动态经济调度的改进实数编码遗传算法在两个测试系统和15个基准函数中的有效性

可在www.sciencedirect.com上在线ScienceDirect电气系统与信息技术学报5（2018）349动态经济调度Jagat KishoreP attanaika， Moosumi Basua， Deba Prasad Dashba印度加尔各答贾达夫普尔大学动力工程系，邮编700098b印度布巴内斯瓦尔奥里萨邦工程学院电气工程系接收日期：2016年10月11日;接收日期：2017年12月28日;接受日期：2018年3月9日在线发售2018年摘要提出了一种求解动态经济调度问题的改进实数编码遗传算法遗传算法是一种基于人类遗传染色体操作的进化算法，具有确定全局最优解的在本文中，IRCGA已被建议，以提高收敛速度和解决方案的质量。所建议的技术的有效性已被证实在两个测试系统和15个基准函数。两个测试系统和15个基准函数的结果已从开发的IRCGA获得匹配的实数编码遗传算法（RCGA）所取得的从比较中可以看出，所建议的IRCGA技术具有赋予优越的解决方案的能力© 2018 电 子 研 究 所 （ ERI ） 。 Elsevier B. V. 制 作 和 托 管 这 是 CC BY-NC-ND 许 可 证 下 的 开 放 获 取 文 章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词：改进实数编码遗传算法;动态经济调度;爬坡率限制1. 介绍静态经济调度（SED）是在满足各种约束条件的前提下，将给定时间段内的负荷需求经济地分配给承诺发电机组动态经济调度（DED）是静态经济调度的扩展，它确定时变负荷需求在承诺机组之间的最优分配发电厂的操作人员试图将锅炉和涡轮机内部的温度和压力梯度保持在安全范围内，以避免缩短设备的寿命。这种机械约束对电功率输出的增加或减少的速率施加限制。此限制称为斜坡率限制，它将DED与SEDprob区分开来。*通讯作者。电子邮件地址：jagat. gmail.com（J.K. Pattanaik）。电子研究所（ERI）负责同行评审https://doi.org/10.1016/j.jesit.2018.03.0022314-7172/© 2018电子研究所（ERI）。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。350J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349ΣΣ它我命名法a i，b i，c i，d i，e i 第i台机组成本系数Fit（Pit）在 t时刻生产实际功率输出的成本Pit N发电机组时间间隔tPit在时间间隔t期间第i台机组的实际功率输出我我PLtTP最小值， P最大值 第i台机组发电上下限时间t计划范围UR i，DR i 第i台发电机lem. 因此，在DED中，在一个时间段的调度决策会影响在以后的时间段的调度决策DED是经济调度问题中最精确的形式，但由于其维数较大，因此最难求解。随着竞争越来越多地引入批发发电市场，有必要了解发电机斜升率限制对系统运行造成的增量成本负担。自 从 引 入 DED 以 来 ， 几 种 经 典 方 法 （ Granelli 等 人 ， 1989;Han 等 人 ， 2001;HindiandAbGhani ，1991;RossandKim，1980;TraversandKaye，1998;VanDenBosch，1985）已经被用来解决这个问题。然而，所有这些方法都可能无法找到最优解，并且通常停留在局部最优解。经典的基于微积分的方法解决DED问题的凸成本函数。但实际上，大型汽轮机有许多进汽阀，这导致了发电机组燃料成本函数的非凸性动态规划（DP）可以解决这类问题，但它遭受的维数灾难。最近，随机搜索算法，如进化编程（EP）（Attaviriyanupap等人， 2002）、模拟退火（SA）（Panigrahi等人，2006）、禁忌搜索（Saravuth等人，2007）、粒子群优化（PSO）（Panigrahi等人，2008;Yuan等人，2009 b;Wang等人，2010;Zhang等人，2014）、差异进化（DE）（Yuan等人，2009 a;Lu等人，2011）、和声搜索算法（Arul等人，2013;Nu等人， 2014）和混沌差分蜂群优化（Lu等人， 2014）已成功地用于解决动态经济调度问题，因为它们能够找到非凸优化问题的近全局解。进化算法是一种基于种群的自适应并行搜索技术。遗传算法（Genetic Algorithm，GA）（Goldberg，1989;Holland，1992）是基于人类遗传染色体操作的最具权威性的进化算法之一GA（Holland，1992）是从达尔文的进化论“适者生存”中得到启发的它通过在多次迭代中创建多个种群来产生最小化问题的全局或接近全局最优解。遗传算法分为初始化、繁殖、交叉和变异四个阶段。本文针对一对一竞争的问题，提出了改进的实数编码遗传算法（IRCGA），以提高收敛速度和解的质量。提出了求解非光滑燃料费用函数的动态经济调度问题的IRCGA。在这里开发了两个测试系统和15个基准测试函数测试结果与实数编码遗传算法（RCGA）得到的结果相匹配据观察，发达的IRCGA提供了优越的解决方案。2. 