Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）164原创文章具有Grill Nano广义闭集A.A. 阿扎姆埃及新谷Assuit大学理学院数学系Ar t iclei n f o ab st r act文章历史记录：2016年7月17日收到2016年10月23日修订2016年10月30日接受2016年11月25日在线发布MSC：45C1054D10保留字：Nano广义闭Nano拓扑空间与Grill Nano拓扑空间Grill Nano广义闭集是Nano广义闭集在Grill Nano拓扑空间中的扩展，它是计算机科学和信息系统等领域中度量、推理和推理的参考框架。因此，本文的目的是研究和分析这种扩展，通过拓扑结构的概念，格栅。得到了与这些集合相关的一些重要特征和主要性质© 2016埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。1. 介绍格架拓扑空间的概念是建立在两个算子之上的，它们是：Choquet[1]是第一个提出这一概念的人。人们发现，Choquat概念与理想、网和过滤器之间有一些相似之处。文[2它扩展了用于描述而非度量数量的拓扑结构，如爱情、智力、美丽、教育质量等，并在下近似、上近似和边界区域中引入栅格变化的概念，拓展了拓扑结构，为Nano拓扑空间开辟了新的视野.在1970年，Levine[6]是第一个引入扩张闭集概念的作者。 Nano拓扑结构的思想是建立在论域集的子集与其等价关系的下、上、边界近似的基础上的，它也有助于通过Nano概念引入闭集、内部集和闭包集的定义。2013年，莱利斯[7]他是第一个提出这个想法的人。本文的研究目标是将格架插入到Nano广义闭Nano拓扑空间上。得到了一些重要的关系式电子邮件地址：azzam0911@yahoo.comhttp://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.10.0052. 预赛定义2.1. 空间X的一个非空子集G在这个空间上具有拓扑τ，如果下列条件成立，则称它为grill[1]：（1）φ/∈G，(2) A∈G和A<$B<$X<$B∈G，(3) 若A<$B∈G，对于A，B<$X，则A∈G或B∈G。由于格网依赖于两个映射τG和W，这两个映射在空间X上生成了一个唯一的格网拓扑空间τG，记作τGonX，在[3，5]中已有讨论。定义2.2（见[6]）。 空间上拓扑τ的子集B称X是广义闭集（简称g-闭），如果Cl（B）<$U，其中B <$U，且U在（X，τ）中开.拓扑空间（X，τ）的集合B称为g-开的，如果X\B是g-闭的。定义2.3（见[8]）。 设X是一个集合的miss-null有限集合，定义为论域，X上的等价关系R称为不相容关系，构成一个知识库（X，R）。然后，X包含属于相同等价类的元素，这被称为与不同元素不可辨别。如果A=X，X的所有元素的集合，其与A到R的某些分类元素一起由RA表示，称为X的下近似定义为RA={x∈X：Rx<$A}的集合A，其中Rx表示包含x∈X的等价类。1110- 256 X/© 2016埃及数学学会。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表埃及数学学会期刊首页：www.elsevier.com/locate/joems------A.A. Azzam/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）164-166165集合A到R的上近似是所有对象的集合，它可能被分类为A到R，并被表示为RA，定义为RA=x∈X：Rx<$A/=φ。A到R的边界区域是所有对象的集合，既不能归类为A，也不能归类为A到R的补，记为BR（A），定义为BR（A）=RA−RA。性质2.4（参见[9]）。 如果（X，R）是一个知识库，A，B<$X，那么从近似空间的定义中，我们可以得到以下性质：(1) RAARA。(2) Rφ=Rφ=φ。(3) RX = RX = X。(4) R（A <$B）= RA <$RB。（5）R（A <$B）= RB <$RB。(6) 如果A≠B，则RA≠RB，RB≠RB。(7) R（A<$B）<$RA<$RB.(8) R（A B）RA RB。(9) RA c=[RA] c和RA c=[RA] c。(10) RRA = R R A =RA。(11) RRA=RRA = RA。定义2.5（见[7]）。设X是宇宙集，R是X上的等价关系，τR（A）=X，φ，RA，BR（A）其中A<$X.