混沌灰狼优化算法在约束优化问题中的应用

可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报5（2018）458约束优化问题的混沌灰狼优化算法Mehak Kohli，SankalapAroraDAV University，Jalandhar，印度阿提奇莱因福奥文章历史记录：2016年10月1日收到2016年11月17日收到修订版，2017年在线提供2017年保留字：混沌灰狼优化萤火虫算法花授粉算法粒子群优化算法A B S T R A C T灰狼优化算法（GWO）是一种新型的元启发式算法，其灵感来自于灰狼的社会狩猎行为。本文将混沌理论引入GWO算法，旨在加快其全局收敛速度。首先，对13个标准约束基准问题进行了详细的研究，用10种不同的混沌映射来找出最有效的一种。然后，将混沌GWO与传统GWO以及目前流行的萤火虫算法、花形粒子群算法进行了比较。通过5个约束工程设计问题验证了CGWO算法的性能。结果表明，在适当的混沌映射下，CGWO算法的性能明显优于标准GWO算法，与其它算法相比，CGWO算法在求解约束优化问题时具有很好的性能。©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍约束表示一个非空的可行域，其中填充了一些约束或约束，然后是解决特定优化问题的解决方案（Karaboga和Akay，2011）。一般来说，约束可以分为等式约束和不等式约束，它们分别以数学等式和不等式方程的形式这两种类型的约束都需要由问题的决策变量来满足。在此之前，一些确定性的方法，如可行方向法和广义梯度下降法被开发用于求解约束问题（Herskovits，1986）。然而，由于其有限的适用性和约束的复杂性，这些对于诸如结构优化问题、经济优化、位置问题和工程设计问题（如弹簧设计、焊接梁设计、桁架设计、减速器设计）的现实世界应用是无效的，这些实际应用涉及要满足的许 多 困 难 的等 式 和 不 等 式 约 束 （ Cagnina 等 人 ， 2008;Coello ， 2000;Gandomi 等人 ， 2013 年 ; Gao 等人 ， 2010; Lee 和Geem，2004;Parsopoulos和Vrahatis，2002）。越来越多的元启发式算法被提出来解决这些棘手的约束优化问题。这些算法的目标是容许速度由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电子邮件地址：mehakkohli2525@gmail.com（M.Kohli），sankalap.gmail.com（S. Arora）。具有较好的收敛性、精度、鲁棒性和性能。最近提出的一些元启发式算法是萤火虫算法（FA），其受到萤火虫的闪烁和吸引行为的启发（Arora和Singh，2013; Wang等人，2014）、基于植物开花特性的花群算法（FPA）（Yang，2012）、受自然界中鱼群和鸟群等群体行为启发的粒子群优化（PSO）（Shi和Eberhart，1998）、基于鸟群独特的社会相互作用的鸟群算法（ BSA ）（ Meng 等人，2015），落潮鱼启发（ETFI）算法，其是鱼对水中潮汐的流动、声音和振动的感知的迷人特征的模拟（Meng等人， 2016）、Jaya算法，其中主要概念是将迄今为止找到的解移向最佳解并远离最差解（Rao，2016）、基于灰狼的社会狩猎行为的灰狼优化（GWO）算法、动物迁移优化（AMO）算法，其优化过程主要分为两个过程，即，关于动物的迁移过程和更新过程（Luo等人，2016），蝴蝶优化算法（ BOA ） ， 灵 感 来 自 蝴 蝶 的 食 物 觅 食 行 为 （ Arora 和 Singh ，2015），大脑风暴优化（BSO）算法，基于对人类大脑风暴过程的模拟（Shi，2015），鲸鱼优化算法（WOA），灵感来自座头鲸的社会互动（Mirjalili和Lewis，2016），乌鸦搜索算法（CSA），模仿乌鸦的聪明特性（Askarzadeh，2016）。这种元算法被广泛用于解决复杂问题，如最佳风力发电机设计问题（Gao等人， 2010年）、http://dx.doi.org/10.1016/j.jcde.2017.02.0052288-4300/©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。