分散控制设计的稳定性和性能：虚拟模型的四槽过程★★★

第九届国际会计师联合会控制教育进展国际自动控制联合会，俄罗斯下诺夫哥罗德，2012年MIMO系统的分散鲁棒控制：四容水箱实例研究丹妮卡·罗西诺娃阿莱娜·科扎科娃斯洛伐克理工大学控制与工业信息学院电气工程与信息技术学院：斯洛伐克布拉迪斯拉发（电子邮件：danica. stuba.sk;alena. stuba.sk）翻译后摘要：本文介绍了分散控制，在研究生课程讲授的复杂系统控制的材料的一部分。我们提出了一些基本方面的分散控制设计的稳定性和性能，并说明他们的案例研究：虚拟模型的四槽过程。基于性能相对增益阵列（PRGA，Hovd，Skogestad，1992）的控制结构选择和它的能力，以评估可实现的性能进行了讨论。考虑了分散控制的鲁棒稳定性条件，该条件提供了子系统的上水平，从而限制了性能。关键词：分散控制，鲁棒稳定性，鲁棒性能，虚拟现实。1. 介绍不确定动态系统的鲁棒稳定性在实际系统模型的控制中具有重要意义。由于任何物理设备模型中固有的建模/识别不准确性而导致的不确定性指定了某个不确定性域，例如，作为在所考虑的设备的不同工作点中获得的一组线性化模型。因此，系统的一个基本要求的属性是它的稳定性在整个不确定性域表示为鲁棒稳定性。鲁棒控制理论为各种过程提供了分析和综合的方法和工具，包括多输入多输出（MIMO）动态系统。为了降低多变量控制问题的复杂性，MIMO系统通常被认为是有限个子系统的互连。这种方法使得能够采用分散控制结构，子系统具有其本地控制回路。与集中式MIMO控制器系统相比，分散式控制结构会产生一定的性能恶化，但具有重要的优点，如设计简单，硬件，操作和可靠性改善。鲁棒性是分散控制方案的吸引人的品质之一，因为这样的控制结构可以固有地抵抗在子系统和互连中的大范围的不确定性。在本文中，我们专注于分散控制设计的关键方面，这些方面在复杂系统控制（硕士研究计划控制论）中教授。所考虑的分散控制设计策略的主要目的我们研究了具有2个输入和2个输出的四槽过程案例研究的分散控制设计的基本步骤（Johansson等人，1999; Johansson，2000），因为它包括最小和非最小相位配置和有吸引力的物理解释。在教学中，我们使用虚拟这个过程的现实模型，由我们的一个学生在Matlab下构建。我们从控制结构选择开始，即为分散控制选择适当的输入输出配对。进一步的步骤是独立的单回路设计，以便它保证整个系统的稳定性以及所需的性能，包括相互作用。分散控制结构的稳定性条件的两种选择：一个基于小增益定理的互补灵敏度函数和一个系统没有RHP（右半平面）零点。为了评估分散控制下可实现的性能，使用性能相对增益阵列PRGA（Hovd，Skogestad，1992）。这些设计工具的应用显示在案例研究。所提供的材料提供了分散控制设计中的稳定性和性能问题的简单说明，并可用于教学复杂系统控制。2. 分散控制策略-基本步骤MIMO系统（工厂）的控制设计包括几个步骤和任务（Skogestad和Postlethwaite，2009）：a) 研究工厂并制定控制目标;b) 找到一个工厂模型，必要时进行简化;c) 分析模型的性质，对变量进行标度;d) 决定哪些变量是被控制的，哪些变量是被操纵的;e) 控制结构的选择：对于分散控制结构，即选择输入f) 具体说明与控制目标相关的性能要求;g) 确定控制器的类型并设计其参数;h) 检查产生的控制系统，如果不符合规定的要求，重新设计;i) 分析仿真结果，必要时重复整个过程;j) 实现所设计的控制器。© 2012 IFAC 72 10.3182/20120619-3-RU-2024.000842012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会73我们假设MIMO系统模型在工作点附近线性化，并且我们集中在点e）、g）、h），这对于成功的控制设计至关重要。MIMO系统的重要任务是确定控制配置，即控制器的分解。适当的控制配置的一种可能选择，在完成步骤1之后，输入或输出可以被重新排序，使得具有重新排序的列或行的相应的传递系统矩阵G在主对角线上具有成对的元素。