可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记297（2013）3-25www.elsevier.com/locate/entcs近似值基于一般状态空间马尔可夫过程的概率互模拟一项调查Alessandro Abate，1岁Delft Center for Systems ControlTechnische Universiteit DelftMekelweg 2，2628 CD Delft荷兰摘要本文综述了随机过程的近似度量。我们处理一般状态空间上离散时间演化的马尔可夫过程，即具有无限基数并具有适当可测性和度量结构的域。这项工作的重点是讨论两个这样的过程之间的近似度量，基于概率互模拟的概念：特别是我们研究由该概念的近似变体表征的度量。我们建议，两个过程之间的度量可以基本上以两种不同的方式引入：第一种采用所研究的两个随机过程的概率条件核，并利用来自代数，逻辑或范畴论的概念;而第二种着眼于两个过程的轨迹之间的距离，并基于两个过程的动力学属性（无论是它们的语法，还是通过概念或它们的语义，通过采样技术）。此外，调查涵盖了问题的随机过程，根据引进的度量构建正式的近似关键词：马尔可夫过程，形式近似，概率互模拟，概率测度，李雅普诺夫理论，随机收缩性，概率可达性，随机方法。1动机和目标为了应对现实世界工程系统的日益复杂性及其相应数学模型的棘手性，许多研究已经探索了旨在定量地该研究由欧盟委员会在MoVeS项目FP 7-ICT-2009-5 257005下资助，由欧盟委员会在NoE FP 7-ICT-2009-5257462下资助，由欧盟委员会在Marie Curie资助MANTRAS PIRG-GA-2009-249295下资助，由NWO在VENI资助016.103.020下资助。1电子邮件：a. tudelft.nl1571-0661 © 2013由Elsevier B. V.出版，CC BY-NC-ND许可下开放获取。http://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2013.12.0024A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）3把两个模型联系起来，一个具体的模型和一个抽象的模型。后者通常是通过简化第一个（例如，通过模型简化、低阶近似、状态空间聚类或集总和因子分解），并表示它的易处理版本。理想情况下，抽象模型在某种意义上应该等价于具体模型。模型之间的等价性通常用语言对应、轨迹或迹相等的概念来表示，或者用两个模型的状态对之间的互模拟关系来表示。双向模拟概念的单向性和不太严格的版本也被用来表达抽象模型动力学和具体模型动力学之间的包含性：在这个意义上，抽象模型代表了具体模型的模拟。从不同的角度来看，由于互模拟的确切概念经常转化为对所研究模型的相当保守的要求，并且因为它是一个缺乏鲁棒性的概念（例如，对模型参数扰动），近似互模拟的概念已经被引入作为严格互模拟的放松版本。这种近似的概念导致在模型的动态上使用适当的度量（或伪度量）。模型之间近似关系的使用似乎对于动态丰富的模型非常相关，例如具有连续（不可数）甚至混合状态空间的模型以及随机过程。对于后者，特别是，使用近似的概念，允许发展的指标是强大的模型参数的小扰动，并容纳模型轨迹的实现可能性之间的定量对应。这方面的贡献集中在一般（连续）状态空间的概率过程，旨在调查和讨论对这样的过程之间的近似度量。特别是，我们提供了一个概述的文献中的结果是基于近似互模拟的概念。我们决定为了集中于强（而不是弱）互模拟概念的近似版本，我们只涉及（概率）模拟的概念。这项工作表明，过程之间的度量，近似互模拟的概念的基础上，可以引入基本上在两个单独的方式。