然后利用上述性质，τR（A）满足X上拓扑的条件，称为X上关于A的Nano拓扑。（X，τR（A））被邀请到纳米拓扑空间。 Nano拓扑的元素是X中的Nano开集. [τR（A）]c的元素称为Nano闭集，[τR（A）]c称为τR（A）的对偶Nano拓扑.注2.6（见[7]）。 设τR（A）是X到A上的Nano拓扑，则集合B={X，RA，BR（A）}是τR（A）的基。定义2.7（见[7]）。若（X，τR（A））是关于A的Nano拓扑空间，其中A<$X，若B<$X，则(1) 集合B的Nano内部定义为B中包含的所有Nano开子集的并集，并由NInt（B）定义。也就是说，NInt（B）是B的最大Nano开子集。(2) 集合B的Nano闭包被定义为所有的Nano都是封闭的，包含B，用NCl（B）表示。NCl（B）是包含B的最小Nano闭集。定义2.8（见[8]）。（X，τR（A））的子集B称为Nano广义闭集（简称Ng-closed），如果NCl（B）<$U对于B<$U，U是在（X，τR（A））中的Nano开。3. Grill Nano拓扑空间中的Grill Nano广义闭本文引入并研究了广义闭区间grillNano拓扑空间.定义3.1. 设（X，τR（A））是空间X上的Nano拓扑.此外，一组G满足X上烤架的条件。一个亚-Grill Nano拓扑空间（X，τR（A），G）的集合B是G−Ng-闭的如果（B）UforBU for allU是Nanoopen。X的子集B被称为是G−Ng-开的，如果X\B是G−Ng-闭的。注3.2.(1) 每个N-闭集都是Ng-闭集.(2) 每个Ng-闭集都是G-Ng-闭的，但不像例3.3那样反之亦然。例如 3.3. 当 X={1， 2， 3， 4}，其中X/R={{1}，{ 3}，{ 2， 4}}A={1， 2}。则τR（A）={X，φ，{1}，{ 1， 2， 4}，{ 2， 4}}，纳米开放集。Nano闭集={φ，X，{3}，{ 1， 3}，{ 2， 3， 4}}其中G={{1}，{ 1， 2}，{ 1， 3}，{ 1， 4}， {1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，X}。这表明集合{2}<${2，3，4}是G−Ng−闭的，但不是Ng-闭，集合{1，2，3}<${1，2，3，4}是Ng-闭的，但不是关闭。定理3.4. （X，τR（A），G）的子集B是G−Ng-闭的，如果τ R（B）\B包含非空的G−Ng-闭集.证据 设B是G-Ng-闭集。 然后，（B）U为BU，Nano是开放的。设Y是n（B）\B的grill Nano闭子集联合则B∈Yc和Yc是grill Nano广义开的. 由于B是G−Ng-闭集，则<$（B）<$Yc或Y<$[<$（B）]c。这是Y（B）， Y<$[<$（B）]c意味着Y<$φ。所以Y是空的。Q定理3.5. 如果B和C是G-Ng-闭集，则B ∈ C是G-Ng-闭集。证据设B和C是G-Ng-闭集。然后，当- everB<$U和U是Nano开放的时候，<$（B）<$U，对于C<$U和U是Nano开放的，<$（C）<$U。因为B和C是U的子集，所以B<$C<$U和U是Nano开放的。则<$（B<$C）=<$（B）<$$>（C）<$U使得B<$C是G−Ng-闭集。Q备注3.6. 假设B和C是G-Ng-闭集，则它们的交是G-Ng-闭集。实施例3.7. 设X={1， 2， 3}，其中X/R={{1}，{ 2， 3}}且A={1， 3}。则Nano拓扑τR（A）={X，φ，{1}，{ 2， 3}}。烤架G={{1}，{ 1， 2}，{ 1， 3}，X}，则格网Nano广义闭集为P（X）.即任意两个G-Ng-闭集的交是G-Ng-闭集。定理3.8. 设B是G−Ng-闭集，且B（B），则C是G−Ng-闭集。证据设C∈U，只要U在τR（A）中是Nano开的，有格网G。则BC蕴涵BU。由于B是G-Ng-闭的，则<$（B）<$U。此外，C（B）意味着（C）（B）。因此，<$（C）<$U，所以C是G-Ng-闭的。Q定理3.9. 每个Nano封闭都是grill Nano广义封闭。证据设（X，τR（A），G）是Grill Nano拓扑空间，B∈U，U在τR（A）中是Nano开的.由于B是Nano关闭的，因此它是N-g-闭的，即NCl（B）=B和<$（B）<$B，这导致<$（B）NCl（B）。因此，（B）BU。因此B是Grill Nano广义闭集。Q示例3.10. 