问题公式化通常，DED问题最小化承诺单元的以下总生产成本不 NF=Fit（Pit）（1）t=1i= 1考虑阀点效应（Walter和Sheble，1993年）的每个单元的燃料成本函数可以表示为：Fit（Pi t）=ai+biPit+ciP2+|我信。埃岛Pmin−Pit|（二）J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349351Σ−ΣΣΣ.ΣNtΣΣΣΣ我我BNN PNt+2PNt+ PDt+Pitt= 0t∈ T（8）在计划范围内的第t个间隔内，(i) 有功功率平衡总发电量必须等于总负荷需求加上传输损耗。NPit− PDt− PLt= 0t∈ T（3）i=1(ii) 实际功率运行极限每个发电机产生的功率被限制在其下限和上限之间，如下所示：Pmin≤Pit≤Pmaxi∈N，t∈ T（4）(iii) 发电机斜升率限值为了避免对锅炉和燃烧设备造成不适当的应力，热发电机的输出功率变化率必须在可接受的范围内。热力发电机的斜坡率极限可通过数学方式表示如下：Pit− Pi（t−1）≤URi，i∈ N，t∈ T Pi（t−1）− Pit≤DRi，i∈ N，t∈ T3. 发电水平（五）在该方法中，指定第一（N1）发电机的功率负载从等式中的等式约束（3）第N个发电机（即，松弛发电机）的功率水平由下式给出：N−1PNt= PDt+ PLt− Pitt∈ T（6）i=1传输损耗PLt是所有发电机的函数，包括从属发电机的函数，并且给出通过PLt=N−1N−1i=1j= 1PitBijPjt+2PNtN−1BNiPiti=1+BNN P2t∈T（7）扩展和重新排列，Eq。（6）成为二、N−1N−1N−1N−1i=1i=1j=1i=1非独立发电机的负载（即，第N个）可以通过求解方程来得到。（8）采用标准代数方法。4. 改进的实数编码遗传算法遗传算法（Holland，1992）由John Holland和他的学生在20世纪70年代早期在密歇根大学开创，通过在多次迭代中创建多个种群来产生全局或接近全局最优的最小化问题。遗传算法（Holland，1992）是受达尔文进化论“适者生存”的启发而提出的随机生成候选解的初始种群每个新种群的全局或接近全局最优解的能力通过其适应度来评估，该适应度可以由目标函数的函数来表示父母被选择繁殖后，他们通过交叉和变异的过程产生后代繁殖过程中形成的个体探索解决方案空间的不同区域由于在处理大维度的连续搜索空间时二进制表示的困难，实数编码遗传算法（RCGA）（Deb和Agrawal，1995;Herrera等人，1998年，他被雇用。模拟二进制交叉（SBX）和多项式变异已应用于这项工作。BNi Pit−1Pit BijPjt−Σ352J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349i、jx−x21i、jJJJJJJ.（uα）1/（ηc+1）， 如果u≤1/α=计算每个总体的目标函数值fi在改 进的 实数编 码遗 传算法 （IRCGA ）的 情况 下，一 对一 的挑战 是首 创的实 数编 码遗 传算法（RCGA），以提高收敛速度和解决方案的质量。在这里，后代与匹配的父母一对一竞争。IRCGA的五个阶段是遗传算法的初始化、亲本群体的选择、交叉、变异和亲本与子代之间的选择，具体如下：4.1. 初始化从均匀分布的控制变量集合中随机选择的控制变量的初始总体（Xi）在其最大和最小限度范围内被陈述为：x0U。xmin，xmaxmin，j∈n，i∈NP（9）其中n是个体中决策变量的数量，NP是总体大小;x0表示初始第j个xmin和xmax是第j个决策变量的最小值和最大值J J联合xmin，xma xn表示在r_（max）xmin，xma xn上的均匀随机变量范围。4.2. 亲本群体采用二元锦标赛选择法对交配池中的亲本进行选择从种群中随机选取两条染色体，比较它们的目标函数值，选择目标函数值较低的染色体，优胜者的染色体会留在交配池中这个过程是重复的，直到交配池充满了染色体。4.3. 模拟二进制交叉（SBX）利用SBX算子从两个双亲x1和x2计算子x1r和x2r的过程如下：1. 生成一个介于0和1之间的随机数u2. 通过利用多项式概率分布获得参数γ，如下所示：γ（10）（1/（2−uα））1/（ηc+1），否则其中α=2−β−（ηc+1），β计算如下：β=1+2minβ。x1−xmin，.xmax−x2参数ηc是SBX的分布指标，可以取任意非负值。微小的ηc值允许在远离亲本的地方形成子代，而较大的ηc值则限制了在接近亲本的地方产生子代。3. 中间总体计算如下：x p1= 0。2 - 3 - 4 - 5 -6-5-|x2− x1|（11）x p2= 0。2-x（x1+ x2）+y（|x2− x1|（12）4.4. 多项式突变利用多项式概率分布，在变异算子作用下，在母体的邻域内产生后代这一点说明如下：1. 生成一个介于0和1之间的随机数uJ.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349353- 是的ΣΣ.Σ.=⎪⎨我2. 计算参数σ如下：⎧⎪1[2 u+（1 − 2 u）（1 −φ）（ηm+1）]（ηm+1）− 1， 如果u≤ 0。5σ=（十三）11−[2（1−u）+2（u−0. 5）（1−φ）（ηm+1）]（ηm+1），否则其中，minxp−xmin，（xmax−xp）（x最大值−x最小值）参数ηm是突变的分布指数，取任意非负值。