概率分布和量子分布之间的距离比较研究

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记336（2018）173-187www.elsevier.com/locate/entcs关于概率分布与量子分布之间距离的注记计算与信息科学研究所（iCIS）荷兰摘要本文是关于概率分布之间的距离（或度量）的。它考虑了离散分布的全变差和康托洛维奇距离，以及量子分布的迹距离。具体和抽象的结果，显示经典（离散）概率和量子概率之间的相似性。具体的结果涉及联合分布之间的距离和产品的边缘，作为相关性的措施。 它表明，离散和量子的情况下，并没有那么不同。抽象的结果解决度量方面的关键词：概率分布，全变差和康托洛维奇距离，迹距离。1引言度量结构在程序语义中有很长的历史，参见概述书[1]。例如，在输入、输出或状态的序列上，随机数自然发生。在完备度量空间中，递归（适当压缩）方程的解存在于Banach不动点定理中。子集上的Hausdor距离用于对非确定性（可能性）计算进行建模。本文着眼于概率分布的度量。它通过比较经典离散概率分布和量子分布上的标准距离函数而脱颖而出。 我们考虑的离散概率的标准距离函数是总变差距离，这是康托洛维奇距离的特殊情况，参见例如。 [6、3、17、2、16]。我们研究量子分布的距离在某种意义上，它也是总变化距离的推广。我们在实验中使用这两种距离。考虑一个联合分布ω，它可以是离散的或量子的。在这两种情况下，我们可以形成它的第一和第二边际分布，缩写为ω1=M1（ω）和ω2=M2（ω），其中Mi是边际化运算。我们可以把这两个边际放在一个乘积分布中，记为ω1<$ω2。我们问自己一个简单的问题：联合分布ω从它的边缘的产品ω1<$ω2？我们通过以下方式来测量这种差异：1电子邮件：bart@cs.ru.nlhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2018.03.0221571-0661/© 2018作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。174B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）173.ΣΣ22881 13取距离d ω，ω1<$ω2。 我们称之为纠缠度测度。 它可以被看作是联合态ω中存在的相关性（或纠缠）的度量。在下面的2.3小节中，我们计算了最大纠缠离散分布和最大纠缠/纠缠量子分布的距离。在量子情形中，我们取贝尔态。在没有过多破坏这个故事的情况下：经典分布和量子分布之间存在显著的差异，但是当我们转向n元产品时，差异变得越来越小。这些距离计算很快变得相当复杂，尤其是对于量子分布。新的EfProb2库[4]为我们做了这项工作，并允许我们轻松计算较大分布的距离这是伟大的有助于发现引理2.4和2.6中描述的模式。这些具体的距离计算有点奇怪。本文还包含了更系统的结果，离散和量子距离，在第3和第4节，这些距离的有效性方面的逻辑重新表述|起着至关重要的作用。在那里，描述了状态和效果三角形的度量版本，这些三角形出现在对概率的状态和谓词Transformer语义的等效理论[8，5]描述2距离基础知识本节回顾了离散概率分布的总变差距离的定义，以及量子概率分布的更一般的迹距离。这些距离用于描述联合分布与其边缘的乘积之间的距离。 这个距离可以看作是一个衡量“纠缠度”（或纠缠）水平的标准。它表明，经典和量子的情况下是相当相似的，当然在极限。2.1全变距集合X上的有限离散概率分布由“概率质量”函数ω：X → [0，1]给出， 这个支撑supp（ω）<$X是集合{x∈X|ω（x）/= 0}。我们经常简单地说“分布”而不是“有限离散概率分布”。有时，这样的分布也被称为“状态”。我们将集合X上的分布集记为D（X）。映射X → D（X）是一个著名的单子，参见例如。[7、10、11]。“ket”符号|− k用于描述特定的分布。 例如，在集合X={a，b，c}上，我们可以将分布写为ω=| a ⟩ +| b ⟩ +| c ⟩. 这对应于由ω（a）=1给出的概率质量函数ω：X→[0，1]，ω（b）=1，ω（c）=3。