造纸机横向控制器的线性矩阵不等式

可在www.sciencedirect.com上在线ScienceDirect电气系统与信息技术学报2（2015）283造纸机横向控制器的线性矩阵不等式Mohammed E.Ammara，b，Cindy， Guy A.杜蒙ca埃及开罗大学工程学院电力和机械系b加拿大滑铁卢大学电子与计算机工程系c加拿大不列颠哥伦比亚大学电气与计算机工程系，2356 Main Mall，Vancouver，BC，Canada V6T 1Z4接收日期：2015年5月31日;接受日期：2015年11月29日2015年12月17日在线发布摘要造纸机横向（CD）过程是一个大规模的空间分布系统。已知它是严重病态的，因为对于某些工艺方向增益滚降到零。本文提出了一种用于环路成形低阶空间局域CD控制器的自动调谐技术。在对过程模型进行闭环辨识之后，通过线性矩阵不等式（LMI）可行性问题来合成CD控制器，以保证标称稳定性、性能和对模型不确定性的鲁棒性通过ν-gap度量，研究了存在参数不确定性时控制器的鲁棒稳定性和性能的LMI回路形状控制器的性能进行了说明，通过比较它的工业CD控制器，已在造纸厂实施。© 2015作者。Elsevier B.V.代表电子研究所（ERI）制作和主持。这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词：横向控制;多变量回路成形;线性矩阵不等式1. 介绍纸的性质由一组致动器阵列控制，当纸张沿机器方向（MD）移动时，致动器阵列沿横向（CD）作用致动器阵列包括唇片、稀释致动器、蒸汽箱、再湿淋浴器和感应加热。纸张轮廓通过一组扫描传感器在纸张上来回移动来监测。CD多变量过程可以有30到300个执行器和200到1000个测量点。CD控制器被设计为衰减干扰的影响，同时提供对建模不确定性的鲁棒性。在Duncan（1989）中，作动器空间响应的傅立叶变换分析表明，它可以分为可控和不可控分量。简化设计问题的一种方法是减少*通讯作者。电子邮件地址：mohammed. eng.cu.edu.eg（M.E. Ammar），guyd@ece.ubc.ca（G.A. Dumont）。电子研究所（ERI）负责同行评审。http://dx.doi.org/10.1016/j.jesit.2015.11.0062314-7172/© 2015作者。制作和主办：Elsevier B.V.电子研究所（ERI）这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。284法医Ammar，G.A.Dumont/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）283∞通过基函数表示Rigopoulos（1999）、Kristinnson和Dumont（1996）、Heath（1996）中的gram多项式以及Featherstone等人（2000）中的模态分解来确定维数。Hovd和Skogestad（1994）以及Laughlin等人提出了循环对称对象的控制设计。（1993年）。VanAntwerp等人提出了设计低阶鲁棒可调CD控制器的算法。（2001年）的第10页。一种用于工业CD控制器的二维回路成形技术已经在许多造纸厂中作为商业产品的一部分被实施。Stewartet al.（2003 a）和Stewartet al.（2003 b）。Mijanovic（2004）和Mijanovic等人提出了一种修改通过二维回路成形设计的CD控制器以处理边缘效应的技术。（2003年）的报告。 在Gorinevsky等人（2008）中，提出了在空间分布反馈系统中设计稳态性能和鲁棒性的控制器。在Featherstone和Braatz（1997）、Featherstone和Braatz（1998 a）和Featherstone和Braatz（1998 b）中，已经表明当使用鲁棒控制设计方法时，并不总是需要显式约束处理，因为对应于低增益的方向不由SVD控制器操纵。