Dunkl分析的新结果及其应用

一12埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2011）19，78关于Dunkl分析的一些结果：一个综述qM. Sifi*，B.Amri，J-Ph.Anker，S.Hassani，S.MustaphaDepartment of Mathematics，Faculty of Sciences of Tunis，2092 Tunis，Tunis2011年11月9日在线发布本文综述了文[2，8]中的一些新结果。首先，我们给出了一个几何接下来，我们更精确地描述了支持的分布相关联的Dunkl翻译在更高的维度。我们还研究了Riesz势Ij和相关的分数极大函数Mj ，a与Dunkl变换相关的LpfILq有界性最后证明了Riesz变换在Dunkl环境下的Lp-有界性，（1p<<2011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍Dunkl理论是对经典Fourier分析的推广。它始于20年前邓克尔参见调查[15，7]和其中引用的参考文献在这种情况下，Paley-Wiener定理已知对以原点为中心的球成立。在[9]中，对原点的凸邻域（在基本反射群下不变）建立了q作者部分得到DGRST项目04/UR/15-02和CMCU 程序10 G1503的支持。我们在第2节中的第一个结果是在晶体学情况下证明了这个猜想，遵循[9]中的第三种方法。广义平移在[14]中被引入，并在[19，16，17]中得到进一步的研究。除了它们的抽象定义，我们缺乏精确的信息，特别是关于它们的积分。表示sxf这在[14]中得到证明，并且在少数情况下成立，例如在维数N=1或f是径向的情况下。我们在第2节中的第二个结果涉及在更高维度中分布cx，y对于0a 2cj+d，Riesz势Ij f定义为：<<*通讯作者。Da电子邮件地址：mohamed. sifi @ fst.rnu.tn（M. Sifi）。SchwarzR（Schwartz函数类）（见[18]）1110- 256 X？ 2011埃及数学学会。生产和Ijfxda-1ZJsyfðxÞh2非对称的J由Elsevier B.V.主办在CC BY-NC-ND许可下开放访问。同行评审由埃及数学学会负责。doi：10.1016/j.joems.2011.09.001一哪里一Rdkyk2cjd-a-c -d=2aCadj¼2j2：Ccjd-a很容易看出，Riesz势作为积分算子作用在Schwartz类S_（？）R_d_（？）上，这是很自然的。制作和主办：Elsevier关键词Dunkl算子;Riesz变换RNJðÞ一J一2NJK1MKnNCJJe！0jyj>eXJYJJNþ变换是光滑JJ2ð Þ ðÞ2Dbj2jN关于Dunkl分析的一些结果：一项调查79来研究它们在空间LpRd;h2 上 的作用。主要问题可能被制定作为如下给定a]0，2 cj+ d[对于什么对（p，q），有可能将（1）推广到从LpRd;h2到LqRd;h2 的有界算子？也就是说，什么时候不等式kIjfkj;q6Ckfkj;p：2符号iij，p在这里用于表示L pRd;h。假设G是晶体学的。文[2]中的证明只是恢复文[9]中的第三种方法，并将其应用于文[3-5]中所考虑的凸集，而不是文[11]中所回想一下，第二族由凸包组成C·K·的G-轨道GK在RN，而第一个家庭组成的极集在[18]中给出了一个必要条件。这个条件说（2）只有当CK1/4fx2RNjhx;g·Ki618g2Gg：1 1p-q¼一2cjd：3000在陈述几何Paley-Wiener定理之前首先，它们是凸的，闭的，G-不变的，并且下面是Thangavelu和Xu在[18]中也证明了包含条件成立。(3) 如果假设反射群G是Zd或f是径向函数且p是6 2（见[18，定理4.4]），则足以确保Ij的有界性（除了弱型估计成立的p = 1）。CK jKj2CK：其次，我们可以始终假设K=K+属于封闭的正室C，在这种情况下，我们有我们将证明，有可能消除这种限制性K.þΣ;在RN上，普通Riesz变换R j，j= 1. N被定义为乘法运算符CK\CN/fx2CN/hK;xi61g：Rjfn-ijnjf;n2R：它也可以由奇异积分的主值定义第三，一方面，RN中的每个G-不变凸子集是一个并集的集合CK，而另一方面，每一个G-不变的闭凸集在RN是一个交集的集合CK。比如说，B0;R[C K \CK：Rjf zzrjx-yfydy;jKj¼RjKj¼R-1e！0jyjPe第四，我们将说K2C是可容许的，如果：其中rj是奇异Riesz核，由下式给出：ryC. N1pN1y=jyjN1;满足以下等效条件：(i) K在R的每个不可约分量中有非零投影;R其傅立叶变换（在分布的意义上）是Rjn-inj=jnj：Riesz反式是(ii) CK是原点(iii) K是有界的。在这种情况下，我们可以考虑形式在Lp上有界，对所有1 1，则映射f！Ij f可以推广到从Lp <$Rd;h2<$到Lq <$Rd; h2<$的有界算子，kIafkj;q6Ap;akfkj;p;f2LR;hj;其中A p，a> 0仅取决于p和a。(ii) 若p=1，f Ij f可扩张为弱型（1，q）映射，且是空间C1C<$RNC上的整函数h使得N光滑Z的曲率fx： jIafxj>kg. kfkqJ一Jsupply1jnjMe-vImnjhnj2<18M2N：其中A a> 0仅取决于a。Riesz势的有界性可以用来建立分式极大值的有界性2.2. 广义平移的一个支撑定理Dunkl翻译定义在SJRRNB.B.与Dunkl变换相关的操作符。对于0a2cj+d和f2Lp<$Rd;h2<$，16p1，我们定义分数极大Mj，f函数为：<<<1你好，XDfnEin;xEin;ywndn8x;y2R：Mj;af xsup1d2cj-ajfyjsxvBry刚果（金）r>0mjrRd正如在引言中提到的，我们缺乏关于Dunkl翻译的一般信息。在本节中，我们-更精确地描述分布的支持哪里 .D .D2一1d2002cjhcx;y;fisxfy;已知[19]包含在半径x定理2.(i) 分布cx，y在球壳.z2RN. jjxj -jyjj6jzj6jxjjyj：其中vBr表示以0为中心的半径为r的球Br的特征函数。我们有定理3的下列推论。推论2. 设a是一个实数，使得0 1时，L q=Rd; h2= 0。（ii）Mj，a是弱型（1，q），即对f2L1<$Rd;h2<$. z2RN. z^xy;zyg：x和xg：y：Z这里g0表示G中最长的元素，它将. kfkqchamberC+andC+，and^the partial order onRNassociated tothe coneC：其中c a> 0仅取决于a。a^ b（）b- a2C：备注1. 在[2]中，我们也建立了，备注2.最后，我们应该注意到（3）对于极大分式算子Mj，a从空间Lp <$Rd;h2<$到空间Lq <$Rd;h2<$的有界性也是必要的，当Z..Rpf捷克斯洛伐克g44p> 1，对于Mj，a的弱型估计，当p = 1时.实际上，如果x<$^y2Rω，则等式成立。另外一0;fx：Mj;afx>kg：0210D1/1我2fn-jnjjn j-injfnnjTJ Fnk¼-关于Dunkl分析的一些结果：一项调查81证据 可以看到TiTjfRiRj-D f;i;j1.. . d;f2SRd：则（5）由[1]中的定理4.2得到。 H定理6（广义Sobolev不等式）.对于所有1p6<

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