KH2000年，Journalof the Egyptian Mathematical Society（2013）21，79埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章Hilbert空间中的Riesz融合基Mohammad Sadegh Asgari伊朗德黑兰伊斯兰阿扎德大学中德黑兰分校理学院数学系接收日期：2012年4月10日;修订日期：2012年11月11日;接受日期：2012年2013年1月11日在线提供本文研究了Besselian融合框架与Besselian融合框架之间的关系，得到了Besselian融合框架与Besselian融合框架的合成算子的指数之间的关系，并在Hilbert空间中引入了Riesz融合基的新概念。我们证明了任何Riesz融合基都等价于一个正交融合基。我们还得到了[1]中定理4.6的推广.我们的结果推广了Hilbert空间中Riesz基的结果。最后得到了融合框架序列在小扰动下稳定性的一些结果2000年数学潜规则分类：小学42C15，中学46C992012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍框架是希尔伯特空间中的向量的冗余集合，具有通常提供关于框架元素的向量的非唯一表示的性质。希尔伯特空间的框架首先由Duf fin和Schaeffer在1952年定义，并在1986年由Daubechies，Grossmann和Meyer重新引入。融合框架是希尔伯特空间中框架的推广，由Casazza和Kutyniok在[1，4]中引入，并在[5框架和融合框架在数学、科学和工程的许多应用中起着重要作用，包括编码理论、滤波器组理论、传感器网络应用以及许多其他领域。该文件的组织如下：电子邮件地址：msasgari@yahoo.com，moh. iauctb.ac.ir埃及数学学会负责同行评审第二，包含了一些基本的定义和标准融合框架理论的结果。在这一节中，我们引入了Bessel融合框架的概念，并得到了Bessel融合框架与它的伴随框架的合成算子的指数之间的关系。本文引入了Riesz融合基的一个新定义，并给出了Riesz融合基的一些性质.在第四节中，我们研究了小扰动下融合框架序列的稳定性在本文中，H，K是可分的Hilbert空间，I，J，Ji表示可数（或有限）指标集，pW表示H的闭子空间W的正交投影.我们将始终使用{ej}j2J和{di}i2I来表示标准正交基分别为H和算子T B 的值域和零空间，记为T和T分别。有几种方法定义的张量积希尔伯特空间Folland在[8]中，Kadison和Ringrose在[9]中把Hilbert空间的张量积表示为某种线性算子空间。因为我们用了他们的-首先，我们给出一些定义。1110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.11.003制作和主办：Elsevier关键词融合框架Riesz融合基贝塞尔融合框架Fredholm算子80M.S. AsgariKHK！HKk k <$k kk2019 - 01-28 01：00：00HH！HH KH KJH12W¼f g222我Fi2IFFF我IJj2Ji所有的反线性映射T：K！H使得j2JkTujk<1JJTFf cigi2Ii2Ici fi. F的分析运算符 是Tω：定义为Li f=dif。 显然iU（f）i2PCifi2，所以U是在H上有界，因此有封闭的范围。它遵循hf;fi ifi ¼hf;fi ifi;X2XU：H！UfXaiLipWf;22定义2.2.设W ^fWigi2I是一个闭子序列我们考虑所有有界反线性映射的集合，到. 反 线性映射T：的算子范数定义为线性情形：TsupTg：kgk¼1有界反线性映射T的伴随定义为hTωf;gi hTg;fi 8f2 H;g2K：1注意映射T fIT*是线性的而不是反线性的。什么...假设{uj}j2J是其正交基，则由我们拥有的FTTωff;g fF：Gi2 I此外，H的Riesz基是形式为{U（ej）}j2J的一族，其中{ej}j2J是对于是有界双射算子。关于框架和Riesz基的理论和应用的更多细节 ， 我 们 建 议 读 者 参 考 Casazza 和 Kutyniok[10] ，Christensen[11]，Feichtinger[12]和Holub[13]。