光子晶体光纤中的量子噪声模拟：GNLStools.py实现

∼∼软件X 20（2022）101232原始软件出版物GNLStools.py：实现输入脉冲量子噪声的Oliver Melchert，Ayhan DemircanLeibniz Universität Hannover，Institute of Quantum Optics（IQO），30167 Hannover，GermanyPhoenixD（光子学、光学和工程ar t i cl e i nf o文章历史记录：接收14六月2022收到修订版2022年9月15日接受2022年保留字：广义非线性薛定谔方程量子噪声光谱相干Pythona b st ra ct我们提供Python工具，可对传播动力学进行数值模拟和分析超短激光脉冲在非线性波导中的应用建模方法是基于广泛使用的广义非线性薛定谔方程的脉冲包络。所提出的软件实现的线性色散，脉冲自陡，和拉曼效应的影响。重点关键在于输入脉冲散粒噪声的实现，即模仿量子噪声的经典背景场，这通常在科学文献中没有完全呈现。我们还讨论并实现了基于纯谱相位噪声的常用量子噪声模型高斯噪声。由此产生的光谱的相干特性可以计算。我们证明了功能的软件再现结果的超连续谱产生过程在光子晶体光纤中，在科学文献中有记载。所展示的Python工具是开源的，并在MIT许可证下在公开可用的软件存储库中发布©2022作者（S）。由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）中找到。代码元数据当前代码版本1.0.0用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX-D-22-00165法律代码许可证MIT许可证使用的代码版本控制系统无使用Python、GitHub的软件代码语言、工具和服务编译要求、操作环境依赖性提供的软件需要Python、numpy和scipy。所提供的示例需要Pythonmatplotlib来生成图形。如果可用，链接到开发人员文档/手册代码中提供的文档问题支持电子邮件melchert@iqo.uni-hannover.de1. 介绍激光脉冲在非线性波导中的传播支持超连续谱的产生[1从频谱窄的输入脉冲开始，线性并且非线性效应引起巨大的光谱展宽，产生可以从紫色延伸到红外的平坦光谱[4]。可以实现这样的效果，例如，光子晶体通讯作者：Leibniz Universität Hannover，Institute of Quantum Optics（IQO），30167 Hannover，Germany.电子邮件地址：melchert@iqo.uni-hannover.de（Oliver Melchert），demircan@iqo.uni-hannover.de（Ayhan Demircan）。https://doi.org/10.1016/j.softx.2022.101232光纤（PCF）[5，6]，其中可以使用100 fs持续时间脉冲、峰值功率10 kW和大约1 m的传播长度产生超连续谱[4]。所得到的具有高光谱密度的宽的、平坦的光谱找到了应用，例如，光学频率计量学[7]和光学技术[2]。广义非线性薛定谔方程（GNLS）[1]为研究与超连续谱产生相关的复杂物理过程提供了一个灵活的为了模拟激光脉冲的传播动力学，它结合了线性色散、脉冲自陡效应[8，9]和拉曼效应[10]。这说明了支持广泛生成2352-7110/©2022作者。 由Elsevier B.V.出版。这是一篇开放获取的文章，使用CC BY许可证（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softxOliver Melchert和Ayhan Demircan软件X 20（2022）1012322==-∑||||=⟨⟩==−=≡你好！（it）u + iγ1+ω0扩展的超连续谱，如调制不稳定性[11]，孤子分裂[12，13]和拉曼孤子的自频移[10]。它进一步形成了模拟光学Rouge波[14-其中第一项导致瞬时克尔型非线性响应，并且其中拉曼响应函数hR（t）以分数贡献fR进入[41，42]。一般的双参数模型是τ2+τ 221]。GNLS用以下术语描述实值光场hR（t）= 122 e−t/τ2sin（t/τ1）Θ（t），（3）在固定参考频率使用传播坐标中的一阶非线性波动方程已证明即使在单循环状态下也能产生可靠的结果[22]。