拓扑空间中cω-开集和cω-d-Ti空间的研究

2.Σ2.Σ¼Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，180埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章拓扑空间中的（cω;bωD. Saravanakumara，*，M.Gansterb，N.Kalaivanic，G.Sai Sundara Krishnanda印度哥印拜陀SNS工程学院数学系b格拉茨科技大学，Steyrergasse 30，A-8010 Graz，Austriac印度金奈Vel Tech High Tech Dr. Rangarajan Dr. Sakunthala Engineering College数学系d印度哥印拜陀PSG技术学院应用数学和计算科学系接收日期：2013年9月28日;接受日期：2014年2014年4月5日在线发布本文引入了cω-正则开集和cω-d开集的概念，研究了它们的一些基本性质，并探讨了它们之间的关系。我们还引入了cω-d-Ti i<$0;1; 1; 2空间的概念，并用cω-d.开集和cω-d.闭集刻画了它们.最后给出了（cω;bω）-几乎准连续映射和（cω;bω）-几乎准开（闭）映射的概念，并研究了它们的一些基本性质。2000年数学潜规则分类： 54A05; 54A10; 54D10？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍拓扑空间上的运算α的概念是由Kasahara[1]引入的。Ogata[2]把运算a（分别为a-闭集）称为c-运算（分别为c-闭集），并引入了拓扑空间中c-开集的集合s-c Sai Sundara Krishnan et al.[3]引入了cω-预开集和cω-半开集的概念*通讯作者。联系电话：+91 9790119861。电 子 邮 件 地 址 ： saravana_13kumar@yahoo.co.in （ D.Saravanakumar），ganster@weyl.math.tu-graz.ac.at（M.Ganster），kalaivani.gmail.com（N.Kalaivani），g_ssk@yahoo.com（G.Sai Sundara Krishnan）。同行评审由埃及数学学会负责拓 扑 空 间 中 的 预 开 集 ， 并 研 究 了 一 些 基 本 性 质 。Saravanakumar 等 [4 ， 5] 引 入 了 （ cω;b ） - 预 连 续 ，（cω;bω）-预连续映射的概念，并研究了这类映射的若干性质此外，他们还定义了（cω;b）-广义预连续映射与（cω;bω）-广义预连续映射之间的关系，并研究了它们的一些基本性质。并且得到了cωp-正规空间的一些新的刻画和cωp-正则空间。在本文中，在第三节中，我们定义了cω-reg的概念并证明了c-开集与cω-正则开集的概念是相互独立的。第四节引入了cω-d-开集的概念，并研究了它的一些进一步引入了相应的dintcω和dclcω算子，并研究了它们的一些基本性质.第五节引入并研究了cω-d-Tii0;1; 1; 2空间的概念，建立了它们之间的关系。在第6节和第7节中，我们介绍了1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.02.013制作和主办：Elsevier关键词cω-正则开（闭）;cω-d .open（closed）;cω-预开（闭）;（cω;bω）-几乎预连续与（ cω;bω ） - 几 乎 预 开（闭）关于拓扑空间中的几乎准连续映射181.ðÞ ¼≥222[¼fg公司简介.ðÞ ¼-！ð Þ你好！ð Þ¼\f-2ð Þgfgfg22-！ðÞð Þ ð Þ ð Þ-fgfg- -ð- ÞÞ研究了（cω;bω）-几乎准连续映射和（cω;bω）-几乎准开（闭）映射的一些基本性质.2. 预赛在本文中，我们表示拓扑空间，当且仅当X-A在X中是cω-正则开的.一组所有cω-正则闭集记为RC cω<$X<$。实施例3.1. 设X<$fa;b;c;dg;s<$f;;X;fbg;fcg;fdg;fb; fb; dg; fc;dg; fa; c; dg; fb; c; dgg和定义运算c：s！ PX by（X，s）、（Y;r）和（Z;g）分别作为X、Y和Z。