0全文文章0基于教学-学习的优化算法以最小化交叉熵来选择多级阈值值0Harmandeep Singh Gill a，1，�，Baljit Singh Khehra b，2，Arjan Singh c，3，Lovepreet Kaur c，40a计算机应用系，伊克古吉拉尔旁遮普理工大学，旁遮普邦，印度b计算机科学与工程系，巴巴班达辛格巴哈杜尔工程学院，法特哈加尔希卜，旁遮普邦，印度c数学系，旁遮普大学，帕提亚拉，旁遮普邦，印度0文章信息0文章历史：收到日期2017年8月19日修订日期2018年1月22日接受日期2018年3月29日在线发布日期2018年4月25日0关键词：交叉熵教师-学习优化（TLBO）阈值PSNR均匀性0摘要0图像阈值化是图像分割中最重要的方法之一。在多级阈值技术中，交叉熵被研究人员广泛使用，以找到多级阈值值。在多级交叉熵阈值技术中，主要目标是找到不同级别的阈值值的最佳组合，以最小化交叉熵。本文使用基于教学-学习的优化（TLBO）算法来找到不同级别的阈值值的最佳组合，以最小化交叉熵。TLBO算法受到课堂环境中知识传递的启发，学生首先从老师那里获得知识，然后通过相互交流。这种新的提出的方法称为基于TLBO的最小交叉熵阈值（TLBO-basedMCET）算法。所提出的算法的性能在多个标准测试图像上进行了测试。为了进行比较分析，将TLBO-basedMCET算法的结果与Firefly-based最小交叉熵阈值（FF-based MCET）、Honey Bee MatingOptimization-based最小交叉熵阈值（HBMO-based MCET）和Quantum Particle SwarmOptimization-based最小交叉熵阈值（Quantam PSO-basedMCET）的结果进行比较。基于两个最流行的客观性能指标，峰值信噪比（PSNR）和均匀性进行了比较分析。从实验结果中可以看出，所提出的方法是在第2、3、4和5级搜索阈值值的最佳组合的一种有效和可行的方法。� 2019年由开放获取的CCBY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下的Elsevier B.V.代表开发和托管。01.介绍0图像分割是医学成像、机器视觉和卫星图像中的一个活跃领域。图像分割的主要目标是0分割是将图像分割成对特定任务有意义的区域。分割通常是模式识别系统的基本组成部分，在其中找到感兴趣的对象并将其与场景的其余部分隔离开来。图像分割后，从对象中提取一些特征，最后根据提取的特征将对象分类为特定的组或类。对于医学应用，分割用于检测CT或MR图像中的器官，如大脑、心脏、肺或肝脏[1]。它还用于区分病理组织，如肿瘤和正常组织。根据特定应用，已经使用了不同的图像分割技术，如图像阈值化、边缘检测、区域生长、随机模型、人工神经网络和聚类技术[2]。阈值化是图像分割中最常用的方法之一，因为它在计算上很简单，并且从不会失败地定义具有封闭连接边界的不相交区域[3]。其基本思想是通过阈值值将图像分成目标和背景区域。每个强度值0https://doi.org/10.1016/j.eij.2018.03.006 1110-8665/ � 2019 Elsevier B.V.代表开罗大学计算机与信息学院进行生产和托管。本文是根据CCBY-NC-ND许可的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。0� 通讯作者。电子邮件地址：gill.gurseerat@gmail.com（H. Singh Gill），baljitkhehra@rediffmail.com（B. Singh Khehra），arjanpu@gmail.com（A.Singh），lovepreetkhehra13@gmail.com（L. Kaur）。1 +91-8146088188 2 +91-9463446505 3+91-9814668883 4 +91-94646014730由开罗大学计算机与信息学院负责同行评审。0由爱思唯尔进行生产和托管0埃及信息学杂志20（2019）11-250ScienceDirect提供的内容列表0埃及信息学杂志0期刊主页：www.sciencedirect.com0图像的每个像素与阈值进行比较。