理论计算机科学电子笔记169（2007）43-59www.elsevier.com/locate/entcs修订的定性不确定性排序Andrea Capotorti1分散到不同的材料中，不存在重复的材料Andrea Formisano和Gianfranco Murador2DipartimentodiInformatica，Universita`diL摘要近几十年来，概率不确定性的定性方法受到越来越广泛的关注。我们提出了一个新的表征，一些最常用的偏偏好顺序提供了一个统一的公理化处理各种定性的不确定性概念。我们证明了一个代表性的结果，连接定性概念的部分不确定性，其数值对应。我们还描述了一个可执行的规范，在答案集编程的声明性框架中，它构成了不确定性定性管理的核心引擎。一些基本的推理任务也被识别。关键词：不确定性顺序关系，定性不确定性框架，部分评估，答案集编程。1介绍这些数字是从哪里来的- 彼得·奇斯曼[6]在上个世纪，人们研究了许多处理不确定性的形式主义大多数提出的不确定性下决策的概率模型依赖于数值度量和表示。所有这些都源于著名的概率测度的修正[37]，通常旨在使其更好地适应特定应用领域的不同特性。事实上，一些作者批评了古典概率论的这种使用，强调普通人在表达他们对事件可能性的直觉判断时，经常（故意）违反这种理论的假设它1Via Vanvitelli 1，佩鲁贾。意大利 电子邮件地址：capot@dipmat.unipg.it2 拉奎拉的维托约路 意大利 电子邮件地址：formisano@di.univaq.it1571-0661 © 2007 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2006.07.02844A. Capotorti等人/理论计算机科学电子笔记169（2007）43似乎合理的是，人类产生判断的心理过程是由一些无意识地“在幕后行动”的推理指导的主观、心理和环境因素可能会影响这一过程（参见，[22，23，27，40]，其中许多）。例如，对同一事件的不同描述往往会产生实质上不同的判断。这一现象的典型例子是著名的埃尔斯伯格Paradise[20，21]。规避这些问题的一种方法是放弃一些表征概率测度的假设。这方面的大多数建议都削弱了概率函数的可加性。这可以通过几种方式来完成，获得不确定性度量的替代概念。(For读者可以参考[29，33，45]等。实际上，数字方法本身受到了全面的批评，因为所有所提出的框架不可避免地存在一些重要的缺点：• 对人类来说，得出精确的数值是困难的• 表达完整评价的困难。前一个问题可能源于缺乏足够的知识或专业知识，或者源于人们无法正确估计数值并对他们的偏好进行数字评分。事实上，似乎更合理的是，不确定性的评估是基于比较定性判断[3，6，17，34，36，42]。此外，其他方面可能使数值推导从实际的角度来看是不适当的。实际上，关于自动决策系统相对于给定数值评估的准确性的敏感性的研究（例如，[35]）表明，在某些应用领域，强迫用户表达精确的偏好量化可能没有什么好处。因此，粗略的评估或甚至定性处理可以产生类似的结果，而不太复杂的建模和通常较小的计算误差。 克服这样的弱点在过去的几十年里，数值模式的定性方法并且受到越来越广泛的关注，无论是作为直接处理信念管理的理论工具[2，10，14]，还是在决策理论的更清晰的框架内（例如，见[15，16，19，25]）。这种方法论的核心思想是通过比较来表达“或多或少被认为是真的”的判断，从而对命题的真实性的不确定性进行这在操作上转化为使用顺序关系代替数字等级。然后介绍了定性概率、定性可验证性等概念。（通常，术语比较概率，比较可解释性等，使用）。同样的原因也导致了表达完整评价的困难。在定性模型的背景下（但同样的论点适用于数值情况），人类表达的一组偏好构成完整的（即，总的）识别域的顺序。可能有几个原因阻止分析对象提供这样完整的信息。(S)he可能无法或不愿意在非常丰富的上下文中描述一个总的顺序，例如，因为在比较每个A. Capotorti等人/理论计算机科学电子笔记169（2007）4345可能的事件，或因为（S）他有兴趣在推理领域的一个有限的部分[3，26，28，30，43]。