除非另有说明，否则不提及分离公理一个操作C[1]在拓扑s上是从s到幂集的映射cAAifA¼ fbg;fcgclAifA对于每个A2s：P<$X<$X使得对于每个V2s，V<$Vc，其中Vc表示V处的c值。 它被表示为c：s！ PX。X的一个子集A是c-开的，如果对每个x2A，存在一个开邻域U使得x2U和Uc≠A.它的补集称为c-闭集，sc表示X中所有c-开集的集合.对于X的子集A;c-内部[二] 《中国日报》的一是intcAfx2A：x2N2s和Nc∈A，对某些Ng和A的c-闭包[2]是clc∈Afx2X：x2U2s和Uc\As上的运算c是正则的[2]，如果对于每个x2X的任何开邻域U;V，存在x的开邻域W使得Uc\Vc≥Wc; open[2]，如果对于每个邻域U;对于每个x X，存在一个c-开集B，使得x B和Uc B。一个空间X是c-正则的，如果对于每个x X和x的每个开邻域V，存在x的开邻域U使得Uc<$V。 X的子集A称为则ROcωX;;X;fbg;fcg;fdg;fb;cg;fb;dg;fa;c;dgg和RCc ωXf;;X;fbg;fa;cg;fa;dg;fa;b;cg;fa;b;dg;fa;c;dgg。注3.1. 若A和B是X中的两个cω-正则开集，则A[B]不必是X中的cω-正则开集。由例3.1，设A c和B d是X中的cω-正则开集，则A B c;d在X中不是cω-正则开集。注3.2. 如果A和B是X中的两个cω-正则开集，则A\B不必是X中的cω-正则开集。设X <$fa; b; c; dg; s <$f;; X; fag; fbg; fcg; fa; bg; fa;cg;fb; cg; fa; b; cg; fa; c; dgg和定义运算c：s！ PXbycω-稠密 （分别） cω-无处 致密， cω-预开） [3]， 如果clcAX（分别 int ccl cA;; A int ccl cA）。 所有cω-预开集的集合记为PO cω <$X<$。A是cω-预闭的cAA[fbgifA¼ fag;fa;c;dgA如果Aω对于每个A2s：[3]在X中当且仅当XA在X中是cω-预开的。A是cω-预闭的，如果A在X中是cω-预开和cω-预闭的.对于一个子集A， X;cω-预内部[3]第一章的一是A的pint cω <$A[fU：U2PO cω <$X且U<$Ag和cω-预闭包[3]是pcl cωAF：XF PO cωX且A<$F.一个空间X是cω-次极大的，如果X的每一个cω-稠密集在X中是c-开的. 空间X是cωp-空间[3]，如果X的每个cω-预开集在X中c-一个映射f：X！Y是（c;b）-不定[2]（resp.（c;b）-反不定式[2]） 如果 为 任何 b-打开 设置 B 的 Y;f-1B是 c-开放（分别）c-封闭）在X.一映射f：XY是（cω;b）-预连续的[4]（resp.（cω;bω）-预连续的[4]），如果对任何b-开（分别为 bω-预开）集B，f-1B在X中cω-预开.映射f：XY是（cω;bω）-预开的[4]（resp.（cω;bω）-预闭的[4]），如果对任何cω-预开的（resp. cω-预闭）集A;f<$A<$是bω-预开（分别为bω-则A<$fa;bg和B<$fa;cg是X中的c-正则开集但A\B<$fag在X中不是cω-正则开的。注3.3. c-开和cω-正则-开的概念是独立的。从例3.1中，我们得到fdg和fb;dg是X中的cω-正则开集，但不是X中的c-开集。由注3.2可知，b;c和a;b;c是X中的c-开集，但不是X中的cω-正则-开集。定理3.1. 如果A是X中的cω-正则开集，则A是X中的cω-预开集，但反之不一定成立。证据 让一被一cω-正则开设置在X. 然后A¼intclAintclA。因此A是cω-预开的，预封闭）中。空间X是cωp-正规的，如果对X的任意一对开集U;V使得A<$U和B<$V。 空间X是cωp-正则的，如果对X的每一个c-闭集F和每一个点x X F，存在不相交的cω-预开集U和V，使得F<$U和x V。在本文中，设X、Y和Z是三个拓扑空间和操作c：s！ PX;b：r！ PY和q：g！PZon拓扑s、r和g。 其中POcωX，PObωY和POqωZ分别表示cω-预开集，bω-预开集和qω-预开集的族.3. cω-正则开集定义3.1. 设X是一个拓扑空间，c：sPX是s上的一个运算.X的子集A称为cω-正则开集，如果A<$int c<$cl c<$A<$c。