理论计算机科学电子笔记164（2006）67-84www.elsevier.com/locate/entcs关于集函子4的一些性质和几个问题Daniela Cancila1美国大学数学与信息学系意大利乌迪内Furio Honsell2美国大学数学与信息学系意大利乌迪内Marina Lenisa3美国大学数学与信息学系意大利乌迪内摘要我们研究集（类）的范畴上的函子的性质以及集（类）函数。特别地，我们研究了包含保持函子的概念，并讨论了集合函子的各种单调性和连续性。作为这些属性的结果，我们表明，某些类的集运营商不承认函子扩展。然后，从Aczel的特殊最终余代数定理出发我们提出了一些建议和问题。关键词：集合范畴，集合函子，包含保持函子，κ基函子，κ可达函子，映射上一致函子，最终余代数。1电子邮件：cancila@dimi.uniud.it2电子邮件：honsell@dimi.uniud.it3电子邮件：lenisa@dimi.uniud.it4部分由ART项目（PRIN 2005015824）和欧盟项目FP 6-IST- 510996 TYPES支持的研究。1571-0661 © 2006 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2006.06.00568D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）671引言近年来，集合的范畴，即对象是一个可能的非良基论域的集合（类），态射是集合（类）函数的范畴，已经被用作研究共代数语义基础的方便设置，见例如。[1、2、7、8、10、18、15、12、3、4]。本文在文献[3，9]的基础上首先研究了包含保持函子，然后研究了集函子的连续性。包含保持函子的概念在[5]中得到了广泛的研究。[5]关于包含保持函子的主要结果如下：定理任何一个集合内函子都自然同构于一个保包含函子。在上述定理的基础上，我们证明了以下强连续性结果：定理（κ-连续性）任何集合内函子自然同构于函子G，使得对于所有|X|=κ无穷大，|≤ κ| ≤ κ= GX ={GY||Y| {<\fn黑体\fs22\bord1\shad0\3aHBE\4aH00\fscx67\fscy66\2cHFFFFFF\3cH808080}上述κ-连续性结果加强了[3]的定理2.2作为κ-连续性定理的一个结果，我们得到以下结果：定理（类连续性）任何类内函子都自然同构到类上连续的函子G，即， 对于所有真类X，GX={GY|Y设置<$Y<$ X}。上面的类连续性结果对应于这样一个事实，即任何类内函子都是基于集合的，正如最近在[3]和[9]中独立证明的那样。上面的一般κ-连续性定理的一个有趣的应用是，正如我们在本文中所展示的，我们可以排除一类满足一定基数条件的集合算子的函子扩张的存在性这个结果可以被看作是对[16，19]中发展的“不存在函子”理论的贡献由类连续性定理，利用Aczel然而，[1，2]和其他存在定理中是相当抽象的，因此不是特别有用的应用程序，在那里我们有兴趣在计算和研究性质的元素的共归纳类型，并在开发正式的工具，推理他们。因此，重要的是要确定函子的类，其最终余代数具有概念上独立的特征。这一领域的主要结果是Aczel许多自然产生的函子在映射上是一致的，或者至少自然同构于D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）6769在映射上是一致的函子。 然而，我们表明：定理存在函子，(i) 不自然同构于映射上一致的函子(ii) 在映射不是(iii) 包含保持且其最终余代数不是最大定点;(iv) 在地图上是一致的，在物体上是同构的，但不是自然同构的。证明上述定理的所有反例都依赖于函子对非内射函数的因此，我们面临以下公开问题：问题(i) 所有函子在内射函数上是否自然同构于在映射上一致的函子 ？(ii) 设F，G在对象上和在内射函数上重合. F，G是否允许同一个最终余代数？此外，正如我们将展示的，值得注意的是，如果我们研究定理类范畴上的任何内函子都自然同构于一个函子，该函子的唯一不动点与单位元一起是一个最终余代数。