可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报5（2018）173提高多层B样条逼近文成贤、光熙阁光州科技大学机械工程学院，123，Cheomdangwagi-ro，Buk-gu，Gwangju，Republic of Korea阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年7月25日收到2017年10月27日收到修订版，2017年2017年10月31日在线提供保留字：多层B样条逼近点投影散乱数据拟合控制点A B S T R A C T在这项研究中，我们提出了一种方法来提高精度的多层B样条逼近（MBA）方法。我们将点投影法与MBA法相结合，通过直接调整局部区域内的控制点来减小近似误差。首先用MBA方法生成初始曲面，然后在曲面上生成网格点。将这些网格点投影到离散点集上，并计算网格点与投影点之间的距离然后基于距离修改控制点。所提出的方法显示出更好的逼近，即使与相同数量的控制点，并确保C2连续。最后通过实例验证了该方法的有效性©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍3D扫描是一种用于生成表示物体几何形状的分散数据点的方法。随着扫描软件和硬件技术的改进，3D扫描被用于各种领域，例如计算机图形学、计算机辅助设计、地形测量、制造和医疗手术，用于各种各样的应用。然而，在实际中使用扫描的数据点时存在某些限制。例如，这些点在大多数情况下是非结构化的;因此，很难导出它们之间的任何有用关系。这些关系可能是计算导数或其他内在性质所必需的。此外，扫描仪通常生成大量点，导致长的处理时间。因此，需要新的先进方法来分析数据，例如从减少数量的分散数据点重建表面，并使用该表面来提取各种 属 性 或 进 行 数 据 简 化 。 这 一 方 法 已 被 采 用在 各 种 应 用 中（Bertram，Tricoche ，Hagen，2003;Carballido-GamioMajumdar，2011; Lee，Chung，Kim，Lee，&Park，2005; SeoChen，2009; Wang Amini，2011）。在离散数据拟合方法中，多层B样条逼近（MBA）方法（Lee，Wolberg，Shin，1997）在实践中被广泛使用该方法创建一个曲面，该曲面使用最小二乘方法对分散的数据点进行插值如果由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电子邮件地址：khko@gist.ac.kr（K. Ko）。逼近误差大于用户定义的容限，该方法通过以分级方式细化控制网来增加控制点的数量，并且迭代地减小然而，该方法可能不会在固定的层次级别上产生令人满意的结果当点集定义的几何形状发生急剧变化时，这个问题会此外，随着控制网络被细化以减小近似误差，控制点的数量增加。因此，计算时间增加。为了改进MBA方法，已经进行了大量Zhang、Tang和Li（1998）提出了一种自适应地找到大误差区域并在其中进行细化的方法然而，这种方法增加了控制点的数量，保持C2连续性。Bertram等人（2003）提出了一种将自适应聚类与分段多项式近似相结合的方法。该方法使多级控制格的计算局部化，提高了计算效率。后来，Seo和Chen（2010）提出了一种自适应格划分方法来降低计算成本。Brendal，Giannelli和Sestini（2017）提出了一种使用局部近似技术进行分散数据拟合的新分层b样条也可以基于Bornemann和Cirak（2013）中提出的细分方案来实现，该细分方案将不同级别上的基函数和系数代数地关联起来。最小化控制点的数量是MBA方法的另一个问题近似的准确性可以很容易地通过细化来提高，这将控制点的数量增加了四倍。然而，有利的是保持控制点的数量尽可能少，同时https://doi.org/10.1016/j.jcde.2017.10.0042288-4300/©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。174S. 穆恩，K.Ko/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）173XX1/4 b c-1/4 b c-1/4- b c ¼- B C¼ðÞPC一Bq<$1k<$0l¼0金升公司l¼0 klCCCC满足精度要求，因为这节省了存储器并减少了后续处理中的计算时间。在这项研究中，提出了一种提高MBA的准确性的方法。它结合了MBA方法（Lee等人， 1997年，采用点投影法。最初，MBA方法被应用到获得一个表面的控制点在一个层次。随后，将表面上的网格点投影到2.1.1. MBA中的B样条逼近我 们 假 设 在xy平面上有 一 个 矩 形 区 域 X （ X = { （ x ， y ）j06x6m;06y6n}）和一个控制格U，U的控制点位于（i;j）上，i=-1，0，1，. . ，m +1且j =-1，0，. . ，n+1。 