8 8定义2.1设ω1，ω2∈ D（X）是同一集合X上的两个分布。他们的2请访问efprob.cs.ru.nlB. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）1731751ΣΣ221222x∈X总变化距离tvd（ω1，ω2）是正实数，定义为：tvd（ω，ω）= 1π. ω（x）−ω（x）。.（一）这个定义的历史起源并不十分清楚。 民间传说，当应用于离散度量空间（集合）时，总变差距离是度量空间上分布的“康托洛维奇距离”（也称为“瓦瑟斯坦距离”或“推土机距离”）的特殊情况，见第3节。我们留给读者去验证tvd是分布集上的度量D（X），并且其值在单位区间[0， 1]内我们将对乘积态ω1<$ω2和定义在乘积集X1× · ·· ×Xn上的联合态σ的边缘M1（σ），M2（σ）特别感兴趣。我们回顾一下标准定义。对 于 状 态 ω1∈ D （ X1 ） ， ω2∈ D （ X2 ） ， 存 在 （ 联 合 ） 乘 积 状 态ω1<$ω2∈ D（X1×X2），由（ω1<$ω2）（x1，x2）=ω1（x1）·ω2（x2）给出.在另一个方向上，对于"M1（σ）（x1）=x2 σ（x1，x2）M2（σ）（x2）=x1σ（x1，x2）我们称一个联合态σ为它的边值的乘积，即σ=M1（σ）<$M2（σ）.每个乘积态ω1<$ω2都是非线性的，因为Mi（ω1<$ω2）=ωi。下面的结果不需要在续篇中出现，但值得明确说明。电视广播ω1ωp，ω2ωp）=tvd。ω1，ω 2，ω2，ω 1，ω2M1（σ），M1（τ）≤tvd.σ，τ，（二）2.2迹线距离我们将只考虑有限维情况下的量子分布（态）对于一个数n∈N，我们记Mn为元素在复数中的n×n方阵的集合一个n维量子分布是一个矩阵ρ∈Mn，它是正的并且迹等于1：tr（ρ）= 1，其中迹是对角线上所有元素的和。这样的量子分布通常被称为（量子）态。我们参考例如[18，19，21]以获得更多信息。定义2.2设ρ1，ρ2∈Mn是同维n的两个量子态。它们之间的迹线距离trd（ρ1，ρ2）定义为：trd（ρ1，ρ2）=1tr. . ρ1−ρ2。=1tr. <$（ρ1−ρ2）<$（ρ1−ρ2）<$。（三）这个定义涉及到绝对值|一|一个矩阵A∈M n，定义为乘积A <$A的（矩176B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）173阵）平方根，其中（−）<$是共轭转置。一个（自伴）矩阵B的平方根可以通过以下公式计算B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）173177^^您的位置：对角化矩阵a，其中D是对角矩阵;则一个通过取对角矩阵D上的元素的平方根来形成对角矩阵D。D中的对角线;最后B的平方根是V DV†。 计算跟踪距离用手计算是相当不愉快的，但我们将通过一个工具来计算它迹距离是全变差距离的扩展：给定同一集合上的两个离散分布ω1，ω2，则它们的支撑集supp（ω1）的并集supp（ω2）是一个有限集合，比如有n个元素。 我们可以把ω1，ω2作为对角矩阵ω^1，ω^2∈ Mn.他们是一个州，由建筑。然后trd（ω1，ω2）= tvd（ω1，ω2）。给定两个状态ρ1∈Mn1 且ρ2∈Mn2 可以形成产物状态ρ1<$ρ2∈Mn1·n2通过Kronecker（张量）积.在另一个方向上，给定一个当τ是它的边值的张量积时，我们称它为非积(The“纠缠态”这个名字在当前设置中，这种差异并不重要。）事实（2）在量子情况下也成立。2.3计算纠缠度人们常常声称，纠缠--或者我们在这里要说的纠缠性--是一种典型的量子现象。但经典（离散）状态也可以被嵌入。这种说法有时会被重申，因为量子态可以比经典态更纠缠或更相关。我们在本小节中的目的是研究这个问题，在（总变差和迹）距离方面我们的想法是看看一个联合国家和它的边缘产品之间的差异。我们将其解释为“相互缠绕”的量度。我们有时称之为为了进行计算，我们使用EfProb库3，它为经典和量子概率提供了方便的统一操作我们只需要这个EfProb库的一小部分，即处理产品状态和边缘的部分。