滑模控制和非线性干扰观测器的远程康复系统柔性操作器双边控制的研究

0认知机器人2（2022）39-490ScienceDirect提供的内容列表0认知机器人0期刊主页：http://www.k eaipublishing.com/en/journals/cogniti ve-robotics/0基于滑模和非线性干扰观测器的远程康复系统柔性操作器双边控制0钟一辰 a，蒲彦峰 b，�，王婷 a0a 中国南京南京工业大学电气工程与控制科学学院 b 中国南京南京市秦淮区龙蟠中路360号南京海关0a r t i c l e i n f o0关键词：非线性干扰观测器滑模控制 轨迹跟踪控制柔性操作器0a b s t r a c t0为了实现高灵活性和安全性，远程康复系统和远程手术系统通常在远程康复系统中使用柔性操作器。然而，由于柔性操作器的结构，在其动力学模型中存在强烈的模型不确定性和非线性，导致精确控制的困难。为了实现带有柔性操作器的远程康复系统的精确轨迹跟踪，基于滑模控制策略和非线性干扰观测器引入了双边控制器。非线性干扰观测器用于估计远程康复系统中主从柔性操作器的模型不确定性和外部干扰。通过Lyapunov函数分析了渐近稳定性。进行了数值模拟，结果表明了我们方法的有效性和效果。01. 引言0随着上肢和下肢康复锻炼和训练的蓬勃发展，柔性操作器被广泛引入和应用于许多远程康复系统，如远程手术、远程康复系统等，因为它可以保护患者避免二次受伤。由弹性绳、气动[1-4]人工肌肉、特殊纤维制成的柔性操作器通常具有复杂的结构、强耦合，很难建立准确的数学模型。此外，它们不可避免地受到外部干扰和其他因素的影响，这对柔性操作器系统的稳定性和精度在实践中产生了负面影响。为了克服这些缺点，实现精确的轨迹跟踪，设计稳健的控制策略以改善柔性操作器系统的稳定性、精度和免疫力至关重要。目前应用于柔性操作器系统的传统控制方法有PID控制[8]、反步控制[9]等。尽管这些传统控制策略实施简单，但也存在诸如控制精度低、鲁棒性差等问题。因此，它们常常与神经网络控制、自适应控制[10]、模糊控制、滑模控制[11-13]等算法相结合，形成一些自适应控制算法。在[14]中，基于计算力矩方法设计了反馈控制器，并添加了自适应滑模控制系统以减小系统的不确定性。在[15]中，将反步设计思想与非奇异积分终端滑模控制相结合，提出了一种自适应反步非奇异快速终端滑模控制器，不仅实现了有限时间内的收敛，0�通讯作者。邮箱地址：zyc19971226@outlook.com（钟一辰），jeremy_pu2022@163.com（蒲彦峰），wangting0310@njtech.edu.cn（王婷）。0https://doi.org/10.1016/j.cogr.2022.01.002 收稿日期：2021年12月19日；修订稿日期：2022年1月4日；接受日期：2022年1月5日 在线发表日期：2022年1月21日2667-2413/© 2022 The Authors. Publishing Services by Elsevier B.V. on behalf of KeAi Communications Co. Ltd. 本文是根据CCBY-NC-ND许可协议（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的开放获取文章。40 0Y. Zhong, Y. Pu and T. Wang 认知机器人学 2 (2022) 39–490但与计算力矩方法和PID控制相比，滑模控制在轨迹跟踪性能上也具有优势。在许多控制方法中，滑模控制特别适用于具有柔性操纵器的远程康复系统，因为它具有简单的算法、快速的响应时间、对参数摄取不敏感、强大的抗干扰能力等优点。尽管具有这些优点，它不需要精确的模型，在许多应用中受到研究人员的青睐。与此同时，滑模控制的固有问题，如高频抖动，常常对控制过程产生不良影响，因此抑制抖动的研究一直是滑模控制研究领域的难题。在[16]中，WANG等人设计了一个控制器，结合了模糊滑模控制和RBF神经网络控制的思想，以实现抑制抖动。他们使用RBF神经网络控制和模糊控制来逼近等效控制项。同时，使用RBF神经网络来估计不确定性的上界，以达到减弱抖动的目的。在[17]中，通过结合特殊幂级数函数和反正弦函数构造了一个新的收敛速率，有效地抑制了控制过程中的抖动。在Leiping等人的研究中，提出了扰动观测器和自适应反步滑模控制器的组合，既减弱了抖动，又非常精确地估计了外部干扰。现有的研究表明，扰动观测器是估计外部干扰和不确定性的有效方法，也是消除干扰影响的方法。在[22]中，设计了一个非线性扰动观测器，用于补偿关节惯性误差、离心力和关节之间的摩擦。