然后分散控制器可以表示为通过的 对角矩阵C（s）diag（Ci）（参见图2）。 找到 C（s）（步骤2），所谓的独立大大简化了控制设计，设计被认为是，其中个别回路被设计执行问题，是分散控制。在分散控制中，整个系统被认为是一组相互关联的子系统，具有定义的输入，输出和互连，分散控制器具有相应的对角或块对角结构“同时”（同时）。本地控制器的设计应确保：a) 稳定单个回路b) 满足整个系统稳定性条件Ci（s）选择输入c) 满足从性能要求获得的界限。注意，条件b）和c）经常是矛盾的。在下文中，灵敏度表示为S（s）（IG（s）C（s））和闭环传递函数Fig. 1.分散控制结构（补充）灵敏度）是表示作为T（s）G（s）C（s）（ （s）C（s））2.2控制配置（配对）选择为了选择适当的配对，文献中已经提出了几种相互作用度量（RGA、dRGA、PRGA等），更多细节可以在例如（Schmidt，2002）中找到。在实践中经常使用的相对增益阵列（RGA）定义为：RGA（G）G（s）G（s）T其中，n是逐项矩阵乘积（Hadamard乘积）。（二更）图二.分散控制：G表示被控系统，diag（Ci）是分散控制器，Gz对应于干扰z。然后，通过所选择的配对来指定各个子系统，它们的传递函数被放置在传递函数矩阵的对角线上。所选配对的结构稳定性可以通过Niederlinski指数进行检查：2.1分散控制问题公式化倪下载（0）（G（0））（三）考虑线性模型如果NI> 0，则系统不能使用所选y（s）G（s）u（s）（1）其中复向量 y（s），u（s）是配对和配对必须被修改。必须指出的是，RGA索引提供有限的输出和输入分别为p和m维的信号信息例如对于系统，G（s）是维数为pm的传递函数矩阵。在互连（当传递函数矩阵为上时下面我们假设平方系统，即pm和稳定植物G.参数s通常被省略以提高可读性。我们的目标是设计适当的分散控制，使整个系统的稳定性保持（包括可能的不确定性），并达到所需的性能。我们关注分散控制设计中最重要的两个步骤：1. 确定适当的输入-输出配对;2.相应的单个控制回路设计成保持总体要求。或下三角形）。为了更好地评估系统结构和性能，引入了PRGA指数（第2.4节）。2.3 分散控制在确定了适当的配对之后，设计分散控制律。有各种方法来找到相应的对角控制器矩阵C（s）。我们采用独立设计作为一种简单的可能性来设计单回路，以便保持整体稳定性和性能要求，即相互作用不会引入不稳定性，也不会显着降低性能。让我们转向分散控制系统的稳定性条件。矩阵G（s）可以分裂成对角部分和非对角部分：G（s）GD（s）GM（s）。受控系统CSNCS2CS12012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会74（D不确定性可以包含在GM（s）中。 稳定PRGA与闭环系统开环系统G（s）C（s），然后基于小增益定理给出系统性能由控制误差（偏移）和干扰Lemma（Veseldom，Harsányi，2008）.引理1ei（jω）/rj（jω）Sij（jω）$1/wri（jω）ω，i，j（9a）考虑具有分散控制器的稳定系统G（s）ei（jω）/zk（jω）[SGz]ik（jω）$1/wzi（jω）ω，i，k（9b）C（s）。相应的闭环系统T（s）是稳定的，如果其中rj表示第j个设定点变化，西杰是相应的G1W G1（四）灵敏度函数S，zk是预期干扰或和Gz其 传递函数;韦里韦兹是性能G1W1（五）分别为控制误差和干扰加权对于频率，其中反馈是有效的（ωω，ωDGB Bdenot esbanddwith），它被称为GG1其中矩阵W由下式给出：CD 中国广东省广州市为各个循环不等式（5）可以重新表述为1gii（j）Ci（j）ijwri（j）B,i,j,(10a)G1TM（六）R是PRGA指数ΓDD0Mij哪里T DG D C（G D C）1.GII（jω）Ci（jω）δik W字（jω）ωωB，ωi，k（10b）条件（6）可用于不具有或具有RHP零点的稳定系统（对于最小和非最小相位情况）。然而，上述条件在低频率下可能相当有限，其中TD= 1，对于没有δ ik是Γ Gz的元素。