Taylor andDuncan（2010）的CD控制器采用了相同的论点。在这种假设下，基于内模控制的CD控制器在Kristinnson和Dumont（1996）、Laughlin等人（1993）、Rojas等人（2002）和VanAntwerp等人（2001）中进行了讨论。在Farahmand等人（2010）中，提出了一种基于帆板方法的无约束内模控制的Hur等人（2011年）提出了一种与IMC类似的CD控制器与观测器相结合，旨在最大限度地减少过程和模型失配。在Heath和Wills（2004）中开发了作用于可控过程模式的子集的受约束IMC CD控制器。 在Morales和Heath（2011）中，通过积分约束理论为约束CD控制开发了鲁棒稳定性测试。模型预测控制（MPC）已经被考虑用于造纸机的控制，Duncan和Corscadden（1998），Rigopoulos等人（1472）和Zheng（1999）。线性或二次优化问题在线求解，在每个采样实例受到特定的约束。由于问题的大规模性质，在采样时间内解决优化问题并不总是可行的 在Rigopoulos和Arkun（2003）中，针对降阶模型解决了MPC问题。VanAntwerp和Braatz（2000 a）和VanAntwerp和Braatz（2000 b）的工作用最优2-范数近似代替了执行器约束，以加快计算速度 在Fan（2003）和Fan et al. （2004），通过过程的矩形循环矩阵分解开发了工业CD模型预测控制器（MPC）。虽然CD MPC在业界越来越受欢迎，但传统的CD使用Dahlin控制器的控制仍然是常见的。（2011年）。使用H，H2等技术的CD控制器的合成可能难以处理现有的计算能力。多变量过程中的输入和输出的数量比其他过程控制应用高一个数量级。传统的控制设计技术将导致一个完全集中的控制器连接每个执行器与每个测量数据盒。这将为具有数百个致动器和传感器的系统增加不必要的实时计算复杂性。Stewart等人的工业CD控制器结构。（2003a）的方法。Stewart等人提出的二维回路成形技术。（2003年a）和Stewart et al.（2003b）导致非局部化控制器。手动执行几次迭代，直到实现性能和本地化之间的权衡。本文的主要贡献是发展了一种用于回路成形的鲁棒低阶空间局部CD控制器的调谐技术。在线自动整定工具需要不需要人工干预的快速自主控制器综合算法。在使用AmmarandDumont（2013）和Ammar（2014）中开发的方法识别闭环中的CD模型时，解决线性矩阵不等式（LMI）可行性问题以合成CD控制器，该控制器保证闭环标称稳定性、性能和对建模不确定性的鲁棒性调谐技术是伴随着一个强大的稳定性和性能测试，以保证鲁棒性的过程中的空间和动态响应的预期变化。第2节介绍了CD过程模型、工业CD控制器和闭环要求。第3节介绍了一种使用LMI的循环成形CD多变量控制器的技术。参数不确定情况下保证反馈回路鲁棒稳定性和鲁棒性能的ν-gap方法在第4节中开发。在第5节中，所提出的控制综合技术进行了验证，通过比较自动调谐控制器的性能，从斯图尔特等人的工业CD控制器。（2003年a）。2. 问题陈述CD过程描述了致动器阵列和受控特性之间的关系。它被建模为一个恒定的空间相互作用矩阵级联的一阶传递函数与死区时间。死区时间代表法医Ammar，G.A.Dumont/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）283285∈∈×==-Σ输送延迟是纸张从致动器行进到位于造纸机远端下游的传感器所花费的时间。2.1. 过程模型CD过程的模型为：y（z）=G（z）u（z）+Dy（z）（1）离散时间多变量过程模型为：G（z）=B0g（z）（2）z−Tdg（z）=1−az−1（3）其中y（z）是测量曲线y（t）的z变换u（z）是致动器设定点曲线u（t）的z变换Dy（z）是扰动曲线Dy（t）的zy（t）Rm，u（t）Rn其中R表示实数域m是测量数据盒的数量，n是致动器的数量B0是空间相互作用矩阵g（z）是离散时间模型Td是死区时间用符号M = Toeplitz（m，n）表示n阶带对角对称Toeplitz矩阵，其中m [m1，m2，，mnm].CD过程动力学g（z）可以表示为：g（z）=[I − Az−1]−1z−Td 其中A=I × a（4）如Kristinnson和Dumont（1996）和Rojas等人所示，该系统已知是严重病态的。