LSPIA与能量最小化的数控加工刀轨B样条拟合方法及其应用

HOS T E D B Y可在www.sciencedirect.com网站上查阅计算设计与工程学报2（2015）218www.elsevier.com/locate/jcde基于能量最小化和LSPIA的数控加工弦误差保形刀轨B样条拟合方法何姗姗，欧道江，颜昌亚，李振汉华中科技大学国家数控系统工程研究中心，武汉430074接收日期：2015年3月20日;接收日期：2015年5月20日;接受日期：2015年6月3日2015年6月12日在线发布摘要CAM系统生成的分段线性（基于G01）刀具轨迹缺乏G1和G2连续性。这种不连续性在加工过程中会引起振动和不必要的停顿。为了确保高效的高速加工，需要一种方法来提高刀具路径的连续性，例如用B样条曲线近似G01路径的B样条拟合。传统的B样条拟合方法不能直接用于刀轨B样条拟合，因为它们具有诸如数值不稳定、缺乏弦误差约束以及缺乏可用结果的保证等缺点最小二乘渐进迭代逼近（LSPIA）是一种有效的数据拟合方法，可解决数值不稳定性问题。然而，它没有考虑弦误差，需要更多的工作，以确保商业应用的铁的结果。本文采用引入能量项的LSPIA方法（ELSPIA），以避免由于引入拉伸能量项而引起的数值不稳定性和下弦我们实现了几个算法改进，包括（1）一个改进的技术，用于初始控制点确定的主导点方法，（2）一个算法，更新脚点参数，根据需要，（3）分析控制点的自由度，该方法可以生成保形B样条曲线。实验数据分析和加工测试的质量和效率进行验证。与其他已知的解决方案的比较，包括评估所提出的解决方案的价值。&2015 年 CAD/CAM 工 程 师 协 会 。 由 Elsevier 制 作 和 主 持 。 这 是 一 个 在 CC BY-NC-ND 许 可 证 下 的 开 放 获 取 文 章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词：数控加工; G代码; B样条拟合;渐进迭代逼近;能量最小化1. 介绍CAM系统生成的G代码命令在数控加工中起着重要作用。其中，分段线性（G01为基础）刀具轨迹被广泛使用。基于G01的路径缺乏G1和G2连续性，会导致加工过程中出现不必要的振动和减速。为了保证高效的高速加工，需要采用B样条拟合等方法来提高刀具轨迹的连续性。刀具轨迹B样条曲线拟合通常需要满足比传统B样条曲线拟合在形状和性能上更多的约束[1]，例如在给定公差内近似G01点，弦误差约束，形状n通讯作者。电子邮件地址：yanchangya@hotmail.com（中国）Yan）。保序性、G2连续性和最小控制点数。此外，即使对于大尺寸的刀具路径，也必须快速准确地计算，才能将该解决方案用于实际的传统的B样条拟合方法通常通过在给定公差内最小化最小二乘拟合（LSF）误差或能量函数来解决[2LSF涉及求解一个非常大的线性方程组。它不适合工业解决方案，因为数值不稳定和缺乏可用结果的保证Qi等人[9]和de Boor等人[10]是一种新的有效的数据拟合方法，消除了求解逆矩阵的数值不稳定性。PIA通过迭代调整控制点来构造一系列拟合曲线[11Deng等人[4]报道了一种方法，http://dx.doi.org/10.1016/j.jcde.2015.06.0022288-4300/2015 CAD/CAM工程师协会。&由Elsevier制作和主持。这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。S. He等人/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）218219凸轮（使用G01生成G代码）B样条拟合（使用NURBS生成G代码）数控（机械加工）图1.一、CAM、B样条拟合和CNC加工之间关系的流程图最小二乘渐进迭代逼近（LSPIA），能够处理比PIA更少控制点的大尺寸点集。然而，由于以下原因，LSPIA方法不能直接用于NC加工的工业应用：不考虑弦误差要求;2经验算例数据点分布均匀，而实际数控加工刀具轨迹形状复杂，难以预测，数据点分布不均匀。数据点和节点向量的参数值对于曲线拟合质量 Piegl和Tiller [5，16]建议使用平均技术（ AVG ） 和 结 放 置 技 术 （ KTP ） 。 Razdan[17] and Li etal.[18]建议使用形状信息来确定节点向量。