M.科利，S。Arora/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）458459----ðþ Þ土壤分类的公式化（ Alavi 等人， 2010 ），地面土壤参数预测（Alavi和Gandomi，2011）。已经用于解决约束问题的文献的一些突出的元算法是：Deb介绍了使用GA处理约束的方法（Deb，2000 ），Montes 在约束处理问题上采用差分进化（DE ）算法（Mezura-Montes和Coello，2005），Cagnina使用PSO来解决约束优化 问题（ Cagnina 等人， 2008 ）和Karaboga 使用人工蜂 群（ABC）算法来处理约束机制（Karaboga和Basturk，2007）。GWO算法实际上是一种新的元启发式算法，其灵感来自于灰狼的领导行为和独特的狩猎机制。 这种基于群体的元启发式算法能够在一定程度上避免局部最优停滞（Yanget al.，2012年）。它也有很好的收敛到最优值的能力。总的来说，GWO强烈地向剥削发展。然而，它并不能总是很好地实现全局搜索。因此，在某些情况下，GWO无法找到全局最优解。搜索一个模拟独特的狩猎和搜索猎物的特点灰狼。GWO假设了四个层次的社会等级第一层是a，第二层是b，第三层是d，最后一层是x。a狼是狼群的首领，管理和指挥着整个狼群。它还负责控制整个狩猎过程，做出所有类型的决定，如狩猎，维持纪律，为整个包睡觉和醒来的时间。b狼是a狼的最佳候选人，它从其他狼那里得到反馈，并把它交给a狼。灰狼的第三级，即d狼，支配着forth的狼，最后一级称为x狼，负责维护狼群的安全和完整性（Mirjalili等人， 2014年）的报告。从a、b和d狼，即Da、Db和Dd到剩余的Wolf_x~X_x使用等式（1）计算。（1）利用该模型，研究了a、b、d三种狼对猎物X的影响。1，X！2和X！3可以如等式中所表示的那样计算。（二）、在基本GWO中使用的策略主要基于随机游走。因此，它不能总是成功地处理问题随着非线性动力学的发展，混沌理论得到了广泛的应用（Pecora和Carroll，1990）。在这种背景下，最著名的应用之一是将混沌理论引入优化方法（Yang等人， 2007年）。到目前为止，混沌理论已经取得了成功--D！a¼。-C！1·-X！-！X. ;-X！1/4-X！AA！1·-D！a;-D！b¼。-C！2·-X！-！X. ;-X！21/4-X！BA2·-D！b;-D！d¼。-C！3·-X！天！X.-X！31/4-X！A！3D！Dð1Þð2Þ充分结合了几种元启发式优化方法（Gandomi等人， 2013年）。这方面的一些主要努力包括PSO（Gandomi等人， 2013）、FA（Gandomi等人， 2013年），BOA（阿罗拉和！四分之二！a·！R1-我知道a;！C22！R2ð3ÞSingh，2017年），GA（Han和Chang，2013年），混沌序列与模因差 分 进 化 算 法 杂 交 （ Jia 等 人 ， 2011 ） 、 帝 国 主 义 竞 争 算 法（ Talatahari 等 人 ， 2012 ） 和 重 力 搜 索 算 法 （ Han 和 Chang ，2012）、Krill Herd（KH）算法（Wang等人，2014）和加速粒子群优化（APSO）（Gandomi等人， 2013年）。本文提出了一种混沌GWO（CGWO）算法，以加速GWO的收敛。各种一维混沌映射被用来代替GWO中使用的关键参数。此外，为了检验CGWO在约束处理机制方面的有效性，将其应用于一些约束基准函数和各种经典工程设计问题，即弹簧设计问题、齿轮系设计问题、焊接梁设计问题、压力容器设计问题和闭合螺旋弹簧设计问题。将所提出的CGWO在所 有约束 基准函 数上 的结果 与GWO（Mirjalili et al. ，2014）、萤火虫算法（FA）（Yang and algorithm，2010）、花形算法（FPA）（Yang，2012）和粒子群优化（PSO）（Kennedy，2011）。另一方面，所有经典的工程设计问题的模拟结果进行了比较，与其他国家的最先进的元分析在各自的部分中讨论。第二部分：简要介绍了GWO算法。第三部分：详细描述了CGWO算法第四部分：在13个约束基准函数上验证CGWO算法。第五部分：实验研究及结果讨论.第六部分：描述了各种经典工程设计问题的CGWO第7节：给出了工作结论及其未来范围。