如果像素的值大于阈值，则将像素视为目标区域像素并设置为白色；否则将像素视为背景区域像素并设置为黑色。阈值化的成功取决于选择最佳阈值。多年来，研究人员提出了各种阈值化技术，以选择合适的阈值值[4]。在过去的几年中，许多使用熵测量的阈值化技术已被研究人员提出，以选择图像分割的合适阈值值[5-9]。在这些技术中，首先从输入图像的灰度值中获得两个概率分布，一个用于目标，另一个用于背景。之后，采用的过程是最大化两个概率分布的总熵，以获得阈值。不同的熵定义使这些技术彼此不同。Liu等人[10]提出了图像阈值的模糊分类方法。Cheng等人[11]使用模糊c-分区熵方法来选择阈值。在这种方法中，使用参数化模糊隶属函数将图像的像素分类为目标和背景。该方法基于选择模糊2-分区的模糊隶属函数参数的最佳组合，以最大化熵。之后，选择的最佳参数用于找到最佳阈值。Benabdelkader＆Boulemden[12]提出了一种递归方法，用于搜索模糊隶属函数参数的合适组合。在这种方法中，使用具有两个参数的梯形模糊隶属函数。2011年，唐等人[13]还提出了一种递归编程方法，用于找到模糊隶属函数参数的合适组合。该递归方法应用于具有三个参数的两个模糊隶属函数（s-函数和z-函数）。Tao等人[14]应用蚁群优化来搜索模糊隶属函数参数的组合，以最大化模糊2-分区的熵。Li和Lee[15]提出了图像分割的最小交叉熵方法。2011年，Nie等人[16]提出了一种基于二维交叉熵的阈值化方法。在这种方法中，使用灰度级共生矩阵来获得二维交叉熵。Horng[17]提出了用于计算最小交叉熵目标函数的蜜蜂交配优化算法。唐等人[18]使用遗传算法来减少计算最小交叉熵目标函数的计算负担。Horng和Liou[19]提出了萤火虫算法，通过使用交叉熵原理来搜索多级阈值。最近，许多研究人员提出了基于模糊熵的技术，以找到最佳阈值。这些技术经常用于阈值化，因为普遍认为图像中存在模糊性和不确定性。尽管许多研究人员已经应用交叉熵来搜索图像分割的多级阈值，但值得注意的是，在合理的时间内选择最小化模糊2-分区交叉熵的最佳组合阈值是一项具有挑战性的任务。因此，选择最小化交叉熵的最佳组合阈值可以被制定为组合优化问题。在过去的十年中，研究人员已经使用各种元启发式算法来解决组合优化问题。这些算法包括遗传算法（GA）[18,20-22]，蚁群优化（ACO）算法[14,23]，基于生物地理学的优化（BBO）方法[24,25]，细菌觅食优化算法[26,27]，引力搜索算法[28]，布谷鸟优化算法[29]，混合方法[30,31]等。基于教学-学习的优化（TLBO）算法是最新引入的最优算法家族成员[32,33]。它受到教学和学习哲学的启发。TLBO算法的搜索机制是基于人口的。最初，一个0给定问题的一组可行解候选集是随机生成的种群。然后，通过经典学校学习过程的模拟来修改可行解以实现最优解。该过程包括两个阶段：教学阶段和学生阶段[34]。教师阶段模拟学生通过老师的学习。在此阶段，最佳可行解充当老师。其他可行解通过将它们的位置向老师的位置移动来改进，同时考虑可行解的当前平均值。学生阶段模拟学生通过他们的相互作用进行学习。在此阶段，随机选择两个可行解。如果第一个比第二个好，则将第一个移向第二个。否则，将第一个移离第二个。TLBO算法相对于其他优化算法的主要优势在于它只使用通用控制参数，而不受算法特定参数的限制[35]。通用控制参数在运行任何基于种群的优化算法时是通用的，如种群大小和代数数量，而算法特定参数是特定于该算法的，并且不同的算法具有不同的算法特定参数来控制。例如，遗传算法的算法特定参数是变异率和交叉率。同样，鸟群优化算法的算法特定参数是最大移民率、最大移民率和变异率。算法特定参数的不当选择也是一个问题。算法特定参数的不当选择会降低优化算法的性能。由于算法特定参数的不当选择，算法的计算成本要么会增加，要么会产生局部最优解[36]。最近，TLBO算法已被广泛应用于以较低的计算成本和高一致性获得各种优化问题的全局最优解[37-41]。出于这个动机，研究了TLBO算法的可行性，以搜索最小交叉熵的最佳阈值组合。本文的目标是搜索最小交叉熵的最佳阈值组合。所选的最佳阈值组合用于分割输入图像。所提出的阈值处理方法称为基于TLBO的最小交叉熵阈值处理（TLBO-basedMCET）算法。在这里，TLBO算法的适应函数是输入图像和分割图像的交叉熵。在本研究中，使用一组五个标准测试图像来评估所提出算法的性能。