半Logistic分布下基于逐步II型截尾竞争风险数据的顺序统计量的贝叶斯预测区间

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，190埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章半Logistic分布下基于逐步II型截尾竞争风险数据的顺序统计量的Bayes预测区间埃萨姆湾Alaa H.Abdel-Hamidb，*， Atef F.哈希姆湾a埃及亚历山大大学理学院数学系b埃及Beni-Suef大学理学院数学系接收日期：2013年6月13日;修订日期：2014年1月7日;接受日期：2014年1月23日2014年3月17日在线提供竞争风险模型对于医学研究和可靠性分析具有重要意义。在这篇文章中，顺序统计量的贝叶斯预测界的逐步II型截尾竞争风险数据的一般类分布的基础上获得。分布类包括威布尔、复合威布尔、帕累托、Gompertz分布、复合Gompertz分布和半Logistic分布。 然后将结果应用于半逻辑分布基于三种不同的逐步定数截尾方案，得到了未来顺序统计量的预测区间.最后给出了一个算例来说明该方法。用Monte Carlo模拟方法进行了数值计算，得到了预测区间的覆盖概率和平均区间长度2000年数学潜规则分类：62N01; 62M20; 60G25？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍在可靠性数据分析、工程、经济、生物或医学研究期间，单元可能由于多种原因之一而失效。这些原因竞争，以失败的单位。这在统计学文献中被称为*通讯作者。联系电话：+20 1006853842。电子邮件地址：hamid_alh@yahoo.com（A.H. Abdel-Hamid）。同行评审由埃及数学学会负责风险”。例如，Boag[1]基于对乳腺癌患者的研究，将死亡原因记录为癌症或其他。另一个例子，Hoel[2]，基于一项实验室实验，其中6周龄的小鼠暴露于一定剂量的辐射，死亡原因被称为胸腺淋巴瘤，网状细胞肉瘤或其他。这些竞争风险模型的数据包括失效装置的寿命失败的原因可能是独立的或相关的。然而，在大多数情况下，对竞争风险数据的分析假设了失败的独立原因。删失在寿命测试中非常常见。减少总的测试时间和相关的成本是审查的主要原因。它通常适用于精确寿命的分布1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.01.008制作和主办：Elsevier关键词贝叶斯预测;竞争风险模型;逐步II型删失;半逻辑斯谛分布;单样本预测;模拟定数截尾竞争风险下顺序统计量的贝叶斯预测区间191你好！！你好！一个！¼¼¼1/4fgP什么--生存单位 是阿尔米¼-ð ÞðÞðÞðÞ¼-YY已知仅一部分单元的寿命，并且已知剩余寿命仅在寿命测试下超过某些值。类型I和类型II是最常见的两种删失方案（CS），参见例如[3渐进式II型删失被认为是II型删失的推广。它允许实验者在实验过程中的各个阶段从寿命测试中删除单元，参见[6]。一些作者讨论了逐步定数截尾下不同寿命分布下的竞争风险模型。见[7]，见[统计预测是一个推断价值t的增可微函数使得ujt0;tb/1和ujt; 作 为 tb-2;j1;2. 特别地，任何具有正域的CDF（适合于寿命测试）是（2.1）的特殊情况。例如，威布尔，指数分布、瑞利分布、复合威布尔分布（Burr类型XII）、复合指数分布（Lomax）、复合瑞利分布、帕累托分布、beta分布、Gompertz分布和复合Gompertz分布都是（2.1）的特例，参见[17Ti的CDF由下式给出：Y2未知观测量（未来观测），或这些观测量的功能，从当前可用的（信息）观测。它在质量控制、可靠性、工程、医学、商业等领域以及其他领域。 例如，实验者或FtFt;b1-哪里X2第1页1/2-Fjt]1/2-exp/2-ut];2/2：2制造商希望对其产品的使用寿命有一个界限，这样他们的保修期限就可以合理地设定utut第1页ujt;bb1;b2：2：3并且购买制成品的顾客想要知道要购买的产品的寿命的界限预测因子可以是点预测因子或区间预测因子。预测逐步删失失效时间的概念已经由几位作者提出，其中包括[10本文的创新之处在于在竞争风险模型下，基于逐步II型截尾样本，从一般分布类中获得了未来顺序统计量的贝叶斯预测界.