埃及数学学会：粒化计算在信息系统中的应用

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2012）20，92原创文章新粒化艾哈迈德·A.穆罕默德？阿拉姆Bakeir*，El-Sayed A.工作台埃及艾斯尤特大学理学院数学系，邮编：715162009年7月19日收到; 2010年8月2012年12月1日可在线查阅摘要宇宙的粒化是将相似的元素组合成颗粒。与颗粒的意见，我们处理近似的概念，表示的子集的宇宙，在颗粒。本文探讨了问题的近似与各种粒化的宇宙。研究了粗糙集理论中的粒度结构、邻域系统和拓扑空间以及相应的近似结构2012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍粒度计算可以被认为是利用粒度的理论、方法和技术家族的标签组，类，或宇宙的集群，在解决问题的过程中[1]。粒度计算的基本思想研究粒计算有许多原因[2]。解决问题的实际必要性和简单性可能是一些主要原因。当一个问题涉及不完整、不确定或模糊的信息时，可能很难区分不同的元素，人们被迫考虑粒。虽然可能有详细的资料，*通讯作者。电子邮件地址：mybakier@yahoo.com（M.Y.Bakeir），yahoo.com（E.A.表）。同行评审由埃及数学学会负责使用颗粒可能就足够了，以便获得有效和实用的解决方案。许多实际问题可能不需要非常精确的解.颗粒的使用通常导致实际问题的简化。获取精确的信息可能成本太高，粗粒度的信息可以降低成本。显然，有必要对粒度计算进行系统的研究。粒计算将在设计和实现高效实用的智能信息系统中发挥重要作用。Lin[4]和Yao[5]研究了用邻域系统解释粒的粒计算。Pawlak[6]、Polkowski和Skowron[7]以及Skowron和Stepaniuk[8]研究了与粗糙集理论相关的粒度计算。粗糙集和邻域系统理论为粒化提供了方便有效的工具，并对一些基本的粒化结构进行了研究。在粗糙集理论中，人们从等价关系开始。一个宇宙被划分成一个不相交子集族所采用的颗粒结构是宇宙的一个分区。通过弱化等价关系的要求，我们可以得到更一般的粒化结构，如宇宙的覆盖。邻域系统提供了一个更一般的粒度结构。对于宇宙中的每一个元素，人们都把它与一个非空的近邻族1110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.08.001制作和主办：Elsevier关键词近似算子;粒计算;二元关系;粗糙集;拓扑空间;邻域系统新粒化93[[ð Þ[2004年4月24日[C\邻域粒，称为邻域系统。它提供了宇宙的多层颗粒，这是一个自然的-是幂集2U的子集。 通过将上面给出的x的等价类扩展到子集XcU，我们有：粗糙集理论所使用的单层粒度结构的一个自然推广。在宇宙的粒化中，人们将粒中的元素视为一个整体，而不是½X]E 1/4x]E：X2 X个人[3]。通过粒化的信息损失意味着宇宙的某些子集只能近似地描述。拓扑也是研究信息系统和粗糙集的数学工具[9，10]。在粗糙集理论中，通常使用一对上下近似近似表示的颗粒根据其重叠的一套近似。基于这一思想，本文的主要目的是研究粒化与逼近的三个相关问题分析比较了粗糙集理论、邻域系统理论和拓扑空间理论所使用的粒度结构，并研究了相应的近似结构2. 粒化和近似从粗糙集的观点来看，本节考察粒化和近似之间的联系。2.1. 粗糙集：分块设U是一个有限的非空集，称为论域，EcU·U表示U上的一个等价关系。对apr=（U，E）称为近似空间。等价关系E将集合U划分为不相交的子集。宇宙的这种划分用U/E表示。等价关系是关于所考虑对象的可用信息或知识。如果U中的两个元素x，y属于同一等价类，我们说x和y是不可区分的。每个等价类可以被看作是一个由不可区分的元素组成的粒，它也被称为等价粒。由等价关系引入的粒化结构是对宇宙的一种划分一个任意集合XcU不一定是某些等价类的并集. 这意味着人们可能无法使用E的等价类精确地描述X。在这种情况下，可以通过一对上下近似来表征X因此，GK（U）的每个元素可以被视为等价物。