互学习差分粒子群算法：基于互学习技术开发高性能混合算法的研究

埃及信息学杂志23（2022）469互学习差分粒子群算法林安平a，李尚林b，c，刘荣生aa湘南学院物理与电子电气工程学院，湖南郴州423000b湘南学院计算机科学与人工智能学院，中国郴州423000c湖南省先进嵌入式计算与智能医疗系统工程研究中心，中国郴州423000阿提奇莱因福奥文章历史记录：2022年2月9日收到2022年3月17日修订2022年4月11日接受2022年4月26日网上发售保留字：互鉴粒子群算法差分进化精英DE突变A B S T R A C T提出了一种基于粒子群算法和差分进化算法的互学习策略，以开发一种高性能的混合算法在相互学习策略中，利用粒子群中的位置信息进行DE变异，DE个体与粒子的历史最优位置一起构成粒子群的学习样本提出了一种新的精英DE变异，以加快DE子群的收敛速度。基于互学习技术，提出了互学习差分进化粒子群优化算法（MLDE-PSO）。为了评估MLDE-PSO的性能，使用了三组测试函数，即13个基本函数，13个旋转基本函数和30个CEC 2017函数。测试结果与三种最先进的PSO算法、三种最新的PSO算法和DE/rand/1算法进行了比较。测试结果表明，所提MLDE-PSO算法在旋转函数和CEC 2017函数上的性能优于其他7种比较算法.旋转测试表明，MLDE-PSO对旋转变换不太敏感。©2022 The Bottoms.由Elsevier BV代表计算机和人工智能学院发布开罗大学法律系这是一篇CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http：//creative-commons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）上提供。1. 介绍粒子群优化算法（PSO）只使用了基本的数学运算，收敛速度快.由于粒子群算法具有收敛速度快、性能高等优点，在函数优化和实际应用中得到了广泛的应用。自1995年粒子群算法诞生以来，已有大量的粒子群算法变体被报道，粒子群算法的性能得到了显著的提高。然而，目前的粒子群算法大多只能对一类特定的优化问题有较好的性能，很少有粒子群算法能对各类优化问题有较高的性能。为了提高粒子群算法在不同特征问题上的性能，进化界绞尽脑汁。一般来说，改进的粒子群算法大致可以分为四类，即参数调节类[1]、邻域*通讯作者。电子邮件地址：lsl@xnu.edu.cn（新加坡）Li）。开罗大学计算机和信息系负责同行审查。拓扑学[1]、学习策略[2，3]和与其他优化技术的混合[4]。Houssein等人[5]总结了PSO算法的最新发展。学习策略是提高粒子群算法性能的有效途径。一系列的PSO算法构造有效的学习样本来指导粒子的进化。例如，CLPSO[6]采用综合学习策略，其中粒子的不同维度从不同粒子学习;社会学习粒子群优化（SLPSO）[7]采用社会学习策略，其中粒子仅从具有更好适应值的其他粒子学习;Xu等人。[8]介绍了一种维学习策略，利用粒子群发现的有希望的信息; Molaei[9]介绍了一种增强的学习策略，其中所有粒子都被用来调节任何粒子的运动; Lim [10]提出了一种基于正交实验设计的随机扰动技术的Yan[11]提出了一种随机学习机制来增强群体的多样性，在随机学习机制中，每个粒子以给定的概率从随机的邻居粒子中学习Ye[12]提出了动态学习策略，将整个群体动态地划分为面向开发的普通粒子和面向探索的通信粒子。上述粒子群算法表明，利用精英邻居粒子的信息进行更新，https://doi.org/10.1016/j.eij.2022.04.0031110-8665/©2022 THE COURORS.由Elsevier BV代表开罗大学计算机和人工智能学院出版。这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。制作和主办：Elsevier可在ScienceDirect上获得目录列表埃及信息学杂志杂志主页：www.sciencedirect.comA. Lin，S. Li和R. 刘埃及信息学杂志23（2022）469470我GGi;j我我我我i;1i;2i;D我R1我R2R3我R1R2R3R4R5我i;1i;2i;3i;j;;;i;di;d;Di;dXi¼我我否则我我i best r1r2我粒子为了提高粒子群算法的适用性，将各种智能优化算法移植到粒子群算法中.