（2002年）的报告。最大奇异值与最小奇异值之比的条件数（条件数）可以达到数千。 在Skogestad et al. （1988），病态的传递矩阵被证明在设计反馈控制器时需要特别注意系统的方向性。CD控制中的标准实践是将高分辨率测量轮廓向下映射到致动器分辨率，从而产生具有带对角对称矩阵的正方形空间相互作用矩阵，如Bergh和MacGregor（1987）、Chen和Wilhelm（1986）、Laughlin等人（1988）中所述。（1993）、Stewart等人（2003 a）、Stewart等人（2003 b）和Farahmand等人（2003 b）。（2010年）。2.2. 光盘控制器结构本文采用Stewart等人（2003a）提出的工业控制器结构。它是一个多变量扩展的达林补偿器，这是一个比例积分控制器与死区补偿。这种控制器的优点是通过一个单一的调整参数来改变闭环响应此外，补偿器可以处理过程时滞中的不确定性。由于CD过程中的死区时间从传输延迟中增加，因此它将随着纸张行进速度的变化而变化。设e（t）∈Rn为时间t处的误差分布。执行空间解耦以给出解耦轮廓ec（t）。ec（t）=Ce（t）（5）C Toeplitz（c，n）与c [c1，c2，，cnc]Dahlin控制器以速度形式实现：dc−1v（t）=（1−αc）[ec（t）−ac ec（t−1）−v（t−i）]（6）i=1其中αc、ac和dc是补偿器调谐参数。286法医Ammar，G.A.Dumont/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）283S联系我们=-−c c++| | ≥Ci=1Fig. 1. 工业反馈回路。根据差分方程更新致动器轮廓u（t）=v（t）+Su（t−1）（7）其中SRn×n是带对角对称光滑矩阵，其中S Toeplitz（s，n）和s[s1，s2，，sn].平滑矩阵是必要的，以在过程方向上的回路中提供积分器，其中无限允许控制器增益然而，平滑矩阵被调整，使得S/在某些处理方向上滚降到零。多变量反馈控制器由下式给出：I使能控制器环路增益K（z）=[I−Sz−1]−1Cc（z）（8）以下传递函数表示不包括积分器的达林控制器的z变换（1α）[1a z−1]c（z）=1+（1−α）<$dc−1z−i（9）致动器轮廓由下式给出：u（z）=K（z）e（z）（10）工业反馈CD闭环如图所示。1.一、2.3. 闭环要求对于输出干扰（Dy（t））抑制，要求σ（[IG（z）K（z）] −1）和σ（[IG（z）K（z）] −1G（z））小，特别是在低时间频率处，其中σ（. ）表示最大奇异值McFarlane和Glover（1992年）。 G（z）的增益在一些过程方向上滚降到零，并且在对应的过程模式处可能存在符号增益不确定性。（2000年）的第10/2000号决议。由于CD过程是开环稳定的，因此标称稳定性要求闭环传递矩阵TuDy：K（z）[I+G（z）K（z）]−1（11）对所有z1过程中的模型不确定性是不可避免的，并且来自几个来源，如映射，纸张漂移，收缩，造纸机速度和故障执行器。这是最好的表示为添加剂模型的不确定性。Gp（z）=G（z）+<$G（z）（12）对于鲁棒稳定性，必须设计控制器K（z），使得闭环标称稳定，并且：最大值100 =σ（K（z）[I+G（z）K（z）]−1）1<（十三）Dy=/0<$Dy<$2β根据小增益定理Zhou和Doyle（1998），对于所有的加性不确定扰动G（z）≤β，闭环是稳定的。法医Ammar，G.A.Dumont/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）283287=.