2. 灰狼优化算法最初，灰狼优化器（GWO）是由S. Mirjalili在2014年（Mirjalili等人， 2014年）的报告。该算法！我不知道。X！1倍！2倍！3英里。3ð4Þ算法的控制参数a、A和C的值使用等式（1）计算。（三）、这里，r~1和r~2是在1/20;1]范围内的随机向量。 这些媒介使狼能够到达猎物和狼之间的任何一点。 矢量~a参与控制GWO算法的活性并用于计算~A。向量的分量值在迭代过程中从2到0线性减小（Mirjal ili等人， 201 4）。~C有助于在猎物身上增加一些额外的重量，使狼很难找到它。最后，所有的狼都更新了它们的各就各位Xt1使用Eq. （四）、尽管是新来者，但GWO正被用于许多现实世界的应用中，例如GWO算法的修改版本被提出并成功地应用于训练q-高斯径向基函数链接网（Muangkote等人，2014），提出了一种用于解决各种优化问题的名 为 多 变 量 优 化 器 （ MVO ） 的 改 进 GWO 算 法 （ Mirjalili 等 人 ，2016），提出了GWO算法的二进制版本用于特征选择，这是GWO算法的重要和关键修改之一（Emary等人，2016），对多目标GWO进行建模以最小化电容器的CO2气体排放水平，其中30母线系统用于评估所提出的方法（Mohamed等人，2015），GWO算法用于优化直流电机的控制参数（Madadi和Motlagh，2014），使用GWO算法解决阶段2的流水 作 业 调 度 问 题 及 其 释 放 时 间 的 优 化 （ Komaki 和 Kayvanfar ，2015）。3. 混沌灰狼优化算法尽管GWO算法具有很好的收敛速度，但它在寻找全局最优解方面并不总是表现得很好，从而影响了算法的收敛速度。因此，为了减少这种影响，提高其效率，CGWO算法是通过引入混沌GWO算法本身。一般来说，混沌是一种确定性的，随机的方法，在非线性，动态460M.科利，S。Arora/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）4582 2ðÞð ÞKXK8>>x一K¼þ2个pXK 1夸脱。Σ非周期、非收敛、有界系统。从数学上讲，混沌是简单确定性动力系统的随机性，混沌系统可以看作是随机性的来源。为了在优化算法中引入混沌，采用了具有不同数学方程的不同混沌映射。近十年来，混沌映射由于其动态特性在优化领域得到了广泛的应用，它有助于优化算法更动态、更全局地探索搜索空间。最近，根据不同的人类领域，由医生、研究人员和数学家设计的各种各样的混沌映射在优化领域中是可用的（He等人，2001年）。在所有这些可用的混沌映射中，其中大部分已被应用于算法，以进一步将其应用于现实世界的应用。因此，如从所收集的文献中回顾的，在本工作中使用了十个最相关的一维混沌映射来解决CGWO（Gandomi和Yang，2014），其细节在表1中给出。在这些混沌映射中，可以选择[0，1]范围内（或根据混沌映射的范围）的任意数作为初始值。然而，需要指出的是，初始值对某些混沌映射的涨落模式有这组混沌映射已经被选择为具有不同的行为，而初始值对于所有都是0.7（Saremi等人，2014年）的报告。混沌映射对GWO算法的收敛速度有积极的影响，因为这些映射在可行域中诱导混沌，该可行域仅在很短的初始时间内是可预测的，而在较长的时间内是随机的。所提出的CGWO算法求解最优化问题的伪代码如图所示。二、所提出的CGWO算法的优化过程也在图1中给出的流程图的形式。在这个过程中，第一步涉及灰狼种群的随机初始化。然后，选择一个混沌映射与算法一起映射其第一个混沌数和变量（Gandomi和Yang，2014）。随后，在进行勘探时所涉及的CGWO算法的参数-开发机制a、A和C被初始化，和GWO一样。在搜索空间中初始化的所有灰狼的适应度使用各种标准的基准函数进行评估，并根据其适应度进行排序。排序后得到的第一只狼被假定为狼，因此第二只和第三只狼分别被假定为b和d狼。 依次地，更健康的狼将使用等式（Eq.）（4）及可以得到狼的位置作为最优解。参数的值也随着迭代过程使用Eq. （三）、在最后一次迭代结束时，狼的适应度将被认为是CGWO算法找到的问题的最优解。4. 约束基准函数的CGWO所有的约束问题都以两个函数的形式表示，即目标函数和约束违反函数（Powell，1978）。目标函数是其主要目的是在指定的搜索空间中找到最优解的函数。