然后将结果应用于半-后勤人口。文章的其余部分组织如下：在第2节中，描述了渐进II型删失下的竞争风险模型。第3节介绍了贝叶斯单样本预测的未来观测。第4节考虑了半logistic分布（HLD）。在第五节中，给出了数值计算和模拟。结论性意见最终见第6节。2. 模型描述和渐进式II型删失2.1. 竞争风险模型1. 假设n个待测部件的寿命独立同分布。2. 假设只有两个独立的失败原因。3. 对于j1; 2;Tij表示单元i由于原因j而失效时的寿命。4. 假设，对于i 1;... Ti1和Ti2是两个独立同分布的随机变量（房车） 和TiminTi1;Ti2。5. 指标变量ai表示以下故障的原因：尤特岛6. I·是事件·的指示函数。设对于j^1; 2，RVTij的累积分布函数（CDF）Fj^tj具有以下形式：未知参数b的向量属于某个参数空间。对应于CDF（2.2）的概率密度函数（PDF）f t由下式给出：ftft;bu0texp½-ut];2：4其中撇号始终表示关于t的导数。2.2. 渐进II型删失逐步删失竞争风险实验可描述如下：1. 实验者在实验中放置n个单位2. 假设 mvjpt]¼QX- Cp¼S11;. . . ;tm;mj>UBjtM Iai<$j是失败d¼a2b 1a3b 2Ri1/1其中v> t s; s 1/4;. . ; m，以及pSpQQP½Yp：Rs>vjt]¼St;3：11l¼b-YYu0trj;ðs ÞX2sS其中，hj=i，j是原因j下的危险率函数（HRF），1/1由方程（1）给出了b1和b2的后验密度函数（2.5）和（3.6），由于原因j;j1; 2，以及pωb;bjtw-1lexp½-d];b;b>0;n =3：7我爱你我爱你1;Ai<$j;0;否则;12哪里122MJAi是一个离散的RV，实现为ai。3. 贝叶斯单样本预测设t1：m：n;a1;R1;.. . ;tm：m：n;am;Rm是从a中获得的大小为m的111Jj1r1Xmw<$Z1Z1lexp½-d]dbdb2：0 0尺寸为n的样本，渐进式CS≥1; . ;Rm. 我们的对象根据公式3.2和公式3.7，贝叶斯预测密度函数是 到 预测 的 剩余 秩序 统计 fYp：Rsg;p1;. ; R s; s ¼ 1;. ; m. 可以注意到 ， repre-Y的作用p：Rs;p¼ 1;. ;Rs;s¼1;. ;m，由下式给出：将p阶统计量发送到R的存活单位之外，已在第s次观察到故障时删除这就是所谓fHyaH Rp-1jtvCpgωyQ2019 - 03 - 0300：00：00作为单样本预测方案。对于两个参数b1和b2的给定值，Yp：Rs的密度函数由下式给出，例如参见[12]，p：Rs哪里gω-ywq¼0Z1Z1lu0yQp：Rsexp½-[英]dbdb：. R½FyP-1½1-Fy俄.西Rs-pfQp：Rs00p：RsQp：Rs12hyp：RsSjbjppp：Rs[1/2-F]p：Rsp：Rs;Y的贝叶斯预测界p：Rs;p¼ 1;.. . ; R s;其中yp：Rs >t s.3：10s1;. m通过计算P Y p：Rs获得 >vt，for gi-v的值。当量（3.8）然后，替换Eqs。（2.2）和（2.4）在（3.1）中，则得到p-1P½Yp：RsaHRsW《古兰经》3：9h<$yjbaRsXCqpuyexp½-Dqy];3：2H0p：Rspp：Rsp：Rsq¼0哪里Qp：RsQSp：RsSSvXp-1Cpq¼0Z1Z1lexp½-ddv]dbdb：非线性函数[-ut];nqRs;p00q12aH. Rs= 0;2013年3月10日因此，Cp-1q. p-1级;斯捷潘nqRs;pRs-pq1：式中，Sv由公式3.10给出，的 是， 的 未来 可观测量 是 Y p：Rs;p 1/4;. ;Rs;s¼ 1;... ;m.关于我们p1Qn=R;p=RZ1Z1lexp½-d]db1db2：03：12分假设实验者的先验信念是B1和B2是两个独立的RV，分别具有伽玛分布和指数分布。因此，B1和B2的联合先验密度现在可以写为：q¼0qs0 0Yp的双侧100s%预测区间：Rs;p¼1;;Rs;s1;;m，具有下界和上界LB和UB，给出pb1;b2;p1b 1p2b2;3：31 伊什SLB哪里21/2P/2Yp：Rs>LBjt]1 / 2 S/2P/2 Y p;p1b1的12Ca1ba1- 1exp½-a2b1];b1>0;a1;a2>0 μ m; a 3：4 μm1 --2¼P½Yp：RsSUB[p2b2a3exp½-a3b2];b2>0;a3>0;3：5其中b1和b2是两个RVB1的两个实现，B2，分别。