第一种方法采用所研究的随机过程第二个过程着眼于两个过程的轨迹之间的距离度量，并利用两个过程的动态特性来定义这样的度量：这可以通过分析模型语法来完成，或者通过直接采用它们的语义来比较两个模型的实现这两种方法如图1所示。蓝点和红点代表两个“相似”的随机过程的实现第一种方法是指底部放大的正方形，它描绘了两个相应的卷积核。第二种方法由顶部正方形以图形方式表示，其中，A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）35图1.一、一般状态空间马尔可夫过程的近似度量：两种方法。突出了两个过程这项工作的结构如下。• 第2节提供了一个全面的覆盖面的工作，模拟，bisimulation和近似版本，重点是概率模型生活在一般状态空间。• 第3节介绍并讨论了所研究的模型。• 第4节提出了精确和近似（强）概率互模拟的概念，并提供了基于代数，逻辑和范畴理论的相关特征。• 第五节给出了概率互模拟函数的定义和刻画，从而引入了两个过程轨迹之间的近似度量。• 第6节最后着眼于基于语义的计算之间的可比概率过程的距离度量。• 第7节讨论了调查的技术，并展望了未来的研究方向。2文献背景基于非概率模型的早期概念[49，51]，在[46[36]中的工作对有限状态空间的马尔可夫决策过程使用了类似的概念，并提出了寻找因子化双相似模型的过程。弱互模拟的概念在[9，38，54]中讨论了一些（有限状态）概率过程。[39，59]中的贡献涵盖了概率自动机类的概率模拟关系的概念[10，11]提供了一个概括，并得出这些概念之间的关系。这些概念是应用性的，建立在早期的近似技术的基础上，例如马尔可夫链的可集块性[13]。6A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）3[41]关于《易经》的问题[24]中有趣的工作讨论了有限状态标记马尔可夫链的互模拟的近似概念，并通过使用对数方法以及基于博弈的方法详细阐述了这一概念。近似概念的使用在[32]中被提倡，并且受到与概率模型上的规范验证相关的鲁棒性问题的激励。此外，近似概念似乎比精确概念限制性更小，特别是当应用于具有连续状态空间的模型时-近似版本的引入[34]基于确定性模型的轨迹之间的距离，导致了对非线性[55]和切换系统[35]的近似抽象的研究。对于连续空间过程（即第3节中的离散时间标记马尔可夫过程），[21]提供了双模拟的关系和逻辑特征（见第4节）。或者，概率互模拟关系可以通过共代数[20]或范畴参数[64]引入。基于这些结果，[22]中的材料是相关的，因为讨论了标记马尔可夫过程的度量（见第4节），而[23]通过弱互模拟提出了度量，[29，30]中的贡献分别讨论了有限状态和无限状态马尔可夫决策过程的度量与上述概念相关，[60]介绍了通信分段确定性马尔可夫过程的精确互模拟（这是与[38]相关的模型[25]讨论了连续时间过程的互模拟，[8]阐述了基于概率过程代数的互模拟的抽象概念，而[14]尝试了随机混合模型的互模拟的定义[12，17]。这些作品都没有提出各自确切概念的近似变体。随着对概率模型和系统轨迹（实现）度量的发展[34]的关注，概率互模拟函数的概念（见第5节）在[40]中引入并在[1]中详细阐述。最近的工作[63]提出了一个可达性问题，以寻找离散时间随机过程之间的度量。从不同的角度来看，[5]提出了一种基于随机化技术的方法来表征有限时间范围内过程之间的近似距离，而没有对它们的动态进行假设（见第6节）。这种方法也承诺提供模型简化或近似技术的随机过程类。沿着这条研究路线，[26]引入了对此类过程的近似。这种近似可以与[3，4]中的工作（适用于离散时间随机混合系统），以及[62]中的工作（在连续空间过程上使用Wasserstein伪度量）和[43，44]中的经典参考文献有关，其中讨论了随机过程的弱近似，[42，56]中已应用于混合模型，但没有明确的近似界。