包含U的子集的价粒，以及集合GK（U） 定义如下：GKUf ½X]EjXUg：粒集GK（U）在集交和并下都是闭的.对于元素G2GK（U），我们有：2016年4月24日星期四：对于任意子集XcU，我们有以下粗糙集近似的等价定义：aprX[fGjGX;G2GKU g;2018年4月fG jXG;G 2GK U g：这个定义提供了另一种有趣的解释。下近似是包含在X中的最大颗粒，其中上近似是包含X的最小颗粒。因此，它们代表了使用颗粒从上到下对X的最佳近似2.2. 广义粗糙集：覆盖粒化由不相交子集族对宇宙进行粒化是一个简单且易于分析的情况。人们可以考虑一般情况下，通过扩展分区覆盖的宇宙，或通过扩展等价关系的任意二元关系。在这一节中，我们使用由自反二元关系诱导的覆盖设RcU·U是U上的一个二元关系.对于U中的两个元素x，y，如果xRy，我们说y是与x相关的R。二元关系可以更方便地使用右邻域表示：xR1/2 fy2 Uj xRyg：但是我们将使用点x[11]的最小邻域，其形式为：hxiR¼\yR：½x]EX4月20日，1/2x]E\X其中[x]E={y <$xE y}，是包含x的等价类。下近似apr（X）是X的所有等价粒子集的并集. X的上近似是与X有非空交的所有等价粒的并集。划分U/E的等价类称为Elementgranules。它们代表了可用的信息。当R是一个等价关系时，xR是包含x的等价类。当R是自反关系时，邻域族U/R={<$x<$R<$x2U}是U的覆盖，即，？x2U？x？R= U。二元关系R表示相似性宇宙元素之间的联系可以合理地假设相似性至少是自反的，但不一定是对称的和传递的[12]。对于由覆盖U/R引起的粒度，粗糙集近似可以通过推广Pawlak定义来定义。等价类[x] E可以用x<$x<$R的最小邻域代替，如下所示：我们所拥有的关于宇宙的一切知识都是关于这些电子颗粒的，而不是关于单个元素的。通过这种解释，我们也了解了工会2018年4月hxiRXhxiR;一些基本颗粒。空集/和一个或多个基本集合的并集通常被称为可定义、可观测、可测量或合成集合。在这项研究中，我们称之为颗粒。所有粒的集合表示为GK（U），四月X四 月半Xc]c;四分之一fx2Uj 9yj½x2hyiR;hyiRXc]gc1/4fx2Uj 8yj 1/2 x2hyiR）hyiRX]g（1）（2）（1）1/2x]E;x2yR94A.A. Allam等人C[[美国]2 2 22C\22222222 222018年4月2 22hxiR\X- / h x i R. 而较低的近似值是G1\G22G K（U）。其次，如果x2G1[G2]，则x2<$X1<$R¼fGjXG;G2GKU gGc2GKc（U），我们有：2018年4月X\ Y月 1日fG jGX\Y;G 2GK U gx2G使得GcX和GcY，因此xRapr（X）[SC¼2[capr（X[Y）.在这个定义中，我们推广了下近似并通过对偶定义上近似，其中Xc表示X在U中的互补。总的来说aprX[\fGjGX;G2GKU g;2018年4月fG jXG;G 2GK U g：aprX不同于简单的推广一些新的后继邻域的联合，上近似不能用这种方式表示。与划分的情形相似，我们称覆盖的元素为基本粒.空集或一些基本粒的并集称为粒。对于子集XcU，我们定义：hXiR¼hxiR;X2 X也就是X所有这些邻域的集合由下式给出：GKUfhXiRjXUg：提案1. 集合GK（U）在交和并下都是闭的。证据设G1，G2在GK（U）中，我们想证明G1\G2，G1[G2 在G K（U）。 第一、 我们 有 G1=X1R和满足以下条件：L1：aprXapr X cc.L2。 apr（U）=U。L3。apr（X\Y）=apr（X）\apr（Y）。L4. apr（X[Y]）apr（X）[apr（Y）.L5。XcY）apr（X）capr（Y）.L6。apr（/）=/.L7。apr（X）cX.L9。apr（X）capr（apr（X））.U1：ap rX ½ap rXc]。U2：四月/四月/。