所有cω-正则开集的集合记为RO cω <$X<$。又称A在X中为cω-正则闭的c c c c cX.H由例3.1可知，a;c和a;b;c是X中的cω-预开集，但不是X中的cω-正则开集。定理3.2. 如果A<$X，则A是X中的cω-正则闭集当且仅当A<$cl c<$int c<$A<$c。证据设A是X中的cω-正则闭集。则X-A在X中是cω-正则开的。这意味着X-A <$int ccl cX-A <$$>X-cl cint cA<$（根据引理2.2 [3]）。因此，A¼clcint cA。相反，假设A¼cl cint cA。这意味着XAX cl cint cAint ccl cX A（根据引理2.2 [3]）。因此X A在X中是cω-正则开的，因此A在X中是cω-正则闭的。H定理3.3.如果X是c-正则空间，则cω-正则开与正则开是一致的。182D. Saravanakumar等人fgfgfgfgωSS.ðÞ ¼设x2！ðÞa2JAa. 然后x2Aa得到a2J.因为Aa是cω-\证据 定理3.6[2]。H定理3.4. 若A在X中既是c-开集又是cω-正则闭集，则A在X中是c-闭集.证据设A是中的c-开集和cω-正则闭集X. 然后，根据定理3.2，我们得到A<$clc<$intc<$A<$$><$clc <$A<$因为A是C-开的。因此A^clc∈A，因此A是c-闭的，注4.1. c-开和cω-d.开的概念是独立的。由例3.1可知，fdg;fb;dg;fc;dg和fb;c;dg是X中的cω-d.开集，但不是X中的c-开集。设X<$fa;b;cg;s<$f;;X;fag;fbg;fa;bg;fa;cgg且de-精细操作c：s！PX by.A如果A ¼ fa; bgX. 因此A在X中是c-闭环.HcclAifA对于每个A2s：定理3.5.若A是X中的c-闭集和cω-正则开集，则A在X中是c-clopen证据设A是C-闭集和Cω-正则开集，X. 然后由定理3.2，我们有A<$intc clcA<$$>intcA<$，因为A是c-闭的。因此A<$intc≠A<$，因此A在X中c-开。因此A在X中是c-闭环. H则fa;bg是X中的c-开集但不是X中的cω-d.开集.定理4.1. 如果A是X中的cω-正则开集，则A在X中是cω-d.开的，但反之不一定成立。证据 定义3.1。H定理3.6. 若A是X的c-闭和cω-预开子集，则A在X中是cω-正则开的.证据设A是中的c-闭集和cω-预开集X. ThenintcclcAclc AA（ Since一isc-closed）int ccl cA（自一是cω-预开放）。因此A<$intcclcA，因此A在X中是cω-正则开的。H定理3.7. 若A是X的c-开和cω-预闭子集，则A在X中是cω-正则闭的.证据设A是中的c-开集和cω-预闭集由例3.1可知，c;d和b;c;d是X中的cω-d.开集，但不是X中的cω-正则-开集。定理4.2. 如果A是X中的cω-d.开集，则A在X中是cω-预开的，但反过来不一定成立。证据设A是X中的cω-d开集，x2A.则X中存在cω-正则开集U使得x2U<$A.这意味着x 2 U <$int ccl cUint ccl cA。因此A，因此A在X中是cω-预开的。H由例3.1可知，a;c和a;b;c是X中的cω-预开集，但不是X中的cω-d.开集。X.则cl cA（由于 A是 cω-预闭的）cl c（自一是c-开）。因此A<$clcintcA，因此A在X中cω-正则闭。Ha2Jg是cω-d 开集的集合，定理S4.3. 如果fAa：X，然后a2JAa也是X中的c-d定理3.8.如果A是cω-正则开的且cω-无处稠密的在X中设置，则A在X中为空证据设fSAa：a2Jg是X中cω-d开集的集合证 据 设 A 是 X 中 的 cω- 正 则 开 集 和 cω- 无 处 稠 密 集 . 则A<$intcclcA（因为A是cω-正则-开）=;（因为A是cω-无处稠密）。 故A;H定理3.9.若A是X中的cω-正则开集和cω-稠密集，d.开，则X中存在cω-正则开U集，使得x2UAa a 2JA a. 因此a2JAa也是X中的cω-d开集.H注4.2.若A和B是X中的两个cω-d开集，则A B在X中不一定是cω-d开的。然后是A¼ X。ω设X<$fa;b;cg;s<$P <$X <$f和定义运算ωc：s！