例如，Juang[13]采用粒子群算法和遗传算法（GA）来进化精英粒子，并提出了混合GA和粒子群算法。Javidrad[14]采用模拟退火（SA）和PSO来进化种群，并提出了混合粒子群和模拟退火随机优化（PSO-SA）。Chen[15]将基于地理的优化迁移到PSO，并提出了基于地理的学习颗粒群优化（BLPSO）。 Charin[16]将随机游走分布引入到随机数全局粒子群算法具有较高的收敛速度，但存在早熟收敛的问题.2.2. DE差分进化（DE）是近年来连续参数空间中最强大和最通用的进化优化器之一[25]。DE通过变异、交叉和选择操作使个体群体向全局最优移动候选解向量被称为个体并且由目标向量XG=f XG; XG;···; XG}表示 i = 1，2，.. . ，NP粒子群优化算法，提出了Levy飞行算法和粒子群优化算法的混合算法（LPSO）.Jaferi[17]提出了一种基于PSO与文化算法在桁架结构设计中的应用。[第18话]是个体的指数，G是迭代次数，D是维数。在初始化中，随机初始化个体。在每一代中，突变载体VG =-G G G采用（GSA），以克服过早停滞的PSO和亲-提出了混合引力搜索粒子群优化算法。在众多的混合粒子群算法中，差分进化算法和粒子群算法的混合算法受到了电子商务界的广泛关注对于DE和PSO可以com...互相补充由于Zhang[19]将DE突变在2003年引入粒子群算法之后，提出了一种改进的差分进化算法和粒子群算法混合算法的概念是使用DE算子来增强PSO的群体多样性，或者使用-fvi;1;vi;2;·· ·;vi;Dg是由每个单独的.在DE代码中实现的五种最常用的突变策略[26]如下：1) DE/rand/1。V G¼X GF ·XG-XG 32) DE/当前最佳/1。V G¼X GF i·.X G-XGFi·XG -XG 4采用粒子群算法加快DE算法的收敛速度主要杂交方法包括（1）串联结构，采用DE进一步进化粒子群[20];（2）并联结构，采用我我3) DE/best/1.我最多r2r3DE和PSO都进化出自己的子群[21];（3）交叉，同时使用DE和PSO通过交叉产生后代[22]。(4)级联，采用DE为PSO构建学习样本[23]。更详细的介绍V G¼X GF i·-X 54) DE/best/2.V G¼X G我的朋友。X G-X GF i·X G -XG 6DE-PSO将在第2.3节中介绍由于混合DE-PSO算法具有相反的特性，因此，复杂的多模态问题可能比经典的DE算法更糟，i best r1r 25) DE/rand/2。r3r4Rithms DE需要比PSO相对更大的种群来避免过早收敛，因此人口是一个关键参数V G¼X GF i·.XG-XGFi·XG-XG 7混合DE和PSO算法。开发高性能的差分进化算法和粒子群优化算法仍然是电子商务界关注的焦点.为了充分利用DE和PSO算法的优点，提出了一种混合DE和PSO算法的互学习策略。此外，引入精英变异以加快DE子群的收敛速度。本文的其余部分组织如下：第2节回顾了相关工作，第3节提出了方法，第4节进行了实验，第5节结束本研究。指数r1，r2，r3，r4，r52[1，NP]是互斥的随机整数.Fi是缩放差向量的缩放因子在变异之后，在个体与其变异向量之间进行交叉操作以生成试验向量UG={uG;uG;···;uG}。交叉操作按照-到EQ。（八）、（vG if.randj≤CR或CRrandjxG，否则2. 相关作品2.1. 标准PSO在PSO中，每个潜在的解决方案被视为一个粒子。粒子在搜索空间中飞行，从它的个人最佳位置（Pbest）和全局最佳位置（Gbest）出发，在吸引力的作用下寻找全局最优解。广泛使用的全局粒子群算法根据方程更新其速度和位置。(1)，（2）[24].其中，CR2= 0;1]是由用户定义的交叉率 j = 1，2，.. . D为尺寸指数。randj2[0，1]是均匀分布随机数。jrand2[1，D]是保证试验的随机整数向量U，G将在至少一个维度上不同于其目标向量Xi，G。变异后，评估试验向量的适应度值选择根据eq. (9)在试验向量UG和它的目标向量XG基于它们的适应度值。vi d¼xvidc1·r1d·. p -posΣþc2·r2d· ðg -位置1G（UG如果fit<$UG<$≤f<$XG<$XG我posi;d/posi;dvi;d2其中，第i个的速度矢量、Pbest矢量和位置矢量其中fit（·）是目标函数。