与此相关的工作，[58]已提出明确的A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）37B（S），Ps，u（X（1）∈A）=AT（ds|X（0）= s，u），其中Ps，u表示条件本文研究了具有一定遍历性的马氏过程的时空离散化的误差界。3一般状态空间我们考虑定义在具有波兰结构的连续空间上的概率过程[48]。我们假设在一个拓扑空间上工作，该拓扑空间同胚于一个完备的Borel子集（即，每个柯西序列收敛的度量空间）和可分的包含可数稠密子集）度量空间。此外，我们假设空间被赋予Borelσ-代数，它由Borel可测集刻画。参考度量可以简化为通常的欧几里德度量（下文将对此进行详细介绍连续状态空间用S表示，而B（S）是相关的σ-代数。过程在样本空间ΩN+1 =SN+1上在区间[0，N]上离散时间演化，样本空间B（ΩN+1）具有标准积σ-代数P是在这个事件空间上定义的概率测度。我们还引入了一个控制空间U，我们假设它是Borel可测的，并且在一般情况下是连续的。下面的定义首先出现在[6]中，它集中在一个相当丰富的状态空间结构上，即混合状态空间[12，17]这个模型可以等价地看作是一般状态空间上的马尔可夫决策过程[57]，没有奖励。定义3.1[受控马尔可夫过程]考虑一个离散时间受控马尔可夫过程（CMP）S=（S，T，U），定义在状态空间S上，由T表征，T是一个条件随机核，它为每个点s∈S和控制u∈U分配一个概率测度T（·|s，u）。 对于任意集合A∈概率P（·|s，u）。 根据概率分布π：B（S）→[0，1]初始化过程S =（S，T，U）。Q定义3.1中的语法导致时间范围[0，N]上的轨迹X（k让我们固定一个控制字符串{u0，u1，.，uN−1;ui∈ U}。给定从概率分布π中采样的初始条件x∈ S，给定控制输入u0∈ U，过程在k = 1点的值由条件核T（·）表征的概率描述|x，u0）。对于nyk={1， . ， N−1}， X（k+1）< $ T（·|X（k），uk）。例3.2考虑过程S，其特征为以下随机微分方程的解X（k），k∈X（k+ 1）=X（k）+a（X（k））u（k）+b（X（k））w（k），其中X（·）∈Rn，u（·）取值于有界集U，函数a（·），b（·）是Lipschitz连续的，线性有界增长，w（k）<$N（0， 1）是8A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）3√U标准正态随机变量，k∈N。然后，过程S存在，是唯一定义的，并且其动力学可以由以下核来表征：|x，u）=N（x+a（x）u，b（x））。该过程的实现的实例可以是图1，具有确定性初始化（黑点），并根据（高斯）条件内核在离散时间内演化Q现在让我们假设一个有限的标签集（即从有限的字母表中提取的元素）。下面的定义来自[21，22，26]2中的工作。定义3.3[标记马尔可夫过程]标记马尔可夫过程（LMP）S是一个结构（S，s0，B（S），{τu|u∈U}），其中S是状态空间，s0∈ S是初始状态，B（S）是上的Borelσ场S，U是标签的集合，<$u∈ U，τu：S× B（S）−→[0，1]是一个转移概率函数，即对任意s∈S，集值函数τu（s，·）t是B（S）上的概率测度，且对任意S∈ B（S），函数τu（·，S）是可测的.Q定义3.3在[21，22，26]中通过允许子概率测度τu来推广。在本工作中，为了一致性起见，我们将只涉及完全概率测度。注意，一般来说，与LMP不同，CMP不会在模型定义中指定初始条件，而是允许在状态空间中对其进行任何选择。如果我们在语义上将LMP的标签等同于CMP的控件，显 然 ，定义3.3中的标记马尔可夫过程是定义3.1中的离散时间控制马尔可夫过程的子类，因为后者允许更严格的控制结构。实际上测度τu（s，·）对应于条件核T（·）|s，u）。在定义中利用综合税的模型来解决这个问题3.1.