这个问题可以通过适应de Finetti在概率测度[11，12]的背景下提出的开创性方法的定性框架来规避。也就是说，通过引入所谓的部分模型，即定性评估仅针对某些现有情况并且意图成为某个完整模型的限制。(Then，我们处理部分容量，部分概率，等等。）这种方法允许问题分析者将他/她的评估集中在真正被认为相关的情况上，w.r.t.手头的问题。这也为将模型扩大到其他场景提供了可能性，这些场景稍后可能会出现。下一节我们正式介绍这些概念，并提供一个公理化的观点，最研究的不确定性秩序。2偏偏好序让我们回忆一下关于不确定性次序的一些概念。辨识的领域由有限的事件集合E={E1，.，En}（其中φ和Ω分别表示不可能事件和必然事件）。这些事件被视为分析对象表达其观点的相关命题如上所述，E不一定代表完整的模型，即它不包括所有基本情况及其所有组合。 为此， 部分评估的一个关键组成部分是对逻辑关系（不相容性、含义、组合、等效性等）的了解。在事件中保持。这样的关系通常通过陈述对事件（以及对事件的合取和析取）的约束的集合C通过考虑约束C，族E跨越包含E自身的极小布尔代数AE 请注意，AE仅通过E和C隐含定义，它不是评估的一部分。无论如何，AE可以作为一个支撑结构来参考。定义2.1设E是一组事件，C是E上约束的集合。 AE是最小代数（A，n，n，n），，φ，Ω）满足C且使得E <$A。这样一个代数在A上导出了一个格结构。AE的原子是（子）格AE\ {φ}的最小元素。然后，每个事件对应于一组原子，AE（部分）由集合包含排序3定义2.2设AE是事件代数一个二元关系（总）优先顺序，如果它满足以下条件：（A1）“优先顺序它是自反的、传递的和完全的;（A2） φ≤<$Ω和<$（Ω≤<$φ）（非平凡性）;(A3)对于所有事件A，B，A<$B→（A3一个有用的符号：在下面的内容中，给定任何二元关系R，写作<$（ARB）意味着 对A，B不属于R。46A. Capotorti等人/理论计算机科学电子笔记169（2007）43如果E2ParticipE1“E 2 E 2“E 1）. 更进一步说，“零”是“零”的一个对称的度量因素，即，E1，E2（E1定义2.3设“和”是事件集合E上的二元关 系，使得E1 <$E2 → E1“E2。 在“第一部分”中，“第二部分”是对E（w. p. S. 如果存在一个对AE的全偏好序“E1”，E2 ∈ E（（E1“E2 → E1“E2）<$（E1 <$E2 → E1<$E2））.例2.4考虑以下情况，涉及胃肠病学中的决策[4]让我们考虑三种病人可能患有的疾病：消化性溃疡、胃癌和胆道疾病。可能与这些疾病相关的症状是黄疸、体重减轻和黑便。黄疸的存在表明胆疾病，体重减轻可能与胃癌有关从医院提供的资料可知，消化性溃疡的发病率高于胃癌，而胆道疾病又占绝大多数。显然，有助于诊断的信息是患者的年龄和性别：消化性溃疡和胃癌在男性中更常见;胆道疾病更常见于女性。此外，在男性人群中，溃疡的发病率高于胆系疾病的发病率。至于年龄方面，我们可以合理地推断，年纪较大的人较年青人容易患上消化性溃疡或胃癌。这种情况可以这样描述：胃癌的症状有哪些？胃癌的症状有哪些？消化性溃疡的症状有哪些？的症状有哪些BD胆系疾病DS黑便设M（分别，W）表示事件患者为男性（分别为，女性）和OA（分别地，YA）表示事件患者年老（分别为，young）。最后，让我们把重点放在一个简单的情况下，在这个情况下，任何病人最多只能从一种疾病中获得营养。关于疾病和症状的知识可以用逻辑约束来JAGC=JAPU=WLPU=φ，WLBD=DSBD=φ，GCPU=GCBD=PUBD=φ，GC/PU/BD= Ω，OAYA=MW=φ，OAYA=MW= Ω。此外，由于事件的意义，似乎有如下所示φ<$GC<$PU<$BD<$Ω，GC<$W<$GC <$M，PU <$W<$PU<$M，BD <$M <$BD<$W，BD<$M<$PU<$M，YA<$（GC<$PU）GOA<$（GC<$PU）。请注意，定义2.3并不要求“或不要让系统崩溃“。