从Bohm定理到观察等价：计算机科学中的观察方式

Electronic Notes in Theoretical Computer Science 50 No. 2 （ 2001 ） 理论 计算机 科学电子 书 第 50 号进程 。 胎儿2001URL：http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume50.html34Pages 的From Bohm 's Theorem to ObservationalEquivalences ： 一 个 观察 等价 物信息Account1Mariangiola Dezani-Ciancaglini 和 Elio Giovannetti计算机 科学 系 ， Università degli Studi di都灵Corso Switzerland 185 ， 都灵 ， 意大利 ， 10149 ， 电子 邮件 ：Fdezani,eliog@di.unito.itabstract在计算术语中有两种观察的方式。一个consists in putting the term within acontext （ possibly of—calculus ex—tensions ） and observing some properties（ typically termination ） 。 另 一 个 consists in reducing the term until somemeaningful information is obtained：this naturally leads to a tree representation ofthe information inplicitly contained in the original.（另一个是一致的，没有意义的 信 息 是 客 观 的 ： 这 自 然 的 leads to a tree representation of the informationintplicitlycontainedintheoriginal）term。ThePAPeris年InformalovERVIEWofThe角色PL AyEDByBOhm 的Theoreminthese observations of他们 的terms 。D E di CAT E D TOcor r ADO Bohm的英文 名称 ： On the Case of the EATCS Distinguished ServiceAward1I n nTR oDuction ：FromB霍 明outTO观察-termsBOhm 的Theorem ，inITSoriginal 的为M ulation（ 5 ） 、状态that如果MAndnaretwodistinctnormal forms ， then there is a context c . （ 正常 形式 ， 但 有些 是 C 上下文 ）] such 那个（ C ） （ M ）!X， 则 C [ n ]! y ，何处x ; y are仲裁 员distinct变量（ The反对 派（Implication being obvious！）如果 c [] is such a context ， then acontext like//）X y ：C[]）I，何处Ix ： xAnd）x ： xx）（x ：xx），is减少TO正常当 接收 到 M 时 ， 形式 会 发生 变化 ， 当 接收到 N 时 ， 形 式 会 发 生 变 化 。 The Theorem can therefore berephrased as stating that ， given two distinct normal forms ， there（ 他们 都 是 杰出 的 ）is A context C []寿司that（ C ） （ M ）has A正常形式（ 注 ： e.e. ， converges 对话TO a value （ while C [ n ] ）是非 终结 者inThe山姆yearASBOhm 的Theorem（ 1968 年 ） 、莫里斯[ 24 ]F或Therst 时间de ned a notion of observational or contextual equivalence ，which was going to have such important developments in more recentyears ， particularly in the domain of interactive concurrent computing ：two terms were de equiv-alent 当 你 在 多 个 最近 的 年 中 有 重要 的 发展 ， particularly in the domain of interactive concurrent computing ： twoterms were de equiv-alent 在 交互 式 环境 计算 领域 中 的 粒子如果 ，whenever 什么 时候They are put 放in A山姆context ，either They both makeit1 游击 队支持by致命Co n n '00 AITCFA And mctaap II Projects .C2001年出版由Elsevier Science B. v 。开放 存取 Under Access CC BY-NC - ND许可 证 。2#20013；力（？不，不，不。 青春Reducible to a normal form （ henceforth occasionally 缩写 为 nf ） ， orthey both make it diverge . （ 两者 都 是 自然 形成 的 ）i . e ，8 C[]：C[M]hasAn nF））C[n]hasAn nF：More generally，Two terms（两个程序，两个过程，两个计算等）if，when observed from the outside，they exhibit the same behaviour，即，如果外部存在，他们将被认为是等效的。If whenever they are put in a sameenviron and they give rise to the same observations.如果他们曾经投入到自己的生活中去。of course 对于 非 终止 计算The equivalence 相等 性CANonly BE reFuted ，如果AT some Point 点They饰 Have erently From ONEanother ，但是Never true ed 。