所提出的方法与包括基于萤火虫的最小交叉熵阈值处理（FF-basedMCET）[19]、基于蜜蜂交配优化的最小交叉熵阈值处理（HBMO-basedMCET）[17]和基于量子粒子群优化的最小交叉熵阈值处理（QuantamPSO-basedMCET）[42]在内的三种不同方法进行了比较。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了TLBO算法。第3节详细描述了提出的基于TLBO的最小交叉熵阈值处理（TLBO-basedMCET）算法。性能评估在第4节中详细讨论。最后，第5节总结了本文并提出了未来的研究方向。02. 基于教师学习的优化算法0基于教师学习的优化（TLBO）算法是一种基于教学-学习过程的新型元启发式算法。最初由Rao等人[32]引入，用于解决受限机械设计优化问题。它受到课堂环境中传授知识的启发。012 H. 辛格吉尔等 / 埃及信息学杂志 20 (2019) 11-25tion is considered as teacher. Let XkT be the most feasible solutionDkj ¼ rðXkT;j � TFMkj Þð1ÞXknew;i;j ¼ Xkold;i;j þ Dkjð2Þnew SP;u;j ¼u;j þ rðXku;j � Xkv;jÞElseXknew SP;u;j ¼ Xku;j þ rðXkv;j � Xku;jÞEndifIfFðXknew SP;uÞ > FðXknew;uÞXknew;u ¼ Xknew SP;uElseXknew;u ¼ Xknew;uEndifH. Singh Gill et al. / Egyptian Informatics Journal 20 (2019) 11–25130学生首先从老师那里获得知识，然后通过相互交流获得知识[34]。TLBO算法是一种基于群体的优化算法，其中将一组或班级学生视为人群。因此，班级中的学生代表问题的可行解。班级提供的不同学科被视为优化问题的不同设计变量，学生的成绩被视为可行解的适应值。TLBO算法包括两个阶段：老师阶段和学生阶段。这些阶段的工作如下描述 [32–34,36]。02.1. 老师阶段0老师阶段意味着学生从老师那里学习。根据教学理念，社会中最有经验、知识渊博和学识渊博的人被视为老师。老师试图提高学生的知识水平，并帮助学生获得好成绩。但是，学生获取知识和获得成绩取决于老师传授的教学质量以及班级中学生的质量。为了模拟，假设提供了‘n’门学科（设计变量， j = 1, 2, . . . , n）给‘N p’个学生（人口规模， i = 1, 2, . . . , N p ）。在任何教学学习0循环（迭代， k = 0, 1, 2, . . . I n ）， M k j 是特定学科 ’j’中学生的平均成绩。老师是社会中最有经验、知识渊博和学识渊博的人。为了模拟这一概念，整个人群中最好的学生（可行解）为0在第 k 个教学学习周期中， M k j 是特定学科 ’j’中学生的平均成绩。老师是社会中最有经验、知识渊博和学识渊博的人。为了模拟这一概念，整个人群中最好的学生（可行解）为0其中 T F 是一个教学因子，决定了平均值要改变的数值， r 是一个在范围 [0 1]内的随机数。 T F 不是TLBO算法的参数，它的值可以是1或2[36]。可行解（学生）通过将其位置向最佳可行解（老师）的位置移动来改进他们的位置，同时考虑到可行解的当前平均值。为了模拟这一事实，第 k个教学学习周期中的第 i 个可行解根据以下表达式进行更新：0如果 X k new ; i 比 X k old ; i 更好，那么 X k new ; i就被接受；否则就被拒绝。所有被接受的可行解都会被保留，并成为学生阶段的输入。02.2. 学生阶段0在这个阶段，学生通过相互交流获得知识。学生随机与班级中的其他学生互动，以提高知识水平。如果学生（u）从班级中的另一个学生（v）那里学到了新知识，那么说明学生（v）的知识水平高于学生（u）。因此，如果学生（v）比学生（u）更优秀，那么学生（u）就会向学生（v）靠拢。否则，学生（u）就会远离学生（v）。这个阶段的学习理念模拟如下：0从班级（人口）中随机选择两名学生（可行解， X k u , X k v ），其中， u , v是属于 ½ 1 ; N p � 且 u – v 的两个整数随机数。