在[23]中，将系统的各种参数和非线性组合成一个扰动项，然后通过扰动观测器进行补偿，旨在减少扰动信号对系统的影响。从上述文献中可以看出，滑模控制可以提高系统在面对非线性系统时的鲁棒性和控制精度，特别适用于柔性操纵器系统的精确轨迹跟踪。它可能非常有效地实现高轨迹跟踪控制性能。扰动观测器可以用于估计外部不确定性和扰动项。此外，它可以补偿输入以消除干扰。因此，在本文中，我们研究了一种基于非线性扰动观测器的滑模控制策略，以便在受到干扰的情况下轻松实现高精确的轨迹跟踪，因为柔性操纵器受到干扰的影响。非线性扰动观测器用于估计柔性操纵器系统的外部干扰和模型不确定性。该方法不仅减小了抖动的影响，还使跟踪误差在有限时间内收敛到零，大大提高了远程康复系统的跟踪性能。本文的其余部分组织如下。第2节描述了具有柔性操纵器的远程康复系统的动力学方程。第3节介绍了由扰动观测器和滑模控制器组成的复合控制器。分析了系统的稳定性。第4节展示和讨论了数值模拟。结论部分得出结论。02. 机器人操纵器的动力学模型0通常，在远程康复系统中，它由三个部分组成，人类操作员和主柔性操纵器位于主侧，而从主侧远离的从操纵器。通信通道用于连接主侧和从侧，以便传输数据和信号。如果两侧采用相同类型的n-自由度柔性操纵器，远程康复系统的动力学方程可以表达如下：0� � ( � � )  �� � + � � ( � �， �� � )  �� � + � � ( � � )  = � � + � � � � ( � � )  �� � + � � ( � �， �� � )  �� � + � � ( � � )  = � � − � � (1)0其中，� �，� � ∈  � �是机械手两个关节的旋转角向量。 �� �， �� � ∈  � �和 �� ∈  � �分别是机械手两个关节的角速度和角加速度。� � ( � � ) ，� � ( � � )  ∈  � � ×�是主从两侧柔性机械手的惯性矩阵。� � ( � �， �� � ) ，� � ( � �， �� � )  ∈  � � × �是离心力和科里奥利力矩阵的组合。� � ( � � ) ，� � ( � � )  ∈  � � ×�分别是主侧和从侧的重力矩阵。� �，� � ∈  � �是主和从柔性机械手的输入力矩。假设主和从侧都可以通过多维力传感器测量接触力� �和��。将动力学方程分为确定部分和未知部分，其中包括模型不确定性和外部干扰，动力学方程可以重写如下：0�0� � ( � � )  = � 0 � ( � � )  + Δ � � ( � � ) , � � ( � � , �� � )  = � 0 � ( � � , �� � )  + Δ � � ( � � , �� � ) , � = �, � � � ( � � )  = � 0 � ( � � )  + Δ � � ( � � ) , (2)0其中，� = �, �分别代表主和从侧。� 0 � ( � � ) ，� 0 � ( � �， �� � ) ，� 0 � ( � � )都是名义模型。Δ � 0 � ( � � ) ，Δ � 0 � ( � �， �� � ) ，Δ � 0 � ( � �)都代表名义和实际模型之间的参数误差。实际机器人机械臂动力学模型可以表示如下：0� 0 � ( � � )  �� � + � 0 � ( � � , �� � )  �� � + � 0 � ( � � )  = � � + � �� (3)0� �� = � � − Δ � � ( � � )  �� � − Δ � � ( � �， �� � )  �� � − Δ � � ( � � ) (4)0其中，� ��代表所有模型误差和外部干扰的总和，� �代表上界干扰。等式(3)满足以下几个性质：-6-4-20-10-5041 0Y. Zhong, Y. Pu and T. Wang Cognitive Robotics 2 (2022) 39–490图1. 控制器的示意图。00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(s)0主链路1的角速度跟踪(rad/s)0理想速度 实际速度00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(s)0主链路2的角速度跟踪(rad/s)0理想速度 实际速度0图2. 主侧角度跟踪误差。0(1) 惯性矩阵� 0 � ( � � ) ，� = �, �是对称的且正定的。