总体而言，GNLS提供了输入脉冲的传播动力学的经典描述。GNLS描述的基本现象易受噪声的影响。当试图在量子水平上对噪声进行建模时，出现了一个基本问题，因为量子噪声源的严格描述需要引入量子力学算符[23-sical领域当输入脉冲中的光子数为τ1τ2其中Heaviside阶跃函数Θ（t）确保因果关系[41]。基于一个单一的阻尼谐振子近似的分子响应，这个简单的模型再现了拉曼增益光谱测量石英玻璃相当不错。 对于石英纤维，三个相关模型参数的数值为fR0。18，τ112个。2 fs和τ232 fs [41]。 基于改进的响应模型并对其他介质有效的更复杂的响应函数存在[43在这个框架中，使用离散的角频率失谐序列<$∈2πZ，然而，存在大的半经典方法，其通过使用随机化物理相互作用来解释量子涨落，不相对于ω0，表达式一个经典的低功率背景场，通过初始条件进入GNLS。这样的输入脉冲噪声通过以下简单地建模：F[u（z，t）]1吨/2吨u（z，t）eitdt=u（z），（4a）向所述相干输入脉冲添加非相干随机噪声不−T/2领域我们考虑通常采用的每个频率模式一个光子[3，27-通过扰动初始条件来包括噪声与维格纳方法一致，维格纳方法是一种用于模拟光纤中量子噪声的有效计算方法[25，26，35]。F−1[u （ z ） ]u （ z ） e−it=u （ z ， t ） ，（ 4b）Ω指定前向[等式（4a）和逆（Eq. （4b）]傅立叶变换，将场包络u（z， t）与谱包络u（z）相关联。使用Parseval考虑到一个由噪声干扰的独立模拟运行的系综，可以研究模拟光谱的相干特性。考虑到每一次击球的波动，E（z）=T/2−T/2|2|2dt=T|第二条，（五）|2,(5)Ω数值模拟对于动力学是必不可少的，并且能够采用多点测量技术与实际实验进行更好的比较[27，28]。在这篇文章中，我们提出了软件工具，允许可靠地模拟和分析的GNLS所描述的基本现象存在的各种类型的输入脉冲散粒噪声。我们在第2节中详细介绍了所提供的软件所解决的科学问题，并在第3节中讨论了其实现，重点是输入脉冲噪声模型。第4节报告了验证测试，再现了光子晶体光纤中超连续谱产生过程的结果，在科学文献中有很好的记录，其中它已用于说明非线性光学效应[3]和基准算法[36我们对影响进行了评论，并在第5节中得出结论。2. 软件解决的科学问题提供的Python工具可以模拟和分析超短激光脉冲的动力学，由广义非线性薛定谔方程（GNLS）[1，3]具有瞬时功率u（z， t）2（W J/ s）和功率谱u（z）2（W）。而Eq. （1）在其时域公式中表示GNLS，频域中的一致公式也是可能的[46]。输入脉冲噪声通过简单地向相干输入脉冲u0（t）添加具有以下性质的非相干随机噪声场uu（t）来建模：⟨∆u(t)⟩ = 0,(6a)⟨∆u(t)∆u∗(0)⟩ =σ2δ(t),(6b)其中. . . σ 2表示噪声的独立情况上的总体平均，并且σ2是噪声方差。 根据等式在每个点t，该背景场具有零均值。自相关函数（6b）中的δ函数表明，与任何合理的场u0（t）相比，噪声变化得很快，并且噪声的后续行为是不相关的。例如，考虑每个时间模式具有能量h<$ω0的半个光子[31-33]，噪声方差为σ2=h<$ω0/2，∑βnnn≥2（i）普朗克常数h′。用于处理更具体泵的噪声模型激光光谱存在[47，48]。让我们注意到，也存在propa的公式×[u（z，t）<$R（t′）|u（z，t-t ′）|2 d t′]，（1）对于复值场包络uu（z， t），在T维周期时域上，边界条件为u（z， T/2）u（z， T/2），传播距离为z.初始条件u（z0，t）u0（t）需要指定。由方程式其中，βn（单位：psn/µ m）是n阶色散系数，γ（W−1/µ m）是标量非线性系数，ω0（rad/ ps）是参考频率。频率。t是在以ω0处的群速度运动的参考系中测量的延迟时间。拉曼效应是通过总响应函数R （ t ） = （ 1−fR ） δ （ t ） +fRhR （ t ） ，（2）gation动力学的随机方程，来自通过随机过程考虑量子噪声源的光纤量子理论[49从技术上讲，这相当于增加了导致传播方程非线性的乘性噪声[25]。更具体地说，GNLS的随机变体，它扩展了Eq.（1）通过自发拉曼散射，在参考文献[52]中讨论。最近，存在量子噪声的脉冲传播已被推广到具有任意频率相关非线性轮廓的波导[53]。