一种新颖的改进型截断无后缀卡尔曼滤波算法

0AASRI Procedia  6 ( 2014 )  34 – 400在线获取：www.sciencedirect.com02212-6716 © 2014 The Authors. Published by Elsevier B. V. This is an open access article under the CC BY-NC-NDlicense  ( http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ ). Peer-review under responsibility of ScientificCommittee of American Applied Science Research Institute doi: 10.1016/j.aasri.2014.05.0060ScienceDirect02013年第二届AASRI计算智能与生物信息学会议0一种新的改进的截断无迹卡尔曼滤波算法0侯超，李良群*0ATR Key Laboratory, Shenzhen University, Shenzhen, GuangDong 518060, P.R.China0摘要0对于传统的截断无迹卡尔曼滤波 (TUKF)算法，需要测量是一个双射函数，提出了一种新的改进的截断无迹卡尔曼滤波算法。在该算法中，我们基于统计线性回归(SLR)对双射测量函数进行线性化，以获得测量函数的唯一反函数。这是一种修改后的算法，扩展了滤波问题的实际应用范围。最后，实验结果表明，该算法的性能优于无迹卡尔曼滤波器 (UKF) 和四元数卡尔曼滤波器(QKF)。这种方法可以有效处理测量函数不是双射的问题。0关键词: 截断无迹卡尔曼滤波; 统计线性回归; 测量函数线性化01. 引言0估计是指根据观测数据进行参数或某些状态变量的估计，其中包含随机误差。滤波是通过实时间接测量的观测值估计过程的当前信号值的状态。对非线性滤波问题的最优近似要求完整地表示获得的后验分布。对于大多数问题，状态的后验概率密度函数(PDF) 很难处理，因此需要近似处理，涉及两个步骤：预测和更新[1]。UKF通过确定性采样来逼近非线性分布，以捕捉具有协方差和均值的高斯变量。其准确性和稳定性优于EKF。UKF越来越受关注并被广泛应用。截断卡尔曼滤波 (TKF)提出了一种改进的先验PDF来提高卡尔曼滤波的性能。当测量是信息性的时，TUKF逼近TKF。TUKF的主要限制是要求状态的测量函数是双射的。本文通过使用SLR对测量函数进行线性化来修改TUKF算法的限制。仿真结果表明，所提出算法的计算与其他高斯近似相当，但滤波性能优于其他滤波方法。本文的大纲安排如下。第2节介绍了卡尔曼滤波的非线性模型。第3节介绍了一种新的改进的截断无迹卡尔曼滤波，包括算法的原理和具体步骤。第4节提供了实验和分析。0* 通讯作者。电话：+0-755-2673-2055；传真：+0-755-2673-2049.电子邮件地址：lqli@szu.edu.cn.0© 2014 The Authors. Published by Elsevier B. V. This is an open access article under the CC BY-NC-NDlicense  ( http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ ). Peer-review under responsibility ofScientific Committee of American Applied Science Research Institute035 侯超和李良群 /  AASRI Procedia  6 ( 2014 )  34 – 400获得的后验分布的表示。对于大多数问题，状态的后验概率密度函数 (PDF)很难处理，因此需要近似处理，涉及两个步骤：预测和更新[1]。UKF通过确定性采样来逼近非线性分布，以捕捉具有协方差和均值的高斯变量。其准确性和稳定性优于EKF。UKF越来越受关注并被广泛应用。截断卡尔曼滤波(TKF)提出了一种改进的先验PDF来提高卡尔曼滤波的性能。当测量是信息性的时，TUKF逼近TKF。TUKF的主要限制是要求状态的测量函数是双射的。本文通过使用SLR对测量函数进行线性化来修改TUKF算法的限制。仿真结果表明，所提出算法的计算与其他高斯近似相当，但滤波性能优于其他滤波方法。本文的大纲安排如下。第2节介绍了卡尔曼滤波的非线性模型。第3节介绍了一种新的改进的截断无迹卡尔曼滤波，包括算法的原理和具体步骤。第4节提供了实验和分析。02. 非线性环境下的卡尔曼滤波器0考虑一个离散的非线性系统，我们假设测量方程如下：0k k k w h x z � � ) ( (1)0其中0n x k x  � R 表示系统状态，  n z k z  � R 表示系统测量值，  h ( � ) 表示一个0已知非线性函数，测量噪声  k w   假设为具有协方差  R i ( k )  的高斯分布0零均值。我们假设 ( ) p 0  �  是  k x  的先验分布， MMSE  x k k ˆ |  以及给定  k z 时  x k 的协方差  k k P  |0如下：0] [ ˆ  | k k k k E x z x � (2)0] ) ˆ )( ˆ ([ | | | k T k k k k k k k k z x x x E x P � � � (3)0计算  k k x  | ˆ  和  k k P |   直接非常困难，因为涉及到积分。 