没有合适的资源?快使用搜索试试~ 我知道了~
基于Ljusternic-Schnirelman原理的Steklov问题特征值研究
(@nð Þð ÞS埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems@nJournal of the Egyptian Mathematical Society(2013)21,16原创文章基于Ljusternic-Schnirelman原理的Steklov问题的特征值G.A. Afrouzia,*,M.Mirzapoura,S.Khademlooba伊朗巴博尔萨马赞达兰大学数学科学系数学系b伊朗Babol,Babol理工大学基础科学学院接收日期:2012年5月12日;修订日期:2012年10月15日;接受日期:2012年2013年1月3日在线提供本文讨论了一类divaxjrujp-2rubxjujp-2u 在X中;jrujp-2@u<$kcxjujp-2uon@X;利用AMS下属机构分类:35J60、35B30、35B402012年埃及数学学会。制作和主办:Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍空间上p-Laplacian算子的特征值问题本文研究了系统(div_a_x_j_r_u_j_p-2_r_u_v_b_x_j_u_j_p-2_u) 在X中;有界域已经被广泛研究,已经获得了有趣的结果,参见例如[13]和[14]。jrujp-2@u<$kcxjujp-2uon@X;ð1Þ除了数学的兴趣,研究的p-Laplacian算子在非牛顿流体理论中也很有意义,对于情形pP2(塑性流体)和情形1p2(伪塑性流体)都是如此,见[3]。<<*通讯作者。通过使用RN(NP2)和1p6N中的有界域<我们假设a x;b x a: e:在X中为正;a2L1X;a-s2L1X;s2. N;1\1;1:2电子邮件地址:afrouzi@umz.ac.ir(G.A. Afrouzi),mirzapour@stu. umz.ac.ir (M. Mirzapour),S. nit.ac.ir(S.Khademloo)。同行评审由埃及数学学会负责loc我们定义p p-1p¼PS ;pω<$NpsNPS¼; 2003年s1N-psNs1-ps此外,我们假设1110- 256 X? 2012埃及数学学会。制作和主办:Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.10.006制作和主办:Elsevier关键词p-Laplacian系统;特征值问题;变分方法;S基于Ljusternic-Schnirelman原理的Steklov问题的特征值1711-t!1¼H拉吉吉Σ简体中文1rukjujH2Anu2HnSs1SN- psZ1¼在X:c=0g>0时,测量fx2;ω(H 1)F,G:XfR是偶泛函使得F,G 2 C1(X,R)和F(0)= G(0)= 0. 特别是,c2Lq-p@X;对于某些p6qps:4由此可知F0和G0是奇势算子。关于Dirichlet问题(H2)算子F0是 强连续的(即unNu)F0(un)fF0(u))和Fu-0 ; u 2 coN a意味着(p-2p-2F0(u)n 0,其中coNa是N a的闭凸包。(H3)算子G0在有界上一致连续在@X上的u¼0;(例如:见[4,7,9])。 文[5]证明了存在一个非递减的正特征值序列kn趋于n ∈N,文[12]也建立了该序列存在性的结果和上述问题谱的一些性质.这样的特征值序列的存在性可以使用Ljusternic-Schnirelman的理论来证明因此,我们称这个序列为LS序列{kn}。在上述文献和文献[15]结果的启发下,本文讨论了问题(1)的L-S序列的存在性和主特征值的简单性设X:W1,p(a,X),加权Sobolev定义为所有实值可测函数u的集合,其中. Zp ppXX集合和满足(S0),即 作为nf1,un*u;G0un*v;hG0un;uni ! hv;ui意味着un!u:(H4)水平集Na是有界的,并且uinfG0u;u> 0:u2 Na已知u是(8)的解当且仅当u是F关于Na的临界点(参见Zeidler[8,命题43.21])。对于任何正整数n,用An表示Na的所有紧对称子集K的类,使得F(u)>0在K上,kuk1;p;a¼ajrujdxJuJDX:500其中c(K)表示K 的 亏格,即,c(K):¼inf{k2N;$h:K∈Rkn{0}使得h是连续且奇数的}。则X具有范数i∈i1,p,a是一致凸的因此,根据Milman定理(见[10]),Banach空间Banach空间此外,我们有这些连续嵌入我们定义:. super infF u如果A-;X,W 1;p Xpω0ifAn¼;:!太好了!LsX也让psωNpsp和p。.