Park等人[3]设计了一种新的B样条曲线拟合方法，该方法基于使用优势点的自适应曲线细化。它们的节点是通过对主导点的参数值求平均来确定的为了在精度范围内提高加工效率，实现高速高精度数控加工，常采用B样条曲线拟合刀具轨迹的方法。阳和陈[19]提出了一种新的高精度拟合方法，即采用粗拟合和精拟合进行NURBS生成，并采用Newton-Raphson方法求解优化问题，但作者没有给出弦误差修正的求解方法，Newton-Raphson方法不能保证得到满足精度要求的解。Syh- ShiuhYeh和Hsin-Chuan Su [20]开发了一种在CNC机床上实现在线非均匀有理B样条（NURBS）曲线拟合过程的方法，以提高加工质量和效率。他采用最优搜索法拟合数据点，采用最小二乘拟合法求解优化问题，不考虑弦误差和数值不稳定性。如果拟合过程失败，他只是使用存储的数据点作为运动命令，以确保CNC机床的连续运动。Zhang等人[21]提出了一种基于二次B样条的数控机床速度规划曲线拟合方法。通过特征点插值得到拟合曲线。采用追踪法计算控制点。该方法也存在求逆矩阵数值不稳定的缺点。本研究的目标是设计和实现一个算法，能够满足所有的要求。传统的LSF方法由于数值不稳定而不能用于工业强度计算. LSPIA方法由于没有考虑弦误差要求，不能直接用于刀轨B样条拟合。此外，无论是传统的LSF方法还是LSPIA方法，都缺乏实际的加工实验来验证其有效性.一些商业CAD/CAM软件系统可以生成NURBS刀具路径，例如NX，CATIA，Delcam，PowerMILL、SINUMERIK 840D压缩机等。NX解决方案提供了有利的结果，但从数据分析中，我们发现NX解决方案有一些局限性。它不能确保两个B样条之间的G1连续性，也不能自动确定刀具路径的特征点-我们以前的工作[1]可以自动识别特征点，这被称为“硬断点（HBP）”。目标是确保两个B样条以及G01和B样条之间的G1连续性，除了HBP位置。HBP识别算法[1]不是本文讨论的重点，但它是B样条曲线拟合刀具轨迹的前提。本文中的数据点是由CAM软件生成的，我们的拟合结果用于三轴实际加工后，B样条拟合。图1是CAM、B样条拟合和CNC加工之间关系的系统流程图。刀具轨迹B样条拟合是对CAM软件生成的刀具轨迹进行优化的一个步骤它可以生成更好的加工表面，并节省内存。在这项研究中，我们提出了使用LSPIA方法去除能量项（ELSPIA），以提高性能和降低弦误差。我们选择的初始控制点，可以体现数据点的特点，并均匀分布。设计了一种迭代算法，使足点参数策略性地更新;分析了控制点的自由度，有效地插入新的控制点;如果不满足弦误差要求，则采用ELSPIA方法本文的组织结构如下。在第二节中，我们陈述了刀具轨迹B样条拟合的要求和高级算法。第三节介绍了LSPIA算法。在第四节中，我们从四个方面阐述了我们对LSPIA的改进。第五部分是用ELSPIA实现数据拟合和弦误差修正。第6节介绍了一些数值验证，第7节介绍了加工实验。最后第8节是本文的结论。另外，附录部分对本文的一些具体算法进行了2. 刀具轨迹B样条拟合算法综述为了获得光滑、保形和公差带状的三次B样条刀具路径，首先需要对原始数据点进行处理以去除噪声点，确定HBP，并识别长段，然后刀具路径的数据点必须按“断点”分组从而使生成的新点序列更适合于进一步拟合。220S. He等人/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）218我fgfgX6fgð Þ.Bpt;Bpt;01M我我770 1n1n传统的B样条拟合算法主要是在数据误差约束下对数据点进行拟合。但在刀轨B样条拟合中，不仅要考虑数据误差约束，还要考虑弦误差约束，以使拟合曲线与数据点构成的多边形之间的分割最小。数据误差可以通过最小化最小二乘拟合误差来优化，但弦误差由于计算复杂而不能直接优化。首先，让我们回顾一下数据点拟合的概念。假定读者熟悉B样条和最优化理论的概念.一种带次数的B样条曲线p，节点向量U<$fu0;u1;n定义为：ctXBptPi11/401n功能 的 程度 p 已定义 对 的结 向量UfP0;P1;本文假设f_Q_j_g_m为有序G_01数据，点，mj½0mt jj0是Q j j的参数值 0的情况。 