如果试验向量的适应值fit_U_G_n不差于其目标向量粒子由Vi=[Vi，1，Vi，2，. . . ，vi，D]，Pi=[pi，1，pi，2，.. . . ，pi，D]，则试验向量UG将替换其目标向量XG。但是，目标我我并且Pos i= [pos i，1，pos i，2，.. . ，posi，D]。G = [g1，g2，.. . ，gD]代表Gbest向量。x代表惯性权重，c1和c2是两个加速度系数。r1，d，r2，d2[0，1]是两个一致的将为下一代保留载体。重复进行变异、交叉和选择操作，直到满足终止准则。联系Gi;jð8Þð9ÞA. Lin，S. Li和R. 刘埃及信息学杂志23（2022）469471Er1Er1我我（P最佳GG我Er1我R2R3D2.3. 混合DE和PSOGEr1 是从前N名精英中随机选出的过去提出了一种串行混合DE和PSO例如，Pei[27]采用粒子群算法作为辅助变异算子，差分进化算法进行交叉操作，避免了单一算法的不足。Chen[23]提出了一种用于特征选择的混合PSO和DE，采用差分进化为PSO繁殖有前途和有效的样本。Sato[28]提出了用于能源网络优化的多群差分进化粒子群优化（MS-DEEPSO）。Wang[29]介绍了一种用于混合差分和PSO算法的自适应变异策略，DE和PSO算子的选择概率基于它们以前的性能自适应。Epitro- pakis提出了一种混合DE和PSO的串行结构框架。Sayah等人[30]提出了一种DE-PSO算法，将PSO作为补充变异算子引入到传统的DE算法中，以提高全局搜索能力。Liu等人。[21]采用PSO在每次迭代中进化DE个体的较好一半。Seyedmahmoudian[31]提出了一种DE-PSO算法，采用DE和PSO交替进化种群。Chen等人。[32]采用两种不同的差分进化算子来构建PSO的学习样本，并提出了具有两种差分变异的粒子群优化算法。Chen等人。[33]将微分进化算子合并为N精英1/4轮NP-NP-N结束ωiter=iterm 11N 个 精 英表示DE子群中按适应度值排序的前N 个 精 英个体在优化过程中，N个精英线性减少，旨在将搜索集中在少数有前途的个体的邻域中在优化的早期阶段XG是从整个群体中随机选择的，以实现高探索性。随着迭代次数的增加，从少数高质量个体中选择XG，以提高遗传算法的收敛速度。后期的速度3.3. 交叉学习范例学习样本对于提高粒子群算法的性能至关重要。例如，CLPSO[6]、OLPSO[35]、GL-PSO[36] 通过构造高质量的学习样本来提高PSO的性能。在这项研究中，采用DE子群的个体来生成PSO子群的学习样本，根据算法1。根据方程进行交叉生成尝试学习样本。（12、13）。算法1生成MLDE-PSO1对于d= 1：D/*生成尝试学习样本每个子群，并提出了一种动态的多群差分进化学习粒子群算法（DMSDL-PSO）。DMSDL-2根据等式更新数据表d。(12 13）该算法采用差分变异增强搜索能力，采用拟牛顿法作为局部搜索器增强搜索能力。Xin等人[34]总结了现有的基于DE和PSO的混合算法。3. 方法3.1. 动机作为两种优秀的智能优化算法，粒子群优化算法和差分进化算法有着各自鲜明的特点。例如，粒子群优化算法使用的种群相对较少，收敛速度较快，但在优化复杂的多峰问题时容易陷入局部最优。此外，PSO是旋转变量，因此其3端4Iffit（Exempi）fit（Exemplari）/* 学习范例的选择5示例i=示例i6Exemplar_vali=fit（Exempi）7端注：fit（·）代表适应度函数。Exempi、Exemplari、Exemplar_vali分别代表粒子i的尝试学习样本、学习样本和学习样本的适合度。d和D表示尺寸和尺寸的指数。在旋转问题上的性能不令人满意。相反，DE需要相对较大的种群规模，并且在复杂的多峰问题上表现得更好，同时它收敛于相对较小的种群规模。联系我们D澳门金沙城中心Pcrð12Þ在单峰问题上进展缓慢。由于粒子群算法和差分进化算法产生后代的方式不同，很难在不互相排斥的情况下充分利用各自的优势。 几种混合DE-PSO算法算法七Pcr¼0：90：1PbestvaliValrPbestvali>Valrð13Þ复杂的多模态问题基于上述弱点vd¼xvdc1·rd·。Exempard-Posdc2·rd·Gbestd-Posd我我我在混合DE-PSO算法的基础上，提出了一种混合DE-PSO算法的相互学习策略，充分利用了DE-PSO算法的优势，我我我我ð14Þ信息在DE和PSO子群。