U3 ： Apr100X[Y]apr10U4 ：aprX\Y aprX\aprY. U5：X Y）aprX aprY。U6：ap rUU.U7：X aprX.U9：Apr2004Apr2004X 2004 Apr2004X.证据我们只给出（L1（L1）G2=<$X2<$R，ifx2G1\G2则x2<$X1<$R和x2<$X2<$R，因此对所有x2G1\G2，四分之一Xc]ch\fGjXcG;G2GKcUgic即，<$x <$Rc（<$X1<$R\<$X2<$R）对所有的x2G1\G2，因此[c c cc或x2<$X2<$R，因此对于所有^x2G1[G2，即，对于所有的x2G1[G2，<$\fGjGX;G2GKUg<$aprX：因此G1[G22GK（U）.H补充系统：GKcU f Gcj G2 GKU g在交集和并集下也是封闭的事实上(L2)因为apr（U）cU，我们想证明Ucapr（X）。设xU，由于UGK（U）和UU，然后xapr（X），也就是说，Ucapr（X）.（L3）GKC（U）是一个闭包系统. 对于元素G2GK（U），即，[4月20日，四月Gc四月Gc：一般来说，G¼aprG1/4[fGjGX和GY;G2GKU g1/4。[fGjGX;G2GKUg\中找到。[fGjGY;G2GKUg对于任意的GGK（U）。通过这些特性，我们可以参考把GK（U）的元素作为内可定义的粒，把GKc（U）的元素作为外可定义的粒。使用这些颗粒，我们有另一个等价的定义：[2018年4月fG jGX;G 2GK U g;2018年4月24日，(L4)假设xRapr（X[Y]），不存在G2GK（U），x2 G使得G c X [Y. 所以没有G2GK（U），2009年4月，Gj X G; G2 GKU g：下近似是X中包含的最大的内可定义颗粒，上近似是包含X的最小的外可定义颗粒。它们与划分情形的定义有关，其中GK（U）和GKc（U）是同一集合。对于覆盖物，GK（U）\GKc（U）由内、外可定义的颗粒组成。显然，I，U2GK（U）\GKc（U）。2号提案设R是自反二元关系，则下近似和上近似，apr（Y）.因此我们有apr（X）4月（Y）（L5）假设XcY。 如果xapr（X），则有GGK（U）和xG使得GcX.但XcY，因此Gc Y和so x apr（Y），即， apr（X）c apr（Y）.（L 6）由于/c apr（/），我们想证明apr（/）c/。设xapr（/），则有GGK（U）和xG这样，Gc/，这是一个矛盾，即，apr（/）=/.（L7）设xapr（X），则有GGK（U）和x G使得GcX，因此x X，因此apr（X）cX。（L9）由于ap r（X） =<${ G <$GcX，GG K（U）}，则从命题1我们有apr（X）GK（U），并且对于每个GcX我们得到Gcapr（X），因此，在本发明中，ap r（X） =<${ G <$Gcapr（X），G2GK（U）}=apr（apr（X））. HC新粒化952你好，我是一个很好的人[[\\联系我们你好，我是说，我是说，你好，我是说，联系我们你好，我是一个很好的人[[CC3号提案设R是一个自反二元关系，则下列性质一般不成立：（L8）XapraprX。（L10）Apr2010Apr2010Apr2010（U8）a prisaprXX。（U10）Apr2004Apr2004X2004 Apr2004X2004。示例1（上述属性的示例不成立）。 设R ={（a，a），（a，b），（b，b），（c，b），（c，c），（d，e），（d，d），（e，e），（e，c）}是非空集合U={a，b，c，d，e}上的任意自反二元关系. 