它可以表示为Eq。（五）、最小化f x;x ¼ x1; x2; x3;.. . ; x n 2 R n5其中n是包含在解中的维数。 其中F是搜索空间S中的可行区域，其定义了n维矩形R（Karaboga和Basturk，2007）。该矩形R具有如下式所示的形式的域大小：下限Rlb和上限Rlb，如等式2所示。（六）、lbi6xi6ubi;16i6n6并且约束的数量比如空间是Eq的形式。（七）、g jx6 0;对于j 1;.. . ;q;7h j= 0;对于j<$q<$1;;m这里，gjx和hjx分别称为不等式和等式约束。如果任何解xF空间，然后是g k 被认为是x处的活动约束。表1混沌映射在CGWO上的应用细节。5. 实验研究与讨论5.1. 参数设置S.地图名称地图方程编号在众多复杂的犯罪刑罚计算方法1Bernoulli mapxk1¼XK1-a1-a06xk6a）迭代法、基于解的可行性的方法xk-a 1-a6xk612逻辑斯蒂映射xk 1<$A：xk 1-xk3切比雪夫映射xk 1cosa·cos-1xk4圆形地图ax k1¼ x k b-.a sin 2px kmod15三次映射x kq。1-x2;xk20;1在所有约束最优化问题的实现和讨论本文（Joines和Houck，1994年）。灰狼的种群规模取30，对所有约束基准函数的结果进行100次迭代。在每个受约束的基准函数上执行30次Monte Carlo运行为6迭代混沌无限折叠映射x k±1¼绝对值sin.一个2000;一个2000;一个2000有效验证所提出的CGWO算法的情况下，约束的基准函数，它已与一些其它优化算法是GWO（Mirjalili等人，2014），FA（Yang and algorithm，2010），FPA（Yang，2012）和PSO（Kennedy，2011）。此外，所有这些的参数设置7分段映射xk1¼XK一k-的0：5-a06xk6aa6xk60： 50 569>>=算法需要做公正的比较，这是执行过程中的一项艰巨任务的1-a-xk：>0：5-a一xk61-a>>：1-xk1-a6xk61 >>的;在这项工作中所做的参数设置是像粒子群算法，全局学习8歌手地图x2019-07-28 00：00：00（无局部邻域），惯性常数= 0.3，认知k1kkkk常数= 1，群体互动的社会常数= 1，9正弦映射xk1¼a：x2正弦pxk10帐篷地图xk=0： 7xk 0： 7<10= 3采用对于FPA，使用Levy分布函数的k1：5和邻近概率p= 0.8。 对于FA，随机化参数 a= 0.6，吸引力b0= 1，吸收系数c1/4： 0为a取a = 0.5，b = 0.2，产生（0，1）中的混沌序列，a =控制参数，xk=第k次迭代的混沌数。采用对于GWO，在（0，1）的范围内取两个随机向量r~1和r~2，控制参数α线性地（M.科利，S。Arora/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）458461更新混沌映射（xk +1）的混沌序列以及所有灰狼的位置前三名最适合狼，即。用最合适的灰狼替换最不合适的灰狼适应度评估是的就是终止是否符合标没适应度评估输入CGWO参数Fig. 1. CGWO优化程序流程图在迭代过程中将值从2减小到0。对于CGWO，两个矢量r~1和r~2在（0，1）范围内随机取值，控制参数a在迭代过程中从2线性递减到0，混沌函数变量a = 0.5，b= 0.2。此外，根据结果，约束优化问题的最佳映射执行器，即，在CGWO约束处理机制中使用了Chebyshev映射。CGWO用C++实现，并在Microsoft Windows 7操作系统下使用QtCreator 2.4.1（MinGW）编译。所有模拟都在具有Intel（R）Core（TM）i5- 3210@2： 50 Ghz CPU的计算机上进行。5.2. 结果和讨论为了评估所提出的CGWO处理约束问题的能力，已经使用了一组十三个广泛使用的约束基准函数（Homaifar等人，1994年），并适用于表1中提到的所有地图。所有的问题都存在着各种线性、非线性和非线性问题，等式和不等式约束形式的二次方程，如表2所示。为了选择所有约束优化问题的最佳可能映射，将所有选择的映射应用于所有约束基准函数，其结果在表3中提供。结果表明，Chebyshev映射在13个约束基准函数中有7个函数表现出良好的性能，因此被选为CGWO在约束优化问题上的进一步研究对象。