0如果 F ð X k u Þ > Fð X k v Þ0其中 F ð X Þ 是用于找到适应值的适应函数0可行解的解，X k new SP ; u ;j表示第k个教学-学习周期中学生阶段修改后的可行解的第j个设计变量。0之后，评估 X k new SP ; u 的适应值02.3. 基本TLBO算法0根据上述讨论，TLBO算法可以按以下步骤重新编写 [32,43] :0步骤1：[初始化] 初始化优化参数 � 人口规模（学生或学习者的数量）：N p �迭代次数：I n � 设计变量或参数的数量（提供的科目或课程） �设计变量的限制 步骤2：[初始化人口]根据人口规模和设计变量的数量生成随机人口。 步骤3：[适应度评估]评估人口中可行解的适应度，并根据它们的适应度值排列这些解步骤4：[教师阶段] 通过模拟概念修改解决方案：老师通过学生的学习步骤5：[学生阶段]通过模拟概念修改解决方案：学生通过他们的相互作用学习 步骤6：[重复]转到步骤3，直到满足停止标准（最大迭代次数：In） 步骤7：停止03. 基于TLBO的MCET算法0在本节中，首先生成基于交叉熵的目标函数。之后，使用基于教学-学习优化（TLBO）算法将生成的目标函数最小化，以获得用于分割图像的多级阈值。03.1. 基于交叉熵的目标函数0交叉熵是由Kullback[44]于1968年开发的。交叉熵是两个抽样分布之间的接近度量。设 P ¼ f p 1 ;p 2 ; . . . ; p n g 和 Q ¼ f q 1 ; q 2 ; . . . ; q n g是在相同值集上定义的两个概率分布。 P 和 Q 之间的交叉熵定义为ECðP; QÞ ¼Xni¼1pi log piqið3ÞgT1ðx; yÞ ¼Sð0; T1Þfðx; yÞ 6 T1SðT1 þ 1; LmaxÞfðx; yÞ > T1ð4ÞwhereSða; bÞ ¼Pbr¼arprbr¼aprð5Þrpr where r ¼ 0; 1; . . . ; T1EC;BGðT1Þ ¼T1r0rpr logrprSð0; T1Þprð6ÞEC;TGðT1Þ ¼XLmaxr¼T1þ1rpr logrprSðT1 þ 1; LmaxÞprð7ÞECðT1Þ ¼ EC;BGðT1Þ þ EC;TGðT1Þð8ÞECðT1Þ ¼XT1r¼0rpr logrprSð0; T1ÞprþXLmaxr¼T1þ1rpr logrprSðT1 þ 1; LmaxÞprð9ÞECðT1Þ ¼XT1r¼0rpr logrSð0; T1Þ þXLmaxr¼T1þ1rpr logrSðT1 þ 1; LmaxÞð10ÞEcðT1Þ ¼XT1r¼0rpr log r �XT1r¼0rpr log½Sð0; T1Þ� þXLmaxr¼T1þ1rpr log r�XLmaxr¼T1þ1rpr log½SðT1 þ 1; LmaxÞ�ð11ÞECðT1Þ ¼XT1r¼0rpr log r þXLmaxr¼T1þ1rpr log r �XT1r¼0rpr log½Sð0; T1Þ��XLmaxr¼T1þ1rpr log½SðT1 þ 1; LmaxÞð12ÞECðT1Þ ¼XLmaxr¼0rpr log r �XT1r¼0rpr log½Sð0; T1Þ� �XLmaxr¼T1þ1rpr log½SðT1 þ 1; LmaxÞ�ð13ÞT�1 ¼ arg minLmaxT1½ECðT1Þ�ð14ÞOðT1Þ ¼ �XT1r¼0rpr log½Sð0; T1Þ� �XLmaxr¼T1þ1rpr log½SðT1 þ 1; LmaxÞ�ð15ÞOðT1Þ ¼ �XT1r¼0rpr logPT1r¼0rprT1r¼0pr"#�XLmaxr¼T1þ1rpr logPLmaxr¼T1þ1rprLmaxr¼Tþ11pr"#ð16Þ1axÞ� log m1ðT1 þ 1; LmaxÞm0ðT1 þ 1; LmaxÞ��ð17ÞOðT1; T2Þ ¼ �m1ð0; T1Þ log m1ð0; T1Þm0ð0; T1Þ��� m1ðT1 þ 1; T2Þ� log m1ðT1 þ 1; T2Þm0ðT1 þ 1; T2Þ��� m1ðT2 þ 1; LmaxÞ� log m1ðT2 þ 1; LmaxÞm0ðT2 þ 