One can de ne erent contextual equivalences depending on the kind ofcontext used and the kind of observation performed ， and indeed of themhave been introduced over the kind of context used and the kind ofobservation performed ， and indeed of them have instructed over the kind ofthe kind of them 有 条件 的 等价 物 ， 而 有 几 个 人 已经 被 引入 了 。年 。莫里斯equivalence 相等 性2SO记者TO The natural 自然选择of The甚至—calculus itself as an environment ， and the context's ordinary conver—gence/divergence as an observation（of course，in this case the seeminglybi—nary observation actually consists of an nity of observing acts，and it isitself only semi—decidable）.—当然，在这情况下，这件事本身只有半决定 的 。 Bohm 's Theorem Can Then Be Viewed As Stating 寿 司 年 观 察equivalence 相等 性巧合 的 是 ，为正常 化Terms ，同- convertibility 。The paramount historical importance of Bohm 's Theorem lies howeverin the fact ， already stressed by the author in the original paper andafter . （ 作者 在 最初 的 论文 中 受到 了 强调 ， 之后 也 受到 了 影响 。pointed out by变量研究 员 ，that ITS证明is建设 性 的 ，since itconsists of an algorithm that ， given two distinct . 正常 形式 ， 构建 。A 歧视context ;年elegant实施in营地is黄 磊in” [ 14 ] 。As a matter offact ， a more speci c formulation of the theorem is the following ： twoclosed - normal forms M and n are distinct （ 英语 ： a more speci cformulation of the theorem is the following ： two closed - normal formsm and n are distinction ）i there exist关闭terms l 1，l 2，...， l n n，同n n0,寿司thatml 1● ：l n n XY! x 和 NL 1● ：l n n XY!y ：延伸 至 开放 术语 是 必然 的 ： 两 个 可能 的 开放 - 正常 形式 的 M3和 N 是 distinctitheir closures are distinct ， therefore 他们 是 杰出 的ithere is a context C （ ） 。] of the 的形式（ x 1● ：X M（ 1 ） L 1：：：l n n XYsuch 那个（ C ）（ M ）!X， 则 C [ n ]!y.构造 分离 To construct theseparatingcontext ，Bohm 的i n nTR o杜迪The饰 So-CalledBOHM-OUT你C尼 姬 ，based 基础on年分析of第 一 个 是 长期 结构 ， 即 Barendregt [ 3 ] 较 晚 的 调用 ， 将其 解释 为 娱乐Terms ，Bohm 的t rEE. TheSTartingPoi n nti Sthat- normal形式Satisfy年印度 -它 是 一 种 本能 的 力量 ， 因为 它 可以 被 解读 为一 种 诱导 性 的 力量 。Recall that a head normal 一 个 正常 人 的 头形式（ Henceforth ）有时 候缩写as HNF）is A term of The2 1999 年 ， Morris de ned four ， erent equivalences 。你 看 [ 3 ] 。4SS..，X 1：：：X n nXThen the basic discriminating context is [ ] （ 基本 的 歧视 性 语境 是[ U ] ）3卢2作者 ： Which Extrats The two#20013；力（？不，不，不。 青春形状 X 1： ： x n n： XM 1： ： M M n ; m 的第 一 个 在 " Where thehead variable x is either free or identical to one of the x " 的 论坛 里 发言i标准 形式 可能 会 被 诱导在 Ned Follows ：X 1 X 2： ： x n n x ， where n 0 ， is a （ head normal form that also is ）a - normal form . x ， where n 0 ， is a （ head normal form that alsois ） 是 一 个 正常 形式 。A head normal form x 一 个 标准 形式 x 1 X 2： ： x n n： XM 1 M2： ： M M 0 ; m 1 . 如果 M 是 正常 形式1， M 2， ，M M A-normal形式 。TheBohm 的树ofA- normal形式merelyisThe树恢复n nTationof这个关键 词结构 嵌套 头 inductive structure of nested head正常 形式 。从 Nition1.1Bohm 的树of- normal形式.（ 一 ）BTNF）X1： ： ：Xn n： x）=X1： ： ：Xn n： x（ forn n（ 0 ） ？（ 二 ）BTNF）X1： ： ：Xn n：XM1： ： ：MM）=（ n = 0 ;m ）（ 1 ），，，，，，BTNF）M1），，，，，，BTNF）MM）TheBOHM-OUT 你 C 尼 日 利 亚 consists 的 inbuilding 建 筑 Asequence 结 果ofsuitabletermsthat，when fed as arguments to two的erent normal forms，brings to the top（possibly an instance of）a subterm which these的作者是er.