通过最小化最小二乘拟合误差来考虑数据误差约束，定义为：MEPctj-Qj22j¼0式中，P1=P0;P1方程的矩阵形式（2）是：EPAP-QTAP-Q 3哪里Q¼. Q;Q;2BptB p t 0⋯Bp 0036pBp t1 Bp t17AB0t11n¼⋮46Bptm⋮⋱⋮B p t m.Bp tm53. 数据点拟合的LSPIA迭代法0 1n在数据点拟合的迭代步骤之前，确定初始控制点和初始节点向量。数据点拟合算法可分为三个层次在本节中，我们将介绍LSPIA迭代方法，并分析为什么它不能直接用于刀轨B样条拟合。设fP0gn为初始控制点我 i½ 0mnp1循环：大循环、中循环和小循环。后在这三个周期中，使用细化过程来达到弦误差要求。有很多方法可以解决从给定的数据点 QJJ0，Uu ii0是节点向量第一条B样条曲线是：n优化Eq.（3），但我们在小范围内使用LSPIA方法循环考虑性能和 工业应用。我们c0tXBptP0ð4Þ将在第3介绍LSPIA方法。如有k后不能满足拟合公差要求设Pk1/4 = Pk;Pk;KT第n次迭代，Δk;Δk;在LSPIA迭代中，我们将在中间循环中启动足点参数更新方法，在主循环中启动控制点插入方法。最后，当弦线误差不能满足加工公差要求时，采用ELSPIA法进行弦线误差修正。刀具轨迹B样条拟合算法流程图如图所示。 二、0 1n在第k次迭代中的控制点。 LSPIA使用最陡[22]第23话：最大限度地减少误差。（三）、首先，Eq.（3）计算为：∇EðPÞ¼2ATðAP-QÞ ð5Þ开始计算初始化参数大循环数据点拟合是的和弦错误是否令人满意加工公差？没输出B样条曲线弦误差细化小周期开始周期是否收敛？没计算新的控制点计算目标函数是的没迭代次数是否达到最大值？没数据误差是否满足拟合公差？是的是的小循环结束图二. 刀轨B样条拟合流程图。00图三. 小循环流程图。1/4S. He等人/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）218221¼¼fgfgfg我j¼ð Þj-2s;¼ ;--M我 我0MM图四、LCM点和LDCM点：（a）LCM点，（b）LDCM点。然后我们可以开发LSPIA的第k个迭代步骤Δk¼μATQ-APkPk1¼PkΔkð6Þ其中μ是移动步长，00μ02，λ0是最大值矩阵ATAλ0ATA是正的. 矩阵定义和对称矩阵，第（k<$1）条曲线ck<$1<$t <$t是：n图五、Q _ j 的近似足点和真实足点。ck1XBpPk 1ð7Þ局部曲率最大值（LCM）点的优势点，我我1/4注1.1. 对于内插端点Q0，Qm的情况，我们只让P0Pk;PkPk在但LCM点包含噪声点。如图4（a）所示，由245个数据点选择了55个LCM点。虽然噪声点在某种程度上可以被排除，但占主导地位的点聚集在复杂区域，而没有点聚集在边缘区域0n迭代0 0n n地区为了排除噪声点，我们采用局部小循环的流程图如图3所示。与传统的最小二乘拟合方法相比，LSPIA是一种有效而直观的数据拟合方法，消除了求逆矩阵的数值不稳定性。但在大多数情况下，数据错误要求不能满足，差异曲率最大值（LDCM）方法来选择特征点，记为LDCM点。假设Pj的曲率kj已用附录A中的方法计算出来。s是一个预定义的邻域值。曲率差定义为：小周期的。 数据误差首先明显减少迭代步骤，但在几个步骤后，它们会慢下来，σkPiZj-s;irjs;iajkij s原因之一是数据点参数计算的足点不精确，另一个原因是控制点缺乏自由度，即控制点数量不足。因此，需要对LSPIA法进行改进，使拟合曲线满足数据误差和弦线误差要求。4. 刀位轨迹B样条LSPIA算法的改进装配在本节中，我们从四个方面对LSPIA方法进行了(1)基于LDCM方法和节点初始控制点选取由初始控制点确定矢量;（2）足点若σj =4 0，σ j=4 σj-1，σ j=4 σj<$1，则点Pj为LDCM点.如图4（b）所示，设为5，是从245个数据点中选择的33个LDCM点。为了使初始控制点均匀分布，需要在相邻两个LDCM点所形成的区域内添加一些控制点，这些LDCM点的数据点大于2s。初始控制点集确保两个初始控制点之间最多有2s个数据点选取每个数据点块的端点作为初始控制点，使拟合曲线插值数据点块的端点而不是所有数据点。设fP0gn为初始控制点本文提出了一种基于控制点自由度的控制点插入法和一种基于ELSPIA的弦误差修正方法QJJ0、t jj0 的参数值 Qjj 0.大多数情况下，参数值是通过弦长或向心方法计算的[2，5]。