卡尔曼滤波提供了给定  k z 时  k x的线性最小均方误差估计器， ,0 ˆ u x0ˆ ) ( ˆ ˆ 0 1 1 , | 1 , | 1 | ,0, ,0, | z z P P x x k zz k k xz k k k k p u k k � � � � � � � (4)  其中0�  � � k k k k x dx p E z x E z z ( ) ] [ ] [ ˆ 0 0 (5)036 侯超和李良群 /  AASRI Procedia  6 ( 2014 )  34 – 400� � � � � � k k T k k k zz kk x p x dx z z z E z z P ( ) ] ˆ ) | ˆ )( [( ] cov[ 0 0 0 1 , | (6)0� � � � � � k k T k p k k k xz k k p x dx x z z x E x z x P ( ) ] ˆ ) | )( ˆ [( ] , cov[ 0 0 ,0 1 , | (7)  其中  1 ˆ ,0, | x p k k �表示  k x  的先验概率的均值。然后，可以估计更新后的协方差0如下0T xz k k zz k k xz k k k k p u k k P P P P P 1 , | 1 1 , | 1 , | 1 | ,0, | ,0, � � � � � � � (8)  其中 1 | , ,0 P p k k �是先验概率的协方差。03. 修改的截断无迹卡尔曼滤波器03.1. 截断无迹卡尔曼滤波器0考虑一个离散的非线性系统，我们假设测量方程如下：0k k k w h a z � � ) ( (9)  其中  h ( � )  是  k a  的非线性函数。假设  h ( � )  是双射函数，加性噪声的PDF是0有界，那么联合先验概率密度函数 ( ) p 2 � 是基于 ) ; 1 ( p x k z k 和 ) 0 ( k x p 定义如下 [5] :0) ( ) 1( ) ; ( ) ; ( 0 0 1 0 2 k k k k k x p p x z z x p � � � � � (10)0其中 ]1,0 � 0 � [ . 假设 ˆ p 1, x 和0P p 1, 分别表示  ( ) p 1  �  的均值和协方差矩阵0更新0,0 1, ,2 ) ˆ 1( ˆ ˆ u u u x x x 空 格 空 格 空 格 空 格 空 格0) ] ˆ )(ˆ ˆ ˆ( )[ 1( ) ] ˆ )(ˆ ˆ ˆ( [ 2, 0, 2, 0, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 2, T u u u u u T u u u u u u x x x x P x x x x P P 空 格 空 格 空 格 空 格 空 格空 格 空0空 格 空 格 空 格 ) ]1,0 空 格 [  保持自由度为  0 的空 格 .  空 格 的详细推导在0TUKF算法可以在[6]中找到。0为了近似计算 ) 1 ( k z h 空 格 , 我们的目标是得到  k z  的线性估计  k k k k d H x z 空 格 ˆ 空 格 , 其中0k H   是一个矩阵，k d  是一个向量。它们依赖于最小均方误差 [7] 使用SLR0) ( argmin } , { k T k k k a E a d H 空 格                                                                                                                       (13)0T xz k x x x w x z z x w x P P H l l l l                                                                   (14)0k k k k H x z d 空 格                                                                                                                                              (15) (17) (18) (22) (23) 037  Chao Hou 和 Liang-qun Li /  AASRI Procedia  6 ( 2014 )  34 – 4003.3. 修改截断无损均值滤波算法0假设在时间 k � 1 时，状态的均值 |1 1 ˆ k x �  k � 和方差 |1  � 1 k P �  k 是已知的，并且过程噪声 k w  和0测量噪声  k v 是独立的，均值为零，协方差为  k Q  和 k R . 我们的目标0近似计算一步预测的前两个矩 k x | ˆ k 和 k k P |  后验概率密度函数  空 格 p x k  z  k  空 格 | :1 基于当前的0测量 k z  .03.3.1. 