PX by证据 设A是c-正则开集和c-稠密集在X.则A^intcclcA（因为A是cω-正则开的）=intcX（因为A是cω-稠密的）。因此，A¼X。HcAA[fbg如果A¼ fagA如果A对于每个A2s：4. cω-d 开集定义4.1.设X是一个拓扑空间，c：sPX是s上的一个运算.称X的子集A是cω-d开集，如果对每个x2A，在X中存在一个cω-正则开集U，使得x2U<$A.所有cω-d开集的集合记为d O cω<$X<$。实施例4.1. 由例3.1可知，dOcωXωf;;X;fbg;fcg;fdg;fb;cg;fb;dg;fc;dg;fa;c;dg;fb;c;dgg。则A<$fa;bg和B<$fa;cg是X中的cω-d.开集，但A\B^fag在X中不是cω-d开的。定理4.4. 若A在X中是cω-d.开的且cω-无处稠密集，则A在X中是空的.证据设A是X中的cω-d.开且cω-无处稠密集，设x2A. 然后那里存在cω-正则开设置U2X等的x2UA。这意味的x2U<$intcclcUintcclcA<$;（因为A是cω-无处稠密的）。故A;H关于拓扑空间中的几乎准连续映射1831/4fg！ðÞð Þð Þð Þ¼ ð Þ¼ð Þ¼ ð Þ¼不[！ðÞð Þ[¼fg！ðÞ公司简介ð Þ ð Þ在X中，则a2JAa也是X中的cω-d闭集定理4.3，我们有a2JBa在X中也是cω-d开的.这X-a2JBa¼a2JX-B aS TST注4.3. 若A是X中的cω-d.开集和cω-稠密集，则A不一定等于X。根据注释4.2中的示例，设A b;c.则A在X中是cω-d.开的和cω-稠密的.但是A-X定义4.2. 设X是一个拓扑空间，c：sPX是s上的一个运算.X的子集A称为cω-d闭集当且仅当X-A在X中cω-d开.所有cω-d闭集的集合记为dC cω<$X<$。实施例4.2. 由例3.1可知，dCcωXf;;X;fag;fbg;fa;bg;fa;cg;fa;dg;fa;b;cg;fa;b;dg;fa;c;dgg。定理4.T5。设fAa：a2Jg是cω-d闭集的集合(iii) （ii）dcl cωA是cω-d闭的，包含A.由于A在X中是cω-d闭的，根据定义4.4，我们有dcl cωA A。 相反，假设dcl cω 一 A.则通过（ii），A在X中cω-d闭.(iv) 通过（i），dint cωA是cω-d开包含在A中.由于A在X中是cω-d开的，根据定义4.3，我们有dint cωA A。相反 ，假设dint cωA A。 则通过（ii），A在X中是cω-d开的.(v) 从定义4.4,我们有的X-dcl cω [fX-F：X-F2 d O cω X-\f F\f A g\f dint cω A\f]。(vi) 从定义4.3,我们有的X-dintcω[fU：U2dOcωX andUAg]fX-U：X-HX-U<$2dOcω<$X<$ andA<$X-Ug ¼d cl cω A。证据 设fAa：a2Jg是中cω-d闭集的集合，X和令Aa¼X-Ba。 则Ba在X中cω-d开。通过(vii) 由定理4.2可知，每一个cω-d开集都是cω-预开集。因为pintcω<$A是所有cω-预开集的并。 然后由（i），dint cω<$A<$<$pint cω <$A<$。意味的X-a2JBa是cω-d 闭在X. 以来在X中是cω-d闭的。 H备注4.4. 如果A和B是X中的两个cω-d.闭集，则AB不必是X中的cω-d.闭集。根据备注4.2中的示例，取A b 和B C. 则A和B是X中的cω-d闭集，但A Bb;c 是不是cω-d，在X中是闭的。定义4.3.设X是一个拓扑空间，c：sPX是s上的一个运算.则A的cω-d.内部定义为A中包含的所有cω-d.开集的并。因此dintcωA[fU：U2dOcωX且UAg.定义4.4.设X是一个拓扑空间，c：sPX是s上的一个运算.则A的cω-d.闭包定义为包含A的所有cω-d.闭集的交。因此，dclcωA fF：X-F2dOcωX和AFg。定理4.6. 设A是X的一个子集。然后，以下是举行：(i) dintcω<$A ω是包含在A中的cω-d开集;(ii) dclcω<$A<$是包含A的cω-d闭集;(iii) A是cω-d.闭的当且仅当dclcωAA;(iv) A是cω-d.