3. 计算变异后代如下：x1r=xp1+σ.xmax−xmin（14）x2r=xp2+σ.xmax−xmin（15）可以通过如下迭代改变ηm和ρmηm=ηmmin+iter（16）1iter1pm=n+itermax（1 −n）（17）其中ηmmin是滥用者确定的ηm的最低值，pm是突变概率，n是选择变量的数量计算每个子代的目标函数值4.5. 亲子选择通过比较每个父代（Xi）的目标函数值与匹配后代Xir的目标函数值，对每个父代（Xi）进行分类。选择目标函数值较低的种群进行下一次迭代。XXri，如果f（Xir）≤f（Xi）Xi，否则，i∈NP（十八）重复该过程，直到达到最大迭代次数。图1描绘了改进的实数编码遗传算法（IRCGA）的流程图。5. 仿真结果将改进的实数编码遗传算法（IRCGA）和实数编码遗传算法（RCGA）用于求解两个不同的测试系统和15个基准函数。IRCGA和RCGA技术已在PC机（Pentium-IV，80 GB，3.0GHz）上用MATLAB7.0实现5.1. 测试系统1该系统包括一个具有非光滑燃料费用函数的五单元试验系统。系统的需求分为24个区间。机组数据和负荷需求分别见附录A中的表A1和表A2。传输损耗系数也可参见附录A。利用IRCGA和RCGA解决了该问题在这里，最大迭代次数，人口规模，交叉和变异概率已被选定为200，354J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）34950，0.9和0.2，分别为IRCGA和RCGA。通过使用开发的IRCGA和RCGA从100次运行的解决方案中的最佳燃料成本获得的测试结果分别总结在表1和表2中。J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349355Fig. 1.改进实数编码遗传算法流程图。表1由IRCGA得到的试验系统1的动态经济调度的小时发电计划、费用（×104$）和CPU时间（秒）小时P1P2P3P4P5成本CPU时间111.316494.416134.8735146.6867126.54974.718570.35223.181390.166673.7201113.5044138.4590311.932493.9033108.5855115.6246149.7128427.1539112.3399129.1379127.4656139.8012533.0977105.1074119.7769157.6852148.8756634.2727113.1852118.1478198.1880152.0965721.061895.2011126.5935200.9683190.5027813.233684.1612124.7809210.7558230.2387915.4049111.9255114.6057206.1754252.22731038.1468102.8138112.3537228.4493232.91991122.9734115.6917116.1610245.6676230.80521222.6146100.7327131.6335217.3580279.46481317.1397101.0136130.8908230.8320234.79081414.4215125.0000116.7502208.0259236.15011527.3155102.7837132.0737186.6684214.21081610.000088.8931112.6023143.4474232.27561729.319375.7853115.8604111.6682231.98941810.921698.6467128.8807155.2371222.17891910.000097.3583116.4014204.7380234.74592021.3901101.9513111.1422249.0230231.31922141.817992.4563124.0882204.4698226.97592226.242583.8814120.7969168.0922213.71392327.039893.6921111.9390124.6404175.51842413.999697.5889112.7651112.7183130.4413356J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349表2由RCGA得到的试验系统1的动态经济调度的每小时发电量（MW）计划、费用（×104$）和CPU时间（秒）小时P1P2P3P4P5成本CPU时间113.129583.530430.0000131.5777155.58774.756463.41220.7587103.969947.7241121.1508145.5922330.088896.859039.0542121.3086192.7561434.6016120.134045.946199.9179235.8191511.154599.423079.6158127.7968246.9099638.5179103.8989104.0526114.2895255.2500710.0000112.3671121.8815162.0736228.0966812.192394.8772114.6329200.1064