成功地将头变量绑定到适当的选择器，以便从根到被删除的节点的路径下走。对于example ， let M and NBE The two terms下面 ，代表 作by The two树in Fig.1 ：x = x ： xt 1）yz = （u ： u ） t 2） t 3n = x ： xt 1） ， 则 sin（（ 五 ） T 2） t 3：1，，，，，x：x2，，，，3，211，，，，，，x：x 2，，，，3，，，，，，，，1yz： z，，，，3，，，，，，，yz ：z，，，，3u ： u 1SSS，，2，，ttt1t5，ii[] U 3卢2（ u 2x ） y ？t 21...uvv，，2，，t2Fig. 1. T woBohm 的树F或AS IMPLEBoHD outunderlined subterms。The U n n S 是 选择 者 3 of the i-th argument amongn ， so that starting from the root the second child among three is selected ，and then the rst among two ; L is any term ， only needed for saturating theabstraction on the non-head variable y . of the i-th argument among n ， sothat starting from the root 第 二 个 孩子 ， 三 个 是 被 选中 的 ， 而 那 一刻 是 我 们 的 二 个 变 种 人 。 For a discrimination based on theconvergence 在 分歧 中 的 区别财产 ，it is苏 轼TO阿彭特A分歧term，which ，when 什么FED as年银TO The two非 匹配subterms ，使一 个 的 减少 到 正常 的 形式 和 其他 区别 ; 一 个 的 歧视based 基础ontwo distinct变量it is苏 轼TO complete The context as2113 在 Nition ，un n是 期限X：：：Xnn： xi， see [ 5 ] 。16#20013；力（？不，不，不。 青春问题 是 什么 原因 是 歧视 性 节点A山姆头Variable 的Occurs morethan once ，And di erent儿童are to be Selected AT di erent需求 ，像为样品in two terms of The形式x ： x （ yz ： xzt ）1） 和 x ： x （ yz ： xzt ）2（ Where T ）1 And T 2片名 ： The Two非 匹配subterms。The solution consists in rst replacing of the same currences of thesame variables with the erent bound variables （ through the application tosuit - able combinators which add abstractions ） and then ， as in thesimple case ， replacing each variable with the needed . （ 通过 应用 来suit - 可 组合 ， 因为 添加 抽象 ） 和 then ， as in the simple case ，replacing each variable with the needed （ 简单 情况 下 的 变量 ）selector .在 这种 情况 下 ， 环境 所 包含 的 内容 仅 为 观察passed to theobserved term （ apart from top-level abstractions ， in case of open （ 开放 式 实例 ）terms ）AndTheBOHM-OUT你C尼日利亚recursi vELYapplies这 个 王 子 TOsubterms ， tHEmethod is obviously unable to discriminatebetween - convertible forms ： the terms M and x ： Mx ， when applied toan argument ， behave the same ; this is the reason why the theorem onlyregards - normal （ 当 应用 到 argument ， 拥有 自己 的 形象 时 ， 这 是合理 的 因为 他们 只有 regards - normal形式 。BOhm 的Theorem ，through 通过Theuse 使用ofTheBOHM-OUT你C尼姬 ，t husALSOestablished the primigenous and simplest form of the contextlemma ， which allows quanti cation over all contexts to be replaced ， inthe de nition of ob - servational equivalences ， by quanti cation restricted tohead contexts ， which are contexts with only one hole ocence ， situated inhead position ; 即 ， 即 ，contexts of the form （ x ）1： ： x n n（ ） （ ）（ M ）1： ： M M在 与n ; M0.柠檬 1.2 Lemma for Normalizable 使用 说明Terms 。如 果 MAndnA rEtwo 正 常 化 Terms ， 8C[] ： C[M]has NF））C[n]has NFi8CH[] ：CH[M]has NF ）） CH[n]has NF ， wherETheCH[]' sA rEh E AD Con -文本 。