表4给出了应用于CGWO和其他算法的所有约束基准函数的结果。从结果中可以很容易地看出，CGWO非常有效地处理了13个约束基准函数中的7个，因此对于这7个基准函数，CGWO的性能优于所有其他算法。粒子群算法处理三个约束函数，以及所有。GWO在两个约束函数上的表现优于其他算法。FA仅在一个约束函数上优于其他函数。其原因是，具有以地图中间为中心的单峰的混沌地图往往产生更好的结果，并且Chebyshev开始随机初始化灰狼种群停止输出最佳解决方案462M.科利，S。Arora/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）458初始化世代计数器t并随机初始化种群其中（i=1，2，随机初始化混沌映射的值初始化参数a、A和C计算每只狼的适应度最好的狼第二名狼第三名最好的狼while（t Max_iterations）根据适应度对灰狼种群进行利用混沌映射方程更新混沌数对于每个搜索代理使用等式更新当前狼的位置（4）、端更新参数a，A，C计算所有狼的适应度。更新，，用最佳拟合狼替换最差拟合狼t=t+1end while返回图二. 建议CGWO算法的伪代码。地图属于这一类，它确实非常有效。结果还表明，用确定性混沌信号代替常数值信号，对CGWO算法有明显的改进5.3. 图形分析为了进一步有效地评价所有算法的性能，还进行了图形分析。用CGWO算法和其他算法，即GWO，FA，FPA和PSO，对各种约束基准函数的收敛曲线图已从图中示出。3-6，这有助于更有效地分析每个算法的收敛速度。所有这些图都经过了100次迭代，以清楚地注意和分析所有算法的收敛性。图 3给出了这五种优化算法在G1检验约束基准函数上的收敛性线图。从图中可以看出，CGWO对于这个基准测试函数具有最好的通过仅在10次迭代内达到该测试函数的最优值，显示了CGWO此外，从该图可以得出结论，与其他算法相比，GWO和FPA表现良好FA在大多数优化过程中表现出较差的收敛性，但它最终结束了PSO的价值图4展示了CGWO与G2约束基准函数的所有其他算法的收敛性的线图，其中很容易注意到，CGWO在向最优值收敛的上下文中比FA，FPA，GWO和PSO的收敛速度最快。粒子群优化算法在求解该问题时表现出了与CGWO算法相当的性能，并且在收敛速度方面表现出了显著的性能。GWO、FA和FPA最初显示出更快的收敛速率，然而它们似乎被困在亚收敛速率中。随着优化过程的进行，最优值图5示出了在G9测试约束基准函数上的收敛速度，其中CGWO与FPA、FA、PSO和GWO相比展示了高收敛速度。FPA和PSO的收敛线图显示出缓慢的收敛，因为在许多迭代中给出了恒定的适应度值，在100次迭代之间，因为随着程序的进行，它们似乎被困在次优值中，特别是FPA。这表明CGWO能够平衡勘探和开发，快速有效地找到全局最优解图6给出了所有算法在G13测试约束基准函数上收敛的图形视图，其中可以清楚地看到，CGWO算法在算法中最接近该约束问题的全局最优解，即。FPA，FA，GWO和PSO，它也显示了最快的收敛速度。GWO和FPA在初始迭代中的收敛性比其他算法差。然而，在这些算法的迭代期间，搜索过程被逐步加速这表明混沌映射不仅可以提高CGWO的探测性能，而且可以提高CGWO的开发性能。5.4. 统计检验统计测试是对问题做出定量决策的过程，其中评估并获取统计数据集，然后进行假设性比较（Wilcoxon等人， 1970年）。本文中涉及的所有算法上应用的约束基准函数的统计测试已经使用第5.4.1节中讨论的名为Wilcoxon符号秩检验的广泛使用的非参数测试完成。5.4.1. Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验是一种统计方法，其仅基于样本观察结果的顺序（Wilcoxon等人，1970年）。排名最低的一个将被认为是最好的，反之亦然。对所有算法进行的统计秩检验的结果见表5，其秩总结见表6。结果表明，CGWO算法在大多数基准函数的优化中排名最低，证明了CGWO算法的优越性。然而，PSO和GWO与CGWO竞争激烈，分别排名第二和第三CGWO的卓越性能pPIXPnx-7：5n60i3371511/1i¼1i五分之一2019 - 04 -22 00：00：00阿克-1060，1; 1; 1; 100; 100;100;100fx.1/1ii¼121/1我我联系我.1/1I¼我1243312426表2受约束的基准函数的详细信息。