241.4309940.331492.0681109.8161227.9227230.10951051.921899.9601123.7857204.9619233.88971167.8766104.7002116.5753219.9124221.97941268.0362104.4624141.4227222.6975214.91751339.2518107.5492115.4971210.8340241.50701415.9646110.7312140.0208212.6738220.78371515.675095.3407106.4133202.2451243.60561610.000099.255169.7553184.2966224.18591725.4383100.020135.7367202.2340201.73081854.120596.049131.3978205.6964229.19201954.9027109.056461.4139212.5498225.57272067.813398.934896.8481219.0149232.07072164.193597.1720105.7931192.3558230.34112259.040396.4422112.5213160.1490184.51782351.952297.056799.1880138.5687146.04972428.7679100.125971.3424135.5410131.8331图二.测试系统1的成本收敛特性。J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349357表3由IRCGA得到的试验系统2的动态经济调度的小时发电计划、费用（×106$）和CPU时间（秒）小时P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10成本CPU时间1170.0479135.0000192.690180.842473.0000154.3788130.000052.856022.896644.29132.584698.352162.4527157.4800208.913963.4751101.8075152.6401125.313068.041938.123154.73643171.7873175.3694232.5499138.1431151.7197137.696595.637866.652763.661654.03044209.3238135.0000328.5352156.7839207.8623120.6867122.878878.260345.557138.00445167.1108174.8619304.4829207.4663243.0000144.5933122.127379.157428.579548.83946150.5984274.5884331.7668270.4349223.2717148.455597.3318102.641236.266242.31197183.9816312.5799294.9857293.5312210.8582160.000097.7485113.946353.424835.71318282.2848254.1162339.2119284.8594243.0000144.215686.1617113.033738.662850.78659344.2388322.0815306.1054300.0000236.0309158.0670111.8435118.325553.049846.428910349.0350417.7704335.8070289.4027219.6325141.6536130.0000113.631058.589147.931811342.2568469.3050326.2087293.1140243.0000160.0000116.6308111.477879.132053.843612435.1132454.7974337.1691286.6126227.0852159.6202130.0000112.650357.849243.244313370.2295397.4357331.5782284.8071240.3289160.0000126.9121120.000077.854048.017114280.5887332.6855319.5450299.8766243.0000150.8031127.4609112.020776.522152.792615228.2424242.9967306.8294300.0000234.8736152.9236128.6402115.016175.330750.189816150.0000250.9624253.5642293.2289210.3790128.0041106.183895.558571.245139.818217159.2353205.9445192.7515290.4024243.0000155.2386111.369765.949042.418954.059918252.6480152.6482286.6603300.0000227.0753129.6603129.894793.204963.618742.069119243.8322220.8389340.0000269.1818