其范数受到限制：0� 0 � ( � � )  = � 0 � ( � � ) � > 0，� = �, �. (5)0� 0 � ( 0min ≤ ‖‖ ‖ � 0 � ( � � )‖‖‖  ≤ � 0 �( � � )0max，� = �, �. (6)-0.500.51-0.500.51𝐿 𝑖 (𝑞 𝑖 ) = 𝑋 −1 𝑖 𝑀 −1 0 𝑖 (𝑞 𝑖 )(10) 𝑝 𝑖 𝑞 𝑖 = 𝑋 −1 ̇𝑞 𝑖 (11) 𝑉 𝑜𝑖 = ̃𝜏𝑇 𝑑𝑖 𝑋 𝑇 𝑖 𝑀 0 𝑖 (𝑞 𝑖 )𝑋 𝑖 ̃𝜏𝑑𝑖 (12) 42 0Y. Zhong, Y. Pu and T. Wang Cognitive Robotics 2 (2022) 39–4900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(s)0主链路1的角度跟踪(rad)0理想轨迹 实际轨迹00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(s)0主链路2的角度跟踪(rad)0理想轨迹 实际轨迹0图3. 主侧角度轨迹跟踪。0(2) � � 0 � ( � � )  − 2 � 0 � ( � �， �� � )，� = �, �是一个反对称矩阵，并且满足：[  �� 0 � ( � � )  − 2 � 0 � ( � �， �� � )] � = − [  �� 0 � ( � � )  − 2 � 0 � ( � �， �� � )]，� = �, �. (7)0(3) � 0 � ( � � ) 的2-范数受到上限�的限制，并且满足：0� � � ∈  � � � �，‖ ‖‖ � � 0 � ( � � )‖‖‖  ≤ �，� = �, �. (8)03.1. 非线性干扰观测器设计03. 双边远程康复控制器设计0对于动力学模型，结合惯性矩阵的通用特性，非线性干扰观测器设计如下： { �� � = � � ( � � )( � 0 � ( � � , �� � )  �� � + � 0 � ( � � )  − � � − �� �� )0其中 � � 是可逆矩阵，� 0 � ( � � )  = � 0 � ( � � ) � > 0 。方程(9) - (11)构成一个非线性干扰观测器。通常对于干扰的微分，我们了解较少的先验知识，假设干扰随着观测器的动态特性缓慢变化。因此，�� �� = 0 是可以接受的。0证明。考虑一个Lyapunov函数 � �� 如下：50100150200100101102̇𝑉 𝑜𝑖 = ̇̃𝜏𝑇 𝑑𝑖 𝑋 𝑇 𝑖 𝑀 0 𝑖 𝑞 𝑖 𝑋 𝑖 ̃𝜏𝑑𝑖 + ̃𝜏𝑇 𝑑𝑖 𝑋 𝑇 𝑖 ̇𝑀 0 𝑖 𝑞 𝑖 𝑋 𝑖 ̃𝜏𝑑𝑖 + ̃𝜏𝑇 𝑑𝑖 𝑋 𝑇 𝑖 𝑀 0 𝑖 𝑞 𝑖 𝑋 𝑖 ̇̃𝜏𝑑𝑖 ̇𝑉 𝑜𝑖 = − ̃𝜏𝑇 𝑑𝑖 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑇 𝑖 ̇𝑀 0 𝑖 𝑞 𝑖 𝑋 𝑖 + 𝑋 𝑇 𝑖 ̃𝜏𝑑𝑖 (13) 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑇 𝑖 ̇𝑀 0 𝑖 𝑞 𝑖 𝑋 𝑖 + 𝑋 𝑇 𝑖 Υ𝑖 (14) ̇𝑉 𝑜𝑖 − ̃𝜏𝑇 𝑑𝑖 Υ𝑖 ̃𝜏𝑇 𝑑𝑖 (15) ̃𝑞 𝑖 ( 𝑡 ) = 𝑞 𝑖 ( 𝑡 ) − 𝑞 𝑑𝑖 ( 𝑡 ) , 𝑖 = 𝑚, 𝑠 (16) ̇𝑞 𝑟𝑖 = ̇𝑞 𝑑𝑖 − Λ ̃𝑞 𝑖 ̈𝑞 𝑟𝑖 = ̈𝑞 𝑑𝑖 − Λ ̇̃𝑞 𝑖 (17) 43 0Y. Zhong, Y. Pu and T. Wang 认知机器人学 2 (2022) 39–4900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(秒)0主链接1的控制输入(N.m)00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(秒)0主链接2的控制输入(N.m)0图4. 主侧两个链接的输入扭矩。0其中 �� �� 满足 �� �� = � �� − �� �� 。从(9)中，我们可以得到 � �� � �� = − �� � �� � − � 0 � ( � � ) � − � � 。现在对 � �� 进行求导和简化，我们可以得到以下方程：0现在我们构建不等式如下：0其中 Υ � 是一个正定矩阵，我们将(14)代入(13)，� � 1 满足以下不等式：0如上所示，干扰观测器呈指数收敛，较大的 Υ � 可能导致快速收敛和高精度。□03.2. 双边远程康复控制器0控制结构如图1所示，引入非线性干扰观测器来估计被聚合的干扰和不确定性，表示为 �� ��，被视为前馈补偿。