这种方法对于基于非线性波导的量子器件的建模和设计是强大的，量子限制变得重要[53]。在描述强经典场的传播动力学∫Zu= i∑Oliver Melchert和Ayhan Demircan软件X 20（2022）1012323（|为22|| ≈≤||≤=|= =-|===== −−=-=−n≥2！n∑≡不m=−N/2Ω！≥经由上述方法的量子限制散粒噪声的现象学包含是常见的实践[28]。在频域中，场的炮间波动可以由零时滞|G12u√（7）⏐⟨|u，m| ⟩⟨|u，k| ⟩ ⏐其中，角括号指定标记为m和k的不相同的场对上的平均值，该平均值从以下集合获得：M模拟运行独立的噪声场[3，27，28]。在给定的角频率下，失谐量为g12（a）1、凡g12（λ）1表示振幅和相位的良好稳定性。与这种脉冲间相干性度量不同，˜|u|Fig. 1. GNLStools模块的图示轮廓。(a)GNLS数据结构，参见第3.2.1节。(b)实现噪声模型的函数，参见第3.2.2节。(c)计算相干性的函数，见第3.2.3节。 (d)用于计算场脉冲内光子数的函数（代码中提供了文档）。实线箭头表示类实例化（“类”关系），虚线箭头表示函数和方法（“具有”关系），点划线箭头表示对对象的引用（“是”关系）。（a）中的模型与所实现的传播算法很好地集成在一起在py-fmas[40]中，参见第4.2节。Γ（1，2）=|u101，m2，m（八）|⟩允许评估脉冲内不同光谱分量之间的相干性。重点关注f到2f（f频率）设置，脉冲内相干性在载波包络相位测量和超短脉冲稳定中发挥重要作用[54]。当量（8）通过放宽f/2f条件，修正了文献[54]的脉内相干性。相反，考虑两个一般不同的频率f11和f12。3. 软件描述GNLStools使用Python编程语言编写[55]，并依赖于numpy，scipy [56]和matplotlib [57]的功能。它可以直接从GitHub克隆（参见代码元数据中的存储库链接），在那里它可以在MIT许可证下使用。3.1. 软件功能解非线性薛定谔方程的常用算法，如分步傅立叶方法[58，59]，RK4IP方法[36]和可变步长守恒量误差方法[37，38]，都利用了这一点。为了便于实现，间隔T/2。. . T/2被分成N个相等的子区间，时间网格间距为T/N，产生离散网格点t mm m t，失谐网格点mm mt ，mN/2，. . . ，N/2 1. 随后我们写u（z， t）ttmum（z），和u（z）mum（z）。考虑到变换（4）的符号选择和归一化，我们使用numpy本地离散傅里叶变换（DFT）例程ifft来实现等式（10）。（4a），和fft以实现Eq. （4b）[60]。3.2.1. GNLS数据结构实例化GNLS类的实例需要用户指定几个输入参数。下面，它们被列为• w（array，float）：离散角频率（μm）N/2−1inGNLStools的当前版本具有以下功能：单位：rad/ fs;m=−N/2• GNLS（1）的数据结构，可以很容易beta_n（array，float）：离散参数参数（βn）Nmax=（β2，β3，. . . ，βNmax），其中Nmax≥2，并且=n适合于特定的非线性波导。实现可选输入脉冲噪声模式ELS同时考虑纯频谱相位噪声和n2βn，单位为fs/µ m;• gamma（float）：非线性参数γ（W−1/µm）;高斯噪声用于计算模拟光谱的相干特性的函数。该软件可以单独使用，它包括一个基本的驱动程序脚本，用于实现固定步长的在后一种情况下，用户可以利用可变步长z传播算法和更精细的拉曼响应函数。所呈现的软件功能并不过于丰富（图。 1），但允许可靠地模拟复杂的物理过程，使超连续谱在非线性波导[3]的产生。3.2. 实现细节在时域公式Eq. （1）存在几个缺点。高阶色散难以处理。即使对于最低阶的t-导数，有限差分运算的引入也会带来不必要的截断误差。 因此，在频域中执行一些操作是有利的，允许使用频谱导数<$nu=F−1[（−i <$）nu <$]。工作原理• w 0（float）：参考角频率ω0（rad/ fs）;• fR（float）：拉曼贡献fR（默认值：0.18）;• tau1（float）：时标τ1（fs）（默认值：12. （2个fs）;• tau2（float）：时标τ2（fs）（默认值：32 fs）。当角频率网格w作为位置参数传递时，所有其他参数作为关键字参数传递在4.1节中讨论了一个例子。