问题类型目标函数约束条件最优约束变量数G1最小值f × 100i-5P4x2-P13 xig1 x1 2 x 12 x2 x10x11- 10 6 0，L 0; 0;.. . ;000，U 1; 1 ; 1; 1; 1; 1;2131012-15 13g3英寸x1英寸2英寸x2英寸2英寸x3英寸x11英寸x12-1060，g4×104×1060，g5×104×104×1160，g6×104×104 ×1260，g7x¼-2x4-x5x1060 ， g8x¼-2x6-x7x1160，g9x¼-2x8-x9x1260.PnQn.G2最小cos4x-2cos2xg1x-Qnxi0： 7560，L<$0，U<$10-0.803619 20g2×100G3最大光圈pnnQnxig1xPn1x2-1U=1-1 20G4最小值fx 5：3578547x20： 8356891x1x5g1 ×10 -6×10- 6 ×10-30665.539 5电话：+86-21-6669999传真：+86-21 - 66699999g2× 10 ×10×10×1060，g3x vx-1106 0，g4x-vx906 0，g5xwx-256 0，g6x-wx206 0哪里ux85：3344070：0056858x2x50 ： 0006262x1x5 0 ：0022053x3x5 ， vx80 ： 51249 0 ：0071317x2x5电话0：0029955x1x2电话0：002181x2，w电话1x1/2 9：300961电话0： 0047026x3x5电话0： 0012547x1x3电话0：0019085x3x4U¼102;45; 45; 45;45毫米G5最小fx1 10-6x3 2x22× 10-6x3g1×1 ×2 ×3-×4-0： 556 0，L1 ×2 ×0;0;-0： 55;-0：55 μ m;5126.4981 41 3 2g2×2×4×3-0： 556 0，h1x1000½sin-x3-0：25[2019-04-2500：00：00]2019-04-0400：00：00：00：00h2英寸x1000英寸x3-0：25英寸[2019-04-2500： 00：00]2019 -04 -0200：00：00h3英寸x1000英寸x4-0：25英寸1294： 8¼ 0电话：+86-21-5555555传真：+86-21 -55555555G6最小值f xx1-103x2-203g1xx1-52x2-521006 0，L13;0-6961.81388 2g2xx1-52x2-52-82： 816 0U100;100G7最小fx¼x2x2x1x2-14x1-16x2x3-102g1mmx1 mm x1mm 5 x2- 3 x7mm 9 x8- 105 6 0，L 1 mm-10; . ;-10; U 10;.. . 电话：+86-24- 306209102019-05-2202 -22222g2×10×1- 8×2- 17×7×2×8 ×60，g315毫米x104毫米-8毫米x102毫米x 205毫米x9- 2毫米x10- 12毫米 6毫米，10-1g100×101 ×1-202×400×2-302×2-7×4- 12060，G8MaxðÞ ¼sin3ð2px1Þsinð2px 2Þ1g5x10x10x5x2x8x2x10x3- 6x2 - 2x4- 40 6 0.g6英寸x1英寸0：5英寸x1-8英寸2英寸x2-4英寸2英寸3x2-x6- 3060，g7×104×202×2-202×1×2014×5-6×660，g8×104 -3× 106×2012×9-8 ×207- 7×106 0。g1xx2-x216 0，L0;0-0.095825 2f xx3x1x21U10 10g2x1-x1x2-426 0¼ ð;ÞG9最小值fxx1-1025x2-122x4g1x234x25x5- 12760，680.63005 73D打印机 -11米2米10 x6米7 x2米x4- 4 x x x -10倍 -8xg2mmx1mm x 1mm x2mmx2mmx4mmx5- 282 6 0，L 1 mm-10; . ;-1045 6 76 76 73g3mmx1mmx2mm6 x2-8 x7- 196 6 0，U 1/4 10;.. . ; 100万M.