当X={a，b，c，d}且X/R={{a}，{b}，{c，d}}时A ={a，c}。 则τR（A）={X，φ，{a}，{a，c，d}，{c，d}}是Nano开集。The Nano closed sets = {φ, X, {b, c, d}, {b}, {a, b}} withG ={{b},{a,b},{b,c},{b,d}, {a, b, c}, {b, c, d}, {a, b, d}, X}. 设B =a，b，c且B <$X，<$（B）<$X，这意味着B是G − Ng-关闭，而B不是Nano关闭。这个模型证明定理3.9的逆命题一般不成立定理3.11. 一个G−Ng-闭集B是Nano闭的当且仅当（B）\B Nano已关闭。证据（ 必要性）假定B是Nano封闭的。那么，（B）=B，所以是Nano闭的。(su假设n（B）\B是Nano闭的。 则φ（B）\B=φ因为B是Nano封闭的。也就是说，n（B）=B或B是Nano闭的。 Q定理3.12. 设C<$B<$X，C是相对于B的G-Ng-闭集，B是X的G-Ng-闭子集。 我们得出结论：C相对于X是G-Ng-闭的。证据设C≠U，假设U是Nano开的。然后是CBU。因此，B（C）BU。因此，B（C）BU和BU由于B在X中是G-Ng-闭的，我们有<$U（C）<$U（B）<$U（C）。故（C）（B）U（C），故（C）U。则C是G−Ng-闭的，相对于XQ166A.A. Azzam/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）164推论3.13。设B是G-Ng-闭集，F是Nano闭集。 则B F是一个G − Ng-闭集，在下面的例子中给出。实施例3.14. 设X ={1，2，3，4}，A={1，2}，X/R ={{1}，{ 3}，{ 2， 4}}。则τR（A）={X，φ，{1}，{ 1， 2， 4}，{ 2，4}}，纳米开放集。Nano闭集={φ，X，{2， 3， 4}，{ 3}，{ 1， 3}}，G={{1， 3}，{ 1， 2， 3}，{ 1， 3， 4}，X}。 设B={1， 2， 3}，F={1， 3}。则BF={1， 3}是一个G−Ng-闭集。定理3.15. 对于格架Nano拓扑空间（X，τ R（A），G）中的任意a ∈X，{a}是Nano闭的或{a} c是τ R（A）中的格架Nano广义闭的.证据假设{a}在X中不是Nano闭的。那么{a}c不是Nano开集，唯一包含{a}c的Nano开集是UX。这意味着{a}c<$X，因此<$（{a}c）<$X。这导致{a}c是τR（A）中的grill Nano广义闭集。Q4. 结论由于拓扑空间被剥离了几何形式，它被用来衡量那些难以衡量的东西，如智力、美和善。所以，我们用grill的概念来扩展这个空间，帮助我们测量很难测量。本文讨论了G−Ng-闭给出了Nano拓扑空间之间的集合的格架表示，并引入了Nano广义闭集的格架展开。确认在此，作者感谢推荐人提出的宝贵意见和建议。引用[1] G. Choquet，Sur les notions defilter et.烤架，完成Rendus Acad。Sci.巴黎224（1947）171-173。[2] A. Al-Omari，T.张文，等. 4（1）（2011）33-46。[3] E.仇恨，S。Jafari，关于一些新的集合类和一个新的连续格分解，J。Adv. 数学问题研究3（1）（2010）33[4] A.A. Nasef，A.A.阿扎姆，在slightly g-预连续函数，在：第五届国际数学会议。科学（ICMIS2016），2016年，pp。11-13. Zewail科技城[5] B.罗 伊， M.N. Mukherjee ， 关于 由格 栅诱 导的 典型 拓扑 ，Soochow J.Math.33（4）（2007）771-786。[6] N. Levine，拓扑空间中的广义闭集，Rend Circ。Mat. Palemo 19（1970）89-96.[7] M.L.蒂瓦加角Richard，On Nano forms of weakly open sets，Int. J. Math. Stat.发明1（1）（2013）31-37。[8] Z. Pawlak，Rough sets，Int. J. Comput. INF. Sci. 11（5）（1982）341-356。[9] Z.王文，《粗糙集理论与数据推理》，北京：科学出版社，1991年。
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