定理类范畴上的任何内函子自然同构于一个没有不动点的函子。总结在第2节中，我们提供了集合论和范畴论。 在第三节中，我们研究了包含保持函子的性质。在第四节中，我们讨论了集函子的连续性。在第5节中，利用前面研究过的连续性，我们排除了一类集合算子的函子扩张的存在性在第六节中，我们研究了映射上一致的函子和作为（最大）不动点的最终余代数的特征。最后评论和未来工作的方向见第7节。致谢作者感谢Jiri Adamek的有用评论。2预赛2.1集合论我们将在一个集合和类的宇宙中工作，这些集合和类满足vonNeumann-Bernays-Godel的NBG理论。NBG是封闭的，相对于更小的70D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）67Zermelo-Fraenkel的ZFC集合论。ZFC与NBG的主要区别在于NBG的对象之间有适当的类。 NBG和ZFC实际上是等相容的，NBG是ZFC的保守扩张。在NBG中，真类与集合的区别在于它们不属于其他类。此外，NBG类满足冯·诺依曼公理N，说明所有真类具有相同的集合论域的基数，我们用Ord表示。我们将考虑良基集合和非良基集合的集合论论域.在非良基宇宙中，基础公理被反基础公理所取代，例如Forti和Honsell的X1，[11]或Aczel的AFA [1]。非良基集，也称为超集，已被用于模拟计算机科学和其他各种领域中的循环现象，参见例如。[8]的一项建议。在本文中，我们将用V表示（非）良基集的论域。备注。 在本文中，我们将不仅涉及大对象，如真类，而且涉及非常大的对象，如范畴上的函子，其对象是类。一个基本的形式理论，可以容纳自然我们所有的论点是不容易获得的。需要一个实质性的形式主义的解释来正确地因此，我们将采取务实的态度，并自由地假设我们手头有类和类上的函子。关于一致性的担忧可以通过假设我们的环境理论是一个具有不可达基数κ的集合理论来消除，并且我们的对象理论的模型由那些遗传基数小于κ的集合组成，比如说，我们的模型的类是Vκ的子集，并且函子生活在环境宇宙的适当行列中。2.2分类目录在这篇论文中，我们将讨论纯集合范畴和类范畴。所谓纯集合范畴，我们指的是这样一个范畴，它的对象是一个（可能是非良基的）论域的集合，并且其中态射是集合论函数。所谓类的范畴，我们指的是这样一个范畴，它的对象是一个（可能是非良基的）论域的集合和类，其中态射是它们之间的集合（类）函数。我们将使用术语集的范畴来表示一个纯集的范畴或一个类的范畴，并且我们将把它表示为由C.在本文中，我们使用以下关于函数的基本符号：记法。设f：X→Y是集合（或类）上的任意函数，且XJ<$X，则：• gr（f）表示f的图;• imgf表示f的图像;• F|i mgf：X→imgfdenteD. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）6771余域Y到f的图像;• fXJ：XJ→Y表示通过限制以下域从f获得的函数：f到XJ。3包含保持函子在本节中，我们将重点讨论包含保持函子，即保持包含映射的函子。包含保持函子满足许多有趣的性质，我们在本节中收集。特别是，我们提供了一种替代方案，证明了[5]中关于包含保持函子的主要结果，即任何一个集合范畴的函子都是一个包含保持的函子。下面的命题3.2的结果也出现在[5]中，但是对于包含保持函子的态射上的值只依赖于态射的图而不依赖于目标。有趣的是，这被证明是函子保持包含的一个充分必要条件。在下一个定义中，我们回忆包含保持函子的概念：定义3.1F：C → C是包含保持的，如果X，Y. X<$Y=<$F（iX，Y）=iF（X），F（Y），其中i X，Y：X→Y是从X到Y的包含映射。包含保持函子满足以下性质：命题3.2设F：C → C是包含保持的。然后(i) F的基础算子是单调的，即X<$ Y = FX FY。(ii) F保持函数的图像，即， 对于任意f：X→ Y，F（img f）=imgF（f）.(iii) 任何态射上的FJ J J J即 对任意的f：X → Y，f：X → Y，gr（f）= gr（f）<$gr（F（f））=gr（F（f））.J反之亦然，如果对所有f：X→Y，fJ：X→YJ J，gr（f）=gr（f）<$gr（F（f））=gr（F（f）），则F是包含保持的。