两个状态s1和s2的乘积被写为s1@s2。 同样的符号也适用于离散和量子概率。联合状态t的第一个和第二个边际通过post-fix操作写为t % [1，0]和t %[0，1]。选择器列表[..]，也称为“掩码”，可以是任意长度;它描述了应该通过0，以及应该通过1保留的部分。我们还将使用多维状态s1@... @sn和n元边际t%[0，..，0，1，0，... ，0]。贝尔状态是“最大限度地纠缠”。因此，它形成了一个有趣的起点，以找出贝尔态和这个边际的乘积之间的差异。你可能想在这里停下来想一想3可在efprob.cs.ru.nl178B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）1732你所期望的距离（单位间隔）。作为C2 → C2中的一个矢量，贝尔态通常被描述为：|01-02|00元+|11日）。在EfProb中，对应的密度矩阵|b阿富汗b |∈ M4称为钟形。下面的EfProb/Python之后的部分>>在加载相关EfProb文件后，在命令行中键入。>铃[[ 0.50.0.0.5][ 0.0.0.0. ]的一种[ 0.0.0.0. ]的一种[ 0.50.0.0.5]]>trdist（bell，（bell%[1，0]）@（bell %[0，1]））0.75这个0。75是一个相对较高的距离，这很可能是预期的。让我们看看在离散情况下我们能做些什么。我们在{0， 1}×{ 0， 1}上取一个最大熵经典联合态，名为cs2。在下面的代码片段>cs20.5 |0，0>+0 |0，1>+0 |1，0>+0.5 |1、1>>>>tvdist（cs2，（cs2%[1，0]）@（ cs2%[0，1]））0.5哈哈哈 经典距离0。5小于先前的量子距离0。75，这确实表明，在经典情况下，相关性/纠缠度/纠缠比量子情况下要少。但是让现在的主要候选者是M8中的像贝尔状态一样，它在EfProb中被预先定义：公司简介[[0.5 0. 0.0.0.0.0.0.5][ 0.0.0.0.0.0.0.0. ][ 0.0.0.0.0.0.0.0. ][ 0.0.0.0.0.0.0.0. ][ 0.0.0.0.0.0.0.0. ][ 0.0.0.0.0.0.0.0. ][ 0.0.0.0.0.0.0.0. ][ 0.50.0.0.0.0.0.0.5 ]]>trdist（，...（10%[1，0，0]）@（10%[0，1，0]）@（10%[0，0，1]））0.875当我们比较Bell和GHZ的例子时，我们看到了一些有趣的事情B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）17317948∈22Nn1nnn2N⎜⎟⎜⎟222N222N2N2N2N状态∈M2.1/20···0 1/2−1/2n1/2−1/2n0···01/2• 在这两种情况下，密度矩阵都包含0在四个角位置中的每一个处为0.5• 维度4 = 2 2的Bell状态与其两个边缘的2-乘积进行比较;维度8 = 2 3的GHZ状态与其三个边缘的3-乘积进行比较。• 在贝尔的情况下，高，即7。我们可以将其推广到n-乘积，并推测纠缠度测度为2n-1。 EfProb中的一些距离计算证实了这一点，其中n = 4，5，6，..。. ，但在n= 10之后，舍入误差开始起作用，从10−3量级的舍入误差开始。因此，是时候转向数学描述了。定义2.3写qsn M2n，表示矩阵/状态只包含0，除了它的四个外角，它们的元素为1。因此，Bell状态是qs2，GHZ状态是qs3。 在Python中很容易将qsn定义为一个函数，并获得其2维的n-边缘的列表。下一个结果中的模式通过实验显现出来引理2.4考虑定义2.3中的量子态qs n，其中n ≥ 2。(i) 为了一个。chi≤n，则第i阶矩Mi（qsn）等于公平的(ii) 这n个边值的乘积态M1（qsn）<$··<$Mn（ qsn）（均匀）态1/2 n·I ∈ M2n.(iii) 这是一种内在的矛盾。qs，M（qs）<$· · <$M（qs）<$equals2n−1.因此，我们看到缠绕度测度在n = 1时达到最大值。去无限。