我们使用初始控制点的AVG方法来计算节点向量：jjp-14.1. 初始控制点和节点向量的确定在本节中，我们提出了一种改进的初始化1upþ j¼pXi½jtfi;j/1;. n - p控制点确定优于优势点方法（DOM）[3]，以确保控制点的均匀分布和特征位置的收敛。Park等人[3]确定其中fi是返回对应于初始控制点P0的点Qj的索引的函数。为了使拟合曲线插补数据点块的端点，（从222S. He等人/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）218þM....我. ΣðÞj.Σfi[五]--Z¼ ¼Þ我其中Dφ¼我是j¼0我不知道我不知道。矩阵D可以是com-我我275M64RM端结应始终具有重数（p1）。其余节点不需要重数，从而得到G2连续的曲线.4.2. 一种足点参数更新方法在LSPIA的迭代步骤中，数据点参数tj被用作数据点Qj的足点参数。Qj的数据误差由ctj-Qj测量。实际上，ct j-Qj不是数据点Q j之间的真实偏差 和b样条曲线ct：如图5所示，ct大约是一英尺其中ctj是Qj在B样条上的投影点，tj是投影点的参数。第三节调整向量的控制点Pi是已定义如：Δi/4μPBptjQj-ctj，足点参数也将点P'i-2、P'i-1和P'i，其它控制点保持不变。因此，我们用有关数据误差和Pi-2和Pi-1的自由度来定义纽结区间的自由度[<$ui;ui< $1]。对于每个间隔ui;ui 1，如果存在超过设定公差，我们计算结点区间u i;u i1：γi的自由度 φi2 φi1，否则γi 0.选取γi最大的节点间距作为插入间距。4.4. 满足弦误差要求的ELSPIA方法最优化问题的最小（3）只考虑数据误差约束，不考虑弦误差。在本节中，拉伸能量项用于减小弦误差。目标函数Eq。（2）可以修改为：j¼0影响LSPIA的拟合结果，因为不精确的足点参数导致不精确的调整矢量。因此，我们更新了足点参数，以获得更好的拟合结果。电子邮件jX¼0. C.tj-Qjω1dct20dtdt10足点参数更新方法是通过计算数据点的投影点参数，并将其作为新的足点参数。投影点参数tj通过求解方程（1）来计算（九）、用牛顿迭代法求解我不知道你是谁4.3. 插入控制点以满足数据误差要求4.3.1. 寻找缺少自由度的控制点在LSPIA的迭代步骤中，对于每个索引i，控制点Pi由调整向量Δi1/4μPBptjQj-ctj调整，对于每个索引j，如果Bptj4在Eq中的第一项（10）是约束数据的LSF误差第二项称为拉伸能量项，以降低弦误差。ω是能量项的权重。方程的矩阵形式（10）是：EPAP-QTAP-QωPTDP111由[21]中提出的数值积分方法计算。与LSPIA类似，最速下降法可以用来最小化目标函数。ELSPIA法可以减小弦误差，但计算量比LSPIA法大.因此，在实际的算法实现中，我们只在弦误差修正步骤中使用ELSPIA。小循环程序仍使用LSPIA方法。在弦误差修正段，应该调整。因此，对每个控制点赋予权重ρi0时，Qj被认为是Pi的相关数据点。用于控制点Pi，若其相关数据点偏移向量方向一致，则用Δi调整Pi，可大大减小相关数据误差。在这种情况下，Pi被认为具有足够的自由度。否则，我们认为Pi缺乏自由度。假设相关的数据点Pi（如果Pi需要调整，则ρi 1，否则ρi 0的情况。我们使用以下方法来解决优化问题。首先，Eq.（11）计算为：∇EðPÞ¼2ðATðAP-QÞþωDPÞð12Þ设Pk1/4 = Pk;Pk;控制点Pi来自Qs 到Qe，我们测量k的度0 1nk k kT第k次迭代，Δk;Δ;由φi定义的Pi的自由度如下：0 1n在第k次迭代中的控制点H是对角矩阵由控制点的权重形成PjejBptjQj-ctjj2 3ρ0jΔij对于控制点Pi，φi越大，自由度越缺乏。为了满足数据误差要求，我们使用数据误差和控制点的自由度来找到一个插入结的结间隔。4.3.2. 找到插入间隔和插入结公司简介ρn然后，我们可以通过使用矩阵描述来改进ELSPIA的迭代步骤：（Δk¼ μATQ-APk-ωDPk）当一个节点被插入到interval[ui;ui1]中时，相邻的控制点Pi-2和Pi-1成为新的控制点。Pk1¼PkHΔkð13ÞS. He等人/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）218223þ我我其中0oμ o2，λ0是H（ATA）ωD nλ0- 是的（k）1）曲线ck1t为：ck1XBpPk 11/4ð14Þ定理1.2. ELSPIA迭代法经过多次迭代后的。