric′的定理1.9是在偏序度量空间中得出某些映射的耦合重合点存在性的必要工具有时某些映射不具有交换性.因此，将Theo-rem 2.3作为偏序度量空间的另一个辅助工具是最有意义的注意，定理2.3不仅在半序度量空间中成立，而且通过使用类似的证明，它是不动点理论中许多结果的结果。3. 相容映象的耦合公共不动点定理我们在本节开始时给出了Abbas等人[24]提出的两个映射F：X·Xfix和g：Xfix的w-相容的概念。定义3.1.（ Abbas等人[24]。设 X是一个非空集，F：X·Xfix和g：Xfix。我们说F和g是w相容的，如果它在耦合重合点对易，即，gFx;yFgx;gy对于所有x，y2X，其中g（x）=F（x，y）且g（y）=F（y，x）。很明显，两个交换映射是w相容的，但反之则不成立，如下一个例子所示实施例3.2. 设X =[0，），F：X·X fix，g：X fix定义为(g(x)，g（y）），（g（z），g（t））g（X）·g（X），存在a（g（u），g（v））g（X）·g（X）的是可比对于（g（x），g（y））和（g（z），g（t）），则F和g有唯一的耦合公共不动点。证据类似于定理2.3的证明，利用定理2.2，我们可以得出F和g有一个耦合重合点（x，y）。此外，如果（z，w）是F和g的另一个耦合重合点，则克重x克重/克重z克重和克重y克重/克重w克重：3：1克通过F和g的w相容，我们有ggxgFx;yFgx;g y和 ggy<$gFy;xFgy;gx：3：2表示g（x）=a和g（y）=b。然后，由式（3.2），我们有ga<$$>Fa;b和gb<$Fb;a;b 3：3，这意味着（a，b）是F和 g.从 公 式 3.1 ， 我 们 有 g （ a） =g （ x ） 和 g （ b） =g（y），即gaa 和 gbb：3：4通过（3.3）和（3.4），我们有aFa;b和bFb;a：3：5故（a，b）是F和g的耦合公共不动点。为了证明唯一性，设（c，d）是F和g的另一个耦合公共不动点，则（c，d）也是F和g的耦合重合点.由公式3.1，我们得到c=g（c）=g（a）=a和d=g（d）=g（b）=b。因此（a，b）是F和g的唯一耦合公共不动点。H4. 非线性积分方程在本节中，我们将我们的定理应用于以下非线性积分方程解ZTxft;xs;ysds;t2½0;T];0F x; yx y对于所有的x，y，2，X，不你好，0ft;ys;xsds;t2½0;T];2014-04-19gxx;x2½0;1μ m;x-0： 5;x2½ 1;1μ m：很容易看出，F和g的耦合重合点仅为（0，0）。以来g/mLF= 0;0μg/mL F= 0; 0 μ g/mL F=0;0 μ g/mLF =0;g/mL F =0;我们得出F和g是w相容的结论。因为存在一个点（1，1），g/mL;100g/mL其中T是实数，使得T>0，并且f：½ 0;T] ×R×R！ R.定义4.1.设C0;T;R表示区间[0，T]上的R值连续函数类，其中T是实数 等 的 T>0。 一个 元素a;bC0;T;RC0;T;R称为积分方程的耦合上下解。（4.1）如果a（t）6b（t），ZTF和g是不可交换的 因此，W-相容性大于交换性类其次，我们证明了w-相容映象的唯一耦合公共不动点定理。a2006年和btPft;as;bsds不f t;bs;as d0定理3.3. 除了定理2.3的假设之外，假设F和g是w相容的，并且对于每个对于所有的t2[0，T]。现在，我们考虑以下假设：ZZ272W. Sintunavarat，P. 库马姆221[001 pdf1st-31files]t2½0;T]22222ZZ其中u：[0，1）fi[0，1）是连续的，非递减的，并且sat-6Tu@12121B@（q1）f：½0;T] ×R×R！R是连续的;（w2）对于所有t[0，T]和所有x;y;u;vR，其中x6u和yPv，我们有由（4.2）和（4.3）得到F具有混合g-单调性。现在，设x，y，u，v2X，其中x6u和yPv.使用0 6ft;u;v-ft;x;y6Tuu-xy-v2（q2），对于所有的t2[0，T]，我们有ZTjFx;y t-Fu;vtj½ft;us;vs- f t;xs;ys]ds0是u（t） 0，tur

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