在相互学习策略中，DE和PSO子群并行工作，两个子群之间交换精英信息，以提高种群质量。该算法利用PSO子群的位置向量进行DE变异，以加快DE子群的响应速度，同时采用精英DE变异，以加快DE子群的收敛速度。3.2. 精英DEDE/rand/1 具有很强的探索性，但收敛速度太慢。为了提高DE/rand/1算法的收敛速度，本文提出了一种精英DE算法（Elite-DE）。Elite-DE根据等式产生试验向量。（10，11）。V G¼X GF·-X10对于任意粒子i，随机选择的DE个体r为用于通过交叉生成尝试学习范例。交叉概率由等式确定（十三）、根据Storm[42]的指导，cr= 0.9（DE的交叉概率）可以加快收敛。因此，如果Pbestval（i）（粒子i的适应度值）不比Val（r）（个体r的适应度值）差，则交叉概率Pcr= 0.9，否则Pcr= 0.1。在交叉的基础上，学习样本的大部分维度都是从PSO粒子和DE个体之间的较优解中复制的，从而增强了PSO子群的多样性在选择操作中，如果尝试学习样本的适应度值更好，通过选择操作，保证了学习样本的质量由于DE子群具有旋转不变性，采用DE个体生成PSO学习样本，可以使PSO子群具有局部性旋转不变特征XX.我A. Lin，S. Li和R. 刘埃及信息学杂志23（2022）469472Er32我儿R2儿3.4. 最佳位置的精英DE为了进一步增强DE和PSO子群之间的信息，具有最佳位置的精英DE（表示为E-DEx）用于生成DE子群的试验向量V G¼X G1F i·X G -XG315X G是从DE群和Pos ibest（Pos ibest表示PSO子群中最佳粒子的当前位置）的联合中选择的随机个体。Posibest在每次迭代中更新，因此使用Posibest进行DE变异可以加速DE子群对优化问题的景观的响应。3.5. 该方法所提出的MLDE-PSO的流程图如图1所示。整个群被分为DE子群和PSO子群。两个子群根据相互学习策略交替合作工作，从而可以充分交换有用的信息。结果，可以提高整个群体的质量。在初始化过程中，对DE子群和PSO子群的种群进行初始化，并对DE子群和PSO子群的参数进行初始化。在每次迭代中调整精英个体数、惯性权重和加速度系数。然后，两个子群按照自己的方式进化。有价值的信息在两个子群之间交换。该算法利用最优粒子的位置进行DE变异，DE个体通过交叉在PSO子群中产生学习样本。如果函数值FE的个数小于最大函数值，则最优解为：优化进行到下一次迭代，否则结束优化并输出结果。由于两个子群可以相互学习，因此DE子群和PSO子群都可以利用对方本文提出的互学习策略可应用于其他混合智能优化算法。4. 实验工作4.1. 实验装置在这项研究中，三组测试功能来测试的MLDE-PSO的性能（1）采用13个选定的基本函数，由几个代表性的PSO变体[36]来比较MLDE-PSO在基本优化问题上的性能（2）对上述13个基本函数进行旋转，以评估MLDE-PSO在旋转问题上的性能（3）30 CEC2017[37] 采用进化界最新文献所采用的函数来测试MLDE-PSO在竞争优化问题上的性能表1给出了13个基本函数的详细情况，用（BF1~BF13）表示，BF1 ~ BF7是7个单峰函数，BF8 ~ BF13是6个多峰函数。为了验证MLDE-PSO算法的旋转不变性，利用旋转矩阵对13个基本函数旋转函数可以用等式表示。（十六）、RFi xBF ix ωM16i[1，13]是函数的指数。M是旋转矩阵[38]，其条件数为2。Fig. 1. 给出了MLDE-PSO算法的流程图。A. Lin，S. Li和R. 刘埃及信息学杂志23（2022）469473Pnfx22Qx 拉吉 JI我1/1i-1iP1/1.ΣI¼Jj¼41/1þ我x2-[-600，600]griewank1/1þ我表1基本测试功能。号测试功能域名BF1f1x1x2[-100，100]球面I¼BF1/1我ni¼1 jxij[-10，10]Schwefel's P2.22BF3f3xPn1Pi1xj[-100，100]二次曲面BF4f4mmx1/4。最大值jxij;16i630<$[-100，100]SchwefelBF 5f 100 mm×100 mm Pn-1h100. xi1-x22xi-12i[-10，10] RosenbrockBF6f5mm×10mmPnxiBF7f7x¼P30x4随机½0;1[-500，500]施韦费尔BF 8f7mm x10mmPn. x2-10 cos 2pxi10[-5.12，5.12] rastriginBF9f8mmx10mm-20exp.