无损均值变换和时间更新0根据参考文献[6]，我们可以首先获得  1 2 空 格 n a N sigma 点 N 0 2 0 1 0 ..., , 空 格  空 格  和相关的0权重 w N w w ,..., , 2 1  使用UT [8] 得到，其中 w v x a n n n n 空 格 空 格 空 格 , 一步预测的sigma点可以获得0使用非线性状态函数 f ( � ) :0N i f i i k k , ,2,1 ), ( 0 1 0, | 空 格 空 格 空 格 空 格 空 格                          (16)  因此，基于当前的  空 格 p x k  z  k �  的预测概率密度函数的前两个矩可以近似计算为0i i p k k w x 1 | ,0 1 1 | ˆ ,,0 空 格 空 格 空 格  空 格0T 01 0, 1 | ,0 0, 1 | ,0 1 ,0, | ) ˆ )( ˆ ( 空 格 空 格03.3.2. 测量更新0为了近似计算预测测量 1 0 ˆ , | z k k 空 格 , 首先计算一步预测的sigma0点 空 0i i k k 1 1 ,0 | 空 格 空 格 空 格 are propagated through the measurement model h ( � ) asfollows:0N i h z i k k i k k , ,2,1 ), ( 1 | ,0 1 ,0 | 空 格 空 格 空 格 空 格 空 格                                              (19)  预测测量可以估计为01 1 0, | 1 | ,0 ˆ0根据(19)和(20)，创新协方差被估计为0T 01 1 | ,0 1 | ,0 1 | ,0 1 | ,0 1 , | ) ˆ )( ˆ (0根据(21)，交叉协方差被计算为0T 01 1 0, | 1 0, | 1 ,0, | 1 0, | 1 , | ) ˆ )( ˆ ( 空 格0误差协方差被计算为0i i xx k k x x w P ) ˆ )( ˆ ( 1 | ,0, 1 ,0 | 1 | ,0, 1 ,0 |1 1 , | 空 格 空 格 空 格 空 格 空 格 空 格 空 格 (31) 0,038     Chao Hou 和 Liang-qun Li /  AASRI Procedia  6 ( 2014 )  34 – 400因此，根据(21-23)，基于当前的 空 格 p x k  z  k  空 格  的后验概率密度函数的前两个矩  空 格 p :1 0 | 可以近似计算为0先验的 空 格 p 0 x 可以近似计算如下:0) ˆ ( ˆ ˆ 1 | ,0 1 1 , | 1 , | 1 | ,0, | ,0, 空 格 空 格 空 格 空 格 空 格 k k k zz k k xz k k k k p u k k z z P P x x0T xz k k zz k k xz k k k k p k k u P P P P P 1 , | 1 1 , | 1 , | 1 ,0, | ,0, | 空 格 空 格 空 格 空 格 空 格                                                       (25)0B. 基于修改先验更新测量0根据第3.2节中的(14)和(15)，线性回归系数 k H 和 k d 可以通过计算得到0使用(22-23)计算如下:0T xz k k k P P H                                                                                                                              (26)01 ,0, | 1 0, | 空 格 空 格 空 格 空 格 空 格 空 格 k k p k k k k H x z d                                                             (27)  然后，测量方程 (1) 可以写成线性函数的形式:0k k k k k k k w d H x w h x z 空 格 空 格 空 格 ) (                                                                                                                      (28)0前两个矩 1 ,1, | 空 格 x p k k 空 格 和 1 | ,1, P p k k 空 格 的  空 格 p 1 x  可以近似计算为0空 格 空 0a x p k k 空0空格0空 格 a 1,  在 (29) 中可以近似计算为 空 格 k  空 格 k k k k k k k a d z H z h da z a p a 空 格 空 格 空 格 空格 ) ( ) ; ( 1 1 空 格 1,                                                                                                (30)0空 格 空 格 空0ab a p k k P0其中  空 格 b 1, ,  空 格  1, a  空 格  1, b 和  空 格 1, ab  可以根据[6]计算得出。 