科利，S。Arora/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）458463464M.科利，S。Arora/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）458（接下页）464M.科利，S。Arora/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）458ð Þð Þ ð Þ12122一比五3x2x31优 化 算 法 在 文 献 中 ， 这 也 将 导 致 违 反 “ 免 费 午 餐 定 理 ” （ 何 和Pepyne，2002年）。它的性能只是意味着它比在这项工作中采取的其他算法更好。6. 经典工程设计问题的CGWO工程设计是一个满足制造产品所涉及的需求的过程。这是一个决策过程，由复杂的目标函数和大量决策变量（如重量、强度和磨损）组成（Askarzadeh，2016）。元启发式方法是作为传统优化方法的替代而产生的。由于元启发式算法能够在较短的时间内找到可接受的解，并且能够容忍非凸性和不可微性，近年来引起了人们的极大兴趣在实际设计问题中，设计变量的数量可能非常大，并且它们对要优化的目标函数的影响可能非常复杂，具有非线性特征。因此，本文在第6.1，6.2，6.3，6.4，6.5节对弹簧设计问题、轮系设计问题、焊接梁设计问题、压力容器设计问题和封闭螺旋弹簧设计问题进行了设计思考。这些问题包含各种局部最优，而只需要全局最优。这些问题不能处理传统的方法，只注重局部最优。因此，需要一种有效的优化方法来解决这些工程设计问题.在本节中，对这些基准问题进行了各种实验，以验证所提出的Meta启发式CGWO方法的性能为了得到CPU时间的无偏比较，所有实验都在30次独立运行中进行500次迭代。6.1. 拉伸/压缩弹簧设计问题该工程设计问题的主要目标是使弹簧的重量最小化，涉及三个决策变量：钢丝直径d、平均线圈直径D和有效线圈数N。这个问题受到三个不等式约束和一个目标函数在方程。（八）、好好想想！x1/2x1x2x3] 1/2dDN];最小化f！x1 /4英寸x3英寸2英寸x2英寸;受g！x1-x3x360;1717;854x4g！x1x2x11160;1ð8Þ212;566x2x3-x45108x2g！x1 /41-140：45x160;g4！x100x100x2-160;可变范围0： 056x16 2： 00;0： 256x26 1： 30;2： 006x36 15： 00表7显示了CGWO算法找到的最优解和决策变量的最优值。表8显示了应用于CGWO算法的该问题的所有模拟结果与传统GWO算法以及与通过其他优化算法发现的那些模拟结果的比较从结果可以说CGWO优于GWO（Mirjalili等人，2014）、CSA（Askarzadeh，2016 ） 、 GA3 （ Coello ， 2000 ） 、 GA4 （ Coello 和 Montes ，2002 ） 、 CPSO （ He 和 Wang ， 2007 ） 、 QPSO （ dos SantosCoelho，2010）、PSO（dos Santos Coelho，2010）、SC（Ray和Liew，2003）、UPSO（Parsopoulos和Vrahatis，2005）和表2（续）问题类型约束目标函数界限Optima变量数222gX100 x 10 -3 x x 102 x 500 x -11 x 6 041 26 7213G10g1x1-10：0025x4x66 0，Min1000; 1000; 1000; 10; 10; 10; 10;10007049.33078fxx1x2x3g2x1-10：0025-x4x5x76 0，10; 000; 10; 000;g3x1-10：01-x5x86 0，10; 000; 1000; 1000; 1000;1000g4英寸x1英寸x1英寸x6英寸833：33252x4-83333：33360，g5英寸x1英寸x2英寸x4英寸x2英寸x7英寸-1250英寸x4英寸 1250英寸x5英寸6英寸，250; 0006 0G11G12MinMinL¼-1;-1U ¼1;1L¼10;0;000U¼10; 10;10 mm0.75-1232h1x2联系我们 --¼02F XX -100万联系我们þð2ð12f（1-0：01½英尺x1-5英尺2英寸x2-5英尺2英寸x3-5英尺2英寸）x1x 2x 3x 4x 51x- i 2x -j 2x-k2GðXÞ ¼ ð213i j k-0：0625 6 i; j; k 1; 2;.. . 