同时，滑模控制器实现了闭环中所有系统状态的有界稳定性。跟踪误差定义如下：0其中 �� � 是跟踪误差，� �� 是期望轨迹。然后定义辅助变量 � �� 如下：-20-15-10-5051015𝑠 𝑖 = ̇̃𝑞 𝑖 + Λ𝑖 ̃𝑞 𝑖 (18) (19) 𝑉 𝑖 = 2 𝑠 𝑇 𝑖 𝑀 0 𝑖 𝑞 𝑖 𝑠 𝑖 + 𝑉 𝑜𝑖 (20) 𝑇 ̇ ̇ 44 0Y. Zhong, Y. Pu and T. Wang 认知机器人学 2 (2022) 39–4900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(秒)0估计干扰(N.m)0图5. 主干扰观测器的估计。0其中 �� �� 和 �� �� 分别是期望轨迹的速度和加速度，Λ � = diag ( � 1 � , …  , � �� ) , � � > 0 。滑动面和控制律设计如下：0其中 � �� = diag ( � � 1 � , …  , � ��� ) , � �� > 0 , � � ≥ max (|| � 1 � || , || � 2 � || ) , 而 sgn � � 是一个符号函数。0证明。考虑一个Lyapunov函数 � � 如下：0� �的导数是：0�� � = � � � � 0 � ( � � )  �� � + 10= � � � ( � 0 � ( � � )  �� � − �  102 � � � �� 0 � ( � � ) � � + �� ��0= � � � ( � � − � 0 � ( � � , �� � )  �� � − � 0 �  )  �� �� )  + 102 � � � �� 0 � ( � � ) � � + �� ��0通过调用(19)中的控制定律，我们得到0�� � = � � � ( � 0 � ( � � )  �� �� + � 0 � ( � � , �� � )  �� �� + � 0 � ( � � )  − � �� � � − � � sgn � � − � 0 � ( � � , �� � )( � � + �� �� ))0− � 0 � ( � � )  − � 0 � ( 02 � � � �� 0 � ( � � ) � � + �� ��0= � � � ( − � �� � � − � � sgn � � − � 0 � ( � 02 � � � �� 0 � ( � � ) � � + �� ��02 � � � (  �� 0 � ( � � )  − 2 � 0 � ( � � , �� � )) � � + �� �� = − � � � � �� � � − � � ‖ ‖ � � ‖ ‖ + �� �� ≤ 0 .0从上面可以看出，当 � � � ≡  0 时，我们可以得到 � � ≡  0 ， �� � ≡  0 。根据LaSalle理论，闭环系统是渐近稳定的。当 � →  ∞ 时，�和��指数级地收敛到零。因此，实现了控制目标。证毕。□-4-3-2-10-10-50 , 45 0Y. 钟, Y. 蒲和T. 王 认知机器人学 2 (2022) 39–4900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(秒)0从动杆1的角速度跟踪(rad/s)0理想轨迹实际轨迹00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(秒)0从动杆2的角速度跟踪(rad/s)0理想速度实际速度0图6. 从动侧的角度跟踪误差04. 数值模拟和结果0为了验证上述控制策略的有效性，以下柔性机械手模型被用作仿真对象，并且(3)被用作仿真的系统动力学模型。0� � ( � � ) = [ � 1 � + � 2 � + 2 � 3 � cos � 2 � � 2 � + � 3 � cos � 2 � � 2 � + � 3 � cos � 2 � � 2 �0� � ( � � , �� � ) = [ − � 3 � �� 2 � sin � 2 � − � 3 � (  �� 1 � + �� 2 � )  sin � 2 � � 3 � �� 1 �sin � 2 � 0 . 00� � ( � � ) = [ � 4 � � � )0� 5 � � cos ( � 1 � + � 2 � ) ] , � = �, �0参数选择如下。