此 分类 上 一篇 ： The reason here is totally obvious ： taking the lemma 'scontracositiveA Generic 将军context歧视 性two正常形式 ，these CannotBE identical ， so there must also be a head context that performs theseparation （ 英语 ： ） （ 如此 必须 如此 ）其他 方向 ，A歧视 性头context只是is A context ! ）If M and N are closed terms，the quite cation over contexts may be fur—ther restricted {as previously observed {to applicative contexts，i. e，如果M和 N 是 封 闭 的 术 语 ， 那 么 多 的 cation over contexts may be fur—therrestricted {as previously observed}，即. Contexts of the form 形式） [] M71：：：M M.This ， in turn ， allows observational equivalences to be de ned in acoin—ductive style （see ，for example ，[16] ）which ，though not muchmeaningful in this case where the equivalence is between normal forms andthe calculus is sequential，is however the one used in the study of concurrentand interac—tive systems.这就是，在这个案例中，等价物和平静的形式之间是连续的，它是连续的，而无法测量的。让 我们 注意 到 M= In 表示 the fact that M and N \ in isolation have the same ， 即 “ 隔离 中 的 M和 N \ that either both m and n reduce to values（that is to nfs，or to hnfs，等等）（不）or both do not ， and let the corresponding （ 机器 人 不做 ， 让 我们 去 配合 ）公平 的valenceR . T 。 应用vECon n纺织 品BEDenotedByTheGeneric 将军Sy MBo l'：M'ni ，8L ， 8 m 0 ： 8L 1● ：l M（ ML ）1● ：l M= INL 1● ：l M别名 ： Then the Following Holds ：M'n））M=InAnd8L ： Ml'nl：8#20013；力（？不，不，不。 青春in事实 ，如果M 'n 、then如果we take The empty context we HAVE M= In 、And通过 Trivially考虑The application 应用Associativity 协会weHAVE ml'NL为all D . Also The反对 派Direction Obviously Holds ，hence The地产状态Above ; IT May 的BE Assumed as年Alternative 替代DE nition 的of观察equivalence ， which is then通常 情况 下呼年应用程序BiSimulation 生物 模拟或生物 相似 性 ，Since IT was衍生 品From adapting 的TO- Cocculus [ 1 ] And功能 性规划The Notions 的ofBiSimulation 生物 模拟And Bisimilarity 相似originally引入 的为并发过程” （ 23.25 ）More precisely any equivalence任何等价物'which the left—to—rightimplication holds is called an applicative bisumulation ； the greatestbisimulation，i.e.当最不正确的影响力持有者被调用时，应用模拟；which the reverse implication also holds ， is called （ applicative ） bisim -ilarity 因为 逆向 的 影响 ， 所以 所有 人 都 被 调用” [ 29 ] 。Therest of Paper 纸 is 有 组 织 as 跟 进 。in Sect 。 2 we Exam Thebehaviours of terms within pure - calculus contexts ， w.r.t. ， 世界 纪录三是erent choices of what is to be assumed as the set of values。On the otherhand ， sect.3 cusses ， calculus 其它 优惠/消息扩展allowing TO歧视terms exactly in The山姆manner as well-known tree representations of terms（ 已知 的 树木 代表 ） 。We draw some conclusions in sect.我们在这里画了一些结论。 4.2观察PureTerms Pure 的- CocculusIf we take two normalizable terms not in normal form，which could representtwo programs still to be run，we might imagine to observe their behavioursby interactively creating，possibly with backtracking，a context that bohmsout the subterms being computed.如果我们需要使用两个正常术语，我们就无法使用回溯来避免二个术语。 Bohm 的 理论 证明 可以 被 认为 是最重 要的prototypical example of a refutationprocedure forobservationalequivalence 。自然 的 下一步 包括 applying the same kind of technique to obtain acharacterization of the observational equivalence for the class of all terms（ 应用 所有 技术 类 的 特性 ， 来 达到 所有 术语 类 的 同等 价值 ）（ 注 ： e.e. ， ALSO including 的饰 Those without 没有正常形式 ） ，asin莫里斯DE nition 的 。《The crucial choice is that of the set of values：wewill consider in the following three natural choices》（《十字抉择》）thesets of normal forms ， of head （ 英 语 ： the sets of normal forms ， ofhead ）正常9forms ， and of weak head normal 的 类型形式 。