Σ联系我们2.4. CD过程的循环矩阵逼近一些幅材加工过程，如塑料薄膜的吹塑挤出，用循环矩阵来模拟，因为幅材是Duncan（1989）andHeath（1996）. 在本文中将使用符号M=循环t（m，n）来表示具有非零元素m的对称循环矩阵[m1，m2，，mnm].由于CD过程中出现的窄带对角对称Toeplitz矩阵与循环矩阵之间的差异是一个小扰动，因此在一些CD控制的论文中，CD空间相互作用矩阵被近似为一个循环矩阵。（2003 a），Stewart et al. （2003 b），Fan（2003），Fan et al. （2004）和Farahmandet al. （2010年）。 循环矩阵近似等价于Gorinevsky和Stein（2003）和Gorinevsky等人（2008）中采用的线性空间不变性（LSI）假设。在Gray（2006）和Gray（1972）中，已经证明了带对角矩阵及其循环逼近是渐近等价的。这两个矩阵的特征值是渐近均匀分布的（定理4.1，Gray，1972）。2.5. 利用Fourier矩阵考虑Eq中的过程模型。（2）和Eq.中的工业CD控制器。（八）、用循环矩阵B_0、C_0、S_0逼近Toeplitz矩阵B_0、C_0、S_0得到循环过程模型和控制器：G（z）=[I−Az−1]−1z−TdB<$0（14）K（z）=[I−Sz−1]−1Cc（z）（15）CD过程模型和工业控制器可以通过与实傅立叶矩阵F的前乘和后乘而分解为对角线上的n个SISO传递函数的集合。FG<$（z）F T=diag{g<$（z，<$1），g<$（z，<$n）}FK（z）F T=diag k<$（z，<$1），.......................................................，k<$（z，<$n）b（i）z−Tdg（z，i）=1−az−1k（z，）=c（i）c（z）（十六）（十七）1−s（i）z−1反馈控制器可以被合成为n个SISO控制器（k∈（z，z））的家族，对于每个空间频率k ∈i ∈1，k ∈2，..，乌布 Bamiehet al.（2002），HovdandSkogestad（1994）and Stewart（2000）. 的 利用Stewart等人给出的小增益定理，研究了忽略边缘效应对系统标称稳定性的影响。（2003年b）。3. 基于线性矩阵不等式的3.1. 多变量CD成圈回路成形是Doyle和Stein（1981）建立的多变量反馈控制器设计方法之一。 在环路成形设计中，闭环目标是根据开环补偿系统的奇异值要求来确定的。设计在低频处具有高开环增益的控制器在这些频率处提供令人满意的闭环性能。至于鲁棒稳定性，开环增益必须在模型不确定性显著的必须确保闭环的标称稳定性循环矩阵的特征值在大小上等于其奇异值，因此通过以下过程解决大规模CD环路成形问题：1. 方程中的达林控制器使用动态性能参数αc，将公式（9）调整到α1= 0。遵循IMC整定规则，将参数ac和dc设置为等式（1）中的过程模型的a和Td的值。（3）分别。我288法医Ammar，G.A.Dumont/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）283=+=b（i）1+g（z，）k（z，）iik（z，i）σg<$（z，<$）k<$（z，<$）2. 矩阵S根据布莱克曼卷积窗滤波器H=Toeplitz（h，nd）来参数化：S=I+λ（H − I）λ <$0。01（十八）其中h[h1，h2，....， h nd]和h12 h2.2 h nd13. 求解一个线性矩阵不等式系统，以提供保证n个闭环SISO标称稳定性的c_∞（i）同时确保开环性能和鲁棒性约束满足其各自的集合。3.2. 空间解耦矩阵C_∞的LMI综合技术Dahlin控制器c（z）被调谐用于可接受的动态响应，并且S_（z）根据等式（1）被调谐。（18）空间阶数为nd。 本节介绍了一种LMI技术来合成对称循环控制器K（z）。标称的稳定性，性能和鲁棒性约束铸造为线性矩阵不等式的每个奇异值使用舒尔补充博伊德等人。