不等式（10a）、（10 b）确定了性能极限--单回路模块实现所需RHP为零，这可能限制性太大。这种情况的替代条件在引理2中。引理2（Skogestad和Postlethwaite，2009）考虑具有分散控制器C（s）的稳定系统G（s）。假设G和GD都不具有RHP零，则在以下条件下，可忽略的系统是可接受的：是稳定的，E（G G D）G MG 1，S （I G D C）1.控制误差和干扰抑制，前者在控制设计阶段讨论。3. 案例研究本节通过案例研究演示了所提出的分散PID控制器设计方法。四槽工艺已经在（Johansson等人，1999; Johansson，2000），并提供了一个案例研究，分析最小和非最小相位MIMO系统在同一工厂。以下内容可供参考：稳定意味d et 这是一个很大的漏洞，然后G1SDESD联系我们1，或1.（七）GM对于所有频率，必须满足备选方案（6）或（7）中的任一个。2.4 分散控制系统性能相对增益阵列PRGA已被引入（Hovd和Skogestad，1992年），并显示为适当的配对提供信息，但也分散控制系统的性能限制。PRGA定义为34v112v2MG2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会75图三.四槽工艺方案。在教学中，我们使用图3所示的可视化非线性模型-由我们的学生在Matlab虚拟工具箱中创建PRGA（G）中国香港D（s）中国香港（八）研究所，在他的最后一篇论文，（Eschel，2007年）。输入v1和v2 分别是泵1和泵2的流量，目的是- 控制输出y1和y2，即下部罐1和2中的液位。2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会761γ2 WP1WP30WP2113一24一3一4一1四容水箱非线性模型的状态方程为四容水箱过程dh1巴西a12GH 一个32GH1k1v对于四容水箱系统（13），我们考虑了dt A1A11改变阀门位置，即变化1、2002年，dh2中国22GH 一个42GH2k2v不确定域由三个工作点指定：dt A2A22（十一）在最小相位区域：WP 1：α1= 0.4，α2= 0.8;dh3巴西a32GH（1WP2：WP1= 0.8，WP2= 0.4;WP3：1= 0.8，dt A33dh4西班牙语42GH（1在非最小相位区域：WP 1：1= 0.10.3;dt A44WP2：WP1= 0.3，WP2= 0.1;WP3：1= 0.1，2= 0.1。（14b）其中，对于第i个储罐：Ai是横截面，Ai是出口，hi为水位i;g为重力加速度，对应 到 泵 我 是基维岛 参数1表示1将泵1的流量分流到下部WP的罐1： 第一章k1v1 和相关的上水箱4：（1 1）k1v1和类推地节流阀2将流量从泵2分流到油箱2和3。非线性模型（11）可以在由水位给出的工作点附近线性化，γ1WPWPγ1坦克h ，h ，h ，h ：这是第一批学生3210203040011T1A30 0T3A110000k10Aa) 最小相位配置b）非最小相位配置。x11x（1个）k 00 0022个月（十二）见图4。 由工作点x中国大陆x3A3条评论1条年12月日1A4英寸x2英寸K2u标称模型G0（s）作为平均值 00T T2一x42 42张照片x4张照片1参数值用于控制设计。000（）k1 400万 A4. 分散控制器设计其中T，1，...，4;四重罐学生在实验中学习第2节中概述的材料，偏差状态变量是xh和相应的在虚拟模型上进行实验，我0线性化 模型 在 工作 点， 选择合适控制变量是uvvi0;参数t已被配对， 设计 分散 控制器 和 核实其省略;对应于罐2和3中的液位的状态变量在状态向量中互换，使得与来自泵1（罐1和3）的输入U1和来自泵2（罐2和4）的输入U2相应的子系统更加明显。输入v1和v2的相应传递函数矩阵输出y1和y2是通过将其应用于虚拟模型控制的设计及其质量;控制设计的可能结果如下所示。4.1 模型参数本文考虑四容水箱线性化模型（13），参数为：A1<$A3<$30[ cm2]，A2 <$A4 <$35[ cm2 ]，A3<$A4<$35[ cm2]，A4阿利什卡c（1磅）a1美元a3美元。