使用公式（3.4）和（3.5），（3.3）变为一这就相当于解两个方程SLB-. 1秒后，. 1-s的1.一1;定数截尾竞争风险下顺序统计量的贝叶斯预测区间19312123pb;ba3ba1- 11实验1/2-β-内酰胺a2ba3bb b];SUB-2S=0;Ca1b;b>0;a;a;a>0：3：6其中，Sv和Sts分别由公式3.10给出（3.12）。21212194E.K. AL-Hussaini等人小时1ZjTj1jexp½-bt]ð Þ¼1¼¼¼¼¼¼¼2¼¼J[1/11/2-bjt]¼¼J21立方米在下一节中，我们讨论了HLD逐步II型删失竞争风险数据下未来顺序统计量的贝叶斯预测界。4. 半逻辑斯谛分布逻辑增长函数首先由Verhulst提出[20，21]。具有尺度参数h的逻辑RVZ的CDF由下式给出：Fz1exp½-hz]-1;-1z1<<;0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000可以看出，如果TZ和bjh则T具有HLD，民防部队，F（t）=1-exp½-bjt];t>0;0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000J它的PDF格式是1.21.00.80.60.40.20.00 5 10 15 20图2HLD在b1 1/40： 5和b2/40： 7的HRF及其竞争风险模型下的HRF。5. 仿真研究和示例fTj t2bj exp½-bjt]exp½-bjt]; 2014年4月2日5.1. 模拟程序在[0，]上单调递减可以看出，Eq。（4.1）由（2.1）得到，[2019 - 04 -23] 2019年12月14日星期四下午10：00 - 12：00因此，在竞争风险模型下的PDF，在这一小节中，进行了蒙特卡洛模拟研究，以计算贝叶斯预测界为Y p：Rs;p 1;. ;R s;s 1;. ;m.我们生成500个渐进式II型删失样本，根据[22]中给出的算法，考虑以下三种不同的渐进式CS，从具有CDF（4.1）的HLD中获得大小m（m18，24，n响应于（2.4）采取形式“X2fb#“Y22#● 方案1：R i j<$1;i <$1; 2;. ;4m-n;64m-n;3Eqs的PDF。式（4.2）和式（4.4）在图1中绘出，而HRF在图2中绘出。从这两个图中可以注意到，PDF都是模式为0的递减函数，而HRF是递增常数函数。基于等式 （4.4），贝叶斯预测界Y p：Rs 由式（3.11）给出。Rij0;否则：例如，如果n为30，m为18，那么CS1意味着我们在第一个、中间的和最后的四个单位之后重新移动一个生存单位。● 方案2：R¼Rm ¼R ¼n-m;0.70.60.50.40.30.20.10.00 2 4 6 8Ri¼0;否则：例如，如果n为30，m为18，那么CS2意味着我们在第一次、第九次和第十八次失败后重新移动四个生存单位。● 方案3：Rm<$ N- m;Ri¼0;否则：例如，如果n<$30和m<$18，那么CS3意味着我们在第18次失败后重新移动30-18=可以观察到，CS3等同于传统的II型删失。通过模拟研究，m值代表样本量的60%和80%先前参数a11/40： 650;a21/4 1： 300，以及a3/41： 427被认为是生成总体参数图1HLD在b1 1/40： 5和b2/40： 7时的PDF及其竞争风险模型下的PDF。值b10： 5和b20： 7使用（3.4）和（3.5）。表1显示了播放模拟的平均下限和上限（ALB，f1f2F2[1/1/2/2/1/2/1/2/2/1/2/1/2/2/1/2/1/2/2/1/2/1/2/：14：40定数截尾竞争风险下顺序统计量的贝叶斯预测区间195¼¼¼¼¼ ðÞAUB）、平均间隔长度（AIL）和覆盖概率（COVP），s的95% Y p：Rs;p 1/4;. ;R s;s¼ 1;. m，超过500个模拟样本。5.2. 说明性示例在这一小节中，我们用CDF（4.1）来说明从HLD获得的数据的预测过程。