证据对于最后一点，矩阵qsn−M1（qsn）<$··<$Mn（qsn）在下面的左边描述，其绝对值（矩阵）在右边。1/2−1/2n0···01/20 −1/2n···00.. . .... . ..⎝⎜0 0·· ·−1/2n0⎟⎠⎝⎜00 ·· ·1/2n0 0 0 00我们现在可以将缠绕度度量计算为右边矩阵迹的一半：1 .一、1+（2n− 2）·1+1=1+2n−1−1=2n−1+2n−1−1=2n−1。Q1/2001/2180B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）17322- .22N2=−。Q2n1nnn2n−1222N2N22N222N=2n−2+2n−2−1）我们回到离散概率。我们已经看到状态cs2的纠缠度测度是1。当我们讨论3-乘积时这个距离会发生什么4-产品等在Python中很容易定义一个>CS（3）0.5 |0，0，0>+0 |0，0，1>+0 |0，1，0>+0 |0，1，1>+0 |1，0，0>+0 |1、0、1>+0 |1，1，0>+0.5 |1、1、1>>tvdist（cs（3），...（cs（3）%[1，0，0]）@（cs（3）%[0，1，0]）@（cs（3）%[0，0，1]））0.75对于n= 4，距离是7，对于n= 5，距离 因此，我们预计该模式将是2n−112n−18 16定义2.5设n≥1，并且（bi）i<2n是表示n个比特0，1，2， . ，2 n−1。 对于集合{ b i} 中的“ 经 典 状 态"，|i <2 n}的概率为y1，对于b0=0 0·· ·00，也对于b2n−1=11 ·· ·11，在其他地方的概率为y0。引理2.6考虑经典态csn，其中n≥ 2。(i) n个边际Mi（csn）中的每一个都是公平硬币1|0分+1分|1美元。(ii) 这n个边值的乘积态M1（csn）<$··<$Mn（ csn）集合{b i}上的分布|i <2 n}，其中对于每个比特串bi，(iii) 这是一个很好的方法。cs，M（cs）<$··<$M（cs）<$equals2n−1−1.因此，我们看到经典纠缠度测度也随着n趋于无穷而渐近证据 我们再次集中讨论最后一点。 距离是总和：1 .一、（1−1）+（2n−2）·1+（1−1）=1+1·（2n−4）·12n−12n− 12n−112n−1我们的结论是，当涉及纠缠度测度时，最大纠缠量子态qsn与最大纠缠经典（离散概率）态csn并没有显著的不同--当然，当n趋于无穷大时。注2.7我们研究了状态ω和它的两个边值ω 1，.的乘积之间的距离d（ω，ω1<$· ·<$ω n），ω n. 在信息论中，人们通常会关注互信息，也就是边际乘积的Kullback-Leibler散度，来自联合分布。具体地说，它给出了B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）173181.Σ·Σ.Σ对数偏差的期望值：DKL（ωω1ω2）=ωx为ohω（x，y）logω（x，y）ω1（x）·ω2（y）=H（ω1）+H（ω2）− H（ω）。后一公式使用香农熵H，参见[18]。它已经在EfProb中实现，也适用于n个州。量子态qs（i）的互信息值为i，而经典态cs（i）的互信息值为i−1。因此，我们再次看到，经典态比量子态落后一步然而，我们并不知道我们在这里使用的纠缠度度量和互信息之间的正式关系3Kantorovich距离前一节中的示例计算是全变差和迹距离的非常具体的应用。在本文的其余部分，我们将从更一般的角度来看待这些距离。本节主要讨论总变化距离，下一节讨论迹距。如前所述，全变差距离是度量空间上康托洛维奇距离的一个特例。为了描述后者，我们需要一些背景。集合X上的度量d称为1-有界的，如果它在单位区间[0， 1]内取值，也就是说，如果它有类型d：X×X→[0， 1]。 对于以这样的1-有界度量空间为对象的范畴，我们记为Met，并且在它们之间有非扩张函数f，满足d（f（x），f（y））≤d（x，y）。这个范畴Met是完备的、上完备的，并且是么半群闭的。在一个卡氏积×上的度量由joins给出，在一个张量积×上的度量由截断和给出。从现在起，我们假设所有的度量空间是1-有界的。