（1994年）。3.2.1. 标称稳定性如果由方程中的被控对象和控制器构成的n个SISO闭环，则保证了循环系统的标称稳定性。（17）是内部稳定的Hovd和Skogestad（1994）和Bamieh等人（2002）。如果CD过程是开环稳定的，则所有被控对象g∈（z，i）都是稳定的。c（i）的初始值记为1/b（i）其中，n∈{n1，n2，. .，n}。通过限制0<αc1<的值，保证了n个SISO回路的内部稳定性. 计算每个SISO循环处的增益M（Mi），以给出最大所有可输出C（Mi）x（Mi）=GM（Mi）边际稳定性。标称稳定性的条件是：|cmax（i）|0∈[0，n]（20）3.2.2. 性能在低时间频率处对开环奇异值进行环路整形以用于性能由下式给出σ[GK（z）]>σ性能惠σ[g（z，i）k（z，i）]>σ性能∀υi∈[0,υper],ωt∈[0,ωper]（二十一）对应于空间频率偏移器的奇异值是对应于最高空间频率的可控模式时间频率ωper是必须满足性能约束的最高时间频率。这些约束由LMI集g<$（z，<$i）k<$（z，<$i）σ性能Σ性能i i3.2.3. 稳健性CD过程鲁棒性的环路整形，其中σ（GK）1可以在稳态（ω= 0，z= 1）下近似为：σ[K（1）]σrobustness惠σ[k∈（1，n）i]σrobustnessn∈[k∈b ust，n/2]（23）Σ>0（22）法医Ammar，G.A.Dumont/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）283289ΣΣ={∈||}鲁棒性约束被转换为LMI的集合：σ鲁棒性k（1，i）k<$（1，i）σ稳健性>0（24）3.2.4. 空间局部化解耦矩阵C的合成在Gray（2006）中，已经证明了大小为（n×n）的循环矩阵的特征值是：nμi=cke−j2πi（k−1）/n（25）k=1F或对称循环矩阵C=Circulant（c，n），c=[c1，c2，cnc]：........ncc（i）=c1+2ckcos[（k−1）i]（26）K=2LMI的集合根据循环矩阵C的非零元素c来转换。4. 鲁棒稳定性和性能在CD控制设计中考虑了模型的不确定性。VanAntwerp等人在设计鲁棒低阶CD控制器时考虑了各种不确定性描述。（2001年）的第10页。 在工业CD控制模型中，考虑附加矩阵扰动是标准的。Stewartet al.（2003a），Stewartet al.（2003 b）和Fanet al.（2004）。Gorinevsky和Stein（2003）将多维结构不确定性分析应用于横向造纸机过程。 本文主要研究存在参数不确定性时反馈回路的鲁棒稳定性和性能。 以下分析对于生产不同等级纸张的造纸机是有益的，而无需为每个等级重新调整控制器Fan（2003）。每个纸张等级与其致动器的空间和动态响应相关联由于纸机速度的变化，过程传输延迟会有所不同在Morales和Heath（2011）中，研究了CD模型的传输延迟、增益和时间常数对实际变化的鲁棒性在这一节中，我们提出了一个ν-gap准则来研究扰动回路对参数不确定性的鲁棒稳定性 ν-gap测量闭环Sootla（2014）中扰动和标称模型的接近程度。4.1. ν-gap度规两个植物G0和G1之间的ν-间隙度量（δν（G0，G1））是当满足缠绕条件（wno）时它们的L2 这仅取决于它们的频率响应Vinnicombe（1993）、Vinnicombe（2001）和DateandVinnicombe（2004）。对于SISO系统，ν-间隙等于它们的奈奎斯特图在黎曼球面上的投影之间的弦距离。