对于使用实例对于GNLS类的z传播算法，有几种实例方法可用。下面，它们以“”method_name（arg1，arg2，. . . ）：警告“”：Lw（self）：利用谱导数，给出了线性算子Liβn（i）n在右侧（rhs）方程（1）可以写成NmaxL我βnn。（ 9a）nn=2出于实际原因，总和必须在有限整数Nmax2处截断。这个类方法返回L，在点（m）N/2−1处求值。输入参数：···Oliver Melchert和Ayhan Demircan软件X 20（2022）1012324m=−N/2m=−N/2=−∑∑+≡||[¯+]∑∑m=−N/2=−∼→ + →++|| =trievesu=F−1[u]，求值并返回Eq。（9b）在[方程式（5）形式E=h'n0me−iΦ，（1• 该方法仅依赖于类属性。输出参数：• Lw（array）：Lw[Eq. （9a）]在点（m）N/2−1处.该方法被修饰为@property，因此可以方便地用作gnls_instance.Lw。Nw（self，uw）：使用变换（4）的卷积定理，等式（1）的rhs上的第二项。（1）可以用混合表示法写成：noise_model_01（t，w0，s0）：函数生成一个通过在时域中直接采样来检测噪声的实例。基础噪声模型假设振幅正态分布.输入参数：• t（array）：时间网格（t m）N/2−1。w0（float）：脉冲中心频率ω0。s0（int）：为伪随机数生成器生成种子s0。输出参数：N）F[（1−fR）I1+fRI2]，（9b）其中I1=|u|2u，I2=F−1[h<$ R（H）F[|u|2]]u，以及du_t（array）：实例（数组噪声。N/2−1m=−N/2 时域τ−2+τ− 2这种类型的噪声的一个例子是通过直接hR（t）<$T F[hR（t）]=12.（9c）对复值噪声的序列（μm）N/2−1进行τ1−2−（τ+iτ2−1）2该方法采用输入谱包络u，re，（m）N/2−1m N/2时域中的振幅，√h¯ω0m=−N/2。输入参数：• uw（阵列）：在角频率处的频谱包络u_m4吨其中独立随机变量X和Y 收益率-依赖同分布（iid）标准正态随机数[即X， Y<$N（0， 1）]。表演合奏频率网格点（m）N/2−1.平均而言，这种类型的噪声具有以下特性输出参数：m=−N/2⟨∆um⟩ =0,(10b)N2− 1/⟨∆um∆u∗⟩=h¯ω0δm0,(10c)• Nw（array）：N[Eq. （9 b）]在点（m）m=−N/2处。02吨claw_Ph（self，i，zi，w，uw）：评估GNLS（1）的一致性定律的类方法，与光子数的经典模拟相关[41]。该方法考虑能量即平均场为零，并且自相关（10c）相当于Eq。（6b）在具有网格间距的离散网格上[31]。 这种噪声的一个实例具有平均能量⟨M|um|2t=Nh<$ω0/2，平均相当于半个a无量纲量n<$ T u<$2/h（ω0<$）指定能量为h（ω0<$）的光子数。光子总数由下式给出：2noise_model_02（t，w0，s0）：函数生成 一个 时域噪声的实例，通过对其傅立叶表示进行采样。基础噪声模型假设纯相位噪声。CPh（z）NΩ2π=h<$|uΩ (z)|联系我们.（9d）输入参数：• t（array）：时间网格（tm）N/2−1。在严格的量子力学处理中，光子数是使用光子产生和零化算子来定义的[24]。让我们注意到，虽然GNLS（1）保持光子总数Eq。（9d），它不保存脉冲能量[Eq. （5）][41]。m=−N/2w0（float）：脉冲中心频率ω0。s0（int）：为伪随机数生成器生成种子s0。输出参数：输入参数：• du_t（array）：实例（um）N/2−1时域• i（int）：当前z传播步长的标签噪声m=−N/2• zi（float）：电流传播距离。这种类型的噪声的一个例子是使用傅立叶• w（array）：角频率网格（m）N/2−1。方法通过首先采样序列（u）N/2−1在Ran-m=−N/2uw（array）：角频率网格点（m）N/2−1处的频谱包络um。输出参数：单位面积m N/2dom复值谱振幅h<$（ω+不Cph（float）：沿着z的当前点处的光子总数CPh [等式2]（9d）]。该方法具有用户操作函数的结构其中随机变量Φ产生均匀分布在0 °范围内的iid相位角。. . 2π[即ΦU（0， 2π）];逆傅立叶变换，与等式1一致。