混沌系统的反馈同步控制及其在密钥交换和公钥密码系统中的应用

Journal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，365埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章混沌系统的反馈同步控制：在Di Chiee-Hellman密钥交换协议和ElGamal公钥密码系统中的应用P. Balasubramaniam*，P. 穆图库马尔数学系，甘地农村研究所-被认为是大学，甘地- 624 302，泰米尔纳德邦，印度收稿日期：2013年6月21日;修订日期：2013年9月5日;接受日期：2013年2013年11月14日在线发布摘要本文通过设计适当的线性和非线性反馈控制，对两个相同整数阶混沌系统进行了解析和数值同步。人们已经认识到，采用线性反馈控制方法的同步比非线性反馈控制方法有效，因为它的计算复杂度和同步误差较小。通过提出的基于线性反馈控制的同步混沌系统的Dif fie-Hellman密钥交换协议描述了ElG-amal公钥密码体制，并分析了其安全性。数值仿真验证了所提出的混沌系统同步方法和ElGamal密码系统的正确性。2010年数学学科分类： 34 H10; 93 B52; 34 D06; 94 A60？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍在非线性科学中，混沌同步由于其在许多领域的潜在和实际应用而得到了广泛的发展*通讯作者。 联系电话： +91 451 2452371;传真：+91 4512453071.电子邮件地址：balugru@gmail.com（P. Balasubramaniam），muthu-kumardgl@gmail.com（P. Muthukumar）。同行评审由埃及数学学会负责Pecora和Carroll在文献[1]中提出了两个混沌系统同步的可能性，在文献[2]中提出了两个具有不同初始条件的相同混沌系统的同步。此外，两个混沌系统的同步在过去的几年中得到了广泛的研究。最近，人们研究了新动力系统的混沌控制问题，并在[3]中导出了混沌系统同步的充分条件。文[4]中利用李雅普诺夫方法将一种有效的非线性控制方法应用于统一混沌系统的同步，文[5]中利用李雅普诺夫稳定性理论提出了一种非线性同步控制方案。一个能量再同步-1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.10.003制作和主办：Elsevier关键词混乱;反馈控制;同步;密码学366P. Balasubramaniam，P. 穆图库马尔2--2122 3236在文献[6]中，研究了能源系统，并提出了三种线性控制方案来同步能源系统。利用线性反馈控制器实现了一个四维混沌系统的同步，x_¼y轴1-z轴y_y1 z- ax z_ a-xy- y2ð1Þ单变量和自适应控制器方法已在[7]中提出和证明。在文献[8]中，提出了当主系统的参数未知且与从系统的参数不同时，利用自适应线性反馈控制的能源系统的同步。混沌同步在通信系统中引起了广泛的兴趣，它在保密通信中的信息加密和解密文献[9]提出了一种自适应混沌同步方案文[10]中作者利用混沌调制、密码学和混沌同步设计了保密数字通信系统，并分析了其保密特性Xing和Huang[11]研究了两种基于自适应混沌同步的保密通信信息编解码方法。在[12]中，提出了一种新的同步两个混沌的技术，其中x、y、z是状态变量，a是系统（1）的参数。系统（1）的奇异吸引子在拓扑结构上不同于Lorenz系统。系统（1）的动力学特征已在[14]中作了分析。当a=2时，系统（1）对应于系统（1）的混沌吸引子如图1所示，不同的相图如图2所示。 二、在下面的小节中，我们研究了驱动系统（1）中混沌系统的非线性和线性反馈控制同步过程。2.2. 采用非线性反馈控制的同步考虑以下系统作为响应系统，其与系统（1）相同，x_1¼ y11- z1 u1系统，并且该技术已经应用到用于发送和接收消息的数字密码学[13]本文介绍了线性和非线性反馈控制方法y_1¼y11z1-ax1u2z_1¼a-x1y1-y1u3ð2Þ同步混沌系统。最终目的是将同步误差最小的同步混沌系统研究了线性和非线性控制方法的同步问题，指出线性反馈控制方法是一种有效的同步控制方法。其中u1、u2和u3是反馈控制器。设e1= x1x，e2= y1y和e3= z1z为误差变量。