控制格U被定义为足够大以覆盖域X，如图2所示。 二、然后，近似函数f定义为：输入点。 表面和pro-3之间的距离3然后，计算出被喷射的点并将其应用于控制点。本文件的结构如下。第2节介绍了所提出方法的总体过程和详细步骤。结果和讨论见第3节。第4包括该文件与建议的未来工作。2. 总体手术所提出的方法的总体过程如图所示。1.一、fx;yBksBlt/ikjl;1k<$0l <$0在那里我X1;jy1;sXX和tyy. Bk和Bl是均匀三次B样条基函数。当有一个点px c;y c;z c，控制点/kl 可以在最小二乘意义上被确定以生成如下插值该点的表面（Lee等人，（1997年）：/¼B ksB ltz c：22klP3P3假设给定2.5D离散数据点。 MBA第一一个半B用于形成初始表面，以近似散射数据然后通过在参数域中创建网格并将网格点映射到表面上，在表面上生成点。 表面上的点被投影到散乱的如果有两个以上的点pq<$xq;yq;zq<$;q< $1; 2; 3;···;nq彼此靠近，则等式（2）产生不同的控制点值/q对于每个点pq（Lee等人， 1997年）。使用点投影方法的数据。最后，B样条曲面q/BksBltzq通过调整控制点，表面上的点与投影的点之间的距离c¼P3一个半3b¼0CBa：3000在散乱的数据上。并给出了详细的解释在以下章节中。2.1. 初始曲面的生成在这里，ki1- bx cc;lj1- bx cc;sx c- bx cc，和t<$yc-bycc。这意味着存在用于确定Iij的多个候选控制点Iq。使近似误差最小化的最优控制点Ij由下式确定（Lee等人，一九九七年）用于逼近2.5维散乱数据的初始表面使用MBA方法生成点这种方法很好PNQhP3 P3B适用于通过B样条近似2.5D数据点数字-表面上的控制点的误差由近似值确定，联系我们PNQhP3k¼0B s B t2i;信息错误。细化的水平，这决定了控制点的数量近似，是组织在一个系统的方式。为了完整起见，在随后的章节中给出了该方法的概述（Lee等人， 1997年）。Fig. 1. 所提出方法的流程图。式中，i^bx cc-1;j^bycc-1;s^x c- bx cc和t^yc- bycc。当没有点p^xc;yc;zc时，/ij。2.1.2. 多层B样条逼近将前一节中的计算过程应用于多层B样条逼近方案。 我们考虑一个尺寸为×的控制格/0. 然后，细化后的控制格/1的大小为×。的空间图二.矩形域X（粗蓝线）和控制晶格U（细黑线）。2b¼04Þq¼1S. 穆恩，K.Ko/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）173175.ΣX2X2 2 2由此，控制晶格被减半，并且控制晶格变得更精细。图3示出了多级B样条逼近的图。f0;f1和f2是指表面函数。/0;/1和/h表示控制格。我们考虑了三种控制格：/0有一组8× 8的控制点，/1有一组13× 13个控制点，和/2具有一组18× 18个控制点。计算f0，然后使用下式生成曲面函数f0/0。计算真实值和估计值之间的误差，并将其用于生成下一个控制网格。同样，使用/1控制格再次生成f1，并且f1引起错误。该误差用于确定/2。重复该控制点的细化和计算过程，直到近似误差变得小于用户定义的公差。2.2. 网格点生成初始曲面后，将从曲面中提取网格点选择网格点的x和y坐标，使其与控制晶格的控制点的x和y坐标相匹配。然后，网格点被覆盖在控制格子上，如图所示。 四、矩形域X被均匀地离散化以在x和y方向上产生m1和n然后使用X为节点向量Ts和Tt创建 d次均匀三次B样条，如下所示：Ts<$fsijsi<$im3d;i<$0;1; 2;···;m3dg;T t¼ t jjt jj=n3d;j<$0; 1; 2;·· ·;n=3d：定义曲面后，网格的参数为见图4。域X中的离散点和域上的控制格U。2.3. 网格点到散乱数据的投影生成网格点后，将其投影到散乱数据上，如图所示。 五、为此，利用点投影方法点投影的步骤总结如下（Azariadis Saptaglio，2005）。让我们假设有一点p/vx;y;z等于被预计到的n点pd<$xd;yd;zd<$;d< $0; 1;···n- 1。然后，加权平方距离与权重因子ad的和被定义为：n-1Epadkp -pdk使用节点值pijui;vj;d¼0n-1[1/4 ad1/2x -xdy-ydz-zd]：d¼0ð5Þu i¼s i3;i/20; 1;··· ;m;VJ 1/4t j= 3;j<$0; 1;···;n：接下来，在p ij处对表面进行评估以产生网格点，如图1所示。 四、当量（5）可以有效地计算使用一个五维向量c（埃里克森Manocha，1999年）。图三. 多层B样条逼近过程。176S. 穆恩，K.Ko/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）173XXXXXIJ4ppd¼× ≈¼24一BIJIJ0d¼0Dd¼0D dDdIJIJIJ1234IJIJk1/k2þ2þ3IJ;IJIJ一BIJD2 22IJ伊季伊季Ddpdpn2BIJIJ2005年）。