定理1.2的证明见附录B.5. 刀具轨迹数据点拟合和弦误差修正5.1. 端点约束在本文中，拟合的B样条曲线需要满足两种端点约束。首先，B样条曲线必须通过数据点的端点，然后刀具路径需要在两个相邻的B样条或B样条和一段的端点处G1在拟合之前给出端点切向量。在第4.1节中，我们知道，为了使拟合曲线插值数据点块的端点，端点节点总是具有重数（p1），并且注释1.1确保控制点的端点在LSPIA的迭代步骤中不移动。为了保证B样条曲线端点处的G1连续性，给定两个单位切向量V1和V2，则l1和l2为B样条曲线端点切向量的长度。拟合的B样条必须满足以下方程：c'0l1V1;c'1l2V2具有多重（p<1）端点节点的B样条的端点切向量为：c'000 1 /pP1-P0;c'01/pPn-Pn-1见图6。 中循环流程图。每十次小循环迭代更新参数的介质循环流程图如图所示。 六、图7（a）和（b）分别绘制了数据集在更新足点参数之前和之后的拟合曲线。加工公差为0.03 mm，配合公差为在拟合过程中，小循环迭代20次而不插入控制点。结果表明，采用足点参数更新法拟合的曲线在保形性和弦误差方面具有较好的性能。5.3. 控制点插入主循环在4.3节中，我们介绍了主循环中的控制点插入方法。主循环的流程图如图11所示。8.第八条。在我们选择一个缺乏自由度且内部至少有两个数据点参数的区间后，可以通过选择该区间的中点或该区间中具有最大数据误差的数据点参数在我们的解决方案中，采用了中间点策略。插入控制点后，既可减小数据误差，又可减小弦误差up1-u 1upn-un端点切向量的长度对B样条曲线的端点质量有重要影响。切线长度过长会导致B样条曲线端点处出现回路，切线长度过短会导致端点两个控制点过于接近。因此，我们通过以下近似计算来确定端切向量的长度Q1-Q0Qm-Qm15.4. 弦误差修正步骤中可调整控制点的确定在刀具轨迹B样条拟合中，最重要也是最困难的问题是满足弦误差要求。为了降低弦误差，可将数据拟合步骤中的拟合公差设置为小于加工公差。我们检查和弦l1¼t1-t0;l2¼tm-t-m-1使用附录中介绍的方法来消除错误。和弦误差修正的目的是减少和弦误差，为了确保G1连续性，控制点P0;P1;Pn-1;和Pn是预先确定的，不会在迭代中移动，数据点拟合的步骤。5.2. 足点参数中周期更新该方法首先利用数据点的弦长参数计算足点参数，然后利用投影点的参数更新足点参数。在这项研究中，首先在获得第一个B样条后立即更新参数，然后装配后允许的加工公差。弦误差修正的示意图如图9所示。在弦误差修正中不需要调整所有控制点。因此，我们需要一种策略来确定需要选择哪些控制点进行调整。弦线误差修正首先找到一个节点区间，该区间至少包含一个弦线误差超过加工公差的点，然后在该区间内插入一个节点，确定控制点的权值，再用ELSPIA方法计算控制点。中周期开始计算矩阵A和移动步长足点参数更新小循环计算新控制点没迭代次数是否达到最大值？没数据误差是否满足拟合公差？是的是的中周期结束224S. He等人/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）218半]..好吧Σ主要周期开始节点插入中周期足点参数更新是的是否有控制点缺乏自由度？数据误差是否满足配合公差？是的没没没迭代次数是否达到最大值？是的主要周期结束见图7。 足点参数更新前后的拟合曲线：（a）足点参数更新前和（b）足点参数更新后。见图8。 主要循环流程图。假设区间ui;ui 1包含弦误差超过加工公差的至少一个点，调整控制点为P'i-2、P'i-1和P'i（插入结后的新控制点），则P'i-2、P'i-1和P'i的权重需要设置为1。权重等于1的控制点将在以下和弦误差修正过程中进行调整5.5. 权重选择本节有两个权重有待确定。第一步是移动步骤μ。可以通过Gershgorin圆盘定理[19]确定估计的μ。 有关测定的详情，请参阅附录。二是能量项的权重。如我们所知，第k次迭代中控制点的调整向量为：Δk¼μATQ-APk-ωDPk¼μATQ-ATAPk-ωDPk为了确保ATAPk和DPk具有相同的数量级，可以通过矩阵ATA和D来估计权重ω。traceATAtraceD使用图7中相同的数据点，表1比较了弦误差修正前后的拟合结果配合时，加工公差为0.03 mm，配合公差为0.015毫米。