多路数值划分问题的变量邻域下降分支算法研究

-Available Online atwww.sciencedirect.com理论计算机科学电子笔记346（2019）437-447www.elsevier.com/locate/entcsVariable Neighborhood DescentBranchingappplied to the Multi-WayNumber Partitioning Problem（英语：Variable Neighborhood DescentBranching appplied to the Multi-WayNumber Partitioning Problem）（英语：Variable Neighborhood Descent）AlexandreFriasFaria1S'ergioRicardodeSouza1ElisangelaMartinsdeSa'1阿尔德里科·德·rAv。 Amazonas 7675，30510-000卡洛斯·亚历山大·席尔瓦2R&D学会D.在V。答：_抽象这 篇 文 章 是 一 个 应 用 的 变 量 邻 近 下 降 Branching 方 法 解 决 多 路 编 号 分 区 问 题 。 这 是 一 个 consists ofdistributing the elements of a given sequence intok joint subsets such that the sums of each subsetelements fit in the shortest interval 的 问 题 。 It show a new method to decompose the MWNPP inn 1subproblems using local branching constraints.它显示了一个将MWNPP分解为n 1个子问题的新方法usinglocalbranching这对提出算法中的邻近结构的合理性进行了分解The study of parameter settings fines theoperation of the proposed algorithm相关的文章结果显示，这里的结果是没有客观价值之间的预测算法和数学模型由CPLEX解决的统计学意义，但时间所使用的方法是显着的迪erent。关键词：组合优化，多路分类问题，可变邻近度下降Branching，Matheuristics。1导言A partition of a setX is a collection of mutally disjoint subsets whose unionformsX.（X的一部分是共同开发的子组件，其中包括forms X）Ak-partition is apartition with exactly k non-empty subsets. （ A k -partition is a partition withexactlyk non-empty subsets.）在这篇文章中，该子集belonging to the partition arecalled parts，the set Z+ denotes1电子邮件：alexandrefrias1@hotmail.com，sergio@dppg.cefetmg.br，elisangelamartins@cefetmg.br2电子邮件：carlos. ifmg.edu.brhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2019.08.0391571-0661/© 2019 The Author（s）。出版者：Elsevier B. V.这是CC BY-NC-ND许可证下的开放访问文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。438A. F。”哦，艾尔。/理论计算机科学中的电子笔记346（2019）437j=1这是严格乐观的integers的集合。Furthermore，the notationIm ={y∈ Z：1≤y≤m}代表1和m之间integers的最后一组。Two-Way Number Partitioning Problem （ TWNPP ） consists of finding a 2-partition for the indexes of a given sequenceV .两种方法的分区问题（TWNPP）一致性为一个5级序列的索引设置一个2-partition。这个问题的目的是最小化在不同部件中的元素之间的差异。TWNPP的生成是多线程编号分区问题（MWNPP）。 Inthis problem ， the number of parts k in which the sequence elements V are tobanddistributedisfixed.在这个问题中，相关方k的数目为，且序列元素V是被分配到b 。 （ 1 ） 设 yymeenswhose indexes are contained in the partAj . （ n ns indexiscontained in the part A j）Given a numerical sequenceV，the [编辑]goalistofindak-partitionforitsindexes，sothatthesetofweights{g（Aj）}k是尽可能短的时间内保持。TWNPP被正式列入[7]作为基本NP完全问题之一。在TWNPP和其他NP完全问题之间存在着一个数量的相等性问题。在其他人的手，MWNPP appears originallyin an article about the analysis of a constructive heuristic called Di erencingMethod，better known as Karmarkar-Karp Heuristic（KKH），proposed in [6] .