在接下来的部分中，我们将回到LMP和CMP之间控制结构4精确与近似概率互模拟：关系、逻辑与范畴在下文中，我们将介绍CMP互模拟的精确和近似概念。我们强调，这两个概念都应被视为强概念，而不是[9，38，54]3中的弱版本。这些定义可以从三个不同的方面来看：通过关系，通过逻辑，通过类别。[2]这些贡献中有一些是针对解析空间的，而解析空间是本文所关注的Borel可测空间的推广。然而，由于本文不需要解析空间的性质， 而且Borel可测集也 是解析可测的，因此我们决定关注后者。3引入弱概念是为了从不影响过程未来行为的“内部”移动中抽象出来。A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）39⎪⎩⎪⎭⎪⎨⎪⎬(−∞,0]×(0, +∞),R=4.1通过关系、逻辑和范畴的精确表征回想一下，给定集合上的关系是等价关系，如果它是自反的、对称的和传递的。(In我们假设这项工作是与有限或可数基数的关系一起工作。定义4.1[（精确）概率互模拟]考虑两个CMPS1 =（S1，T1，U）和S2=（S2，T2，U）。一个等价关系R<$S1×S2是S1×S2上的一个双模拟关系，如果对任意s1∈S1，s2∈S2，对给定的u∈ U和集合S<$1×S<$2∈（S1×S2）/R（其中h是Borel可测的），只要s1Rs2成立，T1（S）|s1，u）=T2（S<$2|s2，u）。一对状态s1∈S1，s2∈S2被称为（概率上）双相似，如果R是一个互模拟，使得sRt，而两个CMPS1，S2被称为（概率上）双相似（记为S1RS2），如果存在一个互模拟关系R，它分别是S1和S24上的总和。Q请注意，自治的情况，其特征在于一个标签集与一个单一的元素，可以获得作为一个特殊的情况下，上述定义。例4.2考虑两个过程Si，i=1，2，由模型表征（如例3.2）Xi（k+1）=Xi（k） +ai（Xi（k））ui（k） +bi（Xi（k））wi（k），其中我们假设ai（Xi）= −Xi，ui= 1 <$k ≥ 0（U ={1}），b1（X1）= 0。4X1，b2（X2）= 0. 3X2，其中Xi∈R =Si.动力学是相当平凡的，因为轨迹在任何时间点根据具有状态依赖方差的高斯核被重置到原点的邻域以下简单关系⎧⎪(−∞,0]×(−∞,0],⎫⎪（0，+∞）×（−∞，0]，（0，+∞）×（0，+∞）引入了两个过程之间的（精确的）互模拟关系，因为在S1 × S2 = R2中的任何一对状态的条件下，任一过程Xi过渡到R的元素的相应投影的概率等于0。5.注意，R导致了组合状态空间R2的一个划分.Q可以定义逻辑L，它允许表明两个状态是双相似的当且仅当它们满足逻辑L[21]的相同公式φ。这种方法强调互模拟是一种等价关系。4作为一种特殊情况，如果S1，S2的初始条件由两个给定的集合来表征，则该关系应分别适用于从这些集合中的每一个中提取的状态对10A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）31∈..[21]中的工作通过先验概念（基于Z字形态射）进一步表征了概率互模拟。与这种方法相关，[20]使用共代数概念来精确地关联概率模型。类似地，连续空间过程上的概率互模拟关系可以通过范畴论证引入，如[64]中所讨论的。4.2基于函数的近似特征化精确的关系和逻辑特征是形式化的，但必须重新调整以适应计算鲁棒性[65]和现实世界的工程应用。概率互模拟可以用函数表达式族来充分表征[22]。更具体地说，给定一个过程S，考虑一个实值函数fS：S →[0， 1]的族Fc，它们由一个文法（一组运算）定义。由文法导出的运算可以与逻辑L的规则相联系。参数c∈（0，1]用于算子的定义，以便在连续时间重新调整期望值的计算（注意，该操作也取决于过程的标签），并且在实践中被提出来贴现未来。函数族Fc的引入进一步允许定义过程的度量。