1; LmaxÞ��ð18ÞOðT1; T2; . . . Tk�1Þ ¼ �m1ð0; T1Þ log m1ð0; T1Þm0ð0; T1Þ��� m1ðT1 þ 1; T2Þ log m1ðT1 þ 1; T2Þm0ðT1 þ 1; T2Þ��� m1ðT2 þ 1; T3Þ log m1ðT2 þ 1; T3Þm0ðT2 þ 1; T3Þ��� . . . � m1ðTk�1 þ 1; LmaxÞ log m1ðTk�1 þ 1; LmaxÞm0ðTk�1 þ 1; LmaxÞ��ð19Þ�ð20Þ14H. Singh Gill et al. / Egyptian Informatics Journal 20 (2019) 11–250设 f ( x, y ) 是定义具有 L max + 1 个灰度级（从0到 L max）的数字图像的数学函数， M � N 是图像的大小，则 f ð x ; y Þ 2 f 0 ; 1 ; 2 ;. . . ; r ; . . . ; L max g 是具有坐标位置（ x , y ）的像素的灰度级值，其中 x2 f 1 ; 2 ; . . . ; M g 且 y 2 f 1 ; 2 ; . . . ; N g 。设 h r 是数字图像 f中特定灰度级值 r 的出现频率，则 p r ¼ h r = ð M � N Þ 是图像中灰度级值 r的出现概率。对于双级图像分割，选择阈值值 T 1 2 ½ 0 ; L max �，将图像分割为两个区域：一个是背景（BG），另一个是目标（TG）。BG区域的所有像素的灰度级值小于或等于 T 1 ，而TG区域的所有像素的灰度级值大于 T1 。在分割图像 g T 1 ð x ; y Þ 中，像素 ð x ; y Þ 属于 BG 和 TG区域的归属性描述如下0现在，描述属于BG区域的输入图像区域的灰度级值的概率分布0灰度级值的概率分布BG区域描述为0S ð 0 ; T 1 Þ p r where r ¼ 0 ; 1 ; 2 ; . . . ; T 10然后，属于BG区域的输入图像区域和BG区域的交叉熵定义为0现在，属于TG区域的输入图像区域的灰度级值的概率分布描述为rp r，其中r = T1 + 1，T 1 + 2，...，L max属于TG区域的灰度级值的概率分布描述为S ð T 1 þ 1 ; L max Þ p r，其中r = T 1 + 1，T 1 + 2，...，Lmax然后，属于TG区域的输入图像区域和TG区域的交叉熵被定义为0输入图像和分割图像的总交叉熵被定义为0在分割中，主要目标是最小化输入图像和分割图像之间的方差。因此，这里的主要目标是找到一个使得输入图像和分割图像的总交叉熵（EC）最小化的阈值（T1）的最优值。0方程（12）中的第一项是一个常数项。因此，目标函数可以重写为0让m 0 ð a ; b Þ ¼ P b r ¼ a p r和m 1 ð a ; b Þ ¼ P b r¼ a rp r，那么0对于三级图像分割，选择两个阈值T 1；T 2 2 ½ 0；L max�，将图像分割成三个区域。0对于k级图像分割，选择k � 1个阈值T 1；T 2；...；T k � 2；T k � 1 2 ½ 0；L max�，将图像分割成k个区域。0O ð T 1 ; T 2 ; . . . T k � 1 Þ ¼ � X k0i¼1 m 1 ð T i � 1 ; T i Þ log m 1 ðT i � 1 ; T i Þ m 0 ð T i � 1 ; T i Þ0其中 T 0 = 0，T k = L max�ð21ÞSelect Best Feasible Solution: Optimum SolutionNoH. Singh Gill et al. / Egyptian Informatics Journal 20 (2019) 11–251503.2. TLBO算法用于最小化选择多个阈值的交叉熵0优化问题的制定如下：最小化 O ð T Þ0其中 O(T) 是目标函数，T是设计变量的向量（T1，T2，...，T k � 1）0受约束条件0(i) 0 6 T 1 ; T 2 ; ... ; T k � 1 6 L max (ii) 0 6 T 1 6 T 2 6 . . . 6 T k � 1 6L max0对于像素值为8位的灰度图像，L max = 255 换句话说，目标是找到 T 1 ; T 2 ; ...; T k � 1 的最佳组合，使得 O ð T 1 ; T 2 ; . . . T k � 1 Þ被最小化。