-0：2q1=nPnx2-exp1=nPnnnCosmos 2pxi阿克利20e[i¼1iPQnp1/1BF11f11xpf1-sin2py1pn-1yi-12½110 sin2pyi1]yn-12g4[-50，50]一般处罚Pn1uBF12f12x110sin23px1Pn-1xi-12½110sin2pxi1]Pnuxi;5; 100;4[-50，50]一般处罚10BF13f13xn. y2-10 cos2pyi10Pn1/1uxi;10; 100;4 [-5.12，5.12]非连续拉斯特里金注：在BF和BF，y¼1/1.x ijxijx2我六分之五和联合x; a; k; m1/1k x j-a m;xj>a0; -a6xj6a.12 13我round2ijxj0： 5j：k. -xj-am;xj-a<为了进一步测试MLDE-PSO在复杂多峰函数上的性能，测试了30个CEC 2017函数（F1-F30）最大函数演化被设置为10000*D，D是人口和他们的质心之间的距离。根据等式计算多样性（十七）、维度所有功能运行30次独立运行，平均性能进行了比较。实验是在一台配置AMD Ryzen-3500 U 2.1 GHzCPU、8 GB RAM的PC机差异1XNP rXDxx-217MS Windows 10 64位操作系统和Matlab R2018b编译器。NP=NDE+N粒子群算法，x- 表示第j维的平均位置比较了七种选择性节点算法与MLDE-PSO，包括三种最新的PSO算法，三种最新的PSO算法和一种经典的DE算法。CLPSO[6]采用了综合学习策略来增强PSO的探索性。在综合学习中，每个粒子从整个群体中学习，不同的维度从不同的粒子中学习。CLPSO在多模态问题上表现良好。FDR-PSO[39]使用附近的高适应度粒子来指导学习粒子的运动。FDR-PSO避免了早熟收敛，但代价是在早期阶段减慢了收敛速度UPSO[40]同时使用局部版本PSO和全局版本PSO，以实现探索和开发之间的良好平衡。TSL-PSO[8]使用两种学习策略分别进化两个子群。一个子群采用维度学习策略增强局部搜索能力，另一个子群采用综合学习策略增强探索能力。GGL-PSOD[41]采用环形拓扑邻居粒子来构造学习样本，并线性调整控制参数以平衡探索和开发。GGL-PSOD对不同类型的优化问题具有很强的适应性DMSDL-PSO算法将粒子群划分为若干个动态子群，采用DE变异构造PSO的学习样本，采用拟牛顿法进行局部搜索。DE/rand/1[42]具有较强的探索性，但收敛速度较慢，在复杂的多峰问题上表现良好。对于Elite-DE是从DE/rand/1修改而来表2中所示的比较算法的参数是DE和PSO子群。对于PSO子群，xi;j<$pi;j。 图 2.a表明DE/rand/1的多样性下降缓慢，意味着DE/rand/1的种群收敛缓慢，因此在球函数上不能达到高精度。 Elite-DE 的 多 样 性 曲 线 在 开 始 阶 段 几 乎 与DE/rand/1重叠，而在后期，Elite-DE的多样性曲线比DE/rand/1下降得更MLDE-PSO算法能够在初始阶段保持足够的多样性，并在后期快速收敛到当前最优解。因此，MLDE-PSO可以获得高精度的球函数。图2.b表明，在Rastrigin函数上，DE/rand/1的种群不能收敛到一个小区域。精英- DE算法MLDE-PSO算法在初始阶段收敛速度较快，但在后期多样性下降缓慢。多样性曲线表明，在粒子群算法中，MLDE-PSO比DE/rand/1算法具有更强的开发性，MLDE-PSO在初始阶段能保持足够的多样性，并能收敛到找到最优解的邻域内，达到较高的精度。表2算法参数配置号算法年份参数设置1CLPSO[6]2016Ps = 40，w =0.7298，c= 1.49618，m= 52FDR-PSO2003Ps = 40，w =0.7298，c1= 1，c2= 1，c3= 23[39]第三十九届UPSO-PSO2005Ps= 40，w =0.7298，c1= 2.05，c2= 2.05[第四十届]与原始出版物一致4.2. 搜寻行为测验为 了 分 析 MLDE-PSO 的 搜 索 行 为 ， 图 中 给 出 了 球 函 数 和Rastrigin函数的多样性曲线。 