在其他人的手，MWNPP在一个构造性的启发式分析中提出了关于Karmarkar-KarpHeuristic方法的建议。根据[4]，MWNPP是解决通用目的元启发学，Such为遗传算法，模拟分析和其他人的每一个问题。在许多情况下，计算时间和构造性启发式性能的这些方法都成功地作为KKH和最长启发式处理时间（LPT）的even，由[5]提出。对这些问题的解决方案的精确算法的构造已在[8]中提出。为此，Backtrack程序正在进行建设性的启发式。当LPT启发式算法在枚举期间被使用时，完整希腊算法（CGA）已产生;如果KKH已使用，则完整的Karmarkar-Karp算法（CKK）已生成。在这些算法中发现了随机数分割（RNP）算法导致的结果，由[9]提出。第二个改进是针对[12]，在什么是一个新的数据结构应用到the CKK algorithm是建议，speeding up the search in the Karmarkar-Karp Tree.关于MWNPP转换a（k−1）-partition to ak-partition ， [11]projects an algorithm based on solving smallersubproblems.[11]解决小问题的算法基础上[11]2009年7月14日，在美国，出现了一个非常有趣的现象：MWNPP的艺术状态是The State of the art for MWNPP is theSequential Number Partitioning algorithm ， presented in[10] ， and the CachedIterative Weakening algorithm，shown in [14]。关于这些算法的完整和高相关分析已经找到了[13]。为MWNPP创建一个数学模型，一个由局部Branching Constraints输入的技术已经被提出[3]。这些项目是从一个初始解决方案xs中定义的，并确定如何关闭或远距离解决方案可以成为x中的一个。这技术降低了许多要求和近似方法对组合优化问题的解决方案的建议。这些方法中的一个是可变邻近下降Branching（VNDB），描述于[1]使用局部Branching Contraints的finesits neighborhoods这 篇 文 章 是 对 VNDB 方 法 的 适 应 ， 即 对 我 们 的 MWNPP 方 法 -- ing theconstructive heuristic LPT as an initial solution。排除区域从搜索空间被利用的可能性通过简单地添加到数学模型的限制使得应用程序的VNDB能够解决这个问题。A. F。”哦，艾尔。/理论计算机科学中的电子笔记346（2019）437439The analysis of the computational time spent and the upper bound for each in-stance show that VNDB ， with a reasonable number of neighborhoods ， findsresults as good as the standard CPLEX solver and，in a short run time.（第二，第四，第四，四，这篇文章是组织作为follows。Section2 presents the problemaddressed and states a mathematical model for MWNPP.第二节目前的问题，附加并状态为MWNPP一个数学模型。第3节Introduces an analysis of local branchingconstraints.第四章赋予VNDB proposed方法和evalu- ates the particularity of itsneighborhood in rings的特性。第5节：算法之间的比较计算测试执行的第二节。最后，第6节总结了这篇论文，包括一个关于结果和拟议范围的批评。2问题声明MWNPP在这里是原始版本添加在[6]。Its input is a sequenceV，its output isak-partition of the indexes of V .输入的是一个序列V，而其输出是一个k -partition ofthe indexes ofV。定义2.1，让V ={V1，V2，} v n是一个连续整数，k是一个积极整数。Find a k-partition of the V indexes，in the form {A1，A2，.，找到第五个索引，在形式上A、最小化函数：A2，A1， 【解析】（1）设 ： __（1）j′j[2019 - 04 - 17]【2019 - 12 - 23 00：00】【2017 - 05 - 17】【2017】【2019 - 12 -01 00：00】【2017】【2010】【】【2010】【】这些案例的客观函数的最佳值和最佳值显示在表2中。最佳阵容Feasible Optimal英[k zm 't l ə d]美[k zm 't l ə d]V17，3V17，0v17，6v17，6V17，1v17，22019 -11 - 14 00：00：00作者：陈建铭V13，4V12，3V13，0V13，2V12，7V13，0V13，0V13，22019 -11 - 12 00：00：01 |分类：|分类：v1113v112V96，V9，9V9，9V10，0v11，2v10，9V99，V99，k = 6{96}, {89}, {87}, {11, 13, 65}, {56, 25},{43, 34}{96}, {89}, {87}, {11, 25, 43}, {13, 65},{34, 56}V96，V8，9V87，V89，V8，1V7，7V9，6V89，V8，7V7，9V78，V9.0Table 1MWNPP Solutions fork∈ { 3， 4， 5， 6}的解决方案。