0977[ cm2];a2美元a4美元。0785[ cm2];1 1 1 2T1sh10h20[ cm]; h30 2. 75 [ cm]; h40 2. 22[ cm];G（s）c（（十三）22 122g981;k 1。790; k2 1。八二七（T4s1）（T2s1）T2Ai2hi0阿一格Ti ki2hi0AI G12212012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会77从三个工厂模型（13）评估工作点其中c，i1，2.从分别用于最小和非最小相位情况的不确定区域（14a）、（14 b）中，我们获得下面的结果标称（平均）模型。该设备可以简单地通过改变控制在较低相位配置和较低相位配置之间的流量比的阀来从最小相位配置转换到非最小相位配置，反之亦然。4.2 控制配置（配对）选择对于线性化模型上坦克。最小相位配置四缸（13），以选择适当的配对。对应于11221到0的整数。非最小相位RGA（0）0*GT1 （十五）1 2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会78y2，w2哪里 11 221取决于阀门参数1、性能界限：从（10a）获得的权重的上限如图6所示。wri（）2002年独家。 分别选择配对元素为正且最接近1。 对角线1.5稳定性条件：norm（...）<M0元素λ对于1122（最小相位）系统）和相应的配对是v，v 很好 持续11 1 2 201 2 1（非最小相位系统），相反0.5配对v1y2，v2y1表示。这一结果得到认可通过计算Niederlinski指数（3），其在两种情况下都是正的。最小相位模型0-0.5M0标准（Td）标准（Sd）10-310-210-12002 年。46671 .一、2333 频率w[rad/s]G（s）62秒 1（23条第 1款）（62条第 1款）（十六）图5.分散控制的鲁棒稳定性条件1. 5667中国（301）（ 90s1）3. 13331990年代年性能通过PRGA 11 100约束性能通过PRGA 12 100约束对于配对v1y1，v2y2.非最小相位模型50 502003 年。08300。61670四、二00-4-2 0G（s）仲裁（23s 11）（ 62s 11）62秒 1秒（十七）10 1010 10 10 100到0。78333. 9170性能通过PRGA 21 100约束性能通过PRGA 22 100约束90s1(30s1)(90s1)传递函数矩阵的列相对于相对配对v1-y2，v2-y1互换。4.3 分散控制设计策略在最小和非最小相位情况下，50010-410-2频率w[rad/s]10050010-410-2频率w[rad/s]100分散式（双回路）PID控制器（18）被独立地设计用于两个回路，例如，使用SISO设计图6.参考值方法的基础上逆模型，然后失谐，如果必要的话，基本上通过降低增益。阶跃响应：y13025阶跃响应：y23025C（s）1（s）（十八）20 20中国0C2（s）中国15 15其中Ci（s）PiIi/ sDi si=1，2.10 10分散控制器的设计策略是：在设计C_i（s）的参数时，首先考虑稳定性判据（6）或（7）作为回路响应的界，500 500 1000 1500时间[s]500 500 1000 1500时间[s]下一步是在稳定性范围达到由性能界限（10a）“测量”的所需性能规范的界限最小相位分散控制针 对 各 个 回 路 设 计 的 PI 控 制 器 参 数 为 ： P1=1.30 ，I1=0.053;P2=1.38，I2=0.049。所设计的分散控制系统的特性如图5-7所示。图5显示了在这种情况下不满足稳定性条件（6）y1，w12012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会79图7.阶跃响应：最小相位稳定系统非最小相位情况下的这种配置的特点是瞬态RHP零点的存在（而个别的传递函数没有RHP零点），这使得分散控制器的设计复杂化。