二、提供DE/rand/1和Elite-DE的多样性曲线以供比较。多样性是通过平均欧几里得距离来评估的4TSL-PSOD2019N1=15，N2=25，w =0.91/1BF10f9mmx 1/4=4000cosmosxi=i¼1i1/1I¼公司简1/1j-jð<8Þ[八]《中国日报》c3= 0.5~ 2.55GGL-PSOD2002Ps = 50，w =0.96[41]DMSDL-PSO2004pm= 0.01，sg= 7Ps= 40，w =0.7298，c= 1.49618，R= 20，A. Lin，S. Li和R. 刘埃及信息学杂志23（2022）469474图二. MLDE-PSO和DE的多样性曲线。4.3. 基本测试功能对比测试表3和表4给出了MLDE-PSO和七种对等算法的基本测试函数的比较测试结果。统计量采用Wilcoxon符号秩检验进行比较MLDE-PSO算法与其他同类算法的性能比较。在表3和表4中，FV代表30次独立试验的平均适应度值SP用于评价算法达到预定精度的收敛速度，它可以表示为等式。（十七）、A. Lin，S. Li和R. 刘埃及信息学杂志23（2022）469475×表3单峰基本测试函数的测试结果Func.统计CLPSOFDR-PSOUPSOTSL-PSOGGL-PSODDMSDL-PSODE/rand/1MLDE-PSOBF1FV>2.182E-30>1.283E-149>1.283E-149>2.557E-203>1.959E-57>1.822E-68>4.924E-310.000E + 00SP1.231 E +051.148E +052.333E +043.313E +041.493E +057.786E +039.012E +041.844E + 04Sr百分百百分百百分百百分百百分百百分百百分百百分百秩83426571BF2FV>4.953E-19>3.696E-63>3.696E-63>1.490E-97>5.398E-33>1.208E-34>1.666E-150.000E + 00SP1.669E +051.225E +053.136E +044.434E +041.657E +057.310E +041.437E +052.663E + 04Sr百分百百分百百分百百分百百分百百分百百分百百分百秩73426581BF3FV>1.611E-29>4.603E-150>4.603E-150>2.000E-203>8.137E-56>5.657E-65>9.090E-300.000E + 00SP1.305E +051.185E +052.588E +043.329E +041.543E +055.510E +041.002E +052.009E + 04Sr百分百百分百百分百百分百百分百百分百百分百百分百秩83426571BF4FV>1.302E +00>2.447E-04>2.447E-04>3.560E-02>3.383E-06>4.554E-06>1.873E-021.377E-131SPINFINF3.248E +05INF5.283E +058.996E +061.271 E +063.422E + 04Sr0.00%0.00%83.33%0.00%53.33%3.33%23.33%百分百秩84572361BF5FV<4.505E +00<1.313E +00<1.313E +00<5.104E +00<1.337E +01<5.315E-01<7.753E-012.801E +01SPINFINFINFINFINF3.203E +05INFINFSr0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%86.67%0.00%0.00%秩53467128BF6FV= 0.000E +00>1.667E-01>1.667E-01= 0.000E +00= 0.000E +00= 0.000E +00= 0.000E +000.000E + 00SP7.062E +041.474E +051.138E +041.652E +041.115E +052.296E +043.981E +047.964E +03Sr百分百83.33%百分百百分百百分百百分百百分百百分百秩17811111BF7FV>3.860E-03>2.532E-03>2.532E-03>3.517E-03>2.471E-03>2.094E-03>4.593E-031.953E-04SPINFINFINFINFINFINFINFINFSr0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%秩74563281注：FV和SR分别表示平均适应度值和成功率SP表示为eq.