Table 2 ObjectiveFunction Values表2对象函数值。Feasible的optimal的k=3176 - 170 = 6176 - 171 = 5k=4134 - 123 = 11132 - 127 = 5440A. F。”哦，艾尔。/理论计算机科学中的电子笔记346（2019）437k= 5113 - 96 = 17112 - 99 = 13k=696 - 77 = 1996 - 78 = 18MWNPP可以使用binary variablesxji to indicates if thei-th term of thesequenceV belongs to the partj（xji = 1）or not（xji = 0）来进行建模。OnlyPairs（j，i）（仅对我而言）A. F。”哦，艾尔。/理论计算机科学中的电子笔记346（2019）437441Σj=1JInji∈Bji/∈Boutside the lower right triangle must be set to avoid multiplicities相关的文章 使用这个集的变量，一个混合整数编程（MIP）公式为MWNPP可以given as：mint2−t1（2a）ST。t1≤vixji≤t2，j∈Ik（2b）i=j）（我）（们）（的）（。ΣJ=1xji= 1，i ∈In（2c）（2c）t1，t2∈R+（2d）xji∈ {0， 1}，（j，i）：i≥j（2e）（A）最小化集装箱尺寸（Size of the Interval Container）{g（Aj）}k？构造nts（2b）guarranteesthateachpartisnon-empty，sincet1>0，而与each part相关的权重在区间[t1，t2]中被包含。Constraints（2c）表示，双方被分开，而V中的所有元素被分配到某些部分，导致该问题仅由确定n≥k引起。最后，constraints（2d）ensurethattheconstraintsofmaxj{g（Aj）}andminj{g（Aj）}arealways positive.构造n ts（2d）能使最大j {g（A j）}总是正的此MIP模型是引入[2]，与排除的变量相关这个模型的解决方案是MWNPP的解决方案，但它仍然很小。数学模型和K-partitions的集合之间的表相对应的表相对应。3地点分析Branching Contraints）（我）（们）（的）（自）（然）（自）（己）（的）（自）（己）（，）（我）（们）（的）（自）（己）（的）（自）（己）（心）（，）（然）Consider an current solutionxs for the mathematical model实际上是一种面向对象的解决方案（2）。LetB be the set of pairs of indexes（j，i）（让B成为一组指数之父）= 1。地点Branching以下是由后续表现所定义的：Δ（xs，x）：=Σ（1−xji）+Σxji≤R（3a）Δ（xs，x）：=Σ（1−xji） +Σxji=R（3b）442A. F。”哦，艾尔。/理论计算机科学中的电子笔记346（2019）437ji∈BNji/∈Bji∈Bji/∈BΔ（xs，x）：=Σ（1−xji）+Σxji≥R（3c）The Constraint（3A）意味着一个很好的解决方案必须在一个模糊的距离less than or equal toR with respect to the solutionxs.对解决方案的责任等于对R的责任。Thus，the neighborhoodR（xs）is a disk of radiusR and centerxs .第一个是RadiusR和center x s。 在列表（3b）中，只有解决方案与Hamming Distance精确地相等于R与Xs的关系是相同的。这一邻近性结构是一个中心在X和内部与外部辐射相等到R的退化环。最后，列表（3c）考虑所有空间A. F。”哦，艾尔。/理论计算机科学中的电子笔记346（2019）4374431111Σ12/R=1nji∈Bji/∈Boutside the radius diskR and centerxs the space of feasible solutions一个强大的解决方案空间它是重要的要注意，本地品牌的约束，不总是明确的neighborhood结构，因为它将取决于它的形状区域的数学模型的问题研究的影响。Letx1 andx2 be two distinct feasible solutions of model（2）让x 1和x 2成为两个不同的模型解决方案。《The Furst Column》解决方案矩阵始终是值x1= 1且x2= 1。There，therearen- 1列对变量的设置假设非常重要。从第二个碰撞是一个增量，最多两个单位每列在一个总的摆动距离可以被实现，due对constraints（2c），there is only onejsuch thatxji = 1 for eachi column。在数学模型中，两种可执行的解决方案之间的细微差别（2）始终是一个数字。可以得出这样的结论：1 2 1 2x，xAnd，as a consequence of（4），the maximum Hamming distance between twofeasible solutions can be given as：两种可执行的解决方案之间的最大迁移距离可以发生以下情况：max {x1，x2}= 2（n − 1）（5）因此，在此之前，there is a decomposition of MWNPP to subproblems withcon- straints（3b）.使用equation（4），a subproblemPr（xs）resulted by addingthe constraint Δ（xs，x）= 2r to the model（2）is given as：（r（xs））mint2−t1（6a）ST。