使用了先前的参数值a1¼0： 650、a2¼1： 300和a3¼1： 427生成总体参数值b1¼0： 5和b20： 7使用（3.4）和（3.5）。我们生成两个 大 小 为n的随机样本20从CDF（4.1），然后应用步骤4，在第2.1小节中给出，以获得在竞争风险模型下大小为n20的随机样本。考虑到CS R，对该样本应用渐进式II型删失1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 2; 1; 0; 0; 2，以逐步获得m型截尾样本12. 表2显示，第2列，大小为20 gener的原始随机样本，表1 Yp：Rs的ALB、AUB、AIL和95%预测区间的COVP。先前的参数值：a1/40：650，a21： 300;a 31： 427。总体参数值：b1¼0： 5和b2¼0： 7。nMCS1CS2CS3s; Rs; pALBAUBAILCOVP s; Rs; pALBAUBAILCOVP s; Rs; pALBAUBAILCOVP3018一，一，一0.0953 4.5336 4.4383 93.0一，四，一0.0624 1.4477 1.3853 64.6十八十二一1.2686 1.6743 0.4057 28.8二，一，一0.1561 4.5904 4.4343 97.2一、四、二0.1670 2.3410 2.1740 77.4十八，十二，二1.2444 1.7324 0.4881 31.6三，一，一0.2195 4.5960 4.3765 94.8一、四、三0.3850 3.6128 3.2277 72.6十八十二三1.3434 2.1806 0.8373 52.6四，一，一0.2781 4.5555 4.2774 95.0一，四，四0.7926 6.1222 5.3296 62.0十八十二四1.3616 2.3600 0.9984 50.8八，一，一0.5652 4.7810 4.2157 97.4九，四，一0.6477 1.9130 1.2653 65.0十八十二五1.4379 2.6461 1.2082 59.0九，一，一0.6595 4.9029 4.2334 96.6九，四，二0.7020 2.7240 2.0220 79.6十八十二六1.4998 2.9144 1.4146 56.4十，一，一0.7401 4.8976 4.1575 96.2九、四、三0.9009 3.9445 3.0436 72.4十八十二七1.5825 3.2287 1.6462 57.4十一，一，一0.8241 4.8683 4.0442 96.2九四四 1.2321 6.2523 5.0202 64.2十八十二八1.6805 3.6163 1.9358 59.4十五，一，一1.3801 5.3665 3.9864 94.6十八，四，一1.9672 3.0196 1.0524 61.4十八，十二，九1.8252 4.1366 2.3114 52.8十六，一，一1.5489 5.4382 3.8893 95.4十八，四，二1.8784 3.7198 1.8414 82.2十八十二十1.9422 4.7079 2.7657 48.0十七，一，一1.8265 5.6349 3.8085 95.4十八，四，三2.1213 4.8213 2.7000 76.2十八十二十一2.1708 5.7078 3.5371 43.2十八，一，一2.3915 6.1491 3.7576 96.0十八，四，四2.3091 7.0974 4.7883 68.2十八，十二，十二2.5439 7.9689 5.4251 29.63024一，一，一0.0959 4.3599 4.2640 94.2一，二，一0.0742 2.4596 2.3854 85.6二十四，六，一1.9741 2.6579 0.6838 50.4二，一，一0.1522 4.3441 4.1919 95.8一，二，二0.3174 5.0719 4.7545 83.8二十四，六，二2.0223 3.1202 1.0979 64.0十二，一，一0.8301 4.8378 4.0078 94.4十二，二，一0.8306 3.0737 2.2431 86.0二十四，六，三2.2112 3.7616 1.5504 71.4十三，一，一0.9406 4.9596 4.0190 