(17)代表算法达到预定义阈值所需的函数求值的平均数量的商表4多模态基本测试功能的测试结果Func.统计CLPSOFDR-PSOUPSOTSL-PSOGGL-PSODDMSDL-PSODE/rand/1MLDE-PSOBF8FV= 0.000E +00>2.802E +01>2.802E +01= 0.000E +00= 5.329E-16= 0.000E +00= 1.412 E +020.000E + 00SP2.276E +05INFINF3.349E +042.178E +056.946E +04INF2.322E + 04Sr百分百0.00%0.00%百分百百分百百分百0.00%百分百秩16715181BF9FV>1.886E +01>2.315E-14>2.315E-14>3.417E-14>8.112E-15>6.454E-15>5.151E-15>8.882E-16SPINF1.300E +054.545E +044.354E +041.688E +057.549E +041.334E +052.658E + 04Sr0.00%百分百百分之九十六点六七百分百百分百百分百百分百百分百秩85674321BF10FV>7.401E-18>1.532E-02>1.532E-02>6.049E-13>3.281E-03= 0.000E +00= 0.000E +000.000E + 00SP1.396E +056.346E +051.160 E +053.443E +042.423E +056.193E +049.464 E +041.901E + 04Sr百分百36.67%百分之八十百分百76.67%百分百百分百百分百秩17856111BF11FV<3.528E-31>3.456E-03>3.456E-03<1.571E-32<1.571E-32<1.571E-32<6.037E-325.525E-04SP1.211 E +051.163E +055.832E +042.561E +041.376E +054.493E +048.108E +04INFSr百分百百分之九十六点六七百分之九十三点三三百分百百分百百分百百分百0.00%秩57811146BF12FV<3.601E-30<1.465E-03<1.465E-03<1.350E-32<1.350E-32<1.350E-32<3.510E-314.711E-2SP1.283E +051.586E +052.594E +042.900E +041.453E +054.872E +048.769E +04INFSr百分百86.67%百分百百分百百分百百分百百分百0.00%秩56711148BF13FV= 0.000E +00>9.367E +00>9.367E +00= 0.000E +00= 2.368E-16= 0.000E +00>1.217E +020.000E + 00SP2.401E +05INFINF3.459E +042.188E +057.863E +04INF2.764E + 04Sr百分百0.00%0.00%百分百百分百百分百0.00%百分百秩16715181成功运行的平均值SP_FE_MAXω_1-SR_FE =SR_FE的平均值ð17Þ8种算法的平均误差。最好的结果用粗体突出显示。表3中的结果表明，MLDE-PSO排名第一在本研究中，预定义的精度为e= 110- 6。 SR表示成功率，它等于成功运行次数除以总运行次数的商。在两两wilcoxon符号秩检验中，"FV“行中的"行在七个单峰函数中的六个上。只在BF5上，MLDE-PSO算法的性能不如其他同类算法。MLDE-PSO在BF1，BF2，BF3和BF6上实现了零错误。在高炉4上，MLDE-PSO也达到了很高的精度。MLDE-PSO在BF1-BF4、BF6和BF7上的SP最低，这意味着MLDE-PSO在这些函数上的收敛速度比其他算法快。DMSDL-PSO和UPSO实现最低SPA. Lin，S. Li和R. 刘埃及信息学杂志23（2022）469476~分别在5号高炉和6号高炉。