定义4.3[度量方法]考虑两个CMPSi=（Si，Ti，U）， i=1，2。S i上的函数表达式族Fc导出如下距离：dc（S1，S2）=sup|fS−fS|、2f∈Fc其中fSi是在相应空间Si上求值的Fc中的函数。Q可以表明，对于任何c（0， 1]，dc是伪度量5。作为一个特殊的例子，d0刻画了双相似过程[22]。 非常有趣的是，对于c1，可以证明，给定一个近似参数ε >0，检查dc（S1，S2）<ε的问题是可判定的。这种讨论导致了近似互模拟的概念与水平，或简单的双模拟[24]。 设R是集合 A 上 的 关 系 。 一 个 集 合 A∈A 称 为 R- 闭 的 ， 如 果R （ A∈ ） ={t|sRt ，s∈A< $}<$A<$.定义4.4[近似概率互模拟]考虑两个CMPS1 =（S1，T1，U）和S2=（S2，T2，U）。一个关系R∈S1× S2是一个S-互模拟关系，如果对任意的s1∈ S1，存在一个s2∈ S2使得s1R∈S2，且对任意的u∈ U和R∈S1×S1×S2，它成立，T1（S）|s1，u）−T2（S<$2|s2，u）≤n.[5]与[ 22，64 ]中的讨论一致，在下文中，我们将不会正式区分伪（或半）度量和实际度量，因为我们只对足以表征双相似性（或轨迹等价，见第5节）的（伪）度量感兴趣-必要性并不重要。A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）311在这种情况下，我们说两个CMP是双相似的（记为S1R<$S2）。Q一般来说，R不满足传递性，因此不是等价关系[24]。因此，它导出S1×S2的覆盖，但一般不是划分。例4.5通过调整例4.2中的模型Si，i= 1， 2来获得近似概率互模拟关系R的一个例子，允许噪声具有小漂移ηi的项，即wi<$N（ηi，1）和η1η2。基于相应的概率核，这允许计算上界概率核。由R=R引起的R2中集合上相应核的边缘化的差异（的绝对值）。在这个特殊的例子中，R 2导致了组合状态空间R2的一个划分--这个事实通常并不古老Q在过程之间使用度量，如定义4.3，允许将“相似”的过程之间的时间距离联系起来。然后，我们采用[22]中的结果，并将其用于过程之间的相似性由近似互模拟关系精确表征的情况。定理4.6考虑两个CMP S1=（S1，T1，U）和S2=（S2，T2，U）是双相似的，即S1R<$S2.则dc（S1，S2）0，任何两个初始条件xi∈Si，i=1， 2，并通过诉诸SBF的性质（如定义5.2所述）和马尔可夫不等式[27]，以下成立：P（x，x）。超0≤k<∞<$Y1（X1（k））−Y2（X2（k））<$2≥δ<$= P（x1，x2） 超0≤k<∞g（X1（k），X2（k））≥δ≤P（x1，x2） 超0≤k<∞<$（X1（k），X2（k））≥δ（x1，x2）（三）≤δ。我们已经表明，一个SBF的知识，允许推导出两个过程之间的近似质量的界限。接下来，我们调查了三种概念上不同的方法来找到这样的SBF。5.1基于随机稳定性的随机互模拟函数的刻画[40]中的贡献提出了为某些连续时间随机过程类构造SBF的条件，即在漂移、差异系数和观测图中是线性的模型该设置允许具有相关（线性）重置的自发跳跃（在均匀到达下），从而导致具有混合结构的模型[12，17]。读者可以参考[40]中随机互模拟函数计算的实际例子。在目前的工作中，我们重新推导了离散时间模型Si，i= 1， 2的SBF存在的条件，类似于[40]，为了清楚起见，我们专注于以下更简单的（非混合）动力学：Xi（k+ 1）=AiXi（k）+Biui（k）+FiXi（k）wi（k），Yi（k）= CiXi（k）。（四）这里wi是独立的标准正态随机变量，我们假设A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）315ΣΣQ两个过程的输出在相同的空间上取值。