这里，目标函数是0O ð T 1 ; T 2 ; . . . T k � 1 Þ ¼ � X k0i¼1 m 1 ð T i � 1 ; T i Þ log m 1 ðT i � 1 ; T i Þ m 0 ð T i � 1 ; T i Þ0对于具有256个灰度级别的灰度图像，参数的搜索空间如下：0ð T 1 ; T 2 ; . . . T k � 1 Þ 2 ½ 0 ;0本文使用基于教学学习的优化（TLBO）算法来找到最小交叉熵的阈值的最佳组合。所提算法的框图如图1所示，并介绍如下：0初始化步骤1：初始化参数0人口规模（学生或学习者的数量）：N p 迭代次数：I max设计变量或参数的数量（提供的科目或课程）：k � 1 ：T 1 ; T 2 ; . . . ; T k � 1设计变量的限制：0 6 T 1 ; T 2 ; . . . T k � 1 6 2550参数初始化可行解决方案的种群0适应度评估0根据其适应度值排列可行解决方案0教师阶段0选择最佳解决方案，作为老师0通过模拟概念修改可行解决方案：学生通过老师学习0学生阶段0随机选择两个可行解决方案0通过模拟概念修改可行解决方案：学生通过相互交流学习0生成新的种群终止准则满足0是0图1. 提议算法的框图。X0i1 ¼ Xi1fX0i1g 2 T1X0i1 ¼ Xi1X0i2 ¼ X0i1 þ ð255 � X0i1Þ � ðXi2=255ÞfX0i1g 2 T1; fX0i2g 2 T2X0i2 ¼ Xi2X0i3 ¼ X0i2 þ ð255 � X0i2Þ � ðXi3=255ÞX0i1 ¼ X0i12 � ðXi1=255ÞfX0i1g 2 T1; fX0i2g 2 T2; fX0i3g 2 T3X0i2 ¼ Xi2X0i3 ¼ X0i2 þ ð255 � X0i2Þ � ðXi3=255ÞX0i1 ¼ X0i2 � ðXi1=255ÞX0i4 ¼ X0i3 þ ð255 � X0i3Þ � ðXi4=255ÞX0ik�1 ¼ X0ik�2 þ ð255 � X0ik�2Þ � ðXik�1=255ÞfX0i1g 2 T1; fX0i2g 2 T2; fX0i3g 2 T3; . . . ; fX0ik�1g 2 Tk�1Pop ¼ X0½Np; k � 1�XI ¼ X0i:e:XI ¼XI1XI2��XINp266666664377777775FI1FI2��FINp266666664377777775fXIi1g 2 T1; fXIi2g 2 T2; fXIi3g 2 T3; . . . ; fXIik�1g 2 Tk�1MI ¼ ½mI1; mI2; mI3; . . . ; mIk�1�mI1 ¼XI11 þ XI21 þ � � � : þ XINp1NpmI2 ¼XI12 þ XI22 þ � � � þ XINp2NpmI3 ¼XI13 þ XI23 þ � � � þ XINp3NpmIk�1 ¼XI1k�1 þ XI2k�1 þ � � � þ XINpk�1NpDI ¼ rðMInew � TFMIÞXInew TP;i ¼ XIold;i þ DI16H. Singh Gill et al. / Egyptian Informatics Journal 20 (2019) 11–250步骤2：初始化种群根据种群大小和设计变量的数量生成随机种群。0Pop ¼ X ½ N p ; k � 1�0种群由大小为N p � k � 1的矩阵表示0f X i 1 g 2 T 1 ; f X i 2 g 2 T 2 ; . . . f X ik � 1 g 2 T k � 1 ; i ¼ 1 ; 2 ; 3 ; . . . ; N p0种群是一组随机个体。随机生成的种群不一定满足约束条件：0 6 T 1 6 T 2 6 . . .6 T k � 1 6 L max。