J(iv) 对所有X<$X和所有f：X→Y，gr（FfXJ）= gr（Ff）J。FX(v) F保持非空的有限交集，即 对于所有的X，Y，使得X <$Y/=F，F（X，Y）= FX，FY。证据(i) 直截了当。(ii) 设f：X → Y。 则F（f）= F（I imgf ，Y<$f|imgf）= I F（imgf ） ，FY<$F（f|imgf），因为F是包含保持的。因此，img F（f）=img F（f|imgf）=F（imgf），sinc e f|I MGF是一种既简单又实用的函数，用于实现简单的函数。72D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）67(iii) 设f：X→Y，FJ：X→YJ使得gr（f）=gr（FJ）.则img（f）=D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）6773ιXJ J Jimg（f），henc e f|f =f|i mgfJ，f=ii mgf，Yf|i mgf，anddf=Iimg f，YJF|imgf. 因此，由于F是包含保持的，所以F（f）= I F（imgf），FY<$F（f|imgf）J JandF（f）=iF（i mgf），FYJ<$F（f|i mgf），即 gr（F（f））=gr（F（f））。（1）设X≠Y。则gr（iX，Y）=gr（idX），因此gr（F（iX，Y））=gr（F（idX））=gr（idFX）. 因此，F（X）<$F（Y）和gr（F（iX，Y））=gr（iFX，FY），因此F（iX，Y）=iFX，FY。Q(iv) 下图为通勤：YID Y、、、fXJfXJX因此，使用F是包含保持的事实，也可以对以下diagram进行交换：FYidFY、、、F（fJ）FfJFXFXι因此，gr（FfXJ）=gr（Ff）J。FX(v) ByProposition2. 1ofV. Trnkov`a，[17]，everyysetfunctorF：C→C在以下意义上表示非空的有限交集：设X，Y <$Z使得X<$Y/=f，tenimg（F（iX<$Y，Z））=img（F（iX，Z））<$img（F（iY ，Z））。 Byitem（iii），img（F（i X，Z））= F（X，Y），img（F（i X，Z））= FX，img（F（iY，Z））= FY。 因此F（X <$Y）= FX <$FY。Q简单地说，不是每个函子都是包含保持的。只要考虑通过同构地将给定集合上的值映射到与子集上的函子的值不相交的集合而获得的任何函子。然而，在下文中，我们将证明，任何函子是自然同构到一个ninclusionpreren为此，我们首先引入严格函子的概念：定义3.3（严格函子）·函子F：C → C是严格的，如果F=。• 设F：C → C是一个函子，F（X）：C → C是严格函子，定义为F是一个函数，其中F（X）=F（X），对于X和空函数X：X →X，F（X）= F（X）.定理3.4任何函子F：C → C自然同构于一个保包含函子。我的律师。 设G：C→C，则由以下函数定义：对于所有X，G（X）=img（F（iX，V）），74D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）67∅Z，VX，V∅Z，VX，V∅Z，VY，V∅Y，VX，VX∅Y，VX，V∅Y，VX，V∅X，VY，V并且对于所有f：X→Y，G（f）=G（X）→G（Y），G（f）=F（iY，V）|imgF<$（iY，V）<$F<$（f）<$（F（iX，V）|imgF（i））−1.X，V• 我们证明G是有定义的。根据定义，G保持恒等式。现在我们证明G保持合成。设f：X→Y和g：Y→Z，G（g<$f） =F<$（iZ，V）|i mgF（i）<$F<$（g<$f）<$（F<$（iX，V））|i mgF（i））−1=F（iZ，V）|i mgF（i）<$F<$（g）<$F<$（f）<$（F<$（iX，V））|i mgF（i））−1=F（iZ，V）|i mgF（i）<$F<$（g）<$（F<$（iY，V））|i mgF（i））−1<$F|i mgF（i）<$F<$（f）<$（F<$（iX，V））|i mgF（i ））−1=G（g）<$G（f）• 我们证明了函子G自然同构于F_∞。