考虑具有以下二次形式的候选SBF：（x）=xTMx，（5）其中x= [X1X2]T，M是一个大小合适的、对称的、非负定常矩阵。定理5.3假设S1和S2是自治的（即，忽略项Bi）。 考虑联合过程（S1，S2）。 如（5）中的函数是S1和S2的随机互模拟函数，当且仅当M−CTC≥0，ATMA+FTMF−M≤ 0，其中C=[C-C]，A=A1 0，且F=F1 0分。12 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 1415161718 1922010年12月20日证据这两个条件直接来自定义5.2中的相应要求。特别要注意的是，g（X1，X2）=<$C1X1−C2X2<$2=xTCTCx与（i）比较。此外，参考（ii）和定义5.1，并回顾噪声过程的样本实现的独立性Ex[X（X1（k+1），X2（k+1））]=Ex[X1（k+1）X2（k+1）]M[X1（k+1）X2（k+1）]T=xT. ATMA + F TMF例5.4考虑例4.2中的模型Si，i = 1，2，其中AiXi=Xi+ai（Xi），FiXi=bi（Xi）。因为ui= 1是固定的，所以过程是（语义上）自动的。得到了Si，i= 1， 2的SBF，考虑M=CTC=C1−1，⎣−1 1⎦这显然是正半定的，由于矩阵A是退化的，M是这样的，M− F TMF = CTC −（CF）TCF =（C（I-F））TC（I-F）≥ 0。Q16A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）3u1∈U1u2∈U2-≥u2∈U2u1∈U1⎣⎦让我们把前面的结果推广到非自治的情况。定理5.5考虑两个非自治过程S1和S2。的函数在（5）中，S是S1和S2的随机互模拟函数，当且仅当，x∈S1×S2M−CTC≥0，最大值最小值xT. ATMA+FTMF−Mx+ 2xTATMBu≤0，最大值最小值xT. ATMA+FTMF−Mx+ 2xTATMBu≤0，其中B=B1 0π和u=[u u] T。120B2证据 它与定理5.3类似。Q现在让我们详细说明CMP中的控件与LMP中的标签所扮演的不同角色。注5.6[标签与控制]注意定理5.5中的条件是作为两个模型之间的动态博弈而建立的。这与控制输入在定义5.2中所起的作用一致，与定义4.1或4.4（最初为LMP规定），为两个模型固定了相同的控制输入这种差异突出了两种不同的方式来构思标签的作用，一方面LMP，另一方面CMP的控制输入。在LMP中，标签旨在作为系统对其做出反应的环境（或对手）所采取的预定义时间表或行动这与不确定主义在LMP中所扮演的角色是一致的。对于第二种模型（CMP以及系统和控制文献中的MDP），控制输入是基于目标函数或策略（在时间跨度上的控制动作的“字符串”）合成的动作，这些策略是为模型选择的注意这种差异如何反映在[24]中给出的近似互模拟的博弈论定义中（作为“证明者”之间的博弈模型和Q定理5.5可以根据LMP解释重述如下：推论5.7考虑两个具有相同输入空间U的非自治过程S1和S2 如（5）中的函数f是S1和S2的随机互模拟函数，当且仅当对于任何u'=[uu]T∈ U×U，以下成立，fx∈S1×S2：M CTC0，xT. ATMA+FTMF−Mx+2 xTATMBu≤0。相反，为了完整性，我们提供了一个定义声明4.1根据CMP解释如下（注意现在U1/=U2）：A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）317⎨定义5.8考虑两个CMPS1 =（S1，T1，U1）和S2=（S2，T2，U2）。一个二元关系R<$S1×S2是S1被S2模拟，如果对任意s1∈S1，存在一个s2∈S2，使得s1Rs2，并且对任意yu1∈U1和R-闭集S<$1×S1×S2，存在一个u2∈U2，使得T（S）1|s1，u1）=T（S2|s2，u2）。