利用[8]中的命题7.14，证明了两个正交正规基的张量积和是 的 标 准 正 交 基。我们在[14]中把这个命题推广到框架情形。XkTujk2¼XkTωejk2：j2Ji2J定理2.1. 让F ^^. ;n贝赛尔序列 为 Hi; H16i6n;分别为H. 则F 1/4f1 j1这表明，Pj2Jk图jk 是独立于选择的，......这是什么？f njn ：f iji 2Fi;16i6ngg是H1........... Hn姐妹{uj}j2J.定义1.1. H和KP的张量积是集合H2 K当且仅当每个F i<$ff ijgj2Ji 是H i 的框架。此外TF¼ TF1....................... TFn.对于一些，因此K的每个标准正交基。此外对于每个T2HK我们设置kjTkj2¼ kTuk2：2j2JH中的空间，并且令A ^faigi2I是权重族，即，ai>0对于所有i I。我们说aW i;aii I是一个融合标架，如果存在常数00是Riesz融合基界，如果Wigi2I，则我们有的子空间。称W1/fWigi 2I为H的Riesz融合基，如果spanfWigi 2I/^H且存在常数C，D使得对每个T2 ' 2 ∈ I ∈HkTW2我i2 ITωdi第十章我因此，W^f^Wi;1^gi2I是贝塞尔融合序列，Ci2 I kpWi Tωd262I6pWi Tωdi我Bessel融合结合D.对于融合帧下界我们证明了TW是对的。 首先，我们证明了RTW 现在关门了DXkpWTωdik2：214假设g2RTW 那么我们可以找到一个序列fTng1n1i2I在我的世界里，这样的格林！1TW WWTn.好吧 现在。的Defini-数字C，D被称为Riesz融合基边界。Riesz融合基序列i2ILipWi Tωndin2N是柯西序列，i2IL i W i' 2. 因此，i i2I我i2IX.ω X设W i=span{f i}。则W ^fWigi2I是Riesz融合H的基础。以来Lim你好！1i2I李普威TNDI¼i2 I 我爱我：*+现在通过T W的连续性，我们有TW。Pi2ILifig;因此RTWU pWif2;eikf kei8i2I;f2 H;0¼ hTLg;gi kpgk2并且因此我g2spanfWg你说呢？1/4f0g，这表明R1/4小时。使用因此，对于任何T2第十章Wi我Wi我i2Ii2I对于所有的f2HkU k-2 kU-1k-2kpy-22X22122我i2 I其中，W 是TW H话 三点三一般来说，（14）不意味 的为了检验序列Wii2I的Riesz融合基性，我们导出以下有用的特征。WpWi e Ji2I;j2J 是的Riesz基础以下是一个反例。定理3.6. 让W ¼fW igi2I 是闭子空间设H^R3和{ei：16i63}是标准正交的的H和对于每个i2I让feijgj2Ji是每个子空间Wi的正交基。则以下条件是等价的。H的基础。德费恩N1¼fx;x;x：x2Rg;N21/4fz;0;-z：z2Rg：1/4f-2y;y-2Rg;N3(i) W ^fWigi2I是H的Riesz融合基。(ii) F^fei jgi2I;j2J i是H的Riesz基。那么对于所有的T2B干扰，证据 如果满足（i），则由定理3.5和定理3.2-3-3p我[1]，feijgi2I;j2J是的帧螺杆 现在假设你好kp<$Tωe<$k2：iP P2fc g2'[J·霍兰德C e 1/4。如果我们定义Ni1/1Nii1/1IJi2I;j2JiXXi2I ii2Ij2Ji伊季H的Riesz基。NiJi;j¼1i2I j2Ji符号3.4. 对于每个子空间族W ^fWigi2I的H;然后X XXi2Ii2I j2Ji.XLIWI！1/4（XLifijf2WiandXkfik21）;15这就产生了pWiTωdi0，对于所有i2I。因此，对于22i2I‘i2I所有的我，我，我。应用[11]的定理6.1.1，（ii）以下各项。 另一方面，假设（ii）成立，则223现在关门了 此外，如果g2R？不那么对于所有的i2I，2我 i2ITW不T¼cijeij¼0：84M.S. Asgari我我XωkUkkpTdk：W6kUkkU-k？p2IVH¨¨¨¨2根据定义，我们可以写为feijgfU哪里所有的T2' 2身高。对于Riesz融合下界，i2I;j2Jii2I;j2Ji-1-1U：H！