那么，aR={a，b}，bR={b}，cR={c}，d因此，GK（U） ={l，U，{b}，{c}，{e}，{a，b}，{d，e}，{b，c}，{b，e}，{c，e}，{a，b，c}，{a，b，e}，{b，c，e}，{b，d，e}，{c，d，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，e}，{b，c，d，e}}和GKc（U）={i，U，{a}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}, {c, d}, {d, e}, {a, b, d}, {a, c, d}, {a, d, e}, {a, b, c}, {c, d, e},{a, b, c, d}, {a, b, d, e}, {a, c, d, e}}.（L 8）设X={b，c，d}，我们有apr X a;b;c;d，aprapr Xa;b;c，所以，X<$aprapr X.（L10）为X={b，c、d}，apr X a;b;c;d.但aprapr Xa;b;c，so，apr X<$aprX.(U8)设X={b，c，d}，我们得到apr（X）={b，c}，四月一日a;b;c，所以，四月一日 第十章（U10）为X={b，c、d}，apr（X）= {b，c}.但四月四月十日，五月十日。13.第十三章设（U，s）是一个拓扑空间，一个闭包（或内部）运算符cl：Ufi2 U（相应地，int：Ufis）满足Kuratowski公理当且仅当对于每个X，Y U，以下成立：(1)cl（f）=f（resp. int（U）=U），(2) cl（X Y）=cl（X）cl（Y）（resp.int（XY）=int（X）int（Y）），(3) Xccl（X）（resp.int（X）{\displaystyle X}，(4) cl（cl（X））=cl（X）（分别int（X）=int（X））。定理1. 这对新的上下近似是一对满足Kuratowski（五）空间。Lin[14，4]采用它来描述数据库系统中对象之间的关系。Yao[5]通过关注邻域系统诱导的粒度结构，将粒度计算的概念用于粒度计算。对于一个有限论域U的元素x，我们将它与一个子集n（x）c U联系起来，称为x的邻域。 直观地说，在元素邻域中的元素是一些-与x不可分辨或至少不可明显区分的元素。x的邻域可能包含也可能不包含x。包含x的x的邻域称为自相关邻域. 我们只对x的相关邻域感兴趣，以适应对邻域的直观解释x的邻域系统NS（x）是x的非空邻域族。x的不同邻域由与x具有不同类型或不同程度相似性的元素组成。一个邻域系是自激的，如果它的每一个邻域都是自激的. 设NS（U）表示U中所有元素的邻域系的集合。 它确定一个Fe'chet（V）空间，写作（U，NS（U））。对邻域系统没有额外要求。邻域系统可以用来描述宇宙元素之间的更一般类型的关系[5，16]。二元关系可以用1-邻域系统来解释，其中每个邻域系统只包含一个邻域。更准确地说，x的邻域系统由下式给出：NSxhxi R：若R是自反关系，则得到一个自反邻域系，它是覆盖U/R.若R是等价关系，则邻域x<$R是包含x的等价类，邻域系是划分U/R。通过引入多邻域，我们考虑了各种粒化和相应的近似。定义近似的一个简单方法是通过使用每个自反邻域系统中的所有邻域来构造宇宙的覆盖：C0¼N Sxfnxjnx 2NS x;x2Ug：x2 UC0中的每一个粒都是U中一个元素的邻域.近似值的定义如下：公理证据 证明由定义1和命题2.H4月0日星期六nx X4月C0日星期六4月C 0日星期六nx;X3. 粒化与邻域系统在粗糙集理论中，使用了论域的单层粒度结构。颗粒状的宇宙观是基于一种二元关系，它代表了宇宙元素之间最简单的关系。两个元素要么相关，要么不相关。邻域系统的概念被用来推导宇宙中更一般的粒化结构.从邻域系统中定义了两个粒化结构。一个是宇宙的单一覆盖物，另一个是宇宙覆盖物的分层家族。邻域系统的概念最初是由Sierpenski和Krieger[13]为了研究Fe′chet而引入的96A.A. Allam等人22 22该公式的缺点是它使用单一的分层粒度结构，没有充分利用邻域系统提供的信息。在邻域系统中，不同的邻域代表不同的相似类型或相似程度。在计算近似值时应考虑到这些信息。从宇宙的邻域系统出发，我们可以构造宇宙的覆盖族。