然后，可以如下导出（1）和（2）基于同步的混沌系统同步方法计时成本和误差。 在这里，这些同步混沌e_e-e e-e z-eyu在ElGamal密码系统中采用了两种不同的加密算法，以提高系统的安全性。在数学上，离散对数问题是一个很难找到他们的解决方案的问题，它是密切相关的e_2¼-ae1e21ze2e3ye3u2e_3-e1e2-e1y-xe2-e2-2e2y-xe3ð3Þ密码学中的Diffie-Hellman密钥交换。为此，基于同步混沌系统和ElGamal公钥密码体制，提出了一种新的Dif-fie-Hellman密钥交换协议，并利用Fibonacci Q矩阵实现了Dif-fie-Hellman加密和定理1. 系统（1）和（2）将利用以下非线性控制律接近全局和指数渐近同步：u1¼- k1 e1解密过程是通过一个数字算例验证了该算法的有效性和安全性。u21/4-k2e2u3¼2e11e2-k3e3ð4Þ第二部分，给出了利用反馈控制器实现混沌系统同步的方法，并进行了数值仿真第三节介绍了同步混沌系统的应用。此外，它已被证明是数值例子支持与建议的公钥密码体制。在第4节中分析了所提出的密码系统的效率和安全性。本文在第5节中结束。2. 整数阶混沌系统的同步在这一节中，我们将给出利用非线性和线性反馈控制器实现两个混沌系统同步的方法及其数值仿真结果。2.1. 系统描述考虑一个三维自治混沌动力系统，它可以表示为以下形式（见[14]）其中k1、k2和k3是正反馈增益，为了实现同步，将对其进行估计。证据 考虑李雅普诺夫候选函数为20−2−4−6−8−10−8−6−4−20240y8− 5X图图1在三维视图中对应于系统（1）的混沌吸引子z15混沌系统的反馈同步控制：在Dif fie-Hellman密钥交换协议中的应用3672222Σþke 1-jejPjej3222P¼B@PakaL-1Pakk-1-L LCPak7PakA221232212T32e_2¼- ae1电子自旋1 z1- yz电子自旋e2- g2 e2.Σ不0分-1分1050−5−10−5 05X50−5−8 −6 −4 −2 02z20−2−4−6−8−6 −4 −2 0 2 4 6y20−2−4−6−8−5 0 5X图2系统（1）在2D视图中的不同相图第四季第1集e2e2e252. P的所有左上角的行列式是肯定的：第那么V的时间导数可以写为：V_1e_1e_2e_3e_3e1ee如果满足上述条件，则矩阵P是正定的。故P为正定，则V为负定，这意味着误差系统（3）是渐近稳定的。根据李雅普诺夫稳定性理论，limfiie（t）i=0。因此2 3南三条32 3 1 2 1 222系统（1）和（2）成功同步。 H¼ ðe1e2-e1e2e3-e1e2z-e1e3yþe1u1Þ-ae1e2-e1e2e3-e1e3y-e2e3x-e2e3-2e2e3ye3u3V_6-2je1e2e3j-2.3. 使用线性反馈控制的同步过程考虑以下具有线性反馈控制器的响应系统，如x_1¼ y11- z1- g1 x1- xþ ð1þLÞe2þ je2ju2þje1ju1þje3ju3ð6Þ其中L是满足以下条件的边界：y_1¼y11z1-ax1-g2y1-yz_1¼a-x1y1-y1-g3z1-zð8Þ长1米，宽1米6L。将（4）代入（6），V_6-B1e2B1aB1e2B1aB1 e 2 B1 e 2 B1 e 2 B1e 3 B1 a B2 b B1 e 2 B1aB1e 2 B1 a B2b B1e 3 B1 a B2bB1 e 2 B1 a B2 b B2 bB1 a B1 a B2 b B1 a B2 b B1 a B2 b B1 a B2 b B2 bB1 a B2 b B2 b B1 a B2b B2 b B1 a B2 b B2 b B2 b B1 aB2 b B2 b B1 a B2 b B2 b B1 a B2 b B2 b B1 a B2 b B2 b B2 bB1 a B2b其中g1、g2和g3是正反馈增益。然后，（1）和（8）的误差动力系统可以如下导出：e_1<$^e2-benzy1z1-yzbenzy-g1e1其中，jej je1j;je2j;je3j，并且e_3-[1，2，3，4，5，6，7，8，9，10k11a L 1 0120L k3则误差系统（3）是渐近稳定的，如果矩阵P应该是正数。矩阵P为其中e1= x1-x，e2= y1-y和e3= z1-z。定理2. 