为解决这个问题，进行以下数学处理：对于双级分割0对于三级分割0对于四级分割0对于超过四级分割（第五级分割到 k -级分割）0因此，在上述修改之后，种群描述如下0因此，初始生成的种群如下：0其中 I ¼ 0 ; 1 ; 2 ; . . . ; Imax 最初， I = 00适应度评估步骤3：评估种群中可行解决方案的适应度，并根据其适应度值排列这些解决方案计算每个可行解决方案候选者的目标函数的值作为其适应度（如果目标函数的数值最小，则称为最适合的可行解决方案）0如果可行解决方案的目标函数的数值最小，则称为最适合的可行解决方案）0F I i ¼ O ð X I i Þ ; I ¼ 1 ; 2 ; . . . ; I max and i ¼ 1 ; 2 ; 3 ; . . . ; N p0根据各自的目标函数数值和相应的适应度函数值，按升序排列种群的可行解决方案候选者 X I i0和 F I ¼0教师阶段第四步：通过模拟概念修改解决方案：通过教师模拟学生的学习。在教师阶段，最佳的可行解决方案候选者充当教师。其他可行解决方案候选者通过将其位置移动到教师的位置来改进，同时考虑可行解决方案候选者的当前平均值。为此，选择充当教师的最佳解决方案（X I O ð X I i Þ¼ 最小值）0对于该迭代0X I 教师 ¼ X I 1 ¼ X I O ð X I i Þ¼ 最小值0计算种群的列均值，这将给出特定课程（设计变量或参数）的均值0教师将尝试将均值从 M I 转移到 X I 教师，这将作为迭代的新均值。因此，0M I new ¼ X I 教师 两个均值之间的差异被表示为0其中 T F 是决定要更改的平均值的教学因子， r 是范围在 [0 1]的随机数。现在，两个平均值之间的差异根据以下表达式修改现有解0其中 X I old ; i ¼ X I iXInew TP;i;i ¼ 1; 2; . . . ; NpXnew TP;i2 6 . . . 6 Xnew TP;ik�1 6 255XInew;i ¼ XInew TP;iElseXInew;i ¼ XIold;iEndifXInew SP;u ¼ XIu þ rðXIv � XIuÞEndifXInew SP;u1 6 XInew SP;u2 6 . . . 6 XInew SP;uk�1 6 255XInew;u ¼ XInew SP;uElseXInew;u ¼ XInew;uElseXIþ1 ¼ XInewii1i2i3ik 1iBest1FIBest ¼ FI1H. Singh Gill et al. / Egyptian Informatics Journal 20 (2019) 11–25170找到每个的适应函数值 F I new TP ; i0如果 F I new TP ; i < F I old ; i && 0 6 X I newTP ; i 1 60其中 F I old ; i ¼ F I i i ¼ 1 ; 2 ; . . . N p0学生阶段 步骤5: 通过模拟概念修改解决方案: 学生通过相互作用获得知识在这个阶段，学生通过相互作用获得知识。一个学生（ X I u）尝试通过同伴学习改进知识0从任意学生（ X I v ）那里，其中， u , v 为两个整数随机0数字属于 ½ 1 ; N p � 和 u – v 。如果 X I v 比 X I u 好，那么 X I u 就朝着 X I v 移动。否则， X I u 就远离 X I v。这个概念被模拟如下: 从 X I new 中选择两个可行的解决方案候选 X I u 和 X I v0如果 F I u < F I v X I new SP ; u¼ X I u þ r ð X I u � X I v Þ Else0其中 F I u ; F I v 分别是 X I u ; X I v 的适应值。0之后，评估 X I new SP ; u 的适应值（ F I new SP ; u ）0如果 F I new SP ; u < F I new ; u && 0 60因此，新种群生成如下:0步骤6: 转到步骤3，直到满足停止条件（最大迭代次数: I max ）为止。步骤7:停止 TLBO 算法的伪代码，以最小化交叉熵以选择多个阈值0输入:0种群大小: N p 迭代次数: I max 变量数量: ð k � 1 Þ : T 1 ; T 2 ; . .. ; T k � 1 / ∕ 生成满足约束条件的 N p 个个体（种群）的随机集合:0 6 T 1 ; T 2 ; . . . T k � 1 6 255 ∕ / Pop = X [ N p , k � 1 ]0( 继续 )0输入:0f X i 1 g 2 T 1 ; f X i 2 g 2 T 2 ; . . . f X ik � 1 g 2 T k � 1 , i = 1, 2, 3, . . . , N p / ∕修改种群以满足约束条件: 0 6 T 1 6 T 2 6 . . . 