（4b）然后用于获得序列（u m）N/2−1时域使用py-fmas[40]（第4.2节）。噪声幅度m=−N/23.2.2. 实现的噪声模型我们提供了用于生成输入脉冲噪声的时域表示的可选函数，与等式1一致。（六）、如果是- low，则以“. . . ）：警告“”：对于这种类型的噪声，频谱振幅（11）的幅度是确定的，每个模式的能量为Tu2h（ω0ε）。其中光子数n等于Eq.（9d），添加噪波作为u un 1.因此，光子占用数增加了每个模式一个（整个）光子的最小确定量相位···米）····um=（X+iY）、（10a）每个时间模式具有能量h<$ω0的光子。鲁鲁姆≡Oliver Melchert和Ayhan Demircan软件X 20（2022）1012325∑m=−N/2==-−不∑=Σ||¯¯¯⟨||⟩=<$+ =+<$+N⟨ ⟩∼| |m=−N/2·这种噪声的例子具有能量耗散Ω|u|2=Nh<$ω0/2。h<$（ω0+m）≈¯−然而，这种光子的噪声是完全不确定的，并且不同模式中的噪声 没 有 特 定 的 相 位 关 系 。 噪 声 的 实 例 具 有 总 能 量 TΩ|u|2=Nh<$ω0。noise_model_03（t，w0，s0）：函数生成一个时域噪声的实例，通过对其傅立叶表示进行采样。基础噪声模型假设频谱振幅正态分布。输入参数：• t（array）：时间网格（t m）N/2−1。w0（float）：脉冲中心频率ω0。s0（int）：为伪随机数生成器生成种子s0。输出参数：• du_t（array）：实例（um）N/2−1时域噪声m=−N/2图二. 包围平均噪声时刻。(a)时域噪声幅度的实部作为网格点索引m = t m/tt的函数。（b）比额表使用傅立叶方法，通过首先对随机复值频谱幅度mm=−N/2的序列（μm）N/2−1进行u自相关插图显示了索引范围6的特写视图。. . 6.噪声在时间范围为T 4（ps），N的网格上采样213个网格点，对于ω02。2559 rad/fs。在10 - 4个独立的噪声实例上进行消隐。它对应于每个模式一个（整个）光子，如果能量（5）其中，随机变量I服从速率参数为2的指数分布[即，I≠Exp（2），期望值为ΦI= 1/2]，Φ均匀分布在0. . . 2π [即Φ<$U（0， 2π）];逆傅立叶变换，符合记作E hω0<$n′<$，n′<$T u<$2/（hω0）。因此，不考虑λ，假设所有光子贡献相同的能量hω0。在脉冲传播模型中，这是标准非线性薛定谔方程的一个特征当量（4 b），然后用于获得序列（μm）N/2−1，能量守恒和光子数守恒时域噪声幅度。m=−N/2是有联系的然而，这与GNLS（1）对模式中的噪声求平均得到能量Tu2h（ω0<$）Ih（ω0平均而言，对应于每个模式半个光子。与noise_model_02实现的纯相位噪声模型相反，这种类型的噪声在每个模式中表现出能量的实例到实例的波动因此，随机变量I扮演具有支持I∈∑[0，∞）的占用数的角色。平均而言，它保存光子的数量，但不保存能量[41]。在相同的假设和近似下，Eq.（12）可以很容易地与Eq. （10a）：应用傅里叶逆变换，我们可以使用Box-Müller变换[61]重写各个项，以直接获得Eq. （10a）。 此外，根据傅立叶方法和上述近似，实际上任何iid谱振幅将产生时域噪声，性质方程（6）[62]。作为技术细节，让我们注意到，或者，使用Box-Müller变换[61]，我们可以当使用傅立叶方法来设置噪声时，噪声频谱将Ie−iΦ改写为I<$Exp（2），Φ<$U（0， 2π），（十二）振幅还取决于变换如（XiY）/2，其中X，Y（0，1）为两个iid标准正态随机变量。该噪声模型基于QFT零点场的经典模拟，其精确地再现了电磁真空的统计[34]。通过对依赖于频率的频谱噪声幅度进行采样来获得时域噪声的傅立叶方法通常导致相关性 um 这一点在Fig. 2，其中系综平均场和自相关，示出了三个噪声模型。从图2（b）的插图中可以明显看出，两种傅立叶方法都导致了在许多网格间距上持续存在的相关性。让我们注意到，上述噪声模型在实现和解释的细节方面有所不同。然而，在某种程度上的近似，它们可以很容易地相互关联。例如，假设计算域的所需带宽与脉冲中心频率的不确定性，即，Nω0，我们可以近似对（4）。例如，在参考文献[30]中，考虑了具有不同变换对的无限t域上的GNLS，因此，考虑了具有不同归一化的3.2.3. 