可以直接从系统传递矩阵计算ν-间隙度量，如下所示（Zhou和Doyle，1998年的定理17.6）：δν（G0，G1）：=δνωωW（G0，G1）ω∞，⎪⎩1 否则如果det（I+G<$1G0）（ejω）=/0∀ω&wnodet（I+G<$1G0）+η（G0）−η（G1）−η0（G1）=0（二十七）其中：W（G0，G1）=（I+G1G<$1）−1/2（G0−G1）（I+G0<$G0）−1/2（28）（*）表示共轭转置Z：z C：z >1 δZ是这个集合C表示复数域η（G）表示单位圆290法医Ammar，G.A.Dumont/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）283η0（G）表示G在δZwno（G）表示在δZ上围绕G的任何极点或零点缩进的标准奈奎斯特轮廓上评估的绕组数扰动回路的鲁棒稳定性可以通过频率测试来检查定义：1：=σI<$[I+G0（ejω）K（ejω）]−1<$I G0（ejω）<$（29）和bG0，K（ejω）K（ejω）n（G0（ejω），G1（ejω））=σ（W（G0，G1））（30）Zhou和Doyle（1998）的定理17.8指出：设[G0，K]是稳定的且δν（G0（z），G1（z））1，则[G1，K]是稳定的，如果：bG0，K（ejω）> n（G0（ejω），G1（ejω））nω（31）4.2. CD过程的鲁棒稳定性判据对于维数在几百维范围内的多变量CD过程，计算ν -间隙将是计算效率低的。用循环矩阵G_0逼近CD过程G_0，可将过程分解为n个SISO传递函数g_0（z，z_i），便于进行鲁棒性检验。扰动的多变量反馈回路[G<$1，K<$]是稳定的，如果标称回路[G<$0，K<$]是稳定的，并且：bg，k（ejω，i）>（g0（ejω，i），g1（ejω，i））ωi（32）为了保证具有参数不确定性的扰动回路的鲁棒稳定性，必须计算两个曲面一个是对ε（g∈ 0（ejω，ε），g∈ 1（ejω，ε））（记为ν曲面），另一个是对bg∈1，k∈（ejω，ε）（记为稳定曲面）在时间频率网格和所有n个奇异值上。只要ν-曲面低于bG≠0，K≠ 0到处都有强大的稳定性 更多的细节可以在Ammar（2009）中找到。5. 仿真结果表面在Stewart等人（2003 a）的一致性剖面CD过程中，将开发的CD控制合成技术与二维回路成形方法进行了比较。用于CD工艺的模型取自加拿大造纸机，其以45 g/m2的重量生产新闻纸。该配置具有226个以35 mm的间隔隔开的稠度分布致动器的阵列过程模型由下式给出：y（z）=G（z）u（z）+Dy（z）G（z）=[I+Az−1]−1 Bz−TdDy（z）=[I+ Hz−1]−1[I+ Ez−1]Dg（z）+Ds（z）B =Toeplitz（[-4. 889，-2。8023，-03401，0。0966，0。0208]10−3，226）A =Toeplitz（[−0. 8221]， 226）E= Toeplitz（[−0. 8221]， 226）H= Toeplitz（[−0. 999]， 226）A，B，E，H∈R226 <$226Td=3是死区时间。采样时间为25 s。（三十三）致动器之间的间隔导致致动器阵列具有14.28周期/米的空间奈奎斯特频率Dy（z）是输出扰动的z变换，其中Dg（z）和Ds（z）分别是高斯噪声和静态扰动的z变换法医Ammar，G.A.Dumont/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）283291ˆH我βˆ0.0120.010.0080.0060.0040.002020 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220奇异值图二.托普利兹和循环空间相互作用矩阵的奇异值与特征值。4图3给出了带对角矩阵B的奇异值及其循环逼近B的奇异值和循环矩阵经傅立叶矩阵分解后的特征值。 二、该图表明，循环近似是合理的，因为Toelpitz矩阵和循环矩阵的奇异值几乎相同。循环矩阵的奇异值与通过傅立叶矩阵的循环矩阵分解获得的特征值的排序绝对值相同纸张性质的估计标准偏差（2 σ p）在工业中用作纸张质量的量度。（2004年）。 当2 σ p值超过用户指定的限值时，将触发自动调谐技术。使用Ammar和Dumont（2013）开发的方法进行闭环识别实验。在对应于低时间频率和可控过程方向的集合▲ l处强制执行性能约束。