240.2404154.2803116.7962119.621480.000050.361020321.1724317.3856335.7388300.0000243.0000153.0017130.0000116.005778.897652.060321311.4281335.2963323.1403282.4210240.2808157.3177122.9299115.337479.761827.821622215.9857235.3213232.5551293.7490237.9273139.2567100.777597.388175.853948.846623150.0000164.9318242.8354228.0769201.6605114.146798.018995.446147.101322.134724152.5138144.3522181.9009170.7653196.5345104.1802107.8064104.054836.157311.1460图2描绘了从开发的IRCGA和RCGA获得的成本收敛特性。 从表1和表2可以看出，从IRCGA获得的总生产成本低于RCGA。5.2. 测试系统2该系统包括一个具有非光滑燃料费用函数的十单元试验系统。系统的需求TEM被分成24个间隔。机组数据和负荷需求分别见附录中的表A3和表A4 A.的 传输 损失 系数 是 也 发现 在 的 附录A.利用IRCGA和RCGA解决了该问题。这里，IRCGA和RCGA的最大迭代次数、种群规模、交叉和变异概率分别被选择为300、100、0.9和0.2。通过使用开发的IRCGA和RCGA从100次运行的解决方案中的最佳燃料成本获得的测试结果分别总结在表3和表4中。图3描绘了从开发的IRCGA和RCGA获得的成本收敛特性。 从表3和表4中可以看出，从IRCGA获得的总生产成本低于RCGA。5.3. 基准函数所开发的IRCGA和RCGA已经被用于求解15个基准函数（Yao等人，1999年）。这些测试功能如表5所示。所有其他数据均来自Yaoet al. （1999年）。人口对于IRCGA和RCGA，大小、交叉和突变概率分别被选择为100、0.9和0.2。358J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349表4由RCGA得到的试验系统2的动态经济调度的每小时发电计划、费用（×106$）和CPU时间（秒）小时P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10成本CPU时间1169.6782135.0000215.382362.555588.2848159.9788128.096249.720725.222922.17142.586290.042150.0000158.2374210.768675.4813117.2002154.8310112.557075.156744.431734.04863168.1968149.8369229.0087151.0554167.0417148.273195.930666.135960.083451.36074185.7484135.0000324.1029193.3018205.4031107.8792122.794785.372343.103139.86485158.4763149.3037340.0000232.8472241.0500132.4656114.078280.844228.640142.53926172.5213242.3215334.0163261.6742239.2640152.858795.7984109.843237.990531.07667185.9565302.6341312.4701293.5866188.5660154.811094.1240120.000058.083046.56148279.5536281.5387327.5860268.0157227.9288141.4513109.0384116.931142.909241.46689349.1114304.4209323.5911300.0000242.0828158.0591101.6306108.645256.289752.339410336.8889402.0839338.2607295.8877243.0000154.4746130.0000118.665651.504631.929511361.4835470.0000331.3869293.4665235.6580159.5167123.023496.763370.433353.663212434.2881462.7087340.0000290.4506239.3750151.1169129.4341111.940155.550529.462213371.7406412.8996330.0234289.8269243.0000152.5171114.8754111.522276.321754.961914286.1102350.6039313.6475297.7600241.8185160.0000130.0000115.770259.823639.965215236.1590283.7791330.7395252.8145239.2359155.3320115.1991120.000080.000022