开的当且仅当dintcω≠A≠A;(v) dintcω A X-d clcω X- A;(vi) dclcω A X-d intcω X- A;(vii) dintcωApintcωA;(viii) dcl cω<$A <$≥ pcl c ω <$A<$。证据(i) 由定理4.3可知，cω-d开集的任意并是cω-d.开则dint cω A是包含在A中的cω-d开集。(ii) 由定理4.5可知，任意cω-d.闭集的交是cω-d.闭的.则dclcω<$A<$cω-d闭包含A.（viii）由定理4.2和条件（vii）得出H定理4.7.如果A和B是X的两个子集，则以下成立：(i) 若A<$B，则dintcω<$A<$$>dintcω<$B<$;(ii) dintcω A[ B]d intcω A[d intcω B;(iii) d int cω A\B d int cω A\d int cω B。证据(i) 让A来吧。则dintcωA是包含在中的cω-d开集B.由于dintcω<$B<$是最大的cω-d开集，在B中，我们有dint cω dint cω。(ii) 显然dint cω dint cω。由于dintcω<$A<$是包含在A中的最大cω-d开集，dintcω<$B<$是包含在B中的最大cω-d开集，这意味着dintcω<$A<$[dintcω <$B<$]是最大cω-d .开设置载在A[B].因 此 ，dint cωA[Bdint cωA[dint cω B]，因此dint cωA [Bdint cωA[dintcωB。(iii) 由（i），dint cωA\Bdint cω A\dint cωB。 H定理4.8. 对于点x2X;x2dcl cω<$A<$当且仅当V\A- ;对于任意V2 dOc ω <$X <$使得x2 V.证据设F0是所有y2X的集合，使得对任意V2 dOc ω <$X∈ V，V2 ∈ V. 现在我们证明的dcl cωA F0. 假设x2dcl cωA和xRF0. 则存在x的cω-d开集U使得U\A<$;。这意味着A = X-U。 因此dcl cω X-U。 因此xRdcl cωA。这是一个矛盾。因此dcl cωA<$F0。相反地，让F被一设置等的A/CN.9/2004/L.16和X-F2dO cω <$X<$。设x2F.那么我们有x2X-F和;。这意味着xRF0. 所以F0=F。因此F0<$dcl cω <$A<$。Ha2JA，因此a2184D. Saravanakumar等人2fg-fgð Þð Þ¼ ð Þ！2019 年12月22日星期一22个月-2-fg222-f g-fg-f g-fgfgf g！ð Þ-ðf gÞ ð Þ我....ðÞ ¼2fg-fg2！ð Þ¼ ð Þ¼ ð Þ¼5. 分离公理定义5.1.一个拓扑空间X称为cω-d：T0空间，如果对于每个不同的点x;y2X，存在一个cω-d开集U使得x2U和y2U或y2U和x2U.定义5.2.拓扑空间X称为cω-d：T1空间，如果对于每个不同的点x;y X，存在分别包含x和y的cω-d开集U和V，使得yRU和xRV。定义5.3.一个拓扑空间X称为cω-d：T2空间，如果对于每个不同的点x;y2X，存在一个cω-d开集U证据 假设x不是cω-d闭的。 则X X 不是cω-d. open。这意味着X是包含X-fxg的唯一cω-d开集，因此X-fxg是cω-dg闭的.H定理5.5. 拓扑空间X是cω-d.T1空间，如果且2仅当对每个x2 X;f xg是cω-d.开的或cω-d.闭的。证据设fxg不是cω-d闭的。然后由假设和定理5.4得出fxg是cω-d. open。设F是X中的cω-dg闭集. 设x2dcl cω <$F<$。则通过假设fxg是cω-d.开或cω-d.闭。情形（i）：假设fxg是cω-d. open。 然后由Theo-rem 4.8，fxg\F这意味着dclc ωFF。因此和V，使得x2U和y2V和U|V1/2。X是cω-d。T12 空间定义5.4.设X是拓扑空间，A是X的子集.则称A为cω-d广义闭（briefycω-dg闭）集，如果当A<$U且U是X中的cω-d开集时，dclcωA <$U.定理5.1. 若A是X中的cω-d.闭集，则A是X中的cω-dg.闭集.但反过来不一定是真的。证据设A是X中的cω-d闭集，使得A<$U，其中U在X中是cω-d 开 的 .然 后 由 定 理 4.6 ， 我 们 有 dclcωA A 。 这 意 味 着dclcωA<$U。