9的情况。G13MinL¼ -2： 3U¼ 2：30.05394985hx100x100x100 x 1002 2 2 2 21 2 3 415h2×2×3-5×4×5× 0，3 3h联系我们 阿克斯þ1¼ 031 2M.科利，S。Arora/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）458465ð 我...S： t：1269x660表3CGWO上所有约束基准函数上的10个混沌映射的结果问题Bernoulli Logistic Chebyshev圆三次Icmic Peicewise Singer正弦帐篷粤ICP备15016888号-1粤ICP备05011888号-1粤ICP备05018888号-1粤ICP备16036666号-1粤ICP备15044552号-1粤ICP备16036666号-1电话：+86-10 - 88888888传真：+86-10 - 88888888粤ICP备05018888号-1G9 602.173 612.460 676.670 612.370 628.40 665.643 607.135 614.274 629.153 657.12G10 6994.23 6045.14 7046.13 6027.24 7034.43 7060.12 7024.24 7029.26 7013.17 7010.430.6260 0.6250 0.6610 0.6400 0.6390 0.6680 0.6420 0.6250 0.6280 0.6390粤ICP备16036888号-1电话：+86-510 - 8888888传真：+86-510 - 8888888表4所有约束基准函数的比较结果粤ICP备05011778号-1粤ICP备05016888号-1粤ICP备16036752号-1粤ICP备15044555号-1粤ICP备16036888号-1电话：+86-510 - 8888888传真：+86-510 - 88888888粤ICP备05030930号-1G9 676.670 603.816 813.734 680.438 680.617粤ICP备16046633号-10.66100 0.693021 0.62507 0.62500粤ICP备16035568号-1电话：+86-510 - 8888888传真：+86-510 - 8888888165145125105856545255-150 10 20 30 40 50 60 70 80 90100迭代CGWOFAFPA图三. 对G1约束基准函数的五种优化算法进行了100次迭代的比较.lkES （ Mezura-Montes 和 Coello ， 2005 ） 。 此 外 ， 该 问 题 的CGWO得到的平均值是优于所有其他算法的比较。弹簧设计问题的图示如图所示。7.第一次会议。6.2. 轮系设计问题该工程设计问题的目标是使齿轮系的传动比成本最小，其原理图如图8所示。这个问题除了边界约束外，没有等式或不等式约束。它包括四个决定变量表示为nAx1，nBx2，nDx3，nFx4，使用这些变量，齿轮比可以公式化为nB nD=nF nA。方程1给出了轮系设计问题的目标函数及其边界约束的数学（九）、最小值：fx1=6：931-x3x2=x1x42我表9显示了CGWO算法找到的最优解和决策变量的最优值。表10示出了应用于CGWO算法与传统GWO的健身问题CGWOGWOFPAFAPSOG1-14.8008-14.3159-12.4265-67.6314-14.0273466M.科利，S。Arora/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）458ð Þ ð Þ ð Þ110-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.6-0.7-0.8-0.90 10 20 30 40 50 60 70 80 90100迭代CGWOFAFPA见图4。 对G2约束基准函数的五种优化算法进行了100次迭代的比较.265