94.8十二，二，二0.9532 5.6096 4.6564 86.6二十四，六，四2.2458 4.3280 2.0823 71.0二十三，一，一2.4465 6.0750 3.6285 95.6二十四，二，一2.7325 4.5630 1.8305 83.6二十四，六，五2.4192 5.3145 2.8953 62.4二十四，一，一2.9077 6.4252 3.5175 95.2二十四，二，二2.6218 6.3503 3.7285 86.8二十四六六2.7335 7.4749 4.7414 49.8196E.K. AL-Hussaini等人表2逐步II型删失样本。 先前参数值：a1¼0： 650;a2¼ 1： 300和a3¼1： 427。总体参数值：b1/4 0：5和b2/4 0：7，R/4= 1; 0; 1 ; 0 ; 1; 0; 0; 2; 1; 0; 0; 2 π。i Ti1Ti 21 2.0844 0.92022.0348 1.83321.4483 2.10494 0.5608 0.37153.07372.3534 2.23712.6413 0.30631.0828 1.0828 1.08281.7151 3.832610 5.9688 0.866211 8.8135 3.054512 2.9024 0.624213.3933 4.173314 9.3757 0.540415 3.8934 2.305816 0.5381 1.112817 1.4565 0.630318 0.7376 0.937619 3.0879 1.867420 1.5515 1.1101我不是0.92020.03481.44830.37150.73042.23710.30631.08281.71510.86623.05450.62420.39330.54042.30580.53810.63030.73761.86741.1101Ti; m; n;R i2019-03-2200：00：0Yp：Rs0.9202––––2.2371，1.08281.7151––3.0545，2.3058定数截尾竞争风险下顺序统计量的贝叶斯预测区间197¼ð ¼Þ致谢作者感谢审稿人和副主编的建设性意见和建议，这些意见和建议导致了本文早期版本引用从CDF（4.1）中得出，b1 0：5，由于第一个故障原因，而由于 的 二 原因 的 故障B20： 7呈现在第3列中。然后比较这两个样本的值，并计算最小值。记录在第四列。第5列显示了12号逐步II型删失样本的值，而第6列显示了在试验过程中被移除的单元的失效时间例如，第5列末尾的（1.8674，2）意味着我们在第12列观察到失败1.8674之后删除了两个单位。如第6列末尾所示，两个重新观察到的失效为3.0545和2.3058。基于表2中给出的竞争风险模型下生成的渐进式II型删失样本，表3列出了Yp：Rs.例如，当s<$8;Rs< $2;p< $1和p<$2时，我们获得了两个故障的95%在第8次故障后已拆除的两个装置的次数。95%预测区间的下限和上限分别为（0.6455，2.7358）（对于p<1）和（0.8251，5.2001）（对于p <1）。第1页6. 总结发言在这篇文章中，我们考虑了HLD的预测结果的基础上逐步II型删失数据下的竞争风险模型。从表1中，我们注意到：1. 关于CS1和CS2，对于固定的m，通过较小的AIL值获得了更好的值， S增长。2. 对于CS2和CS3，AIL随着p的增加而增加。3. 在CS1中获得了更好的COVP值（接近标称值95%）。4. 在所考虑的三个CS中，通过AIL和COVP，通过增加m获得了更好的值。5. 一般来说，CS1方案的结果优于其他两个方案。6. 数值计算表明，上述结果不随先验参数值的变化而7. 如果超参数是未知的，或者，可以使用分层贝叶斯方法，其中使用超参数向量的合适先验，参见[24]。[1] J.W.通过癌症治疗治愈的患者比例的最大似然估计，J.R.Stat.索科，Ser.B11（1949）15-44.[2] 丹 吉 Hoel ， Arepresentationofmortalitydatabycompetitiverisks，Biometrics 28（1972）475-488.[3] N.R. 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