可以看出，经过弦误差修正后，拟合曲线能够满足数据误差和弦误差要求在我们对各种形状的G代码进行实际测试时，如果给出合理的加工公差，至少99%的拟合点满足弦误差修正，但如果仍有一些段超过允许的加工公差，我们必须将超出的样条切割成G 01段，以确保CNC加工的连续运动保证了G01与B样条之间的G1连续性和G01与G01之间的G0连续性这不是一个完美的策略，B样条混合方法将在未来的工作中使用6. 数值验证6.1. 拟合结果建立了刀轨B样条曲线拟合算法的软件实现框架.本研究中的刀具轨迹是在给定加工公差的情况下由NX 9.0生成的，数据集是从实际刀具轨迹中截取的用三次B样条曲线拟合了四组数据。数据点和拟合曲线如图所示。 10，拟合信息见表2。结果表明，控制点的数量小于数据点数量的50%，最大数据误差和最大弦误差均满足加工公差要求。≈ωS. He等人/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）218225整个G码可以同时用我们的算法拟合 图图11绘制了B样条拟合前后的G代码。图中的G代码。图11（a）和（b）是图11右下角的G代码部分。11（a）和（b）。G01点用浅绿色着色，B样条用黄色着色 图图11（a）是由G01形成的原始G代码，图11（b）是由G01和B样条形成的G代码。在图11（b）中，深绿色部分是长段，不适合，因为它们是零件的特征。我们可以看到，拟合后的G代码比原来的G01点更平滑。原G01代码仅具有G0连续性，而B样条拟合后的G代码在G01与B样条之间以及两条B样条之间具有G1此外，无重结点的三次B样条具有G2连续性.6.2. 与LSPIA方法的比较图图12比较了LSPIA和ELSPIA的拟合结果。在图12（a）中，绘制了LSPIA和ELSPIA的拟合曲线，并分别在图12 （b ）和 （c）中 绘制 了详 细信息 。可 以看 出，ELSPIA的拟合曲线更接近于数据点形成的弦线，因此ELSPIA的弦线误差小于LSPIA，这说明拉伸能量项起作用，拉伸拟合曲线以减小弦线误差。6.3. 与NX拟合结果的在本节中，我们将我们的拟合结果与CAM软件NX的拟合结果进行比较。图中绘制了拟合的G代码。 13- 15，拟合信息见表3。见图9。 弦误差修正流程图。表1弦误差修正前后的拟合结果。表2合适的信息。适配信息示例一BCD加工公差[mm]0.0050.010.0040.002图10个。拟合曲线：（a）示例a，（b）示例b，（c）示例c和（d）示例d。和弦错误细化开始找出弦误差超出加工公差节点插入找到需要优化的控制点转向中循环没弦误差是否满足加工公差要求？是的弦误差精化配合公差[mm]0.00250.0050.0020.001装配信息精加工前精加工后数量的数据点129162100506数量的控制点277648120最大数据误差[mm]0.020280.01208最大数据误差[mm]0.00240.00580.00190.00099最大弦误差[mm]0.074920.02841最大弦误差[mm]0.00370.00980.00350.00125226S. He等人/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）218图十一岁B样条拟合前后G代码：（a）原始G代码和（b）拟合后G代码。图12个。LSPIA和ELSPIA的比较：（a）LSPIA和ELSPIA的拟合曲线，（b）LSPIA的拟合曲线和（c）ELSPIA的拟合曲线图13岁工件“C形块”的B样条拟合图十四岁“鸟巢”工件的B样条拟合图图13- 15展示了NX和我们的方法拟合的三个工件的刀具路径。在我们的方法中，HBP和长段在预处理中被识别，并且长段在拟合过程中保持不变，但是NX拟合G码而不考虑长段。我们可以在图中找到差异。14和15。表3列出了图1和图2中三个工件的装配信息。13- 15号可以看出，用该方法拟合的G代码比NX具有更少的G1不连续点和G2不连续点，这表明该方法可以改善刀具轨迹的连续性。由于我们的方法没有限定G1，所以仍然存在几个G1不连续点S. He等人/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）218227~~图十五岁工件“可变曲率”的B样条拟合表3NX的拟合信息和我们的方法。