如果R也是S1对S2的模拟，则它是S1和S2的互模拟，并且对应于状态对之间的等价关系。Q对于定义4.4的概率互模拟的近似版本，可以引入类似的重述。在这一节中，我们对所研究的联合过程提出了结构性假设，以导出方程（5）所示形状的SBF存在的充分条件。这些条件可以被证明导致所研究的模型的某些随机稳定性，并且方程（5）与过程的李雅普诺夫函数相关[31]。5.2基于随机收缩性的随机互模拟函数的刻画[1]中的贡献引入了基于概率系统的收缩性分析[47]的SBF存在的充分条件（请参考本文中随机互模拟函数计算的实例此外，它表明，随机收缩的概念是相关的增量稳定性的概念的概率版本有趣的是，上一段中给出的结果和基于[40]的模型稳定性假设类似于[50，61]中的确定性等价物，类似地，与增量稳定性相关的收缩性假设与相应的确定性文献[35，55]中的类似结果相似。[2]中的工作将SBF的表征扩展到更一般的混合模型[12，17]。本文将文献[1]中的条件推广到离散时间过程Si以下类型：<$Xi（k+1）=ai（Xi（k），ui（k））+fi（Xi（k））wi（k），<$Yi（k）= ci（Xi（k）），k ∈ N.（六）一般来说，函数ai、fi和ci可以是非线性的。通常，过程Xi∈Si（例如，Rn）和wi（k）是独立的标准正态随机变量。我们假设一个解是定义良好的，这只需要对状态方程右侧的量进行有界性假设此外，我们假设观测函数ci在原点为零，并且它们是Lipschitz连续的，常数0 ≤νi<∞。让我们专注于自主模型（即，让我们忽略你的影响。以下定义受[52，53]的启发，它扩展了早期的研究，用于确定。18A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）3阿克斯阿克斯⎣⎦小模型[47]。定义5.9[随机收缩性]考虑（6）中的过程Si，其假设以下条件有效：(i) ai（·）满足：对所有的ll x∈Si，<$Λi<∞：λmax.ai（x其中，λai/λmax（x）是在x处取值的ai的雅可比矩阵，λmax（·）是函数计算矩阵特征值实部中的最大值;(ii) fi（·）是Lipschitz连续的，其中Ki是有限的，位置是常数.则称（6）中的系统Si是随机压缩的（在单位度量中），如果Λi + 2Ki 1.< Q随机压缩过程的性质（如非恒等式的推广，加权度量，以及与概率增量稳定性的关系）在[1]中得到了进一步的讨论。其次，给定两个过程Si，i=1，2，证明了联合过程（S1，S2）的随机压缩性包含两个过程之间概率双相似的条件收缩性旨在对两个过程保持相同的度量（如上所述，我们在这里考虑单位度量）考虑两个过程的并行组合，a=a1，f=f1 0，c=[I−I]c1=[c-c]，2012年2月100f2m1 2C2其中新的输出映射计算两个原始映射之间的差异。让我们再次开始考虑自治模型。定理5.10考虑两个自治过程，系统S1，S2的解如（6）所示。若S1，S2的合成是随机收缩的，则S1，S2是概率双相似的.当存在时，概率互模拟函数的形式为<$（X1，X2）= 2 ν<$[X1，X2] T<$2，其中ν=max {ν1，ν2}。Q例5.11考虑例4.2中的模型 Si，i=1，2，其中向量场 ai（Xi）取Xi+ ai（Xi）的值，而fi（Xi）=bi（Xi）。 过程再次是（语义上）自治的，因为ui=1i s fixed d。注意，Λ i= 0，而Ki<1/2，因此Λ i+2 Ki<1。 由于ci（Xi）= Xi，我们得到νi= 1。 假设两个过程都是压缩过程，考虑<$（X1，X2）= 2 <$[X1，X2] T<$2，得到了Si，i = 1，2的SBF.Q非自治情况的扩展如下。推论5.12考虑两个过程，系统S1，S2的解如式（6）所示。S1，S2是可双相似的，如果（1.） 对任意的u1∈U1，存在re∈u∈U2，且如果（2.）