系统（1）和（8）将利用以下线性控制律接近全局和指数渐近同步：v1¼- g1 e1积极的定义是1. P的Xzzð9Þ368P. Balasubramaniam，P. 穆图库马尔对角线元素必须都是正的。v2¼-g2e2v3¼- g3 e3ð10Þ混沌系统的反馈同步控制：在Dif fie-Hellman密钥交换协议中的应用369221.¼2312123反馈控制器可以在图中描 绘 。 五、演变- 使用线性反馈控制的同步误差r（t112111- 是的L2-L2 j e2jv2e2-。L2-L2je3 j111312pP1¼B@-1a1g210CA13其中，G1、G2和G3是正反馈增益，为了实现同步而对其进行估计。证据 考虑李雅普诺夫候选函数为V1.e2e2e211系统（1）和（2）的同步误差，并且它可以被描述为r_t_e2_e2_e2。采用非线性反馈控制器的同步误差r（t）随时间t的变化如图所示。 四、对于上述值，线性控制器（10）变为v1¼-25 e1v2¼-13 e2ð16Þ那么V1的时间导数可以写为：V_1¼ e1 e_1 e2 e_2 e3 e_3e1v3¼-20e3那么误差系统（9）可以写为：e_1¼e2-25e13.第二次世界大战-x1y1-xy -yyv32 21e_2¼-ae1-12e2ð17Þ¼ ðe1e2-ðy1z1-yzÞe1 þe1v1 Þ- 是的-ae1e2e2yz1-yze2e2v2113133 3e_3¼-20e3- 是的-xy2— 克西塞1—.y2-y2线ev误差系统（17）的时间变化使用线性V_16 je1e2j-。L2-L2je1jv1e1-aje1e2je2-我是说... L2-L2je3jv3e312ler与不同时间t的关系如图所示。 六、注2.3. 从图 3，误差e1，e2和e3趋于当tP1.3时为零，当t P1.3时r（t）的轨迹趋于零，其中L1是满足以下条件的边界：x，y，z6L1和x1，y1，z16L1。将（10）代入（12），V_16-乙-甲-乙-1-乙-2-乙-1-乙-2-乙-1-乙-2-乙-1-不tP 1.4，见图4。备注2.4. 从图 5，误差e1，e2和e3趋于1-je jP1 je j112不23 3当tP0.3时为零，当tP 0.3时r（t）的轨迹趋于零，tP 0.4，图 六、其中，jej je1j;je2j;je3j，并且0g1-1白藜芦醇100120 0g3则误差系统（9）是渐近稳定的，如果矩阵P1是正定义的。定理1给出了矩阵P1基于李雅普诺夫稳定性理论，limtfiie（t）i=0.因此同步的系统（一）和(8)实现成功地H2.4. 数值模拟选择值L=L1=10，k1=g1=25，k3= g3= 20.这里L=10，则k2>11.所以，我们选择k2= g2= 13.然后，非线性控制器（4）变为u1¼-25 e1结果2.5。从上述说明，可以容易地认识到，对于相同的反馈增益，使用线性反馈控制的混沌系统（1）和（8）的同步的误差比使用非线性反馈控制的混沌系统（1）和（2）结果2.6.由于采用线性反馈控制使系统（1）和（8），在实际应用中应用线性反馈控制器对于保密通信是非常有用的。因此，同步混沌系统（1）和（8）被应用到ElGamal密码系统，以提高安全水平，这将在下一节中介绍3. 混沌同步系统的应用在这一节中，提出的整数阶同步混沌系统被应用到著名的ElGamal[15]密码系统的帮助下的FibonacciQ矩阵。它在PGP、GNU等最新技术中有着广泛的需要一些基本假设来描述ElG-u2¼-13 e2u¼2e1e- 20eð14ÞAmal密码系统通过Diffie-Hellman可以给出如下。考虑FibonacciQ矩阵，如[16]中所给出的，那么误差系统（3）可以写为：12 3231. 1 1Σ¼e_¼ e ee— 9E-10eQ- 第二十五季第一集ð18Þe_2¼-ae1-2e2e2e3 10e3e_3¼-8e1-e2-30e2e1e2- 20e3ð15Þ则对于任何整数nP1，Q矩阵的n次幂具有形式使用非线性反馈控制器的误差系统（15）的时间变化可以在图中描绘。3.第三章。设r（t）为QnFn1FnFnFn-1Σð19Þ3370P. Balasubramaniam，P. 