请注意,X!Lr@X6v0,如果是1/40:[1<][2][3][4][5][6][7][8][9][9][10][11][12] 可见加权弗里德里希不等式(见[7](公式(1.28),现在,我们陈述定理1. 在假设(H)-(H)下常态kuk ¼.Z1pajr ujp dx1断言成立:[1] (存在一个特征值)如果4>0,则(1)具有X在空间X上的范数i∈i1,p,a等价于(5)中定义的范数i ∈ i 1,p,a。定义1.我们说k>0是(1)的正特征值,如果存在一个非平凡函数u2W1,p(X)使得n一对±un特征向量和一个特征值lnnn 0; fur-F(un)=ann。[2] (多重性)如果v = ,(8)有无限多对± un对应于非零特征值的特征向量。[3] (临界水平)1>a1Pa2P···P0和anf0,Zajrujp-2rurvdxZbjujp-2uvdxXXnf1.[4] (无穷多个特征值)如果v=1,kZcF<$u< $ $>0;u2coNa蕴涵<$F0(u),u<$=0,则有存在不同特征值的无穷序列{ln}(8),使n f0为nf1。对任何v2X成立。则u称为对应于特征值k的特征函数。对(u,k)称为特征对。2. The Ljusternic–Schnirelman设X是实Banach空间,F,G是X上的两个泛函.对于固定a>0,我们考虑特征值问题,F0ulG0u;u2Na;k2R8水平设置为[5] (弱收敛)的特征向量)假设则v=1且存在(8)的特征对序列{(un,ln)}使得unN0,lnf0作为nf1且lnnn 0对所有n。证据我们可以参考[6]或[8]的证明。 H定义X上的泛函ZFðuÞ ¼@Xc tj u tjp dt;10Na:¼fu2 X; Gug:我们假设:GuZajrujpdxZbjujpdx:11XXQΣu在X中;an ¼ð9Þ超fn2N;a n> 0 g如果a1>0;@X18G.A. Afrouzi等人ppZp2--p¼np-1hAu;v i ¼c tj u tjp-2 uvdt;12@Xjh Au n-Au; v ij¼.cjunjun- j uj你是谁?Sq- ppωs-pq- pSnnp-1nn利用引理1,我们得出结论:wn在Lp-1中是f,且x是f。在那里-x. 6ZZabpsω电子邮件:info@hzp.com.cnZZXX因此,我们认为,n很容易看出,F和G是可微的,其中A1/41 F0hBu-Bv;u-viPkukp-1- kvkp-1 kuk- kvk:和B1/4G0,此外,Bv,uv=0当且仅当u=va.e. 在X.hBu;vi ¼Zajrujp-2rurvdxZbjujp-2uvdx:13XX证据简单的计算给出了对于X中的任意u,v则(8)变为Au=1Bu,其中G(u)=1。我们称F和G满足(H)很明显,FjhBu-Bv;u-vi j<$Z½ajrujpajrvjp]dx1 4Z和G是偶数,(H4)成立.它仍然需要验证(H2),(H3)。- ajr ujp-2r urvdx-ajrvjp-2rvrudxXZ½bjujpXbjujp-2uvdx引理1. 设X是RN中的整环,且f:R+fR+是满足D2条件的Young函数,即, 存在c> 0使得对于所有tP 0,/(2 t)6c/(t)。如果{u n}是X中的可积函数序列,使得另外,我们有-ZXXbj vjp-2 vudx:uxlimunx;a:e:x2X和Z/jujdxZbjujpjvjp-jujp-2uv-jvjp-2uvdx你好!1Lim你好!1 XX/junjdx;Pbjujpjvjp- jujp-1jvj-jvjp-1jujdxX然后最小值/最小值-最小值1/20:公司简介bjujp-1- jvjp-1juj-jvjdxP0;你好!1证据 见[11,定理12],证明。H其中最后一个不等式由t∞p-1严格递增的事实得出。由于函数a是正的,从霍尔德提案1. 由(10)给出的泛函F满足(H 2)。证据 证明A是强连续的就足够了。Zajrujp-2rurvdx6X.ZXajrujp-1. ZX1pajrvjp让un在X中,我们证明了Aun在X * 中的FIAu。1/4 kukp-1kvk:150对于任何v X, 通过 持有人的 不平等 和紧凑嵌入XWLp(oX),则如下:同样,我们有Z.Zp-2p-2。ajrvjp-2rvrudx6kvkp-1kuk:p-2p-26kck kjuj u-jujukkvkωhBu-Bv;u-viPkukpkvkp- kukp-1kvk-kvkp-1kukLa@Xnn6个p-2p-2BLp-1Ω@XΩLps@Xkukp-1- kvkp-1kkckLa@Xkjunjun-jujukbkvk;Lp-1Ω@XΩ其中a、b使得1πp-1π 1/41。我们观察到pω-p p-1 1现在设u和v满足<$BuBv,uv<$=0。然后我们有hBu-Bv;u-vi ¼ kukp-1- kvkp-1 kuk- kvkv ¼0:pωspωs电话:+86-21-6668888传真:+86-21 - 6668888因此,iui = ivi,等式在(15)中成立。作为由于c在Lq@X和pωs中,