H是有界双射算子，且fu ijgi2I;j2Ji是具有UpWi1/4pNiUpWi因此H的标准正交基对于我们所有的T2XkpWiTωdik¼XkUU-1pWTωdikXpTωdXXhTωd;eie1/4U。XXhTωd;eiu！：i2Ii2I6kUk2 XkU-1pW<$Tωdi <$k2Wiii2 Ii2I j2Ji我IJIJi2I j2Ji我IJIJ我我1/4kUk2Xkp我U-1pWTωd这产生¨ ¨p我i2I--我联系我们pU-1pTωd¼ kUk¨2ω2Tωd你我Wii2 Ii2I j2Ji我IJi2I¨ ¨22 2Wiii2 I同样，我们得到了一个较低的Riesz融合界。通过[1]的引理3.5，212Wi这就完成了证明。 HTωdi我22222NiHilbert空间中的Riesz融合基85H！H我2ðÞ1/4W ii操作符. 定义Ni¼spanfuijgj2Ji对于所有的i2I，则{Ni}i2I是pWipWiU尼乌通过以伴随我们有pWi ¼我kgk1/4。i2IspanfWigi2I¼ H：设V是H的闭子空间，则线性映射86M.S. AsgariHNXω-Pfhf;eU2018年12月28日星期二XX22小时XXi2IZiWii2I j2JiWiIJIJhpZp Wf;f i ¼hf;ekn iekn;PZp Z f我Kn2Jk我我XP V：H！V称为V上的斜投影，如果P2¼P V。Hilbert空间中的Riesz融合基87我我.i2IWi我当任何元素被删除时，它都是一个融合帧。.由此得出以下结果。 H定义3.7. 设{Wi}i2I和{Zi}i2I是闭序列，88M.S. Asgari子空间H和K。然后我们说{Wi}i2I和{Zi}i2 I等价，如果存在有界可逆元Hilbert空间中的Riesz融合基89接线员U：H！K使得UW i= Z i，对于每个i 2 I。下面我们证明每个Riesz融合基是90M.S. Asgari与中的正交归一化融合基等价。 为此，我们首先需要一个技术引理，它取自[16]。Hilbert空间中的Riesz融合基91引理3.8。设V是H的闭子空间，T是有界算子，则pVTω¼pV TωpTV。定理3.9. 一族闭子空间W ^fW igi2I是H的Riesz融合基当且仅当存在H的正交融合基{Ni} i2I和有界双射算子U：H！H，其中UN i=W i，对于所有i2 I。证据首先，假设W ^fW igi2I是H的Riesz融合基;并且令fe i jgj2Ji是Wi的标准正交基，i2I.然后根据定理3.6，feijgi2I;j2Ji是H的Riesz基，因此它是形式fuijgi2I;j2Ji，其中fuijgi2I;j2Ji 是一92M.S. Asgari一个重要的性质是伴随PωV也是斜的投影到？ .PV定理3.10. 设W ^fWigi2I是H的Riesz融合基，则存在H的Riesz融合基Z ^fZigi2I和一族斜投影fPZigi2I，使得f ¼P ZipWif8 f 2 H：i2 I此外，Wi^ Zk对于所有i，k2 I，i， k。证据对于所有的i2I，设fe ijgj2Ji是W i的标准正交基，则根据定理3.6，fe ijgi2I;j2Ji是H的Riesz基，因此我们可以写为feijgi2I;j2Ji<$fUui jgi2I;j2Ji。对于所有i2I，设Ni1/4spanfuijgj2Ji，则UNi=Wi。由于（U-1）*是有界的，且是双的，因此，通过定理3.9，{Zi}i2I={（U-1）*Ni}i2I是H的Riesz融合基，并且对于每个i2I，1我j2Ji是到Zi上的斜投影。此外，我们计算H和U的标准正交基：H！H是有界双射XPpfXXhpf;eiU-1ωuHilbert空间中的Riesz融合基93H和UNi=Wi的正交融合基，i2I.相反，假设{Wi}i2I={UNi}i2I，94M.S. Asgari一类H和有界A正交融合基{Ni}i ~2I1/4hf;eijiUHilbert空间中的Riesz融合基95i2I j2Ji-1\f25U-I\f25Ij-1\f6f- 1\f6：96M.S. Asgari双射算子U：.第一，注意{Wi}i2I是com-完全。为了显示Riesz融合基性质，请注意Hilbert空间中的Riesz融合基97的 应用引理3.8 到 W和U-1产量98M.S. Asgari对于此外部分，设i，k I，ink，则对于任何f，我们
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