穆图库马尔e1（t）e2（t）e3（t）e1（t）e2（t）e3（t）10.50−0.5−1-1.5−2-2.5−3-3.5-40 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2不图3采用非线性反馈控制时变误差系统654321电话：+86-021 - 8888888传真：+86-021 - 8888888不图4采用非线性反馈控制的同步误差r（t）的演变10.50−0.5−1-1.5−2-2.5−3-3.5-40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1不图5采用线性反馈控制的误差系统的时间变化明文（p）可以被划分为消息单元。以4的倍数完成序列。选择第一块，将给定的单位消息编号分配到形成一个2· 2的方阵M1/4。p1p2= 0. 做同样的表1中纯文本可以排列成整数序列p1，另一个街区。p3p4p2，p3，p4，. ，p，n使用表1。把序列p1p2p3，p4，. ..将前四项p1，p2，p3，p4作为第一个块，设其为M1，p5，p6，p7，p8作为第二个块，设其为M2，依此类推。如果明文序列的总项不是4的倍数，则在序列的末尾包括必要的空格以进行合并。考虑两个加密实体Alice和Bob，让Alice是发送者，Bob是接收者。将驱动系统（1）视为发送器系统，将响应系统（8）视为接收器系统。系统的同步误差r（t）（1）和（8）在时间tP0.4后趋于零，因此x1= x，y1= y，z1= z在t0= 0. 4之后。r（t1混沌系统的反馈同步控制：在Dif fie-Hellman密钥交换协议中的应用371¼ ½ ωj j][1/2ωj]-[1/2]ωj j[1/2ωj].Σ.Σ.Σ.Σ6543210.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1不图图6使用线性反馈控制的同步误差r（t）的演变3.1. 基于同步混沌系统的Diffie-Hellman许多密码技术的安全性依赖于离散对数问题的难解性。基于离散对数问题的公钥构造的概念这是一个辉煌的洞察力迪弗菲和赫尔曼的困难的离散对数问题，并找到他们的解决方案。在这里，我们描述基于同步混沌系统的Diffie-HellmanAlice和Bob在公共元素Q和n=38上达成一致1. 爱丽丝选择一个秘密数字t1>t0，并根据（1）计算t1时的x，她保持秘密。她计算了st1x（mod38），其中[a]是a的整数部分，并且是b的模值。2. Alice计算A=Qs（mod 38）并发送给Bob。3. 鲍勃选择一个秘密数字t2>t0，并从（8）中计算t2时的x1，他保持秘密。他计算了rt2x1（mod 38）。4. Bob计算B=Qr（mod 38）并发送给Alice。5. Alice生成密钥KA=Bs=（Qr）s（mod 38）。6. Bob生成密钥KB=Ar=（Qs）r（mod 38）。它们的公共秘密密钥K=KA=KB，因为（Qr）s=Qrs=（Qs）r。考虑所提出的Diffie-Hellman密钥交换的假设以及基于同步混沌系统的ElGamal密码系统的完整加密和解密过程，如以下所述：1. Alice随机选取一个秘密数t1> t0，并根据（1）计算t1时的x.然后设置s t1x（mod 38），她计算并公布了C=Qs（mod 38）。2. 鲍勃想给爱丽丝发一条消息M2M2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R2R23. 鲍勃随机选取一个秘密数t2>t0，然后计算x1在来自（8）的t2处。 然后设置 rt2x1（mod38），他计算D=Qr（mod 38）。4. Bob向Alice发送两个元素D和E i=Mi（Cr）（mod38），其中i= 1，2，.. . ，m。5. Alice恢复消息Mi=Ei（Ds）-1（mod 38）。ElGamal密码系统应适用于通信系统，其中由于传输延迟，双方都不能在合理的时间内进行交互。所提出的ElGamal密码系统的数值说明将在下一节中给出。3.3.数值算例爱 丽 丝 随 机 选 择 一 个 数 字 t1=4.985 ， 然 后 得 到x=0.2637 ， 通 过 在 t 1 处 求 解 系 统 （ 1 ） 并 计 算s=[t1\xA1]=1（mod38）。她计算注3.1. 一般 Diffie-Hellman1111 1C1 0 1 0（mod 38）并将A发送给Bob。发送方和接收方应该选择一个整数来计算离散对数。提出的Dif fie-Hellman3.2. elgamal体制Bob想要发送消息M=MEET AT SPA。M有11个字符，不是4的倍数。