� �的值由方程 � � = � � + � �� � � 给出，其中 � � = [ � 1 � , � 2 � , � 3 � , � 4 � , � 5 � ] �0� � = [ � 1 � , � 2 � , � 3 � , � 4 � , � 5 � ] � , � � = [ � 2 1 � , � 2 2 � , � 1 � � 2 � , � 1 � , � 2 � ] � . � 1 �和� 2 �分别是关节1和2的长度，��是机械臂物理参数的参数向量。机械臂的实际参数为 � �� = 0 . 5 , � � = [ 1 . 66 0 . 42 0 . 63 3 . 75 1 . 25 ] , � 1 � = � 2 � = 0 . 25 。关节1和关节2的理想轨迹为 � ��= 0 . 5 sin � 。非线性扰动观测器采用方程(9) –(11)，不需要加速度信号，并且扰动的观测初始值取为[0,0]。由于我们关注系统的轨迹跟踪，主从侧的接触力都是0设为0。考虑到两个关节的不同动力学特性，我们取 Υ � = [ 0 . 1 0 0 0 . 30] . 通过求解线性矩阵0为了满足不等式，我们取 � � = [ 0 . 2 0 . 30] . 控制器采用(19)，控制器的增益选择为 � �� = [ 120 0 0 130-0.500.51-0.500.51Λ𝑖 = 40 046 0Y. 钟, Y. 蒲和T. 王 认知机器人学 2 (2022) 39–4900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(秒)0从动杆1的角度跟踪(rad)0理想轨迹实际轨迹00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(s)0从属连杆2的角度跟踪(rad)0理想轨迹 实际轨迹0图7. 从属侧的角度轨迹跟踪。0] . 轨迹跟踪的结果如下图所示。图4说明了扰动的估计是有界的。0并收敛。机械臂的两个连杆的控制输入分别用图5中的蓝线和红线解释。图2和图3显示了主侧的角速度跟踪和角度跟踪结果。理想轨迹用红色实线标记，而实际轨迹用蓝色虚线绘制。仅仅几秒钟，主柔性机械臂就可以跟随期望轨迹。这表明了控制策略对外部不确定参数的鲁棒性。图3说明了扰动的估计是有界的并且收敛的。机械臂两个连杆的控制输入分别用图5中的蓝线和红线解释。图6和图7显示了从属侧的角速度跟踪和角度跟踪结果。理想轨迹用红色实线标记，而实际轨迹用蓝色虚线绘制。仅仅几秒钟，主柔性机械臂就可以跟随期望轨迹。这表明了控制策略对外部不确定参数的鲁棒性。图8说明了扰动的估计是有界的并且收敛的。机械臂两个连杆的控制输入分别用图9中解释。从结果可以看出，当系统受到模型不确定性和外部干扰时，基于非线性扰动观测器的滑模控制策略在轨迹跟踪和速度跟踪方面的性能优越，系统能够在有限且非常短的时间内跟踪目标轨迹或速度，并且曲线几乎完全重合。同时，从以上结果可以明显看出，所提出的方法具有很高的精度。05. 结论0本文提出了一种基于非线性扰动观测器的滑模控制策略，用于受外部干扰和模型不确定性影响的柔性机械臂远程康复系统的轨迹跟踪问题。扰动观测器的设计避免了柔性机械臂加速度的反馈测量项，实现了对复合不确定性的准确估计，并补偿了控制输入。通过使用到达律，滑模控制中的抖动被有效减少。仿真结果和实验结果表明，所提出的双边控制不仅可以有效减弱外部干扰对系统的影响，还可以提高系统的跟踪精度，加快系统响应速度，并增强系统的稳定性。1011021020304047 0Y. Zhong, Y. Pu and T. Wang 认知机器人学 2 (2022) 39–4900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(s)0从属连杆1的控制输入(N.m)00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(s)0从属连杆2的控制输入(N.m)0图8. 从属侧两个连杆的输入力矩。-10-8-6-4-2024648 0Y. Zhong, Y. Pu and T. Wang 认知机器人学 2 (2022) 39–4900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间(s)0估计扰动(N.m)0图9. 从属观测器的估计。0竞争利益声明0作者声明他们没有利益冲突。0参考文献0[1] S. Oh, K. Kong, 旋转坐标系中两自由度控制二连杆机械手, IEEE工业电子学会62(9) (2015) 5598–5607, doi: 10.1109/TIE.2015.2408556 .0[2] C. Cai，N. Somani，A. Knoll，用于未校准立体相机的视觉伺服的正交图像特征，IEEE Trans. Robot. 