例如，每个集合携带离散度量，其中点x、y如果相等则距离为0，否则距离为1。对于度量空间X和两个函数f，g：A→X从某个集合A到X存在由下式给出的上确界距离spd（f，g）= df（a），g（a）.（四）a∈A度量空间X上的谓词是一个非扩张函数p：X→[0，1]。这些谓词携带上述上确界距离spd。对于X上的离散概率分布ω，我们写作ω| = p，表示p在ω中的有效性（或期望值）。 它被定义为（有限）和xω（x）·p（x）。定义3.1设ω1，ω2是（的基础集合）上的两个离散分布182B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）173ωΣΣ∗12=112=12度量空间X。 它们之间的Kantorovich距离定义为：kvd（ω1，ω2）=p∈Met（X，[0，1]）. ω1|= p − ω2|= p。.（五）这使得D（X）是一个（1-有界）度量空间。Kantorovich-Wasserstein对偶定理给出了这个距离在联合状态和“耦合”方面这里我们感兴趣的是将Kantorovich距离与分布的单子结构联系起来。为此，我们真的需要从集合上分布的全变差距离tvd移动到度量空间上分布的康托洛维奇距离kvd，即当我们考虑分布D（D（X））的分布时。即使X只是一个集合，D（X）也是一个度量空间，所以我们需要取这个度量结构当我们形成D（D（X））时，下面的结果是标准的，没有证据，但更多信息请参见[6，20]它表明Kantorovich距离kvd和全变差距离tvd在离散空间上是一致的，并且可以用“尖锐”谓词X → { 0，1 }来描述尖锐谓词通过指示函数1U：X→ {0， 1}对应于子集UX。命题3.2设X是一个任意的集合，被认为是离散度量空间。 则对于分布ω1，ω2∈ D（X），有以 下 一系列等式。kvd.ω， ωε（5）.|=p−ωp∈[0，1]X|= p.=p∈{0，1}X. ω1|= p − ω2|= p。=UX . ω1|= 1U− ω2|= 1U。=1μ m。 ω（x）−ω（x）。 （1）电视广播。ω，ω。对于Kleisli映射f：X→ D（Y），有两个相关的“变换”函数，即状态变换f：D（X）→D（Y）和谓词变换f：[0，1]Y→[0，1]X。状态转换（aka. Kleisli扩展）定义为f（ω）（y）= xf（x）（y）·ω（x），谓词变换定义为f（q）（x）=yf（x）（y）·q（y）。它们满足基本的有效性变换等式：f（ω）|= q = ω |= f（q）.引理3.3设X，Y是度量空间.(i) 由η（x）= 1给出的单位函数η：X → D（X）|x是非扩张的。(ii) 对于每个非扩张函数f：X → D（Y），对应的状态变换f：D（X）→ D（Y）是非扩张的。作为特例，乘法映射μ =（id）φ：D（D（X））→ D（X）是非扩张的，且有效性（−）|= p = p：D（X）→ D（2）=[0，1]在它的第一个参数也是。22x∈XB. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）173183≤d（x，x）12p|Σx·Σx. Σω·Σ·=<$ωΩ（ω）·。ω|=p集集(iii) 如果f：X→ D（Y）和q：Y→ [0，1]是非扩张的，那么f∈（q）：X→ [0，1]也是非扩张的。此外，函数f：Met（Y，[0，1]）→Met（X，[0，1]）本身是非扩张的，wrt。 上确界距离 因此，有效性ω|=（−）=ωn：Met（X，[0，1]）→Met（1，[0，1]）=[0，1]在第二个变元上也是非扩张的。(iv) 假设分布的凸组合满足：对于r+s= 1，kvd. r·σ1+ s·σ2，r·τ1+ s·τ2≤r·kvd（σ1，τ1） +s·kvd（σ2，τ2）。我们的结论是D从范畴Sets上的单子提升到范畴Met如下所述：MetDz，Met，Dz，，（六）提升（6）可以看作是[ 3 ]中“Kantorovich”函子K的类似提升结果的有限版本这个K（X）捕获了度量空间X上的紧Borel概率测度。上面的提升（6）是[2]中描述的集合上的函子到度量空间上的函子的一般提升的特殊情况（特别参见例3.3）。证据我们只谈第一点和最后一点，其他的留给读者。