G代号加工公差[mm]G01number控制点数G1不连续数g2不连续数最大弦误差[mm]平均弦误差[mm]c形0.019472NX 287989990.0101050.008757块我们的32752330.0099810.004997鸟巢0.00143,660NX 16550551456820.0015400.000675我们的27290108212230.0010110.000483变体0.0111,512NX 5843240326030.0106080.006646曲率我们的621377312970.0100970.004567HBP位置的连续性。表3所列的NX和我们的结果的最大弦误差可以达到弦误差要求。本文方法的平均弦误差小于三个实例中NX的平均弦误差，这对获得较好的加工效果是有贡献的，但这可能是我们比NX有更多控制点的原因之7. 加工实验7.1. 加工结果在本节中，所提出的方案在沈阳机床制造的钻铣加工中心（HNC（华中数控）-818A/MD CNC系统）刀具TC 500R上实施，如图16所示。TC500R的配置信息见表4在加工过程中，需要预先设定进给速度和主轴转速等加工参数，我们在表5中列出了“C形块”、“鸟巢”和“变曲率“的加工参数。所采用的三种坯料均为40mm的立方体40mm 40mm，毛坯材料是6061铝合金加工中使用的刀具是由硬质合金制成的球头铣刀加工效果如图1和图2所示。17- 19岁。每个工件使用原始G01、NX拟合的NURBS和我们的方法拟合的NURBS进行三次加工。为了获得更精确的加工时间测量，我们利用图16.加工设备：钻铣加工中心（HNC-818 A/MD控制器）TC 500 R。伺服驱动器的周期时间，以计算实际加工时间，不包括刀具的空气（非切削）时间。如表6所示，三个工件的实际加工时间的228S. He等人/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）218表5用于实际加工的参数。G代号进给速度[mm/min]主轴转速[r/min]粗加工时的在制品余量[mm]切削方式步进C形块100060000.25螺旋Number点50鸟巢100060000.1Zig zag最大扇形高度：0.0008 mm变异曲率100060000.3Zig zag最大扇形高度：0.001 mm表4TC500R的配置信息轴线X轴Y轴Z轴主轴马达型GK6063-6AF31-JEGK6063-6AF31-JEGK6063-6AF31-JBSVM-90L-A2/10000额定扭矩[NM]11111123.66额定转速[PRM]3000300030001500相电流[A]13.513.513.514.4额定功率[KW]3.53.53.53.7伺服驱动器类型HSV-180UD-50HSV-180UD-50HSV-180UD-50HSV-180US-50图十七岁工件“C形块”的加工图片图十八岁工件“鸟巢”的加工图片结果是不确定的，因为只有一个商业机床和CNC系统用于测试，但它反映了NX和我们的方法都有改进的余地。7.2. 粗糙度试验为了评价加工质量，我们测量了加工工件的表面粗糙度。我们使用的设备是TAYLOR HOBSON PGI830表面轮廓综合测量系统。如图20所示。该装置的测量范围为X轴200 mm，Z轴8 mm，测量精度为 0.8nm/ 8 mm，测试时样品长度为表面2 mm，平面5 mm我们采用Ra指数来测量表面粗糙度。 测试位置如图所示。 21岁S. He等人/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）218229图十九岁工件“变曲率”的加工图片表6三个实例的实际加工时间。G代号实际加工时间[s]G01NX拟合我们的方法C形块374374374鸟巢491489494变异曲率794800792我们在三个位置测试每个工件，如图21所示。对于每个位置，我们在两个方向上测试粗糙度：跟随和交叉，这意味着它分别跟随或交叉切割方向。我们在两个方向上测量粗糙度，因为这两个方向都影响表面质量，尽管刀轨拟合只关注跟随方向的质量为了消除误差的影响，我们对每个位置测试十次，并计算平均值作为位置的粗糙度总结表7中关于交叉粗糙度的9组数据，我们的方法在6种情况下优于G01，1种情况下优于NX的NURBS。在后续的粗糙度方面，我们的方法在5种情况下优于G01，在6种情况下优于NX的NURBS。