由于sigma点  空 格 i  w i  空格 0 , 不能反映由于修改先验  空 格 p 1 x  的不确定性，我们绘制0N  sigma 点0N k k k k k k 1 ,1 | 2 1 ,1 | 1 1 ,1 | , , , � � � � � � � 通过UT进行计算，权重为 w N w w ,...... , 2 10均值 1 ,1, | ˆ x p k k � 和方差 1 | ,1, P p k k � 。预测的测量和协方差与(19-23)类似，然后0基于先验的前两个矩的后验概率密度函数  � k  � k z x p :1 1 | ，可以近似计算为0如下：0) ˆ ( ˆ ˆ 1 ,1 | 1 1 | ,1 1 | ,1 1 | ,1, | ,1, � � � � � � � � k k k k k zz k k xz k k p u k k z z P P x x0T k k xz k k zz k k xz k k p u k k P P P P P 1 | ,1 1 1 | ,1 1 | ,1 | ,1, | ,1, � � � � � �                                            (33)  最后，更新的均值和协方差如下：0k k u k k u k k x x x ,0, | | ,1, | ) ˆ 1( ˆ ˆ � � � � �                                                                                                                     (34)0� T  � k k k k u k k k k u k k u T k k k k u k k k k u k k u k k x x x x P x x x x P P ) ˆ )(ˆ ˆ ( ˆ ) 1( ) ] ˆ )(ˆ ˆ (ˆ [ | � � � �                          (35)0其中0� � 详细内容可参见[6]。300102030405060-25-20-15-10-505101520250102030405060024681012141618 039  Chao Hou and Liang-qun Li /  AASRI Procedia  6 ( 2014 )  34 – 4004. 仿真结果0在本节中，我们使用非线性模型进行了实验。该模型的DSS方程可以表示为0w k t x x x f x � � � � � � � � � ) 8 cos( 2.1 ^2) /(1 25 5.0 ( ) �0k v x k v x x h0其中 ( 5,0 ) ~ ( 1,0 ), ~ N v N w k k . 数据是使用 2 ,0 ,1 � � � � � �生成的。我们通过100次蒙特卡洛模拟来比较改进的TUKF、UKF和QKF的性能。图1展示了使用改进的TUKF、UKF、QKF和真实状态进行状态估计的结果。0图1. 均值和协方差0图2. 滤波器的性能0UKF、QKF和改进的TUKF的均方误差如图2所示。我们应该意识到，改进的TUKF的均值和协方差低于UKF和QKF。改进的TUKF的性能优于其他滤波器。最后，为了考虑算法中参数的影响，我们改变了测量噪声协方差 Q和过程噪声协方差 R 的值，算法的性能如表1所示。0表1. 不同过程噪声参数下滤波器的均值和协方差0参数  改进的TUKF  QKF  UKF0均值  协方差  均值  协方差  均值  协方差040     Chao Hou and Liang-qun Li /  AASRI Procedia  6 ( 2014 )  34 – 4001 ,1 � � R Q 3.6121  14.7504  8.0247  22.7289  17.6235  481.575502 ,1 � � R Q 3.741  15.2822  6.8923  8.0638  13.8717  150.098103 ,1 � � R Q 3.7263  15.1242  6.8689  9.9092  9.6105  39.89204 ,1 � � R Q 3.7361  13.8912  7.6627  9.5067  9.0108  22.20205 ,1 � � R Q 3.6858  13.3754  7.0458  7.7285  7.3666  11.57670根据以上仿真结果，可以明显看出，如果测量噪声较大，则算法的功能更好。然而，如果过程噪声较小，则结果不够好，甚至改进的TUKF的性能也不如UKF和QKF。05. 结论0该算法在非线性滤波中使用TUKF基于SLR线性化测量函数。它可以处理测量不双射的情况。在这种情况下，该算法扩展了滤波器的应用范围。仿真结果表明，总体上，改进的TUKF的性能优于UKF和QKF。0致谢0本工作得到了中国国家自然科学基金（61301074，61271107）、中国高校博士学科点专项科研基金（20104408120001）、广东省自然科学基金（S2012010009417）和国家重点科技专项（2011BAH24B12）的支持。0参考文献0