鲁棒性约束在时间稳定状态下使用对应于高空间频率的模式集合▲h来实施在这些模式下，建模不确定性很大，可能导致增益符号不正确。▲l={{ω，ω}：ω<0. 02赫兹，100赫兹<6。5m−1}：. g∈（ej ω，εi）k（ej ω，εi）. >10（34）▲ ={>10 m −1}：. k（ejω，ε）. |1<，β = 0。2G（z）（三十五）表1给出了Stewart等人（2003a）中的二维控制器和多变量LMI回路形控制器的调谐参数。5.1. 标称性能当在二维控制器下运行时，相同的输出扰动分布被施加到闭环，并且在使用LMI回路成形技术对CD控制器进行自动调谐后再次施加到闭环。在Intel Corei 5上解决LMI循环成形技术的LMI可行性问题的计算时间2.5GHz CPU为8.74 s，小于一个采样时间。幅度SVD Toeplitz BSVD循环Bc绝对值（FFT（循环Bc））分类绝对值（FFT（循环Bc））我ω=0表1控制器调整参数。控制器参数符号二维回路成形多变量线性矩阵不等式环成形解耦空间秩序nc45解耦卷积平滑空间运算符Cnd[-67.5392，-31.726，15.1928，15.3481]【-86.86，-45.5，7.8，11.48，2.2】4平滑卷积内模杆C一个c[0.9928，0.0023，0.001，0.0002]0.8221[0.99，0.0025，0.0015，0.001]0.8221内模死区时间Dc33阿尔法αc0.82210.7∞292法医Ammar，G.A.Dumont/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）283图三.线性矩阵不等式回路型及二维控制器之闭回路稳态性能。见图4。 灵敏度函数。图3（a）中两种控制器的稳态测量曲线的误差谱表明，由LMI回路成形技术设计的控制器比二维回路成形控制器性能更好。线性矩阵不等式（LMI）环形CD控制器对空间波长为9 cycle/m的误差分量进行了有效的衰减。二维控制器稳态时的致动器谱如图所示。 3（b）款。频谱表明，线性矩阵不等式回路形状的控制器是稍微更积极的比二维控制器。两种控制器都不追踪误差分布的高空间频率分量。1传递矩阵TyDy（[I+G（z）K（z）]-）的奇异值相对于空间频率ωi绘制。与二维CD控制器相比，LMI回路形控制器导致图4（a）中的稳态灵敏度函数提供更高的衰减带宽。在稳态时，传递矩阵T uDy（K（z）[I + G（z）K（z）] −1）的奇异值如图所示。 4（b）. 上述转移矩阵在对应于高空间频率的工艺方向上具有低增益5.2. 对非结构化不确定性的线性矩阵不等式（LMI）的环状闭环有σ（K（z）[I + G（z）K（z）] −1）= 69。26满足方程中的鲁棒稳定性（13）对于β= 0. 225G（z）∞。法医Ammar，G.A.Dumont/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）283293表2CD工艺参数的变化参数最小值面值最大值Time delay（Tds）7585时间常数（τs）110127.6140增益−3.91×10−3−4.889×10−3−5.87×10−3表3标称与扰动的植物动态。受扰对象g1（z）的动力学模型标称工厂g0（z）扰动植物g2（z）g（z）z−3（0. 489 + 0。6549z−1）1- 0。小行星7965z−31 - 0。8 .第八条。小行星221z−4（0. 5679 + 0。3463 z−1）1−0。小行星8374图五.扰动回路的鲁棒稳定性与性能。5.3. 对参数不确定性的在本节中，假设过程模型没有更新，研究了LMI回路形控制器 传输延迟、时间常数和过程增益的预期变化见表2。由于改变行进片材的速度，假定传送延迟在65秒和85秒之间变化。最小和最大延迟分别对应于Td1=2.6Ts和Td2=3.4Ts的非整数时间延迟对应于时间延迟和时间常数的最大值和最小值的扰动过程动态g1（z）和g2（z）的修改的z变换等价物在表3中给出。