代替使用所有邻域，通过选择每个元素的一个特定邻域来获得每个覆盖，即，C¼fnx;.. . ;ny;nzg;其中n（x）NS（x），. ，n（y）NS（y），n（z）NS（z）对于x，. . ，y，z联合通过这种方式，我们将邻域系统转换为一族1-邻域系统FC（U）。序关系≤onFC（U）可以定义如下，对于C1，C22FC（U），新粒化97[≤222人[\C[美国]C1≤C2（）nC1nC2;对于所有x 2U：覆盖C1比C2细，或者C2比C1粗。二元关系R。在这种情况下，可以将X通过一对上下近似：对于C2中的每一个颗粒，我们可以在C1中找到一个至少和前者一样小的颗粒。可以证明，2018年4月hxiRXhxiR;传递的，反对称的。 换句话说，是一个par-F（U）是一个偏序集。这样，我们就得到了一个多层覆盖物的家族，这反过来又产生了宇宙的多层粒化。对于每个覆盖CFC（U），我们可以定义一对较低的上近似：四月十日 四月半[fhxiRjhxiRXcgc\fhxiRjhxiRU-hxiRjXU-hxiRg：2000年4月24日[G;G2 C; G 2C;G 2 C; G2 C其中，x是拓扑sR的基bR的元素，它由二元关系R生成。显然，如果R是一个等价关系，<$x<$R=[x]R，这些定义是aprCXaprC Xc：利用偏序集FC（U），我们得到了多层逼近.各层中的近似满足性质：C1≤C2）aprC2XaprC1X;C1年4月X日C2年4月X日：较细的覆盖C1比较粗的覆盖C2产生更好的近似。在上面的公式中，我们将一般的自相关邻域系统转化为一族自相关1-邻域系统。这使我们能够应用粗糙集理论中关于近似与Pawlak的原始定义相同引理1. 对于U上的任何二元关系R，如果x那么，你好，我很高兴。证据设zxx2w R（wR）。 则z包含在包含x的任何wR中，并且由于x也包含在包含y的任何uR中，则z包含在包含y的任何uR中，即， z2yR. 那你就去吧。H4号提案设R是自反二元关系，则下近似和上近似，我们的配方实际上是基于两种基本的造粒结构，即，宇宙的分割和覆盖他们2018年4月hxiRXhxiR;用等价关系和互反关系来解释。因此，两种类型的近似检查。许多作者也讨论了Marek和Rasiowa[15]考虑了基于等价关系的递减序列的集合的渐进近似Pomykala[16]使用了一系列公差关系（即，反应性和对称性关系）。Yao 和Lin[17]给出了这方面的一些最新结果.本文报道的结果更具有普遍性。4. 粒化与拓扑空间在这一节中，我们从拓扑的角度介绍粒化和近似之间的联系。Zhu在[18]中从一个叫做邻域的拓扑概念定义了一种新的基于覆盖的粗糙集。作者在[11]中引入了一个新的定义，用于基于二元粗糙集但是如果我们把右邻域的有限交集看作是粒，那么粒的集合就形成了一个经典拓扑（换句话说，右邻域是一个子基）。因此，我们从拓扑空间的点的角度提出了一种新的基于覆盖的粒化。让我们考虑对（U，B），其中B ={R1，R2，. . ，Rn}是论域U上的一般二元关系族。当B是等价关系族时，Pawlak称之为知识库，Lin在[4]中称一般情况的二元知识库。由于术语我们将交替使用知识结构和颗粒结构接下来，我们将考虑每个二元关系的拓扑空间;我们称之为二元关系的拓扑空间。我们表示生成的基bR={x<$R：x2U}四月X日 ，fU-hxiRjXU-hxiRg：满足以下条件：（L1）aprX aprXcc.(L2)apr（U）=U。(L3)apr（X\Y）=apr（X）\apr（Y）。(L4)apr（X[Y]）apr（X）[apr（Y）.(L5)XcY）apr（X）capr（Y）.(L6)apr（/）=/.(L7)apr（X）cX.（L9）apr（X）capr（apr（X））.（U1）apr X（U2）四月/四月/。（U3）4月X日[Y日] 4月X日[Y日]4月(U4) 四月X日\Y月X日\Y月(U5)XY）aprXaprY。（U6）aprUU.(U7) 我的天啊(U9)2004年4月2004年4月证据 这个证明与命题2相似。H5号提案设R是一个自反二元关系，则下列性质一般不成立：（L8）XapraprX。