2.1正常 形式 As价值 观since for normalizable terms the observational equivalence amounts to theconcidence of - normal forms ， for generic terms one may expect thatshouldamount TO The巧合of some KINKIN of generalized ，possibly 的innite ， normal forms 正常 形式Observe that above reported inductive denition of - normal （ 英语 ： Observe that above reported inductive de nitionof - normal ） 形 式 by means of The 头 正 常 form ， 如 果 read 的Coinductively ，第 一 个 在 " Becomes the de nition of a notion of possiblyin nite " 的 论坛 里 发言在 NiteBohm 的树恢复n nTation 的 。The Inductive de nition exactly corresponds to the way the normal （ 英语 ： The Inductive de nition ）形式10X 1：：：X n nX#20013；力（？不，不，不。 青春is compected by the leftmost—outermost strategy：the term is rst reduced tohead its normal form，then the normal forms of its subterms are recursivelycomputed.时间是减少到它的头部标准形式，而其次术语是recursivelycomputed。1999年：The coinductive de nition corresponds to the way thepossibly in nite normal form is gradually built by the same strategy in apossibly。nite approximating computation，like an irrational number isbuilt by its next rational approximations.（nite approximation，不接受任何无理数，建立其连续的合理近似值）It 's therefore natural to de ne 它 是自然 的notions of approximate or partial term [ 10 ] ， and correspondinglyof approximate or （ 英语 ： approximate or ）游击 队Bohm 的Tree ，using 使用TheSY MBo l？ 为ThesubtermsNotyetin头正常form ，i. e ，ThesubtermsyetTOBE 计算 。 li KEBohm 的树pro 的Per ;Theappr oXX 树werei n nTR o杜迪By[ 3 ] ，同The姓名ofB吴 丽/KE树 。De nition 2.1 《 近似 的 波西米亚 》树.(i) 如果m = X 1● ：X n n： XM 1● ：M M（ with n ; m ）（ 0 ） 、then ABT（ m ）=，，，，，，ABT（ m1），，，，，，ABT（ m M）(ii) Owherwise（i.e.），if m is not in head normal form （ 如果 m 不是头部 正常 形状 ）ABT（ m ）=？.10 . 绝对 近似 的 参数 顺序 ， 可能 会 被 ned ， 和 那个 nite normalforms obtained by the coinductive reading of 1.1 are the limits of monotone（ increasing ） sequences of partial terms （ approximate trees ） 因为 它将 被 调用 的 最 大 近似 值limit .TheConverse做Not hold ：胁迫 性in尼正常形式DO Not其中 ，《 Any Octurrences of ？在 这 件 事 之后 ， 没有 任何 人 敢 在 战场上 ; 在 战场 上 ，owing 的TO The凤凰 号of不 可靠 性 ，i . e ，The存在of terms without 没有头正常形式 ，A计算机May 的Generate 生成Asequence 结 果 of Partial terms 的 （ 游 击 队 树 ） 何 处 some ？ -LabelledNode DO Not Expand安妮Further ， and Cannot Therefore BE被 消 灭 in The limit .A term that 减 少 TO A 与 Terme 无 法 解 决subterms ，i . e ， TO A树同？- StuckNodejs ，做Not如果 我们 想要 一个 标准 的 形式 ， 我们 就 不 需要 它 ， 如果 我们 想要it A意义 ，we are自然LED TO complete The space 空间by考虑 为限 、i . e ， as11Generalized 一般正常形式 ，ALSO）尼And in nite ）terms（ 或 树 ）containing The constant？ as A Representation of The unsolvable 的We will see in the following that ner notions of an in nite normal formmay be introduced ; remark ， however ， that one cannot take theextreme of summing as de nite in term （ and thus of an in nite normalform ） the mere coinductive reading of the ordinary de nition of term ，as this would lead . （ 我们 将 观察 到 那个 nite 的 nition ） 在 长期内 ， 我们 将 观察 到 这个 形式 的 习惯 性 阅读 （ 我们 是否 能 理解到 外来 的 局限 性 ）the con uence property for - reduction （ 减少 使用 ）[ 18 ] 。take for