6 T k � 1 6 L max ∕ / / ∕ 用于二级分割 ∕ / X 0 i 1¼ X i 1 f X 0 i 1 g 2 T 1 / ∕ 用于三级分割 ∕ / X 0 i 1 ¼ X i 1 X 0 i 2 ¼ X 0 i 1 þ ð 255 � X 0 i 1 Þ �ð X i 2 = 255 Þ f X 0 i 1 g 2 T 1 ; f X 0 i 2 g 2 T 2 / ∕ 用于四级分割 ∕ / X 0 i 2 ¼ X i 2 X 0 i 3 ¼X 0 i 2 þ ð 255 � X 0 i 2 Þ � ð X i 3 = 255 Þ X 0 i 1 ¼ X 0 i 12 � ð X i 1 = 255 Þ f X 0 i 1 g 2 T 1 ;f X 0 i 2 g 2 T 2 ; f X 0 i 3 g 2 T 3 / ∕ 用于超过四级分割（第五级分割到 k -level 分割） ∕ / X 0 i 2¼ X i 2 X 0 i 3 ¼ X 0 i 2 þ ð 255 � X 0 i 2 Þ � ð X i 3 = 255 Þ X 0 i 1 ¼ X 0 i 2 � ð X i 1 = 255 ÞX 0 i 4 ¼ X 0 i 3 þ ð 255 � X 0 i 3 Þ � ð X i 4 = 255 Þ . . . . . . . ....... ∕∕ ........................................ X 0 ik � 1¼ X 0 ik � 2 þ ð 255 � X 0 ik � 2 Þ � ð X ik � 1 = 255 Þ f X 0 i 1 g 2 T 1 ; f X 0 i 2 g 2 T 2 ; f X 0 i 3g 2 T 3 ; . . . ; f X 0 ik � 1 g 2 T k � 1 / ∕ 种群的表示 ∕ / X 0 i ½ X 0 i 1 X 0 i 2 X 0 i 3 . . . X 0 ik � 1 �X 0 i ¼ ½ T i 1 T i 2 T i 3 . . . T ik � 1 � / ∕ 修改后的种群 ∕ / Pop ¼ X 00/ ∕ 最初生成种群 ∕ /0I ¼ 0 ; 1 ; 2 ; . . . ; I max / ∕ 初始 ∕ / I = 0 / ∕最初生成种群的第i个可行解候选者的表示 ∕ /0f X I i 1 g 2 T i 1 ; f X I i 2 g 2 T i 2 ; f X I i 3 g 2 T i 3 ; . . . ; f XI ik � 1 g 2 T ik � 1 X I i ¼ ½ T I i 1 T I i 2 T I i 3 . . . T I ik � 1 � , i =1, 2, 3, . . . , N p 输出: / ∕具有最大适应度值的最佳可行解候选者的表示 ∕ /0X I max 最佳 ¼ X I max 1 ¼ X I max O ð X I max i Þ¼ min ¼ 13 . . . X I max ik � 1 �0¼ ½ T � 1 T � 2 T � 3 . . . T � k � 1 �开始 I = 0 for i ¼ 1 to N p do0F I i ¼ O ð X I i Þ endfor / ∕根据各自的适应度值按升序排列种群的可行解候选者，并找到最佳的可行解候选者及其适应度值 ∕ /0( 继续在下一页 )1 ¼1 þ XI½i; 1�sum m2 ¼ sum m2 þ XI½i; 2�..sum mk�1 ¼ sum mk�1 þ XI½i; k � 1�endform1 ¼ sum m1=Npm2 ¼ sum m2=Np..mk�1 ¼ sum mk�1=NpM ¼ ½m1m2m3::mk�1�r ¼ randð0; 1ÞTF ¼ randð0; 1ÞD ¼ rðTeacher � TF � MÞfori ¼ 1toNpdoXInew TP;i ¼ X
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