因此A在X中是cω-dg闭的。H设X<$fa;b;c;dg;s<$f;;X;fc;dgg并定义运算c：s P X对于每个As， 然后 和 b是cω-dg.闭集但不是cω-d.闭集.定义5.5.一个拓扑空间X称为cω-d：T1空间，如果对于X的每个cω-dg.闭集都是cω-d.闭的.定理5.2.设X是拓扑空间，A是X. 则A是cω-dg.闭的当且仅当dclcω<$f xg <$\ A证 据设 U 是 任 意 cω-d 开 集 ， 使 得 A<$U.设 x2dcl cω<$A<$。通过假设那里存在一点z2dclcωfxg和z2AU。因此，根据定理4.8，这意味着x2U。因此A是X中的cω-dg闭集。相反，假设存在一个点x2dclcωA，使得dclcωfxg\A; 。 由 于 dclcω<$fxgl 是 cω-d. 闭 集 ， 因 此 X-dclcω<$fxgl是cω-d.开集。以来情形（ii）：设fxg是cω-d.闭的.假设xRF。则xd clcωFF.这是一个矛盾。因此，x F。因此X是cω-d。T1空间。H2定理5.6. 空间X是cω-d.T1当且仅当对任意x2X;fxg是cω-d.闭集。证据设x，X，使得x，因为X是cω-d。T1，则存在cω-d开集U和V使得xU和yV和yRU和xRV.这意味着V<$X x和V包含X中除点X之外的所有点。 因此X-V是一个cω-d。闭集只包含点x，因此X-V^fxg是cω-d闭的。相反，假设fxg是cω-d.关闭。设x和y是X中两个不同的点。然后通过假设，x和y是cω-d闭集。这意味着X x和X y是分别包含y和x的cω-d开集，使得xRXX 和yRXy.因此X是cω-d。T1。H6. （cω;bω）-几乎准连续定义6.1.称映射f：XY是（cω;bω）-几乎预连续的，如果对Y的任意bω-正则开集B;f-1<$B<$在X中cω-预开.实施例6.1. 设X<$fa;b;cg;Y<$f 1; 2; 3 g;s<$f;;X;fag; fbg; fa;bgg和r <$f;; Y; f 1 g; f 2 g; f 1; 2 g; f 1; 3 gg和定义运算c：s！ PX和b：r！P.Y.比. A [fcg，如果A ¼ fag当A是cω-dg闭集时，则有dcl cωA<$Xdcl cωx.因此xRdcl cωA。这是一个矛盾。Hc和A如果A- fa g对于每一个A2定理5.3. 设X是拓扑空间，A是X中的cω-dg闭集.则dcl cωAA不包含非空cω-d闭集.bAA如果A¼ f1; 2g如果A - f 1 ;2 g，则clA分别对于每个A2r证据设存在一个非空的cω-d闭集F，使得F<$dclcω<$A<$-A.设x2F.则x2dclcωA，意味着F\A<$dclcωA\A≥dclcωfxg\A这是一个矛盾。H定理5.4. 对于每个xX;x 是cω-d.闭的或Xx是cω-d g.闭合。定义f：XY由F a2;f b1和f c3.然后每个bω-正则开集的逆象在f下是cω-预开的.因此f是（cω;bω）-几乎预连续的。备注6.1. 每个（cω;bω）-准连续映射是（cω;bω）-几乎准连续映射. 但反过来不一定是真的。关于拓扑空间中的几乎准连续映射185FGfgSω-1-1A是-预开的 在X. 因此，fV X f2！2 ð Þ ¼ ð Þ 2 ð Þ2！ð Þ我！ð Þð Þ2ð Þ！JJðYV∈X-f-1<$U∈在X中cω-预闭.使得x2AxA。这意味着，x2AAx.由-ωωωW¼Sx2WWx. 根据定理2.1[3]，W在X中是cω-预开的。11定理6.7. 如果X^R[S]，其中R和S是c-开集，由例6.1可知f是（cω;bω）-几乎-预连续的。 对于Y的bω-预开集2; 3，f-1 2; 3a;c在X中也不是cω-预开的. 因此f不是（cω;bω）-预连续的。备注6.2. 若X和 Y分别是c-正则空间和 b-正则空间 ，则（cω;bω）-几乎预连续和几乎预连续的概念是一致的.证据 根据定义6.1和定理3.1[2]。H证据(i) （ii）。 设x 2 X和B是Y中任意bω-正则开集，其中f ∈x∈ X. 我们取A ¼ f-1B。 则通过（i），A是包含x和f<$A< $ $ >f<$f-1<$B<$<$<$B的c ω -预开集。(ii) （iii）。设V是Y中的bω-正则闭集。然后U^Y-V在Y中是bω-正则开的。走W¼f-1路。设x2W. 