在其他地方，这是一个很好的选择“eXTENDS“和”taxi“（”eXTEND S“的系统记录）。为了纽约。p. S. “请参阅E，下面列出了以下内容(A1'） 如果存在E1，...，En∈ E使得E1“E2“. “对于所有i，j∈ {1，.，n};4这个例子是假设的，仅用于说明目的。它不旨在表达临床能力。A. Capotorti等人/理论计算机科学电子笔记169（2007）4347(A2’)(A3'）对所有的E1，E2∈ E，E1<$E2→E2/<$E1.条件（A1 '）-（A3'）确保存在总偏好顺序“which en la rg e s“， 由于Cap a cities m e-sures 表示“常识”，因此Capa citiesme-sures构成最一般的框架。任何合理关系“必须由部分能力表示（即，将容量度量限制到手头的事件集合）。这对应于满足条件（[10]）。因此，在下文中，我们假设W.P.S.满足（ 对所有的E1，E2∈ E，且E1<$E2，我们有E1“E2。通过考虑组合不同信息的具体方式（例如，如前所述，对于概率，采用可加性）。在数值上下文中，这产生了数值度量的分类。通过遵循[14，46，47]，可以根据它们与数值模型的一致性引入各种定性的一致性顺序。给出了定性不确定性概念与数值测度之间的对应关系，并给出了可表示性结果。定义2.5设E是一组事件。如果对所有E1，E2 ∈ AE，E1“∈ E2 Particif（E1）≤f（E2）成立，则称AE上的全偏好序一份世界p.S. 如果E在A E上有一个可由不确定测度g表示的扩张：A E →[0，1]，则E的不确定性可以我们用相应的数值概念来称呼任何一类特殊的偏好次序。我们将要呈现的可表示性结果使这个选择合法化。在下文中，我们集中讨论那些已知有可靠形式化的不确定序。特别地，我们采用了w.p.s.的公理化特征。在[5]中给出，虽然适合我们的上下文。命题2.6陈述了一个w.p.s.的充分必要条件可以用信念函数表示。其他不确定性度量的可代表性也有类似的表述（参见提案2.7）。支持2. 6（Comparativebelief）Aw. 附言对于任意的X，Y，Z，W ∈ E，E的最优序可归结为A E上的一个全偏好序，该全偏好序可用一个信度函数i表示.X<$Y，Z<$W<$Y，W\Z<$Y\X它持有：（B '）X <$Y → <$（Z <$W）。证据 （二）。 通过假设和全比较置信度的特征定理[47]， 存 在 一 个 全 比 较 置信 度 ， 假 设 并 满 足 以 下 条 件 （ 其 特 征 在 于 完 全 置 信 度 ） ：（B）A，B，C∈ AEs. t. A<$B，B<$C = φ，A<$<$B→A<$C<$$> B<$C。假设（B）不成立。 则存在X，Y，Z，W∈ E <$AEs.t. X，Z<$W<$Y和W\Z<$Y\X，其中X<$W和Z<$W。因此，通过单调性48A. Capotorti等人/理论计算机科学电子笔记169（2007）43和传递性（1）XXZXWY。从 W\Z<$Y\X 和 Z<$W ， 我 们 很 容 易 得 到 （X\Z ） <$X\W=X<$ （ W\Z ） =φ 和X\Z<$（X\W）=X<$（Z\W）=φ。 那么既然（X<$Z）\Z=X\Z和（X<$W）\W=X\W，由此得出，(2)（X<$Z）\Z=（X<$W）\W由于（X\W）<$W = φ和Z<$$>W，通过（2）和（B），我们得到Z<$（X\W）= Z<$（（X<$W）\W）= Z<$（（X<$Z）\Z）= X<$Z<$$>W <$（X\W）=X<$W。这与（1）相矛盾。因此，（（二）。W.l.o.g.， 我们可以假设φ <$Ω，φ“E对所有E ∈ A E，且“是单调闭的。由于（A2 '）和（A3'），这总是可能的 让我们来描述一下这种激光器的结构。在此基础上，我们构造了一个在公理（B）和（B '）下闭的A E上的任意一个正则项，即：使得(3)<$A，B，C∈AE，A<$B，B<$C=φ A<$JB→A<$C<$JB<$C(4)<$X，Y，Z，W∈AE，X <$Y，Z<$W <$Y，W\Z<$Y\X X<$JY→Z<$JW这样的放大可以通过应用以下过程来获得。