我们用来证明单位映射η：X→ D（X）是非扩张的关键点是：|= p = p（x）。因此，我们完成了，因为（5）中的连接是在非扩张函数p上的：kvd（η（x1），η（x2））=p. η（x1）|= p − η（x2）|= p。 =p。p（x1）− p（x2）.= d（x1，x2）.对于最后一点，我们首先注意到，对于Ω∈ D2（X）和p：X→[0，1]，μ（Ω）=p=μ（Ω）（x）p（x）= Ω（ω）ω（x）p（x）=<$ωΩ（ω）·。<$xω（x）·p（x）<$= Ω |=. （−）|= p，184B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）173其中（−）|= p：D（X）→ [0，1]被用作D（X）上的（非扩张）谓词。因此B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）173185.Σ····.Σ|⟩|⟩|⟩|⟩1212....≤r·σ|=p−τ|=p+s·σ|=p−τ|=p1122pp..p..- 是的- 是的p.、、、→-是的，。、Con，vMet222一些整洁的结果，如：对于r，s∈[0， 1]，其中r+s= 1，kvdr σ1+s σ2，r τ1+s τ2= kvd μ（r σ+ s σ），μ（r τ+s τ）=μ（r|σ1σ + s|σ2）|= p − μ（r|τ1τ + s|τ2π）|= p=r|σ1σ + s|σ2⟩ |=（−）|= p − r|τ1τ + s|τ2⟩ |=（−）|= p=p。 r·（σ1|= p）+s·（σ2|= p）− r·（τ1|= p）+s·（τ2|= p）。=r·kvd（σ1，τ1）+s·kvd（σ2，τ2）。Q在概率和量子设置中，谓词携带有效模块的结构，参见[9，8，5]。写Emod为有效模的范畴，Conv=EM（D）为凸集的范畴-作为集合上的分布单子D的Eilenberg-Moore代数-我们有标准EModopTsConvAEmodopTHom（−，2）=Pred Stat=Hom（1，−）Kl（D）PredKl（D）Stat（七）这些状态和效应三角形提供了一种系统模式，其中计算是基础类别中的映射f，这在Conv中产生了前向状态变换器Stat（f）=f，在EMod中产生了后向谓词变换器Pred（f）=f。顶部的附加项给出了代数逻辑和空间之间的标准对偶伴随关系，更多信息参见[12]我们的下一个目标是证明左边的三角形限制于右边的三角形。它包含两个子类别AEMOD<$→EMOD和Conv<$$>ConvMet<$→Met。• 阿基米德射模的范畴AEMOD在[13，14]中定义。阿基米德性质在有效模中的精确定义有点微妙：如果1x ≤1y，则x ≤ y成立，并且r1对所有r ∈（0，1]成立。但这会导致· 阿基米德截模的全子范畴AEMod等价于序单位空间范畴;· 阿基米德扩张模带有一个（1-有界）度量，并且所有扩张模的映射都是自动非扩张的。这给出了一个函子AEmod Met。在模糊谓词[0，1]X的阿基米德外模上导出的度量是上确界度量（4）。• 范畴ConvMet包含凸度量空间，包括：186B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）173..≤ω|=p−ω|=p=kvd（ω，ω）。1 21 2pK D →到. 谓词ev_e：Hom（E，[0，1]）→ [0，1] via ev_e（h）= h（e）.它满足ω∈H(i) 一 凸 设置 X， 的 是， 一 设置 第十大 一个 Eilenberg-Moore代数集合上分布单子D的α：D（X）→X;(ii) 度量dX：X×X→[0， 1];(iii) 通过代数映射α：D（X）→X是非扩张的：dX（α（ω1），α（ω2））≤kvd（ω1，ω2），对所有分布ω1，ω2∈ D（X），证明了凸结构与度量结构之间的联系.ConvMet中的地图是可扩展的和非扩展的。因此，ConvMet是（6）中提升单子D：Met→Met的Eilenberg-Moore范畴例3.4单位区间[0， 1]是一个凸度量空间，通过它的标准（欧几里德）度量和它的标准凸结构，由代数映射α给出：D（[0， 1]）→[0， 1]由“期望值”运算定义α（ω）=<$x∈Rω（x）·x即α。