则U是bω-正则开集，fx通过（ii），存在x的cω-预开集Ax，使得f<$Ax<$$>U，意味着Ax<$W。因此，f-1\f25U-1\f25W-1\f6x宽xc无-定义6.2.空间X的子集A称为cω-reg-。典型邻域（resp.cω-预邻域[3]），如果存在一个cω-正则开（分别为cω-预开）使x2U<$A。定理6.1. 一个映射f：XY是s（cω;bω）-几乎预连续的当且仅当对于X中的每个x，f <$x <$的每个bω-正则邻域的逆是x的cω-预邻域。证据设x2X，B是f ∈ x ∈ Y的bω-正则邻域. 则根据定义6.2，存在V2RObω<$Y <$使得f<$x<$2 V <$B。 这意味着x 2f-1f-1 。 由 于 f 是 （ cω;bω ） - 几 乎 预 连 续 的 ， 所 以 f-1<$V<$2PO cω <$X <$. 因此f-1<$B<$是x的cω-预邻域。相反地，设BRO bω Y.放一个f-1B。设xA.那么f x B。显然，B（ cω- 预 开 ） 是 f 的 bω- 正 则 邻 域 。 因 此 ， 假 设 A<$f-1<$B<$f是x的cω-预邻域。 因此，根据定义6.2，存在A x2PO cω <$X <$定理2.1[3]证明了A在X中是cω-预开的。因此f是（cω;bω）-几乎预连续的。H定理6.2. 一个映射f：XY是s（cω;bω）-几乎预连续的当且仅当对于X中的每个x和f B.证据设x2X和B是f <$x <$的bω-正则邻域. 然后，存在Of使得fB。It如下的x2f-1Ofxf-1B。通过假设，f-1<$Of<$x<$$> 2P Ocω <$X <$。 设A¼f-1<$B<$。 则它遵循A是x的 cω- 预 邻 域 且 f<$A<$$>f<$f-1<$B<$B 。 因 此 ， 设U2RObωY。 走W¼f-1号公路。 设x2W. 那么fx2U。因此U是f的一个bω-正则邻域。所以通过(iii)-）（i）。 设B是Y中的bω-正则开集。我们走V¼Y-B。则V在Y中是bω-正则闭的。 通过（iii），f-1<$V<$是cω-预闭的在X.因此 f-1BX-f-1Y-BX-f-1V在X中是cω-预开的.H定理6.4. 若f是s（cω;bω）-几乎预连续的，则对任意b-闭集V， f-1∈V在X中cω-预开证据设V是Y中的b-闭集.由于Y的每个b-闭集B是bω-正则-开的，那么通过假设，f-1V在X中是cω-预开的.H定理6.5. 如果f：X！ Y是 （cω;bω）-几乎准连续映射，X0是X的c-开子集，则限制fjX0：X0！ Y是s（cω;bω）-几乎预连续的，其中c是s上的正则运算。证据设V是Y的任意b-正则开集。由于f是（c;b）-几乎预连续的，f-1<$V<$在X中是cω-预开的，根据定理2.5 [3]，f-1<$V<$\ X 0 <$V<$\X0<$-<$V<$2PO cω <$X <$.由于X0<$X，我们有<$fjX0<$-<$V<$在X 0中cω-预开。这表明fjX0是（cω;bω）-几乎预连续的。H定理6.6. 设X是空间，c是s和f上的正则运算，Vi：i2Jg是X的c-开集对X的覆盖.一个映射f：X！ Yis（cω;bω）-几乎预连续当且仅当约束fjVi：Vi！ Y是s（cω;bω）-几乎预连续的，对每个i2 J.证据设f是（cω;bω）-几乎预连续的。则根据定理6.5，fjVi对每 个 i2J 是 （ cω;bω ） - 几 乎 预 连 续 的 . 相 反 ， 设 fjVi 是（cω;bω）-几乎预连续的，假设，存在x的cω-预邻域Vx，使得i2 J. 对Y的任意bω-正则开集V;<$fjV i <$-1<$V <$<$是cω-预-那个fvxu。因此，对于每个i2J，在Vi中打开，因此f-1Vx2Vx100-1Vx100-1U/W。由于Vx是cω-pre-neigh-，[f ∈fjV∈-1<$V∈：i2Jg在X中cω-预开，定理2.1证明了[3].x的边界，这意味着存在一个Wx2SP Ocω<$X<$，使得x2Wx <$W。这意味着这表明f是（cω;bω）-几乎预连续的。H因此f是（cω;bω）-几乎预连续的。H定理6.3. 设f：XY是一个映射.那么以下语句是等价的：(i) f是（cω;bω）-几乎预连续的;(ii) 对任意x X和fx的任意b ω -正则开集B，存在x的cω-预开集A使得fA<$B;(iii) 对Y的任意bω-正则闭集V，f-1V是cω-前-在X中关闭f：XY是一个映射使得fR和fS都是（cω;bω）-几乎预连续，则f是s（cω;bω）-几乎预连续，其中c是对s的常规操作。