设GJ，jG，和EJE尽可能长时间地重复（↑）若εA，B∈EJs.t.A∈B，A∈JB和A ∈C∈AE\ {φ}s. t.BC=φ，<$（A<$C<$JB<$C）则AddA CJBCtoJ设EJ=EJ<${A<$C，B<$C}（↓）若<$X，Y∈ EJs.t.X<$Y，X<$JY和<$C∈AEs. t。YC<$（X<$C<$JY<$C）则将XCGJYC和YCGJXC加到GJ设EJ=EJ<${X<$C，Y<$C}φ和在Repeat循环的每次迭代中，步骤（↑）放大了关系式J，而没有省略g“J。类似地，每个步骤（↓）都可以将相关性“J”与当前的“J”进行比较。每次执行步骤（↑）和（↓），保持条件（B '）的有效性W. p. S. 当（B）不成立时，通过对比，（B）在程序结束时得到满足。此外，我们还得到步骤（↑）和（↓）不相容，即永远不会发生存在C∈ AE\ {φ}和A，B，X，Y∈ EJ，其中A<$B，B<$C=φ，X<$Y，（B<$C）<$Y，B\A<$Y\X，但s.t.AJB和XJY。这是因为，否则，（最后，通过构造E J，在每次迭代之后，它保持A EJ <$A E。由于AE是有限的，这个事实保证了过程的终止。在这一点上，可以在关于Ae_pre_rving_g（B '）的单调性下闭合。 你好。p. S. 如果你想，你可以把它放在一个地方，““JJ=Def不是因为那个，因为（3）和（4），那个。p.S. 在这种情况下，所有的资源都是有价值的XJY和所有严格偏好AJB优于AE，公理（B）和（A. Capotorti等人/理论计算机科学电子笔记169（2007）4349在新的计算中，nce（B）由w确定。p. S. 你好，你好。如果我们选择“J J，J J J "是随机的，那么我们的“J”（“J”的闭包）在商集A E /J J J上有一个偏序关系. 5通 过 此 程 序 可 以获 得 完 整 的订单“订单”：设A为AE/GJJ，F为格（A，GJJ）重复直到A /=φ设M为格F的极小元集设Ei∈Ej，对所有Ei，Ej∈ M集合Eh∈Ek，对所有的Eh∈ M和Ek∈ A \M集合A A\M和F（A \ M，GJ J|A\M）这个过程保留了（B）。 事实上，由于W. p. S. 在 A、B、A、C和B、C（其中A、B和B、C = φ）的元素的所有部分上，“j“j、”j“j”的结构都是典型的，而“j”的结构并不在它们之间施加进一步的约束。因此，根据信念的特征定理[47]，“信念”可以用信念函数表示。Q类似的性质也可以用于偏好顺序的其他概念命题2.7将定性概念与相应的定量措施联系起来对于每一个不确定性概念，证明沿着命题2.6的路线进行，但使用了全偏好顺序的不同特征来代替条件（B）（见[4]）。支持2. 7Let“，e a w. 附言 对于E. 以下原则成立：比较0-单声道。在A E上，对所有的X，Y，Z ∈ E s. t，都可以用0 -单调函数θ i表示。X<$Y，Z<$Y\X它认为，(0M）X <$Y → <$（φ <$Z）。Comparativeplausibility. ““S.T. X<$Y，Z<$W<$Y，W\Z=Y\X成立，(PL'）X <$Y → <$（Z <$W）。比较0-交替。在A E上，对所有X，Y ∈ E s. t，都可以用一个0 -交错函数εi表示， X，它保持(0A）X <$Y → <$（X <$（Ω \ Y）<$Ω）。据我们所知，不存在纯粹定性的比较概率表征。这个概念似乎具有内在的数字特征。在[8]中提出了以下建议：支持2. 8（Comparativeprobabili ty）Aw. 附言E上的一个概率函数i∈{\displaystylei∈{\displaystylei}}表示的全阶{\displaystyle{\displaystyle}[5]在这里，为了简单起见，让我们也用GJJ来表示在AE/EJJ上的这种诱导阶。此外，设GJJ|S表示GJJ对集合S的限制。6 0-单调性通常被称为超可加性，参见。 