我们说明了两种不同的设计控制回路的相互作用的影响。在第一种情况下，采用与最小相位情况相同的分散控制器，虽然单个回路指示稳定性能，但总体稳定性条件不满足。图8中的阶跃响应显示了单个回路（两者都是稳定的和阻尼的）与不稳定的整个系统之间的显著差异。2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会80M0norm（T...）y 2[cm]阶跃响应：y1504030阶跃响应：y24030203030252520201515200 1000 20003000时间[s]阶跃响应-回路1：y150100 1000 2000 3000时间[s]阶跃响应-回路2：y2403510500 500 1000 1500 20002500t[s]10500 500 1000 1500 2000 2500t[s]4030200 1000 20003000时间[s]3025200 1000 20003000时间[s]Fig.11.阶跃响应：非最小相位，稳定系统5. 结论以四容水箱为例说明了分散控制设计策略。配对，强大的稳定性和图8.阶跃响应：非最小相位，不稳定系统下一个（失谐）情况：P1= 0.208，I1= 0.0039;P2=0.238，I2= 0.0030表明，只要满足条件（6）（图9：红线下方的蓝线），整个系统响应与单回路响应相似-图11;低频性能指标仍然令人满意（图11）。10）。稳定性条件：norm（T...）<M0分散控制下的性能。从图5与图9、图6与图10的比较中可以看出最小相位情况与非最小相位情况之间的差异，这表明非最小相位情况的带宽几乎低十倍。图7和图8中的阶跃响应证实了这一点。十一岁在教学中，案例研究由图3所示的非线性虚拟模型表示，针对线性化模型设计控制，并在Simulink中验证，然后应用于虚拟模型32.521.510.50-510四三10 10确认这项工作得到了斯洛伐克科学资助机构（资助号：1/1241/12 ） 和 斯 洛 伐 克 研 究 与 发 展 机 构 （ 资 助 号 ：APVV-0211-10）的支持。引用Hovd，M.和Skogestad，S.（1992年）。用于控制系统分析、结构选择和设计的简单频率相关工具。Automatica，28，no.5，pp. 989-996. Johansson，K.H.（2000年）的第10/2000号决议。四槽工艺：A频率w[rad/s]图9.分散控制的鲁棒稳定性条件2具有可调零点的多变量实验室过程。IEEE控制系统技术汇刊，第8卷，第3期，第456 -465页。性能通过PRGA 11 100约束80604020010-410-2性能通过PRGA 21 100约束80604020性能通过PRGA 12 100约束80604020010-410-2性能通过PRGA 22 100约束80604020约翰松，K。H、Horch，A.，维克岛和Hansson ，A.（1999年）。教学多变量控制使用四槽过程。In：Proc. 38nd IEEE CDC，Phoenix，AZ.Rosinová，D.和Kozáková，A.（2009年）。鲁棒分散PID控制器设计：案例研究。在：IEEE圣彼得堡，俄罗斯Rosinová，D.和Markech，M.（2008年）。四容水箱过程的鲁棒控制。ICIC Express Letters，2，（No. 3），pp.231-238.Schmidt，H.（2002）：基于模型的分散控制配置设计。瑞典斯德哥尔摩皇家理工学院毕业论文斯科格斯塔德湾和Postlethwaite，I.（2009年）。多变量反馈控制：分析与设计。约翰威利父子有限公司，英国西萨塞克斯郡奇切斯特010-4频率w[rad/s]010-210-4频率w[rad/s]10-2J. J. P.（2009年）。用Matlab/SimMechanics建立机械系统计算机模型毕业论文，斯洛伐克技术大学，FEI，布拉迪斯拉发，Fig.10.参考值斯洛伐克的加权函数界限。y1，w1y1，w1y2，w2y2，w2y1[cm]