对任意u2∈U2，存在u∈U1，使得S1，S2的组合A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）319⎣⎦⎣⎦δ在以下两种情况下，S_（x1，x2）∈S1×S2是最稳定的：的1.=a1（·，u1），且aa2（·，u<$2）=a1（·，u1），a2（·，u2）具有相关联的参数Λ 1。和Λ 2。分别这里是f1。= f2。 我们假设它是参数为K的Lipschitz方程。 上述条件可以表示为：max min Λ 1。 +2K1<，最大最小Λ 2。+ 2 K<1。u1∈U1u<$2∈U2u<$1∈U1当存在时，概率互模拟函数的形式为<$（X1，X2）= 2 ν<$[X1，X2] T<$2。Q与前一节中的方法相比，基于矩阵不等式，收缩性条件可以直接在系统动力学上计算（抽象地说，可以表征这样的条件有效的状态空间的部分，并且该区域在某种意义上是不变的）;此外，直接获得概率互模拟函数;最后，这些条件适用于非线性动力学，但目前，前者的结果适用于具有更丰富动力学的模型。这两种方法都可能产生保守的界限。5.3随机互模拟函数作为概率可达问题解对于可测函数g：S1×S2→R+和参数δ∈R+，超水平集0 0Sg（δ）={x ∈ S1× S2：g（x）> δ}.考虑分别在有限和无限时间范围N∈N <${∞}上对应于样本空间Ω的事件集 ， ΩN+1 = （ S1×S2 ） N+1 ， 并 具 有 典 型 积 拓 扑 . 对 于 任 意 N≥0 且 A∈ B（S1×S2），我们定义ΩN+1rN（A）={ω∈ Ω N+1| <$n∈ [0，N]：X（n，ω）∈ A}，r（A）={ω∈ Ω ∞| <$n≥ 0：X（n，ω）∈ A}.量rN（A）表示联合过程X=（X1，X2）在时间视界[0，N]内进入集合A的事件，而r（A）将这个量扩展到无限视界。对于有限视界N，可以注意到，VN（x）=Px[rN（Sg（δ））]，二、20A. Abate/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 297（2013）3δ因此，可以通过求解离散时间中的概率可达性问题来计算感兴趣的度量VN（x）[6]。许多贡献已经提出了近似计算这个量的技术[4，28]。接下来，我们关注无限视界的情况，其中Vδ（x）= Px [r（S g（δ））]。注意，后一个量通常很难精确量化。 最近的工作[63]提供了限制这个量的方法，或者提出了用有限步程序计算它的条件。这些条件关键取决于决定和计算动力学的“吸收”集的存在对受控情况的扩展涉及再次在两个模型的控制输入上建立一个博弈。读者可以参考[63]，了解这种随机互模拟函数的计算示例。6基于抽样技术和随机化算法的上述定义和概念的集合允许建立用于在有限或无限时间范围内考虑时对两个过程（的分布或轨迹）因此，他们依赖于所研究模型的结构假设接下来，我们提出了一种方法，首先在[5]中描述，它的优点是对一般模型有效，没有对它们提出特定的结构假设。 它考察了两个过程在有限范围内的样本轨迹。换句话说，虽然上面的方法集中在模型的语法上，但这种技术直接利用了流程语义。材料集中在自治的情况下。考虑两个自治过程S1、S2，对于它们，等式（3）可以解释如下：Px.dT（S1，S2）>δα≤αPx.dT（S1，S2）≤δε≥1−ε，其中dT（·，·）表示在有限时间范围[0，T]上计算的、从x∈S1×S2开始的两个变量之间的度量，而δ是量化近似精度的给定所需参数，λ是取决于模型的先验量（对近似的概率置信度）。度量dT（·，·）的选择是不受限制的;[5]采用两个轨迹之间的时间距离，或者两个过程的轨迹之间的Hausdor距离。从不同的角度来看，上面的不等式可以解释为近似值（δ）的量化，给定两个过程相似性的确定性水平（1−1）近似的质量δ直到水平1−1可以被评估为以下机
我的内容管理
展开