计算相干特性我们提供了任意函数，用于计算根据GNLS（1）从脉冲传播模拟获得的光谱的相干特性。下面，它们以“function_name（arg1，arg2，. . . ）：警告“”：coherence_interpulse（w，uw_list）：计算脉冲间相干性的函数（七）、输入参数：• w（阵列）：角频率网格（μm）N/2−1. uw_list（array）：List[uw1，uw2，.] ，包括独立的光谱uw1，uw2，. . ，获得的相同的传播距离z，但对于不同的情况当量 （11）用φumhω0/Texp（Φ）表示。逆傅里叶变换[Eq.然后，这些噪声频谱幅度的[（4b）]是相同分布的。通过计算近似这些和输入脉冲噪声。输出参数：N/2− 1中心极限定理产生Eq.（10a）乘以一个因子2(this是一个模型假设每个模式一个完整光子，而另一个模型假设每个模式半个光子的结果）。让我们注意到，这种近似伴随着困难：• g12（数组）：g12（数组）[等式1]（7）]在点（m）m=−N/2处。coherence_intrapulse（w，uw_list，w1，w2）：计算脉冲内相干性方程的函数。（八）、··Oliver Melchert和Ayhan Demircan软件X 20（2022）1012326=≈×== − =×= − × ==− == −= − × =×=====-≈N/2−1√==-图三. 光子晶体光纤中超连续谱的产生。(a)瞬时功率，和（b）传播14 cm后的光谱。在（b）中，将所呈现的实现的结果（标记为A）与pyNLO [63]（标记为B）进行比较。(c)瞬时功率的传播，以及（d）作为传播距离的函数的频谱。（c）中的白框显示了孤子裂变过程的特写视图。(d)光子数（CPh）和能量（E）沿光纤的归一化偏差。输入参数：见图4。对于t为0的输入脉冲，（a）瞬时功率和（b）相应频谱的炮间波动85. 0fs持续时间输入脉冲和10 cm传播（cf。图18参考[3]）。相当于CPh二、4109.的z-传播动力学上述没有噪声背景的传播场景，随后超过14 cm，如图11和12所示。 3（a-d）.4.1. 一个最小的工作示例为了演示如何初始化和使用GNLS数据结构，以便根据等式2执行脉冲传播。（1），我们在代码清单1中提供了一个最小示例。所提供的代码• w（array）：角频率网格（angular-frequencygrid）m=−N/2。在第10-28行中检查GNLS数据结构uw_list（array）：List[uw1，uw2，.] ，包括独立的光谱uw1，uw2，. . 对于相同的传播距离z但是对于输入脉冲噪声的不同实例获得。• w1（float）：参考角频率Ω1。• w2（float）：参考角频率Ω2。输出参数：• G（float）：r=CEP（1，2）[等式1]（8）]。4. 样本结果作为对Python工具的验证测试，我们考虑了光子晶体光纤中的超连续谱产生过程，详见参考文献[3]。具体地说，我们使用色散系数序列对GNLS（1）α21 .一、18310−2fs 2/µm，β38 .第八条。1038310−2 fs 3/µm，β49。520510−2 fs 4/µm，β50的情况。20737fs5/µm，β60的情况。53943 fs6/µm，β71 .一、3486 fs7/µm，β8二、5495 fs8/µm，β93. 0524fs 9/µ m，β101。7140 fs 10/µ m，γ0。1110−6 W−1/µ m。对于拉曼响应，我们使用的标准值为二氧化硅纤维fR0。18，τ112。2 fs和τ232 fs [41]。作为初始条件，我们采取双曲正割脉冲u0（t）=P0sech（t/t0），持续时间t0= 28。4 fs，峰值功率线31，并使用相互作用图像（RK4IP）方法中的四阶龙格库塔将初始场传播10 cm [36]。这种类型的算法方法也被称为积分因子法[64]或线性精确龙格库塔法[65]。脉冲传播在线35-尺寸为10 µ m，使用范围为T 7 ps的时域，N2 13 网格点。 该脚本终止于15 s（Apple M1芯片@3.2 GHz），并再现图1和图2。3（a，b）[比照图18（a，b）的参考文献[3]，图2（a）的参考文献[36]，图1（a）的参考文献[38]，和图。2（b，c）参考[40]]。清单1所示的脚本位于项目文件夹numExp01中，代码为[66]。