阿吉里|xi=iri·xi.身份映射id：[0， 1]→[0， 1]是[0， 1]上的谓词，满足：ω|= id =<$xω（x）·id（x）=<$xω（x）·x = α（ω）。这使得我们可以证明α是非扩张的：. α（ω1）− α（ω2）。 =. ω1|= id − ω2|= id。定理3.5（7）中左边的状态-效应三角形限制于右边的“度量”三角形。证据（7）中的The ‘predicate’ functor Pred = [0（）Emodop限制为AEmodop，因为谓词[0， 1]X的集合是阿基米德的，如上所述，遵循[13，14]。我们必须证明（7）中的附加条件是适当限制的。对于一个射集模E，homset Hom（E，[0，1]）具有一个凸结构，该结构由映射给出D. Hom（E，[0，1]） α ，zHom（E，[0，1]），其中α（ω）（e）=<$ω（h）·h（e），其中h的范围超过Hom（E，[0， 1]）。 注意，每个元素e∈E都产生DHom（E，[0， 1]），ω|= ev e=<$h ω（h）·ev e（h）=<$h ω（h）·h（e）= α（ω）（e）。B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）173187d α（ω1），α（ω2）..==ω1|= ev e− ω2|= eve点整打ρ1|= s − ρ2|= s. .现在我们可以证明Hom（E，[0，1]）上的代数映射α是非扩张的：.中国（4）.e...e≤pω1|= p−ω2|= p= kvd（ω1，ω2）。Emod中的每个映射f：E→D给出一个a-映射（−）<$f：Hom（D，[0，1]）→Hom（E，[0， 1]）在Conv中;很容易证明它也是非扩张的。在另一个方向上，我们必须证明，对于每个凸度量集X，非扩张映射的集合Hom（X，[0，1]）是阿基米德的.这是因为函数[0，1]X的集合是阿基米德的。Q4迹线距离这一节与前一节类似，描述量子态迹距离的一些基本性质。抽象地说，C_n或W_n（von Neumann）代数A的一个状态是一个完全正映射ρ：A→C.A的一个谓词（也称为我们写[0， 1]一个谓词的子集A有效性ρ |= e是概率ρ（a）∈[0，1]。如果e·e=e，也就是说，如果e是一个投影，则谓词称为sharp我们在很大程度上依赖于下面的标准结果，例如见[18，§9.2]。它是命题3.2的量子类比。命题4.1设A = B（H）是有限维Hilbert空间H上的一个von Neumann算子代数，状态为ρ1，ρ2：A→C。然后又道：trd（ρ1，ρ2）=e∈[0，1]一=s∈[0，1]一. ρ1|= e − ρ2|= e。..（八）根据这个结果，我们取Stat（A）= Hom（A，C）作为集合上的距离。冯·诺依曼代数A的状态，连接发生在（8）中。我们仍将其称为迹线距离trd。众所周知，状态在凸组合下是封闭的，因此形成凸集，形式上通过函数α：D（Stat（A））→Stat（A）。它们的迹距离也构成了一个度量空间。我们将证明映射α是非扩张的。引理4.2（i）设e∈ [0，1] A是谓词。“evaluate at e”映射ev e =（−）（e）=（−）|= e：Hom（A，C）→ [0，1]是一个双扩张的非扩张的。(ii)凸映射α：D（Stat（A））→ Stat（A）是非扩张的。(iii)状态函子Stat=Hom（−，C）：vNAop →Conv限定为仅统计：vNA操作→ ConvMet。证据（i）标准的是，该地图是一个地图，所以我们专注于它的α（ω1）（e）−α（ω2）（e）188B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）173ΣΣ=e我我我J JJ≤. ρ1（d）− ρ2（d）。 =trd ρ1，ρ2一..= kvd Ω，Ω..Q非扩张性：对于状态ρ1，ρ2，我们有：. ev e（ρ1）− ev e（ρ2）。 =. ρ1|= e − ρ2|= e。 ≤ a∈[0，1]。