总的来说，差异不足以得出结论。8. 结论提出了一种用三次B样条曲线逼近G01路径的新方法。它可以提高刀具轨迹的连续性，确保高效的高速加工。为了避免求解线性方程组的计算量，并通过引入拉伸能量项来降低弦误差，我们采用了一种结合能量项的渐进迭代近似方法。我们采取三项措施来满足以下要求：图20.粗糙度测试设备：表面轮廓综合测量系统。刀具轨迹拟合：ELSPIA、足点参数更新和控制点在实验中，我们将我们的拟合结果与原始G01刀具路径和NX的拟合结果进行了比较。与NX方法相比，该方法具有更少的G1和G2粗糙度试验230S. He等人/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）218图21岁 粗糙度测试位置：（a）“C形块”，（b）“鸟巢”和（c）“变曲率”。表7三个实例的粗糙度测试。G-代号交叉粗糙度Ra[μm]位置1位置2位置3G01NX我们G01NX我们G01NX我们C形块0.40840.4160.39240.4390.39880.40930.41570.39770.3997鸟巢0.6330.63840.66590.57960.47290.74690.60210.64920.6594变异曲率0.87780.78610.7880.81940.75950.81550.5620.53890.5439G-代号遵循粗糙度Ra[μm]位置1位置2位置3G01NX我们G01NX我们G01NX我们C形块0.23990.28240.26540.20960.23990.24320.3010.37450.3092鸟巢0.7760.72680.75890.47560.43610.46350.40640.41740.3986变异曲率0.46540.70650.62610.31180.27620.23620.430.48980.4185图22. 检查和弦错误。表明我们的方法在某些情况下具有更好的质量，但在某些位置比G01或NX的质量差。实验结果表明，该算法具有较好的鲁棒性和适用性但仍有一定的改进空间。加工时间和表面粗糙度是衡量刀具轨迹拟合算法优劣的最终标尺。我们的结果显示，G01和NX NURBS刀具路径略有改善，但结果在统计学上需要更多的工作来增强/修改拟合算法，以进一步提高路径连续性和表面质量。我们相信本文提出的算法是鲁棒的，并准备为现实世界的应用。这也为进一步改进提供了一个良好的目前，我们正在研究一种算法来解决交叉粗糙度，以实现整体表面质量。此外，我们计划扩展刀具路径B样条S. He等人/Journal of Computational Design and Engineering 2（2015）218231Fg¼ð Þ ð Þ¼Pj-j-我...半]半]2Kλ02λ0CðÞþðÞ¼þþÞ步骤4：离散曲率为：kj/2 Tsj/1;sj;sj-1;1/4x-Qjcx~QjQj1~QjQj1Uc'x0Qc x~Q Q[中文字幕]5轴加工的拟合方法。五轴加工的交叉优化也在考虑之中致谢作者对国家科技部重大专项（2013ZX04007041）表示感谢。作者还要感谢同事姜海青、胡正明、王敏敏和黄艳芬的支持。H的第i行元素的绝对值之和（ATAωD。附录D. 检查和弦错误在这项研究中，我们检查弦错误的段处理。如图22所示 ， 对 于 线 段 QjQj1 ， 我 们 可 以 找 到 对 应 的 曲 线 段cttAtj;tj1，那么最大距离由公共垂直段的距离来测量。目的是找到一个参数tn，s. t。ctnQUc'tn0：Q是踏板从点ctn开始要做的附录A. 计算离散曲率M线段Qj的在点ctn的向量。1 .一、c'tn是切线在本文中，给出了数据点 QJJ0，对于每个Qj，离散曲率kj由第二差分导数计算。计算步骤为：步骤1：计算弦长：s jQjQj1个单位;第1页步骤2：计算第一个差分项：Tsj;sj1Qj-Qj-1;sj-sj-1为了解方程ctQUc t0 ，将t替换为x为了不与数据点参数tj混淆，我们将其转化为解决以下函数的最小化问题：fxQjcx~QjQj1~QjQj1Uc'x我们用牛顿迭代法求解，设定一个初始值x，迭代步骤为：第三步：计算第二个差向量：Tsj1 ;fxsj; sj-1]¼Tsj=1;sj- Tsj;sj-1;sj-1-sj-1xiΣ Σ1¼xi-我我弗克斯河~Q QUc“xc”x~Q Q~Q QUc'x附录B.定理1.2的证明证据 设I为n× 1秩单位矩阵，J