4.2. 使用GNLS和py-fmas与Py-FMAS集成。图 3是通过使用GNLS数据结构结合py-fmas[40]产生的，py-fmas [40 ]是一个Python包，用于根据光场的分析信号对超短光脉冲的z传播动力学进行数值模拟。GNLStools可用作细化模块，提供基于包络的模型，该模型与py-fmas提供的传播算法集成良好。具体地，图1和图2中的脉冲传播。3-尺寸守恒量误差方法[37，38，40]，使用方程。（9）指导步长选择。图图3（e）示出了针对光子数累积的数值误差[Eq.（9d）]和能源泵浦波长λ0835 nm对应于ω02 πc/λ0 2。2559rad/fs（光速为0。29979µ m/ fs）。光子数[Eq.（9D）在这个脉冲中[方程式（5）]，表明CPh在10−8阶以下是守恒的，而[ 41 ]这是不可能的。考虑到CPh，z1cm处的特征表明孤子裂变的开始（图中的特写视图）。 3 c），米）·Oliver Melchert和Ayhan Demircan软件X 20（2022）1012327≈=图 2、不影响所获得的超连续谱的相干性质。图五. 超连续谱在传播10 cm后的相干性质（参见参考文献[3]的图19）。(a)从上到下：示例性单激发输出强度、系综平均光谱和相干度|G12|[方程式 [7]和[Eq. （8）]，作为波长λ=2πc/（ω0+Ω 2）的函数。为了计算修改的脉冲内相干性Γ（1，2），1=，并且2= −0。96 rad/fs，对应于λ1=λ和λ2=1。45纳米。输入脉冲的持续时间为t0=28。4 fs. (b)对于t0=56也是一样。7 fs，和（c）相同，t0=85。0fs。在z点的趋势变化7厘米表明孤子与色散波的相互作用决定了相互作用的动力学和超连续谱的产生一个小的项目工作流，带有一个执行模拟的驱动程序脚本和一个生成图的后处理脚本。 3、位于项目文件夹numExp02中提供的代码[66]。镜头间波动图4显示了在传播10 cm后脉冲强度和频谱的发射到发射的变化，这是由于包含持续时间为t 0的输入脉冲的输入脉冲噪声引起的85. 1个fs。噪音是通过噪音产生的 模型1，即通过时域中的直接采样。一个小的项目工作流程，带有一个执行模拟的驱动程序脚本和一个生成图的后处理脚本。4、位于项目文件夹numExp03_noise_model_01中，随代码提供[66]。相干特性。 输入脉冲的相干特性通过在具有不同噪声种子的200个独立模拟运行上执行总体平均而获得的不同持续时间的噪声噪声的图5再现了参考文献[3]的图19，其中详细讨论了输入脉冲噪声的影响和相干性的解释。此外，在Fig. 5我们还示出了修改后的脉冲内相干性[Eq. [8]在Ref.[54 ]第54段。生成图的后处理脚本。 5位于随代码[66]提供的文件夹numExp03_noise_model_01中。根据我们的经验，由基于傅立叶方法的噪声模型引入的轻微相关性，参见第3.2.2节和5. 影响和结论GNLStools包括一个实现广义非线性薛定谔方程的数据结构、两个常用的量子噪声模型和一个基于量子场论零点场经典模拟的它提供了研究在输入脉冲散粒噪声存在下GNLS支持的基本现象所需的所有功能。所提供的软件可以单独使用，如第4.1节所示，也可以作为 使用py-fmas包[40]提供的传播算法，如第4.2节所示。通过所提供的软件，我们希望更多地了解用于脉冲传播研究的量子噪声模型的实现，这是一个在科学文献中经常没有完全提出的问题。我们希望直接受益的学生和研究人员一样，这是新的非线性光学领域，并寻求如何执行脉冲传播模拟，包括量子噪声的教程型介绍，并评估所产生的光谱的相干性。第4.1节中的最小示例可以很好地作为课堂代码或作为面向计算的课程中研讨项目的起点，旨在演示超越通常用于求解非线性薛定谔方程的简单分步傅立叶方法的算法方法[1，58，59]。扩展等式（1）到随机GNLS，其中包括自发拉曼散射，可以实现使用的过程中所述的参考文献。[25、52]。使用简单的分步傅立叶方法，该方法使用第3.2.1节中详述的GNLS数据结构，并在与传播方程的非线性部分相关的更新期间考虑额外的乘性噪声，这似乎是使用所提供软件进行必要更改的最基本方法。最后，我们想参考原始研究应用GNLS工具。在文献[21]中，我们利用现有的软件演示了一种有效的全光开关方案，该方案基于利用时间延迟色散波控制孤子裂变诱导的超连续谱的特征。