ρ1|= a −ρ2|= a.（八）=trd（ρ1，ρ2）(ii) 假设我们有两个形式凸组合Ω =ir i|ω i和=jsj|D（Stat（A））中的ρ j ε。映射α：D（Stat（A））→Stat（A）是非扩张的因为：TRD.中国（8）. （r ·ω）|= e −（s·ρ）|= e。=e。 iri·ωi（e）−.=e.iri·e ve（ωi）−jsj·e ve（ρj）。=（一）e. Ω |= ev e− |= ev e...Σ(iii) 我们必须证明，对于一个（完全）正单位映射f：A→B是-在von Neumann代数之间关联态transformer Transformerf=（-）ff：Hom（B，C）→Hom（A，C）是一个非扩张函数。前者是标准的，所以我们专注于非扩张性。设ρ1，ρ2：B→C为B. 然后又道：TRD.中国（8）. f（ρ）（e）− f（ρ）（e）.f（ρ1），f（ρ2）=e∈[0，1]A<$1 <$2=e∈[0，1] . ρ1（f（e））− ρ2（f（e））。A..（八）、 ΣB推论4.3下图左边的量子态-效应三角形局限于右边的三角形。EModopTsConvAEmodopT，。，J.，，Con，vMet（九）预测状态vNA操作预测状态vNA操作证据标准的是，冯诺依曼代数A的自伴元素形成一个序单位空间，因此它的谓词（e-ect）[0， 1]A形成一个阿基米德e-ect模，见[13，14]。因此（9）中的谓词函子Pred =[0， 1]（−）限制为AEMod。状态函子Stat由引理4.2（iii）限制。在定理3.5（的证明）中已经建立了附加AEmod op « ConvMet。Q.α（Ω）、α（Ω）p∈Met（Stat（A），[0，1]）Ω|= p − 1 |= p≤d∈[0，1]B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）1731895结论我们已经使用（全变差和迹）距离来更好地了解经典和量子分布的纠缠性，以及它们在某些情况下如何不同。190B. Jacobs/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 336（2018）173标准最大熵分布在更一般的层面上，经典态和量子态之间的距离已经用逻辑术语重新表述，并添加到经典和量子概率的状态和效应三角形引用[1] J. de Bakker和E.文克控制流语义。麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥，1996年。[2] P. Baldan，F. 你好，H。 Kerstan和B. 国王 用函子提升的方法构造一个广义度量。弧菌中的 Raman和S.Suresh，编者，FSTTCS 2014：软件技术和理论计算机科学的基础，LIPICS第29卷，第403SchlossDagstuhl，2014.[3] F. van Breugel，C. Hermida，M. Makkai和J. Worrell。递归定义的度量空间没有收缩。Theor.比较科学，380：143[4] K. Cho和B 雅各布斯。用于概率计算的EfProb库。 InF. Bon chi和B. Ko¨nig，编辑，计算机科学中的代数和余代数会议（CALCO 2017），LIPICS第72卷。Schloss Dagstuhl，2017年。[5] K. 乔湾，巴西-地 Jacobs，A. Westerbaan和B. 韦斯特班 一本关于超光速理论的入门书。看到arxiv.org/abs/1512.05813，2015.[6] A. Gibbs和F.苏关于概率度量的选择和边界。Int. Statistical Review，70（3）：419[7] B.雅各布斯。概率、分布单子和凸范畴。Theor.比较科学，412（28）：3323[8] B.雅各布斯。分类逻辑的新方向：经典、概率和量子逻辑。逻辑方法在Comp. Sci。，11（3）：1[9] B.雅各布斯。 状态和外观三角形的配方。 在洛Moss和P. 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