证据设V是Y的任意bω-正则开集。 则f-1VfjR-1V[fjS-1V。由于 fjR 和 fjS 是 （ cω;bω ） - 几 乎 预 连 续 的 ， 所 以 我 们 有<$fjR<$-1<$V<$$>和<$fjS<$-1<$V <$分别是R和S中的cω-预开集由于c是正则的，R和S也是c-开集，那么由定理rem 2.5[3] 中 ， 我 们 有 ， <$fjR<$-1<$V <$\R 和 <$fjS<$-1<$V <$\S是186D. Saravanakumar等人ð Þ吉吉ð Þ吉吉ð ÞA如果A¼fa;dg！ð Þð Þ ð Þð Þ\ð Þ\FGfgðÞð Þ¼！ð Þ¼ ð Þ¼ ð Þ¼！ð Þ¼ ð Þ¼ ð Þ¼ ð Þ¼2012年12月2日，2012年12月2日，.ðÞ ¼--2 2ð Þð Þ¼！ð Þ¼ ð Þ¼ ð Þ¼FGfg<我我S和分别是R和S中的cω-预开集。因此fR-1V和fS-1V是X中的cω-预开集。由于cω-预开集的并是cω-预开的，因此f-1V在X.因此f是（cω;bω）-几乎预连续的。Hq A8>A[fdg，如果A¼fag>：A[fbgifA每A2g一般地，如果X^fK：i2Jg，其中每个K是c-开集且f：X！Y是一个映射使得fjKi对每个i2J是（cω;bω）-几乎预连续的，则f是（cω;bω）-几乎预连续的.几乎预连续，其中c是s上的正则运算。定理6.8. 设X<$R1[R2]，其中R1和R2是X中的c-开集. 令f：R1！ Y和G：R2！ Ybe（cω;bω）-几乎预连续。如 果fxgx，每个x2R1\R2。然后h：R1[R2！Y使得对每个x2 R 1 的 h<$x<$$>f<$x <$$> 和 对 x2 R 2 的 h<$ x< $ $ >g<$x <$ 是（cω;bω）-几乎预连续的，其中c是s上的正则运算。证据设V是Y的一个bω-正则开集。 现在h-1V f-1V[g-1V。由于f和g是（cω;bω）-几乎-预连续的，我们得到f-1<$V和g-1<$V分别在R1和R2中是cω-预开的.但R1和R2是X中的c-开集，并且是s上的正则运算，则由定理2.5[3]，f-1VR1和g-1VR2分别在R1和R2中是cω这意味着f-1V和g-1V是X中的cω-预开集。由于cω-预开集的并是cω-预开的，所以h-1V是X中的一个cω-预开集。因此f是（cω;bω）-几乎预连续的。H定理6.9. 令f：XYbe（cω;bω）-几乎预连续和内射。 如果Y是bω-d：T2（resp. bω-d：T1），则X是cω-pre-T2（resp.cω-前T1）。证据假设Y是bω-d：T2。设x和y是X的两个不同点。则存在两个bω-d开集A和B，使得分别定义f：XY由f aa; f bc; f cb和f d d，定义 g：YZ 由g a a;g b b;g c c和g d d组成。则f和g分别是（cω;bω）-几乎预连续的和（bω; qω）-几乎预连续的。对于Z的qω-正则开集a;d，gof-1a;da;d在X中不是cω-预开的.因此，gof不是（cω; qω）-几乎-预-连续的定理6.10.如果f：X！Yis（ cω;bω ） -预连续G：Y！ Z是s（bω;qω）-几乎预连续的，则合成gof：X！Z是s（cω;qω）-几乎预连续的。证据直截了当。H7. （cω;bω）-几乎预开与（cω;bω）-几乎预闭定义7.1.一个映射f：X！称Y是（cω;bω）-几乎预开的，如果对任意A2R Ocω<$X<$;f<$A<$2P Obω<$Y <$.实施例7.1.设X<$fa;b;c;dg;Y<$f1;2;3;4g;s<$f;;X;fag;fdg;fa;dg;fb;cg;fa;b;cg;fb;c;dgg和r<$f;;Y;f2g;f 3g;f 4g;f 2; 3g;f 2; 4g;f 3; 4g;f 1; 3; 4g;f 2; 3;4gg，并定义行动c：s！ PX和b：r！每A2s，由cAA 进 行 PYf xA;f yB和AB.这意味着，存在两个bω-正则开集U和V等的f xUA;f yVB和U V。由于f是（cω;bω）-几乎预连续的，对于U和V，存在两个cω-预连续的，bAA，如果A¼ f3gclAifA分别对于每