竞合利益作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，可能会影响本文报告的工作数据可用性数据/代码可在代码元数据中提供的存储库链接下获得。致谢我们感谢德国研究机构（DFG）根据卓越集群PhoenixD（光子学、光学和工程-跨学科创新）（EXC 2122，项目ID 390833453）内的德国卓越战略提供的支持。Oliver Melchert和Ayhan Demircan软件X 20（2022）1012328清单1：在交互图像方法中使用四阶龙格库塔求解GNLS（1）的Python代码[36]。1 importnumpyasnp2 Importmatplotlib. 我的天啊3 从GNLS到最大值GNLS，不适用于方法_0145 #--SETCOMPUTATIONALGRID6 z，dz=np. linspace（0，0. 1e6，10000，retstep=True）7 t=np。linspace（-3500，3500，2**13，endpoint=False）8w=np。fft. fftfreq（t. size，d=t[1]-t[0]）*2*np。 pi9 #--INSTTIATEGERALIZEDNONLINEARSCROEDINGEREQUATION10 2019 - 05 - 22 00：01：00 00：0011周，#（rad/fs）12β_n=【日13比1 1830e-2，#（fs^2/micron）beta_2十四点八分1038e-2，#（fs^3/micron）beta_315比0 95205e-1，#（fs^4/micron）beta_4162. 0737e-1，#（fs^5/micron）beta_517比5 3943e-1，#（fs^6/micron）beta_6181. 3486，#（fs^7/micron）beta_719比2 5495，#（fs^8/micron）beta_8203. 0524，#（fs^9/micron）beta_921比1 7140，#（fs^10/micron）beta_1022]，23gamma =0. 11e-6，#（1/W/micron）24w0=2.2559，#（rad/fs）25fR=0.18，#（-）26τ 1=12.2，#（fs）27τ 2=32.0#（fs）第二十八章）29 #--SPECIFYINITIALPULSE30ut=np.sqrt（1 e4）/np.cosh（t/28.4）31 dut=noise_model_01（t，2. （二、五、九、一）32uw= np.fft.ifft（ut+dut）3334 #--RK4IPPULSEPROPAGATION35 P=np。exp（gnls.Lw*dz/2）36为nin range（1，z.size）：37uw_I=P*uw38k1=P*gn1s。 Nw（uw）*dz39k2=gnls。 Nw（uw_I+k1/2）*dz40k3=gnls。 Nw（uw_I+k2/2）*dz41k4=gnls。 Nw（P*uw_I+k3）*dz42uw=P*（uw_I+k1/6+k2/3+k3/3）+k4/64344 # --绘图结果45 fig，（ax1，ax2）=plt。subplots（1，2，figsize=（8，3））46 I=np。abs（np。fft. fft（uw））**247ax1.plot（t，I*1e-3）48 ax1。set_xlim（-200，3200）;ax1. set_xlabel（r“Time$t$（fs）“）49 ax1。set_ylim（0，6）;ax1. set_ylabel（r“Intensity$|u|^2$（kW）“）50 Iw=np. abs（uw）**251 ax2。 plot（2*np. pi*0。29979/（w+2. 2559），10*np. log10（Iw/np.max（Iw）52 ax2。set_xlim（0. 451 4）;ax2. set_xlabel（r“Wavelength$\lambda$（micron）“）53 ax2。set_ylim（-60，0）;ax2. set_ylabel（r“Spectrum$|u_\lambda|^2$（dB）“）54 fg. tight_layout（）;plt. 绍沃引用[1] 阿格拉瓦尔GP.非线性光纤。出版社：Academic