t1≤vixji≤t2，j∈Ik（6b）i=j）（我）（们）（的）（。ΣJ=1xji= 1，i∈In（6c），Σ（1−xji）+Σxji=2r（6d）t1，t2∈R+（6 e）x ji∈ {0，1}，（j，i）：i ≥ j（6f）它是已知的数学模型（6）仅假设在1 ≤ r ≤ n − 1时呈现有效的解决方案。它也是重要的，要注意，Pr（xs）AndPr（xs）have no feasible solution in common wheneverr1 =r2，because its.（在常见的情况下没有可用的解决方案）解决方案X在这一情况下是遥远的。因此，子问题集合{Pr（xs）}n−1是数学模型444A. F。”哦，艾尔。/理论计算机科学中的电子笔记346（2019）437（2）的分解，而，这些是MWNPP的分解。4Proposed算法这是一个非常好的解决方案，可以解决这个问题：The proposed VNDBalgorithm works with the insection and removal of Lo。 这是一个关于“BranchingConstraints Aiming，addition to the Fication of Neighborhoods”的故事。A. F。”哦，艾尔。/理论计算机科学中的电子笔记346（2019）43744512l=1≥√√l=1Σji∈BLji/∈BLnjiB∈Mji/∈BmThe memory of the search space already explored using mathematical expressions搜索空间的记忆一直在探索使用数学表达。Thus，letx1 be a feasible solution of theproblem（2）andx2 be the solution of the subproblemP1（x 1）.因此，让x 1成为问题（2）的有效解决方案，而x 2则是子问题P 1（x1）的解决方案。VNDB的初始问题是P1（x1）。下一个问题将是P2（x1）或P1（x2）∈ {Δ（x1，x）≥2}，取决于什么是最佳解决方案，或x或x。同一个逻辑应用程序，以达到潜在的可能性。在一般情况下，方法决策是作为follows。LetM be a set of constraints让 M成为一套库存商品type（3c）and（xl）m类型（3c）和（x l）m解决方案的序列号由VNDB提供。In the iterationt，the的解决问题的方法：r（xl）M导致解决方案xl+1。如果解决方案xl+1是betterthanxl，则子问题是由adding the constraint Δ（xl，x）2（r+ 1）to the setMand yielding the setMJ.这一步消除了Pr（xl）subproblem的强大地区。最后，constraint Δ（xl，x）= 2r is replaced by the constraint Δ（xl+1，x）= 2。这一过程在形式P1（xl+1）√MJ中创造了一个问题。如果解决方案xl+1is no better thanxl，the constraint Δ（xl，x）= 2r is changed by Δ（xl，x）= 2（r+ 1），generating the subproblemPr+1（xl）∈M.The mathematical model（7）表演The Structure of the VNDB subproblem afterPassing through m Distinct solutions and performing t（英语：Passing throughm Distinct solutions and performing t）mint2−t1（7a）S. T。t1≤vixji≤t2，j∈Ik（7b）i=j）（我）（们）（的）（。ΣJ=1xji=1，i∈In（7 c）Σ（1−xji）+ Σxji=2rm（7 d）Σ（1−xji）+Σxji≥2rl，l∈Im−1（7 e）t1，t2∈R+（7 f）xji∈ {0， 1}，（j，i）：i≥j（7g）446A. F。”哦，艾尔。/理论计算机科学中的电子笔记346（2019）437下面的问题（7）比数学模型（2）还多。列表（7 d）代表了当前迭代的邻居m−1组合（7 e）使其成为可预测子问题的搜索区域第一个例子是“我的数字取决于最初的解决方案选择和邻近地区结构的大小”。《The valuesrl∈In−1》作者：有多少个邻居都没有被冲走，他们的解决方案是这样的。A. F。”哦，艾尔。/理论计算机科学中的电子笔记346（2019）437447≤←←≥←≥←←算法1VNDB1：functionVNDB（x˙，N）d初始解决方案andnumbe rofneighbor hodsR1DInitial Neighborhood初邻居3：T1DIteration4.whilet Itermaxandr Ndo是什么意思10：addΔ（x˙，x）=2r6：x←solve（）dSubproblemsolution（问题的解决）7：rEMOv，Δ（x˙，x）=2r8：如果最佳f（x）f（x）thendWithoutimprovedsolution（x）不加反作用的v ed solution）R+1DNext Neighborhood附近的景点11：改善解决方案12：addΔ（x˙ ，x）≥2（r+1）dExclusionofexplored searc h space（被探索的海洋c h空间）第13集"Return to the First Neighborhood"14：X←X′更新解决方案15：end if第16集"Else IfFeasibleThenDNo Search Space Reduction"17：iff（x）f（x）then18：R+119：她20：R ←121：X←X′22：end if解决方法：elsed’Infeasible orsolve（）does not find solutionR=R+125：end ifT +1 t+127：End While28：returnx˙29：End FunctionAlgorithm1总结了丰富的解释。