（L10）Apr2010Apr2010Apr2010（U8）a prisaprXX。（U10）Apr2004Apr2004X2004 Apr2004X2004。示例1（上述属性的示例不成立）。让U={a，b，c，d，e}，R是U上的自反二元关系，98A.A. Allam等人ð ðÞÞ¼f g ð Þ ð ð ÞÞ你好，我是一个很好的人ð ðÞÞ¼f g ðð ÞÞ联系我们联系我们CRRRRCCcC ccR其中R={（a，a），（a，b），（a，c），（b，a），（b，b），（b，c），（c，c），（c，d），（d，d），（d，e），（e，e）}，则<$a<$R=<$b<$R={a，b，c}，<$c<$R={c}，d所以，bR={{a，b，c}，{c}，{d}，{e}}，因此拓扑SR={U，I，{c}，{d}，{e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，{a，b，c}，{c，d，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}}。（L 8）设X={a，e}，我们有apr X a;b;e，aprapr Xe，所以，X，apraprX。（L10）对于X ={a，e}，aprXa; b; e.但四月，四月，所以，四月，四月， .(U8)设X={b，c，d}，我们得到apr（X）={c，d}，4月4日a;b;c;d，所以，4月 第十章（U10）为X={b，c、d}，apr（X）= {c，d}.但四月六日;四月七日。定理2. 设R是有限集合U上的自反二元关系。然后，下近似和上近似对是满足Kuratowski公理的内部算子和闭包算子证据 证明由定义1和命题4.H有补系统：sc<$fGcjG2sRg是一个闭包系统。 对于元素G2sR，即， G2是R，我们有：apr（G）=G，aprGG。一般地，对于任意的G 2 GK（U），G1/4apr G-apr G和apr G-aprG 1/4 G通过这些性质，我们把sR的元素称为内可定义的引用[1] Y.Y. 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Stepaniuk，信息粒和近似空间，第七届会议颗粒，以及s-c作为外部可定义的颗粒。国际信息处理和信息技术会议此外，下近似是X中包含的最大内部可定义颗粒，上近似是包含X的最小外部可定义颗粒。宇宙的每一个子集从下到上都由内部可定义的颗粒和外部可定义的颗粒近似。它们与划分情况下的定义有关，其中sR和sc是同一集合，或者其中R是等价关系，在这种情况下sR称为拟离散topology. 对于一个覆盖，集合sR\sc由内部和外部可定义的粒组成显然，f;U2sR\sc。5. 结论粒化方法在问题求解中的应用可以说是新旧方法的同时。它的应用范围很广，从简单的服装分类问题到为特定目的选择制服，再到国际问题，例如根据国家的决定进行政治决策。本文利用一般二元关系生成的粒化来得到一种特殊类型的右邻域，并应用它来得到更精确的近似，这种方法比Pawlak和Yao的方法更一般.本文介绍的粒化结构和相应的逼近结构为进一步研究粒化和逼近提供了一个出发点。这方面的研究可能会产生有趣和有用的结果。确认作者非常感谢A.博士教授的宝贵意见和补充。斯考伦管理 知识系统(IPMU’98), 公元1354-1361年。[9] E. Lashin，A. Kobarn，A.A. Khadra，T.张文，拓扑空间的粗糙集理论，国际近似推理杂志40（12）（2005）35[10] A.张文龙，信息系统中的拓扑结构，《信息系统中的拓扑结构》，北京大学出版社，1988年，第37-480页[11] A.A. Allam，M.Y. Bakeir，E.A. 1999年，《粗糙集理论与方法》，第1999年，第1999 - 1999页，第1999 - 1999页。六十四比七十三[12] R. 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