附录A.7等价于一个n-交错函数，其中n≥2。80-交替经常被称为次可加性，参见。附录A.50A. Capotorti等人/理论计算机科学电子笔记169（2007）43（CP） 对于任何X1，...，Xn，Y1，...，Yn∈ E，其中Yi“Xi，Xi = 1，.，n，使得卢恩对于一些r，，r> 0 sup（r（a-b））≤ 0，这意味着，对于所有1ni=1i i i i i ii= 1， . . . ， n（ai，bi）表示Xi，Yi，rep的整数。）的。公理（CP）涉及定量概念（例如，指示器函数和求和），并且其验证需要数字的详细说明。然而，可以（定性地）陈述一个必要的，但不是充分的，通过概率函数表示一个顺序的条件。支持2. 9（Weak比较概率y）如果A E上的总偏好序是由一个概率函数表示的，则对所有的X，Y，Z ∈ E s. t. X<$Z=Y<$Z=φ，它认为，(WC)X“Y → <$（Y <$Z <$X <$Z）。我们提到，引入不同类别的订单的动机是存在的实际情况下，严格的概率方法是不可行的。这里有一个简单的例子。例2.10假设A、B和C是三家公司，每一家公司都是另一家公司想要出售的公司的潜在买家。 即使是不同的，A和C都属于同一个控股。因此，以下关于哪个公司将成为买家的不确定性顺序可以反映有关公司战略的具体信息由于A、B和C是不相容的，因此可以立即看到顺序关系不能用概率表示，因为它违反了公理（WC），而它可以根据信念函数行为进行管理，因为它符合公理（3偏好顺序让我们概述两个利用偏好顺序的推理任务。定性框架检测。这是一个分类任务：给定一个（部分）评估（识别域、约束和偏好），目标在于检测在所有兼容的不确定性框架中哪个是最严格的。请注意，通过这种方式，我们实际上颠倒了对不确定性的定性管理事实上，特定的公理通常是预先设定好的，因此只有满足它们的关系才被承认。相反，在这里，给定一个固定的偏好关系，目标在于确定哪些是合理的规则。考虑到评估作为由代理（人类或非人类）执行的推理过程的结果，检测正确的不确定性框架提供了关于代理的认知图式的有用信息。选择最具限制性的框架（在那些适当的框架中）显然对应于在解释代理人的思想时采取某种“谨慎的方法”。例如，在多智能体系统中，这样的过程可以在构建（其他）智能体的现实模型的更知情的表示方面有很大的帮助。这是一个更好的翻译-A. Capotorti等人/理论计算机科学电子笔记169（2007）4351代理建模，决策和计划识别方面的基础，即，通过与其他行动者交流或观察他们的行为来推断他们的计划的尝试。定性推理。一个有趣的任务，严格相关的前一个，包括推断新的知识的基础上的部分模型。这最终相当于发现偏好关系的延伸，以考虑一项或多项与初步评估无关的进一步事件显然，这应该以这样的方式来实现，即扩展保持初始顺序的相同特征（例如，两者应满足相同的公理）。更准确地说，让我们给出一个无限（部分）的SS S。 “，但他没有意识到这一点。一个"saxthat考虑一个新的事件S（不在E中），它隐含地由包含E中事件的集合理论约束的集合Cj来描述。 的精神8、Thm。3]，问题可表述为：确定由换句话说，我们感兴趣的是确定新的S_m如何在C中仍然是E_i或D_h_h 为此，我们要确定E的子集合LS、WLS、US和WUS如此定义：E∈ LSi无扩张因此，为了满足刻画C的公理，任何弱偏好结构“+，+e x t e nd i n g“，euE+SE∈ LS，ES+E E∈ US，S“+ E E ∈ WU S。自动化工具的可用性，能够延长优先顺序，每当新的知识是收购，直接建议在专家系统和决策支持工具的应用。在自动诊断、规划或问题解决中，举一些例子，人们可以很容易地想象知识从一开始就不完全可用的场景我们可以通过确定自动代理应该执行的基本步骤来概述基本推理过程是如何发展的0)获得关于分析对象的初步观察结果，以及（定性）部分偏好评估;1)检测哪一个是最适当的（即，最具判别力）的不确定性框架;2)每当有新的知识可用时，通过执行订单扩展来细化代理然后，可以利用步骤2）的结果来指导对现实世界的进一步调查，以获得新的信息。