停止标准是一个单一的解决方案或最大迭代次数的Itermax（或最大化时间）中Nneighborhoods的exhaustion。在实际操作中，函数解决（）也有时间限制，以解决该VNDB子问题。因此，任何地方都必须有条件地解决所有可能的解决方案状态：{Feasible，optimal，infecasible}。当方法解决（）返回一个功能，但不是最优的改进，这是不可能的，排除该subproblem区域because there是一些未爆炸的空间，可以防止最佳的解决方案一般问题。5计算机实验Computer ExperimentsThe proposed VNDB algorithm and the mathematical model presented in Sec-tion2 Were coded in C++ using the Concert Technology of CPLEX 12.6 in thedefault configuration（初次使用）The computational experiments were carried onan Intel Core i7-3770 CPU 3.4 GHz with 8 colors and 32 GB RAM running on a448A. F。”哦，艾尔。/理论计算机科学中的电子笔记346（2019）437Ubuntu计算机实验室推出了一个Intel Core i7 - 3770 CPU 3.4 GHz with 8 colorsand16.04 64-bit operating system usingclang compiler version 3.8使用克隆编译器版本3.8 测试机构composed of a set of sequences were randomly generated as follows.组成的序列是随机生成的。用12位数字排名的序列从000000000到9999999999是由随机采样生成的12连续时间在0和9之间使用一个统一分布。A. F。”哦，艾尔。/理论计算机科学中的电子笔记346（2019）437449z（A）计算实验正在进行比较解决方案UB的质量和与VNDB和CPLEX相关的计算时间在数学模型2中解析应用的时间限制t= 4500秒.测量结果是基于gap（B，A）= z（A）−z（B）100%，其中z（A）和z（B）对应于与算法A和算法B相关的最佳解决方案提供的最佳解决方案值。 This function show that the solution provide bythe algorithm B is better than the solution provided by the algorithm A whengap（B，A）> 0这个函数显示了由算法提供的解决方案比算法提供的解决方案更好（B，A）For instance，thegap（B，A）= 90% that the response of thealgorithmA would be divided by 10 to match the algorithmB response.（90%表示算法的答案有可能被10除以10来匹配算法B的答案）100%的结论是函数差距（B，A）的结果，而算法B与算法A的结果比较。《The Same MeasureApplies to the Run Time of the Algorithms》相关文章函数条目中的算法的顺序是间隙（V NDB，MIP）。差距值（）≥100%正在逐渐缩小。A set of experiments was performed using the generated instances withn∈一组实验用了普遍性的实例。{100， 200， 400， 800}，consideringk∈ { 100， 200}， TablesA.1 andA.2present图片计算机实验结果（Computational Experiments results）执行时间（in seconds）和上行约束（ub），for each instance。 这些结果被用于计算表A.3中的差距（）。TableA.3可能会为结果的描述分析服务。首先，VNDB运行时通常很短，差距t值大于60%，指示最后2的运行时。5次小发作。VNDB finds the optimal solution for 9instances in thek = 3 column whengapub = 100% is observed.（9个实例的最佳解决方案在k = 3列，when gap ub = 100%已被支持。Furthermore，the number oftimes that theub provided by the VNDB algorithm exceeds the one provided by themathematical model（2）solved by CPLEX solver，which concords to the numberof positivegapub observed，是80个被测实例中的39个。在10个实例中，K= 3，8个实例中K= 4，8个实例中K= 5，而K= 6。最后，一组使用客观函数值的统计测试的集合falg作为样本已被执行。测试是有可能的，如果客观功能值fMIP，与CPLEX相关的最佳解决方案解决方案时，它是有可能与95%置信度解决方案通过VNDB，由fVNDB，。假设测试使用的是：fMIP≥fV NDBH1：fMIP

下载后可阅读完整内容，剩余1页未读，立即下载