32 (2) (2016) 452–461, doi: 10.1109/TRO.2016.2535443 .0[3] M.C. Yip，D.B. Camarillo，在受限环境中对连续操纵器进行无模型反馈控制，IEEE Trans. Robot. 30 (4) (2014) 880–889, doi: 10.1109/TRO.2014.2309194 .0[4] H. Lu，Y. Li，S. Mu，D. Wang，H. Kim，S. Serikawa，利用强化学习进行无人机的电机异常检测，IEEE Internet Things J. 5 (4) (2018) 2315–2322, doi: 10.1109/JIOT.2017.2737479 .0[5] S. Kang，H. Wu，X. Yang，Y. Li，J. Yao，B. Chen，H. Lu，用于受限平行微定位压电台的离散预测滑模控制，IEEE Trans. Syst., Man, Cybern. 99 (0) (2021) 1–12, doi:10.1109/TSMC.2021.3062581 .0[6] X. Yang，H. Wu，Y. Li，S. Kang，B. Chen，H. Lu，C.K.M. Lee，P. Ji，用于振动隔离的平行机构的动力学和各向同性控制，IEEE/ASME Trans. Mechatron. 25 (4) (2020) 2027–2034 .0[7] T. Wang，X. Ji，A. Song，K. Madani，A. Chohra，H. Lu，R. Monero，用于安全远程手术的输出有界和RBFNN基础的位置跟踪和自适应力控制，ACM Trans. Multimed. Comput.Commun. Appl. 17 (2) (2021) 1–15 .0[8] M.W. Spong，M. Vidyasagar，机器人动力学与控制，John Wiley & Sons，2008 . [9] M. Van，M. Mavrovouniotis，S.S. Ge，机器人操纵器的自适应反步非奇异快速终端滑模控制，IEEETrans. Syst., Man, Cybern. 49 (7) (2018) 1448–1458 .0[10] G. Chen，F.L. Lewis，未知网络拉格朗日系统的分布式自适应跟踪控制，IEEE Trans. Syst., Man, Cybern., Part B (Cybernetics) 41 (3) (2010) 805–816 .0[11] B.L. Cong，Z. Chen，X.D. Liu，无需切换增益过估计的自适应滑模控制，Int. J. Robust Nonlinear Control 24 (3) (2014) 515–531, doi: 10.1002/rnc.2902Cit .0[12] K.D. Young，V.I. Utkin，U. Ozguner，滑模控制工程师指南，IEEE Trans. Control Syst. Technol. 7 (3) (1999) 328–342 . [13] S. Islam，X.P. Liu，机器人操纵器的鲁棒滑模控制，IEEE Trans.Ind. Electron. 58 (6) (2010) 2444–2453 . [14] K. Kuo，J. Lin，基于奇异摄动方法的柔性链式机器人臂的模糊逻辑控制，Appl. Soft Comput. 2 (1) (2002) 24–38 . [15] M. Van，M.Mavrovouniotis，S.S. Ge，机器人操纵器的自适应反步非奇异快速终端滑模控制，IEEE Trans. Syst., Man, Cybern. 49 (7) (2018) 1448–1458 .0[16] F. Wang，Z.-q. Chao，L.-b. Huang，H.-y. Li，C.-q. Zhang，基于RBF神经网络和模糊滑模的机器人操纵器轨迹跟踪控制，Cluster Comput. 22 (3) (2019) 5799–5809 .0[17] Z. Tao，基于新的到达律的自适应滑模控制，Control Decis. 31 (7) (2016) 1135–1138 . [18] X. Leiping，C. Zili，Q. Xiaohui，具有非线性干扰观测器的自适应反步滑模控制机器人操纵器，Inf.Control 42 (4) (2013) 470–477 .49 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