.430116150.0000282.0557265.0021276.8190212.3728114.7462108.698390.479364.407934.845517151.6128213.8723217.5640284.8984218.3762153.0215129.056272.973542.993935.829918211.9547182.2002302.8357279.4265243.0000125.2994123.218891.391771.510646.400819222.3904249.0910340.0000272.1415237.8443152.2739124.5323109.470378.363349.082120311.6497344.2860335.5613282.3693243.0000154.9173130.0000120.000074.994450.693421277.5024334.1937337.5220296.2484240.6938156.9802115.2833105.138279.162852.652122211.6221235.9096250.4202291.2272243.0000125.141190.7778118.865465.288945.453323151.4487158.2970204.1604214.2778203.6673128.2102118.146696.537863.269926.085024159.6004143.2313148.0736188.7526189.1664106.5601107.4814113.527736.511316.5484图三.测试系统的成本收敛特性2.J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349359（）fx=x1=Σ.Σ我=我（）fX=8我.电子邮件*2. Σ√24Σ3Σ6i=111221224π211f13（x）=[1+（x1+x2+1）2（19− 14x1+ 3x2− 14x2+ 6x1x2+ 3x2）]×[30+[f14（x）=−i=1ciexp−j=1国际新闻报xj−pij[0，1]-3.86Σ.2Σ吉吉Σ3011表5测试功能。数学表示法302[-100，100] 0I130 30f2（x）=0|Xi|+的|Xi|[-10，10]0f3（x）=i=130i=1我j=1i=1XJ【f4（x）= max {|X i|，1 ≤ i ≤ 30}[-100，100]0f5（x）=292100xi+1−xI130+（xi−1）2[f6（x）=x2−10cos（2πxi）+10[-5.12，5.12] 0i=1.‚30⎞30我.30Σf7（x）=−20exp−0。二、，1x2−exp2πxi+20+e[-32，32] 03014000x2−30cosxii+1[-600，600] 05i=1i= 15f9（x）=icos[（i+1）x1+i]icos[（i+1）x2+i][f（x）=i=1Σ=i=1XB2B xa−我[10我b2+bix3+x4I1f11（x）= 4 x2− 2。1x4+1x6+x1x2−4x2+4x4[F（x）=。X-五个1x2+5 x-62+10.1−1πcosx+10[-5，10]，[0，15] 0.398（2x-3x）×（18− 32x+12x2+ 48x136x x2+27x2）]1 2 11好吧Σ2我i=131π8π1我360J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）3492−1 22Σ24f15（x）= −i=1ciexp−国际新闻报.xj−pij Σ2Σ[0，1]-3.32J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349361为了验证所提出的IRCGA技术的性能，这15个测试函数被重复测试，362J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349使用IRCGA。每个测试重复100次。从100次运行中获得的15个测试功能的平均结果J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349363在表6中进行了总结。 表7总结了最佳最佳值和对应于最佳最佳值的变量。364J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349所有15个基准函数在100次运行中的最佳值、迭代次数和CPU时间，J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349365IRCGA。366J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349这15个测试函数也用RCGA技术进行了测试。表8示出了最佳的最佳值、最佳值的数量、最佳值的最佳值、最J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349367佳值的最佳值的数量、最佳值的最佳值、最佳值的最佳值的最佳值。368J.K. Pattanaik等人/电气系统与信息技术学报5（2018）349迭代次数和CPU时间。