这两个方程产生可接受的值的applica- tions。然而，它们有时会在点集的高曲率区域失效。Moon等人（2017）解决了这个问题，并提出了一种新方法，即Eq. （十五）、2.4. 控制点我们假设的一点p/vx c;y c;z c 是给定，其中z cfx c; y c。然后，从Eqs。（1）和（2），我们有/ az;a<$BkklcP3B图五. 从初始曲面到散乱数据的点投影。c=0;c1;c2;c3;c4这意味着插值zc的控制点是通过到zc的距离乘以权重a来计算的。这种方法可以推广到控制点的平差我们假设即Dd ij<$J p ij-pdj，其中pd 是pij在点上n-1c¼a;cn-1^x;cn-11/4 y;set和pij是曲面上由控制点定义的点c3¼n-1d¼0a d z d;c4¼n-1d¼0adxdyd马特斯山口此调整步骤将逐个应用于所有控制点，从而生成近似点集的新曲面。更新后的表面然后用于计算Ddij。这个过程可以Epc0x2y2z2-2c1xc2yc3zc4：7我们假设p ω<$<$xω;yω;zω <$是沿方向n <$$>n x;n y;n z<$的投影结果。那么，pω可以定义为 ：pω<$pωtptn8当量（7）可以用Eq.（8）如下（Erikson Manocha，1999）：重复此操作，直到调整值小于用户定义的公差。在这项工作中提出的控制点的调整减少了误差Ddij如下。在第k步，我们有Ddkpd-pk。然后，我们考虑两个 连续误差Ddk1和Ddk。 考虑Ddk1和Dd k1之 间 的 关 系。也就是说，2 2 2Ddk1-Ddk1-Ddk1;Epωtc0xωtyωtzωt伊季伊季伊季-2c xωtcyωtc zωtc：9最小的Eq。（9）通过确定1/4pk-pk1;<$XX/abBauiBbvj一BEq的导数 （9）关于T 等于零如下（Erikson Manocha，1999年）：-XX/abaDdkBauiBbvj;一BdEpω t0ωk-pn¼-XXaDdkBauiBbvj：dtknk2;1000克联系人：陈经理对于Ddk>0;Ddk1-Ddk 0，因<为P PaDdkBauic0Bbv j>0。因此，Ddk1Ddk，这意味着，d2Epωt2重复调整步骤，近似误差减小。对于Ddk0，可以得出类似的结论。<在这里，a是系数-dt2<$E00pωt<$2c0knk>0：12IJ控制收敛速度的系数在这部作品中，1： 49是当量（12）表明，t在方程中。（10）是方程的最小解。（九）、该t用于将点p投影到由等式（1）获得的点上。（八）、在投影过程中，权重因子ad起着关键作用。Azariadis和Sapadis（2005年）、Azariadis（2004年）、Moon、Park和Ko（2017年）提出了三种估计权重因子的方法。ad¼1;ad2½0;1];13k- k采用对于44个控制点，我们有一个1：49 S1= 3，从（16）得到t1=3。这个特定的值显示了最佳性能，它是通过一系列测试经验性地选择的，对于每个s 1/4 0 ; 1 = 3 ; 2 = 3 ; 1和t 1/4 0 ; 1 = 3 ;2 = 3 ; 1，具有不同的a使用该过程，可以调整表面以减小Ddij，这可以表示表面上的更多细节并提高近似的精度。通过一系列的实验，注意到通过平差过程的迭代所获得的误差减小是在大多数情况下并不重要。因此，应用调整1一1/4千帕-2千帕- p × n k;a2½0;1]：114磅实践中一次就足够了。然而，如果一次调整迭代不满足容差，那么我们用一个细化的控制网格运行MBA，如图所示。3.第三章。ad¼1;ad2½0;1]：150kJ-150kJ× k当量（13）分配一个大的权重，以点附近的点被投影（Azariadis，2004 ） ， 和 方 程 。 （ 14 ） 加 上 方 向 n 上 的 投 影 与 点 之 间 的 距 离（Azariadis Sapartists，2.5. 逼近质量在这项研究中，使用RMSE（均方根误差）来衡量输入点集的近似质量它基于欧氏距离，即网格之间的距离一个半b¼012d¼0ð6Þ/ij。然后，新的控制点估计为/ωij/ijaDdij使用（16），其定义了紧密地近似于-DS. 穆恩，K.Ko/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）173177×××近似曲面上的点及其在输入点中最近的点假设我们有ng个网格点和输入点集P。然后，RMSE定义如下：sPngMinjGi-Pj2n如图6（a）所示，怨恨人脸。它由9801个非结构化点组成。MBA方法与19 19个控制点产生的RMSE值为0.0905，而所提出的方法产生的RMSE值为0.0902与相同数量的控制点点虽然MBA和提出的方法的RMSE值，RMSE¼1/1G：1717ods是相似的，所提出的方法表示的形状，数据更准确。 鼻子最好近似为当量（17）适用于评价近似的质量与其他可能涉及曲率的情况相比。