如果一个算法在30次运行中不能达到给定的精度，则将其SP标记为“INF”。在“SR”成功率方面，MLDE-PSO在除BF5外的所有单峰函数上都产生了100%的在Rosenbrock函数BF5上，MLDE-PSO算法在30次运行中未能达到给定的精度。所有算法在BF1-BF3上的成功率均为100%。在BF6上，只有FDR-PSO和UPSO未能产生100%的成功率. Wilcoxon符号秩检验结果表明，MLDE-PSO在BF1-BF4和BF7上的性能明显优于其他算法。在BF6上，MLDE-PSO的性能优于FDR-PSO和UPSO，与其他同类算法相当。在平均误差排序准则中，MLDE-PSO算法在BF1-BF4、BF6和BF7上的平均误差排序最高。在BF5上，MLDE-PSO排在第八位.在6个多峰函数上，MLDE-PSO在BF8-BF10和BF13上的性能最好，在两个惩罚函数BF11和BF12上，MLDE-PSO仅在BF11上的性能优于其他FDR-PSO和UPSO。MLDE-PSO在高炉8-10和13上消耗最低的SP。在BF11和BF12，TSL PSO和UPSO分别产生最低的SP。在成功率方面，MLDE-PSO生成100%的成功率，除了BF11和BF12。在BF11和BF12两个罚函数上，MLDE-PSO在30次运行后仍不能达到给定的精度，MLDE-PSO不能产生高性能，因为罚函数改变了优化问题的全局。CLPSO、TSL-PSO、GGL-PSOD、DMSDL-PSO和DE/rand/1在BF11上实现了100%的SR，而在BF12上，只有FDR-PSO和MLDE-PSO未能实现100%的SR。Wilcoxon符号秩检验结果表明，MLDE-PSO在BF9上的性能优于其他算法，在BF8、BF10和BF13上的性能并不劣于其他算法。MLDE-PSO在高炉8~10和11号高炉上的表现均居第一位，在高炉11和12号高炉上分别居第六和第八位。表5总结了基本测试功能的测试结果。根据表5中的测试结果总结，MLDE-PSO分别在单峰函数、多峰函数和所有13个基本函数上产生6、4和10次的最佳性能。平均排名表明，MLDE-PSO产生最好的排名单峰函数，DMSDL-PSO产生最好的排名多峰函数和所有13个基本功能。Wilcoxon符号秩检验结果表明，在单峰函数上，MLDE-PSO算法在六个或五个函数上的性能优于其他同类算法。在多峰函数上，MLDE-PSO分别在三个，两个和两个函数上优于DMSDL-PSO，CLPSO和MLDE-PSO的整体性能比DMSDL-PSO和CLPSO差，与TSL-PSO基本相当，优于FDR-PSO、UPSO、GGL-PSOD和DE/rand/1。在所有13个功能上，MLDE-PSO优于CLPSO，FDR-PSO，UPSO，TSL-PSO，GGL-PSOD，DMSDL-PSO和DE/rand/1分别对应于六、十、九、七、九、六和八个函数。由于DMSDL-PSO采用局部搜索策略来提高收敛性，DMSDL-PSO在多峰函数上的性能 优 于 MLDE-PSOMLDE-PSO 的 整 体 性 能 优 于 DMSDL-PSO 、DE/rand/1等同类算法。对于MLDE-PSO算法，采用PSO子群算法和Elite-DE算法来提高资源利用率，它的性能优于DE/rand/1。只有在BF5和惩罚函数BF11和BF12上，MLDE-PSO的性能比DE/rand/1差。4.4. 旋转基本测试函数在此测试中，13个旋转的基本函数从BF1 BF13旋转，条件数为2的矩阵，以增加寻找全局最优解的难度。表6表明，在七个旋转单峰函数（RBF1-RBF7）上，MLDE-PSO产生了最好的性能，除了RBF5。采用局部搜索策略，DMSDL-PSO算法在RBF5上的性能最好.MLDE-PSO在RBF1和RBF5上消耗最低的SP，DMSDL-PSO在RBF1和RBF5上获得最低的SP。MLDE-PSO产生100%的成功率，除了RBF5。在径向基函数1上，所有算法都产生了100%的成功率，在径向基函数3上，只有CLPSO未能产生100%的成功率。Wilcoxon符号秩检验表明，MLDE-PSO优于其他算法，除了RBF5和RBF6。在RBF5上，MLDE-PSO的性能不如DMSDL-PSO，优于其他同类算法。在RBF6上，MLDE-PSO的性能优于FDR-PSO和TSL-PSO，与其他算法的性能相差无几。MLDE-PSO在除RBF