图图5（a）和（b）表明，ν-曲面（ε（g0，g1）（ej ω，ε））和（ε（g0，g2）（ej ω，ε））低于稳定曲面（bg，k（ej ω，ε）），从而确保扰动回路是稳定的。最大值δν（g0（z，ni），g1（z，ni））=0.0 12 2和δν（g0（z，ni），g2（z，ni））= 0.0 12 3表明，在闭环系统中，扰动环[G1，K]和[G2，K]保证接近标称回路[G0，K]。5.4. 结果总结表4提供了两个CD控制器的输出干扰导致的测量曲线变化的2σp值线性矩阵不等式（LMI）回路形控制器使二维控制器的定量变化线性矩阵不等式回路成形技术导致了CD控制器，优于二维控制器从斯图尔特294法医Ammar，G.A.Dumont/Journal of Electrical Systems and Information Technology 2（2015）283表42σp工艺定量变化。二维控制器LMI环形控制器减少百分比标称工厂G00.9840.8565百分之十二点九四受扰植物G11.6451.29721.16%受扰植物G21.5521.365百分之十二点零九等人（2003年a）。所开发的CD控制器提供了强大的稳定性和性能的存在下，在运输延迟，空间和动态响应的不确定性。6. 结论这项工作提出了一个强大的CD控制器，是由纸张质量恶化触发的自动调谐技术。在执行闭环辨识实验时，反馈控制器被回路成形以提供闭环性能，同时确保对建模不确定性的鲁棒性。线性矩阵不等式回路成形技术的主要优点所开发的自动调谐技术可方便地用于生产不同等级纸的纸机LMI回路成形技术可以很容易地扩展到多阵列多属性CD控制过程。引用Duncan，S.R.，一九八九年成网过程的横向控制。伦敦大学博士 论文Rigopoulos，A.，1999. 主成分分析在板料成形过程辨识与控制中的应用。技术研究所，博士。 论文Kristinnson，K.，Dumont，G.，一九九六年。采用克多项式的造纸机横向控制。 Automatica 32（4），533-548. 希思，W.，一九九六年。 正交函数用于纸幅成形过程的横向控制。 Automatica 32（2），183-198.费瑟斯通，AP，VanAntwerp，J.，布拉茨河，两千 片材和薄膜工艺的识别和控制。斯普林格。Hovd，M.，Skogestad，S.，1994. 对称互联工厂的控制。Automatica30（6），957-973.Laughlin，D.L.，Morari，M.，布拉茨河，1993. 纸机横向定量控制的鲁棒性能。Automatica29，1395-1410.VanAntwerp，J.G.，费瑟斯通，AP，布拉茨河，2001年大规模板材和薄膜加工的横向控制。J. 过程控制11，149-177。斯图尔特，通用电气，Gorinevsky，D.M.，Dumont，G.，2003年a。空间分布系统的反馈控制器设计：造纸机问题。IEEETrans. 控制系统 技术 11（5），612-628.斯图尔特，通用电气，Gorinevsky，D.M.，Dumont，G.，2003年b。 二维回路成形。 Automatica 39，779-792.Mijanovic，S.，2004. 纸机在空域边界附近的横向控制。不列颠哥伦比亚大学，博士。论文Mijanovic，S.，斯图尔特，G.，Dumont，G.，戴维斯，M.，2003年。在系统间传递闭环稳定性的控制器摄动技术。Automatica39，1783-1791.Gorinevsky，D.M.，Boyd，S.，斯坦，G.，2008年 低带宽空间分布反馈的设计。 IEEE Trans. 自动 对照53（2），257-272。费瑟斯通，AP，布拉茨河，一九九七年。面向控制的片材和薄膜工艺建模。艾彻J。 8（43），1989-2001。费瑟斯通，AP，布拉茨河，1998年a。大规模过程的集成鲁棒辨识与控制。印第安纳 Eng. 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