然后，重复该过程52A. Capotorti等人/理论计算机科学电子笔记169（2007）43直到可获得更多的知识或达到足够精确的置信度。4PreC：使用优先顺序除了定性概率，所有公理在SEC。2是直接的陈述性阅读，因为它们只涉及逻辑和偏好关系。然后，提供它们的可执行声明性规范是相当直接事实上，它们的说明性特征支持在答案集编程（Answer Set Programming，简称ASP）的逻辑框架内进行直接的翻译。因此，我们立即获得了一个可执行的ASP规范，适合执行上一节中描述的任务。更具体地说，这是通过利用ASP求解器来完成的（在我们的案例中，SModels，参见。[48]）。ASP规格如下所示 我们首先在ASP中定义predict_s_prec（·，·）、preec_n_eq（·，·）和quiv（·，·），以确定r_r_e_l_a_r_s“、r_e_l_q和r_e_quiv（·，·）。分别为：潜在合法答案集的特征化是通过断言prec（·，·），precneq（·，·）和equiv（·，·）的属性来完成的：9例如（：-event（A;B），subset（A，B），precneq（B，A）.关于偏好分类，让我们考虑SEC的一个公理。2，说（B '）。以下规则可立即阅读：failsB：- event（X;Y;Z;W），subset（X，Y），X！= Y，子集（Z，W），Z！= W，子集（W，Y），W！= Y，subset（di_set（W，Z），di_set（Y，X）），equiv（X，Y），preneq（Z，W）。也就是说，只要存在证伪（B '）的事件，事实就不成立B为真。所有其他公理都可以类似地对待。当ASP求解器被馈送有这样的程序和偏好关系的描述（即，可以获得形式为prec（·，·），precneq（·，·），equiv（·，·）a)如果没有产生答案集，则输入w.p.s.违反了公理（b) 否则，如果生成了答案集，则存在表示输入w.p.s.的数值（部分）在回答集合中存在形式为failsC的事实（比如说failsB），证明相应的公理（在这种情况下为（B'））被违反了。因此，给定的顺序（以及它的任何扩展）与C所统治的不确定性框架不兼容。可以进行类似的处理来实现订单扩展任务。在这种情况下，输入知识包括一组事件，以及逻辑约束和偏好的集合，对新事件的描述，以及要施加的一个或多个公理。强加的公理的处理由ASP-规则完成，其形式为：：- holdsB，event（X;Y;Z;W），subset（X，Y），X！= Y，子集（Z，W），Z！=W、9辅助谓词/函数集合理论结构，如事件（·），子集（·，·），离散集（·，·）等。即时阅读。A. Capotorti等人/理论计算机科学电子笔记169（2007）4353Fig. 1. 首选项C运行器的主窗口subset（W，Y），W！= Y，subset（di_set（W，Z），di_set（Y，X）），equiv（X，Y），preneq（Z，W）。这类规则（即，[1]这就是所谓的“空”。通过这样的规则，我们宣布“不受欢迎”的任何扩展，违反了公理。直觉地说，只要事实B为真，为了满足上述规则，其他事实中至少有一个必须为假。（注意，当（B '）被违背时，这些事实都是真的。）为了激活这个约束（即施加公理（可以通过计算所有答案集的交集Cn来获得集合LS、WLS、US和WUS(Or等价地，通过计算ASP程序的逻辑结果的集合。注意，一般来说，Cn不需要是一个单独的答案集。）这允许一个检测的偏好关系，这是强制性的每个总订单的最小扩展。我们在本节中简要概述的可执行规范（连同ASP求解器）构成了原型工具PreC（PreferenceC runcher）的核心推理引擎。该工具旨在帮助用户交互式地处理（部分）偏好顺序和定性不确定性。图1描述了PreC的主窗口，通过该窗口，用户可以描述、管理和修改他/她的评估。以图形形式显示偏好顺序（参见，图2）允许用户修改或扩展事件集，例如在准备执行第二节的推理任务之一时3 .第三章。54A. Capotorti等人/理论计算机科学电子笔记169（2007）43图二. 