曲率一种需要二阶导数的表面本征性质，其对表面光滑度敏感。当表面由一组点表示时，扭曲的曲率值可能因为离散点的导数计算受到点集中噪声水平的高度影响。另一方面，欧几里德距离对噪声不太敏感。因此，我们在这项研究中使用了基于欧氏距离的测量。3. 实验结果与讨论三个不同的分散的数据集被用来证明所提出的方法。第一个例子是一个分散的数据集，所提出的方法，如图所示。六、第二个例子是模拟地形的数据集该数据集由9801个数据点组成，如图2和3所示。 7和8在这个实验中，考虑了两个不同的控制网 图图7显示了MBA和所提出的方法的近似结果，具有13个控制点。所提出的方法的RMSE值（RMSE = 0.0167）小于MBA方法的RMSE值（RMSE = 0.0194），并且如图7所示，所提出的方法近似了更多的细节。在图8中，使用23 23个控制点来比较两种方法。所提出的方法产生了一个更小的RMSE（0.0099）值比MBA方法（0.0116），并表示更多的小功能。在第三个例子中，考虑了具有更多点的相同地形数据集。在本例中，35× 35控制点见图6。多层B样条逼近的结果和所提出的方法。(a)人脸散乱数据集。(b)多水平B样条逼近（19× 19控制点，RMSE = 0.0905）。(c)所提出的方法（19× 19个控制点，RMSE =0.0904）。图7.第一次会议。多层B样条逼近的结果和所提出的方法。（a）地形散乱数据集（N = 9801）。（b）多层B样条逼近（13× 13控制点，RMSE = 0.0194）。(c)所提出的方法（13×13个控制点，RMSE = 0.0178）。见图8。多层B样条逼近的结果和所提出的方法。(a)地形分散数据集（N = 249，001）。 (b)多水平B样条逼近（23× 23控制点，RMSE = 0.0116）。(c)该方法（23× 23个控制点，RMSE = 0.0105）。178S. 穆恩，K.Ko/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）173见图9。 多层B样条逼近的结果和所提出的方法。(a)地形分散数据集（N = 249，001）。(b)多水平B样条逼近（35× 35控制点，RMSE = 0.0124）。(c)该方法（35× 35个控制点，RMSE = 0.0120）。表1更多的例子。提供了输入点的数量、控制点的大小以及每种情况的RMSE号输入数据MBA建议 150，000例患者（35× 35）（35× 35）RMSE = 0.01741 RMSE = 0.01735245，000例患者（35× 35）（35× 35）RMSE = 0.03521 RMSE = 0.03514340，000例患者（35× 35）（35× 35）RMSE = 0.04284 RMSE = 0.03995411，726例患者（19× 19）（19× 19）RMSE = 0.01050 RMSE = 0.00897是为了比较。所提出的方法产生了一个较小的RMSE值（0.0119）比MBA方法（0.0124）。此外，所提出的方法更好地表示了高曲率区域，如图所示。9.第九条。再举四个例子来证明所提出的方法与MBA方法相比的性能，如表1所示。如表所示，对于相同数量的控制点，所提出的方法比MBA方法产生更准确的结果此外，它比MBA方法表示更多的形状细节4. 结论提出了一种提高MBA格式该方法直接通过考虑MBA方法生成的逼近曲面与输入散乱点之间的误差，调整控制点。与MBA方法相比，该方法在不增加控制点数量的情况下提高了精度。因此，MBA方法可以避免进一步的细化，并且控制点的数量可以最小化。这可以减少后续进程的内存需求和计算时间。目前，控制点调整的权重值固定为1.49。然而，可以根据点的基本几何形状来估计最佳权重此外，调整量可以使用多小波方法来表示，例如Geronimo和Marcellan（2015），而无需在调整中引入a的计算S. 穆恩，K.Ko/ Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）173179建议在今后的工作中采用自适应a利益冲突作者声明不存在利益冲突确认这项工作得到了韩国政府（MSIP）资助的国家IT产业振兴机构（NIPA）的资助（S 0602 -17-1021，开发智能混合现实技术，以改善海上结构制造中的管道安装和检查过程）。引用Azariadis，P.（2004年）。使用动态基础曲面的无组织点云参数化。计算机辅助设计，36（7），607-623。Azariadis，P.，Saplanjin，N.（2005年）。在点云上绘制曲线以进行基于点的建模。计算机辅助设计，37（1），109-122。Bertram，M.，Tricoche，X.，&Hagen，H.（2003年）的报告。用于大规模地形可视化的自适应平滑散乱数据逼近。2003年数据可视化研讨会论文集，VISSYM177-184）。Bornemann ， P. 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