1n而Wp1napjrujru然后ZXnapnpZpnp-2jyjPjxjpjxjx·y-x:19wnx! w<$x<$;a:e:inXandjwnjp-1dx!jwjp-1dx:因此,wn在Lp-1<$X<$中流动,同样,我们可以证明,在上面的C(p)是一个常数,只取决于p。证据 我们参考Lindqvist[4]的证明。Hp-1p-2p-1p-2bpjunnjunn! bpjuj u在Lp-1<$X<$.它仍然证明B满足条件S0。这意味着如果{un}是X中的序列,un*u;Bun*v和hBun;uni !hv;ui对于某个vX*和uX,则u nfu在X中。由于X是一致凸的Banach空间,弱收敛和范数收敛都隐含着(强)收敛. 因此,为了显示unfiu,我们需要显示iunifiui。为了做到这一点,我们首先观察到,limhBun-Bu;un-ui <$lim hBun;uni-hBun-ui- hBu;un-uiBu ^0:引理4.如果u1是与k1相关的本征函数,则在X中u1> 0或u1<0。证据 我们将以[12]作为证据。H定理3. 主特征值k1是简单的,即,如果u和v是与k1相关的两个本征函数,则存在常数c,使得u= cv。证据通过引理4,我们可以假设u和v在X中是正的。让啪啪啪啪另一方面,从引理2可以得出:hBun-Bu;un-uiPkun kp-1-k ukp-1 kun k- k uk:gðu-vÞ1up-1和g2v-uvp-1i。B满足条件然后把它们作为测试函数,我们得到S0。HZp-2X. up-vpup-1Zp-2@X. up-vpup-1定理2(L-S序列的存在性设F和G为Zp-2 . up-vpX在(10)和( 11)中定义了两个泛函。 然后有存在正特征值{ln}的根据和-bjujuup-1dx;nf1,哪里Zp-2. vp-upZp-2。vp-upln超级InfFu16XH2Anu2H@XZp-2 . vp-up0 0-bjvjvvp-1dx:并且每个ln是F(u)=lG(u)的特征值证据 很容易看出,Na包含X综上所述,我们得到任意的大属。因此,An对任何n都是非空的。给定An中的集合H,由于H是紧的,F在H上是正的,Zp-2X. up-vpZup-1Xp-2infu2HF(u)>0。因此,n是定义的临界值(9)。这样一个序列的存在ln如下-定理1也. vp-upln<$lGunlhBun;uni<$hAun;uni<$Fuan:将其与(9)结合,我们得到(16)。 H我们知道. up-vpup-1vp-1v p3. 第一特征值使用这个,(20)的第一项变为ZpZ在本节中,我们将证明第一个元素k1 关于Xvp-1p-2Z特征值序列是简单的。vpp×upjrujdx引理3.(i) 设pP2,则对所有x,y2RNpp公司简介ajrlnujpup dx-pZZXavpjrlnujp-2rlnu· rlnvdxJYJPjxj pjxjp-2 x·y-xCpjx-yjp:17公司简介ZXajrlnujpvp dxZ(ii) 设1p 2,则对所有x,y2RN,<下载后可阅读完整内容,剩余1页未读,立即下载
cpongm
- 粉丝: 4
- 资源: 2万+
上传资源 快速赚钱
- 我的内容管理 收起
- 我的资源 快来上传第一个资源
- 我的收益 登录查看自己的收益
- 我的积分 登录查看自己的积分
- 我的C币 登录后查看C币余额
- 我的收藏
- 我的下载
- 下载帮助
会员权益专享
最新资源
- zigbee-cluster-library-specification
- JSBSim Reference Manual
- c++校园超市商品信息管理系统课程设计说明书(含源代码) (2).pdf
- 建筑供配电系统相关课件.pptx
- 企业管理规章制度及管理模式.doc
- vb打开摄像头.doc
- 云计算-可信计算中认证协议改进方案.pdf
- [详细完整版]单片机编程4.ppt
- c语言常用算法.pdf
- c++经典程序代码大全.pdf
- 单片机数字时钟资料.doc
- 11项目管理前沿1.0.pptx
- 基于ssm的“魅力”繁峙宣传网站的设计与实现论文.doc
- 智慧交通综合解决方案.pptx
- 建筑防潮设计-PowerPointPresentati.pptx
- SPC统计过程控制程序.pptx
资源上传下载、课程学习等过程中有任何疑问或建议,欢迎提出宝贵意见哦~我们会及时处理!
点击此处反馈
安全验证
文档复制为VIP权益,开通VIP直接复制
信息提交成功