因此，在消息的末尾插入一个空格。然后鲍勃把一个消息分成3个块，设为M1，M2和M3.鲍勃随机选了一个数字t2=10.10，然后得到x1=0.7058，在t1时求解方程组（8），并计算它是一种基于Diffie-Hellman密钥交换的公钥密码系统。ElGamal加密是概率性的。r1/2t2ω jx1j]/47（mod38）。鲍勃拿了第一个盖帽，M1(mod（38）表1。M EE T ¼24 1616 31表1 用单位信息分配数字编号分配0123456789101112十三... .37r（t¼372P. Balasubramaniam，P. 穆图库马尔单元报文0123456789–.一B... .Z混沌系统的反馈同步控制：在Dif fie-Hellman密钥交换协议中的应用371.Σ.Σ.Σω¼ET1/2- 1/3他计算出D¼11s1 0¼21 1313 8和比通常的ElGamal密码系统更强，因为附加的E1¼ M1Cr28 22（mod38）.17 38选择r和s的难度，因为要找到同步混沌系统的x和x1很难从然后，他将D和E1值发送给Alice。爱丽丝恢复了一条信息M1. 2822英里。2113岁-1岁117 38138.2416Σ16 31(1) 以及（8）分别在时间t1和t25. 结论38分之一。ME：继续M2和M3的程序。最后，Alice从M1、M2和M3恢复原始消息M=MEET ATSPA。在任何密码体制中，安全性都是非常重要的。它将在下一节中分析所提出的ElGamal密码系统。4. 安全分析建议的ElGamal公钥密码系统的安全性依赖于专家对整数分解（IFP）和离散对数（DLP）等问题的难度的感知和共识。4.1. DLP攻击假设Adjuster（ADV）通过求解DLP来恢复私钥然后计算Qrs（modn）的值并尝试恢复消息M。但是，恢复M是不够的。因为解密M=E\（Ds）-1（modn）涉及逆问题和IFP。为了恢复消息M，ADV需要求解模n的逆问题。由于ADV不知道n的因式分解并且很难找到E的值，因此求逆同余的解的过程在计算上是不可行的。因此，ADV面临着许多困难和问题，以恢复信息或消息M。因此，ADV将无法通过使用DLP攻击来重新覆盖消息M4.2. IFP攻击假设ADV成功地将整数n分解为素数p和q。然后ADV通过求解模p和模q的同余关系并利用中国剩余定理计算C，D，E（modn为了恢复消息M，ADV需要找到r和s的值。但r和s是Q的指数，但Q仅是共享的爱丽丝和鲍勃。因此，ADV必须求解两个DLP以及素数p和q，以找到r和s的值。因此，ADV将无法恢复值r和s，因为求解模素数p和q的DLP非常困难。此外，还从混沌系统中计算了s和r(1) 和（8）的混沌系统，求解这些混沌系统是非常困难的。因此，ADV将无法通过使用IFP攻击来恢复消息M最后，ADV将无法通过求解矩阵DLP和IFP来恢复消息M注4.1.从安全性分析的建议密码系统，我们得出结论，建议密码系统是设计了线性和非线性反馈控制器，实现了混沌系统的驱动-响应同步。结果表明，采用线性反馈控制的同步方法比非线性控制方法具有更小的同步代价和同步误差，是一种有效的同步方法。提出了一种基于Fibonacci Q矩阵支持下的线性控制的同步混沌系统的Dif fie-Hellman提出了一种基于新的Dif fie-Hellman密钥交换协议的ElGamal密码体制，并给出了数值例子。此外，我们已经表明，由于DLP和IFP的硬度和额外的安全性，所提出的密码系统的安全性比通常的ElGamal密码系统更强。确认这项工作是由大学资助委员会-基础科学研究（UGC-BSR），印度政府，新德里的支持。作者非常感谢编辑和匿名审稿人的仔细阅读，建设性的意见和富有成效的建议，以改善这篇手稿。匿名审稿人的评论更有助于改进论文，使用线性反馈控制方法同步混沌系统比非线性反馈控制方法具有更小的成本和误差。引用[1] L.M. Pecora ， T.L. 陈晓 ，混 沌系统 中的同步 问题。 64（1990）821-824。[2] 朗格卡罗尔，L.M.李文，混沌电路的同步化，电子工程学报，2000。系统I Fundam。Theory Appl.38（1991）453-456.[3] M.T.李文生，用线性反馈控制新混沌系统的混沌与同步，混沌孤子分数。26（2005）913-920。[4] JuH. 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