偏好顺序的可视化管理（参见，实施例2.4）引用[1] C.巴拉知识表示、推理与陈述性问题解决。剑桥大学出版社，2003年。[2] T.Bilgipuc.Fusinginteralperences.在中国。OfEUROFUSEWorkshonPreferenceModellingandApplications，第253-258页，2001。[3] R. I. Brafman和M.坦嫩霍兹将代理建模为定性决策者。第英特尔，94：217[4] A. Capotorti，G. Coletti和B.瓦吉可用上概率或下概率表示的非加性顺序关系。Kybernetika，34（1）：79[5] A.Capotorti和B. 瓦吉公理化 表征的 部分 顺序关系内部J.近似值原因的，24：207[6] P. Cheeseman关于劳里岑和斯皮格尔豪特的论文的讨论。J. 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Capotorti等人/理论计算机科学电子笔记169（2007）4357一不确定性测量在本附录中，我们简要地描述了本文中提到的概率测度的各种推广。以下材料远非详尽和完整的论述。我们只是对这个问题作一个非正式的介绍。感兴趣的读者可以参考广泛可用的文献。概率测度、置信函数和可能性测度之间的关系的介绍性处理可以在[29，33，45]中找到，其中包括许多。我们考虑，作为感兴趣的域，一组可能性Ω（Ω通常被称为样本空间）。为了我们的目的，考虑有限域的情况是足够的。一个事件被定义为Ω的一个子集。为了引入不确定性测度，我们考虑任何代数A（在Ω上），由Ω的子集组成，使得Ω∈ A，并且在并和补下闭我们将要引入的所有测度都是代数上的（正规化）单调实值函数。这样的函数通常被称为（Choquet）容量[7]，即使它们也被称为模糊测度或Sugeno测度。定义A.12Ω上的实值函数F是容性，如果它保持F（φ）= 0，F（Ω）= 1，对所有的A，B<$ΩA<$B→F（A）≤F（B）。设CAP（Ω）表示Ω上的电容类。能力的概念往往被认为过于笼统，本身没有意义。事实上，通过采用它，除了单调性之外，在组合事件的不确定性（例如F（AB））和其分量F（A）和F（B）。为了反映管理信息的不同原理，对确定组合事件的不确定性的方式施加了进一步的约束。在下文中，我们将描述通过细化容量而获得的一些更有趣的度量。最常用的不确定性度量的特征在于事件组合的可加性：A概率P在Ω上是满足以下可加性要求的容量：对于所有A，B<$Ω s. t。A<$B=φ，则P（A<$B）=P（A）+P（B）成立。Ω上的所有概率的类用PROB（Ω）和PROB（Ω）CAP（Ω）表示。定义A.2设F1和F2是2Ω上的两个函数。那么，F1是F2的对偶，如果对于每个A<$Ω，它保持F1（A）= 1−F2（Ω\A）。请注意，一个容量的对偶也是一个容量此外，概率的对偶就是概率本身。即使在“测量”过程中被广泛采用的可加性，通常也被认为是一个过于严格的要求。因此，已经提出了几个概括。特别地，下面的定义描述了那些只满足一个弱不等式的容量，这些弱不等式合在一起给出了可加性。一个自然的方式来削弱加和性如下：定义A.3不确定性测度f：AE→ [0，1]被称为0-单调（或超可加）函数i <$E1，E2∈ E，其中E1<$E2 = φ成立f（E1<$E2）≥f（E1）+f（E2）.一个0-单调函数的对偶是一个0-交错函数：定义A.4不确定性测度g：AE→ [0，1]被称为0-交错（或次可加）函数i <$E1，E2∈ E，其中E1<$E2 = φ它成立g（E1<$E2）≤g（E1）+g（E2）。0-monotone类（resp. 0-交替）函数表示为0 MON（Ω）（相应地， 0ALT（Ω））。现在我们引入一对对偶不确定性测度，它们分别引出了次可加性和超可加性的略微不同的概念。定义A.5设Ω和N为Ω上的电容。• 如果满足以下性质，则它是可能性测度（在Ω上）：对于所有A，B<$Ω（A• N是必然测度（在Ω上），如果它是可能测度的对偶。立即核实，• 任何可能性度量都证明了次可