设τ={τX：GX→FX}X是双精度函数的集合，其中定义为τX=（F（iX，V）|imgF（i））−1. 我们证明了τ是一个自然同构。 设f：X → Y。X，V我们证明了τY<$G（f）<$τ−1=F（f）。通过在Gf上替换，τY<$G（f）<$τ−1=τY<$F<$（ιY，V）|i mgF（i）<$F<$（f）<$（F<$（iX，V）|i mgF（i））−1<$τ−1XY，VX，VX=F（f）byfτX，τY的定义。• 我们需要证明G是包含保持的，即G（iX，Y）=iGX，GY。设X<$Y，设IX，Y：X→Y。然后，G（iX，Y） =F（iY，V）|i mgF（i）<$F<$（iX，Y）<$（F<$（iX，V））|i mgF（i））−1=F（iY，ViX，Y）|i mgF（i ）（F（iX，V））|i mgF（i））−1=（F<$（iX，V）<$（F<$（iX，V））|i mgF（i ））−1）|i mgF（i）=IGX，GYQ4集函子的连续性本节致力于研究集合范畴上我们引入了基数κ上连续性的两个概念：基于κ的函子的概念，它推广了Aczel的基于集合的函子的概念，以及明显较弱的κ -D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）6775可达函子的概念，它本质上基于κ的函子和κ可达函子的两个概念是等价的。本节的主要结果是第1节中所述的κ-连续性定理，即：一个新的系统和有趣的技术是一个自然的，它是一个功能强大的技术G，所有|X|= k无穷大，如果|GX| ≤κ，则GX = {GY||Y| {<\fn黑体\fs22\bord1\shad0\3aHBE\4aH00\fscx67\fscy66\2cHFFFFFF\3cH808080}76D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）67这个结果的证明是相当困难的，它利用了几乎不相交系统的结果。上述连续性结果和公理N的一个有趣的结果是下面的类连续性结果，最近在[3，9]中证明：一个新的文化和乐趣是一个普遍的，是一个更高的阶段，以达到一个功能的G，其中在类上连续，即， 对于所有真类X，GX ={GY|Y设置<$Y<$X}。我们首先介绍基于κ和κ-可达函子的定义。定义4.1（基于κ）设κ为基数。 函子F：C → C是基于κ的如果对于每个对象X和每个x ∈ FX，存在Y <$X，|Y | 1。• x∈ FX是从Yκ-可达的 ， 如果|Y|<存在f：Y → X使得x∈ img（Ff）.• x∈ FX是κ-可达的，如果存在Y使得x是从Y的κ-可达的。• x∈ FX是κ-不可达的，如果它不是κ-可达的。• FX是κ-可达的，如果对所有x∈FX，x是κ-可达的。• 函子F是κ-可达的，如果对所有X，FX是κ-可达的。以下是上述定义的直接后果引理4.3(i) 如果|X| κ。证据 根据[13]，引理24.7，我们证明了一个稍微更一般的陈述，即存在几乎不相交函数族F：κ → κ，使得|> κ。|> κ. 函数f，g：κ → κ几乎不相交，如果|{α |f（α）= g（α）}|<κ。设由Zorn引理存在的κ让|{f α|α< κ}| ≤κ是一个极大集，我们定义了一个新的元素f乘f（α）= μβ。你好<βf = f γ（α）。 显然，对于所有α κ，|f（γ）= f α（γ）}|为|α|κ。|< κ.一旦我们考虑F中函数的图形，原始的陈述现在是简单的，它们是κ×κ=κ的子集。Q为了证明下面的κ-连续性定理4.9，我们仍然需要一些技术性的结果：引理4.7设F：C → C是包含保持的，且κ是无限的。 让{Y α}α≤κJ是κJ≥ 2集合的族，使得|Y α|为|X|=κ。若FX是κ-不可达的，则对任意内射函数族{f α：Y α→X}α≤κJ，使得|img（fα）img（fβ）|<当k∈ F（img（fα））=β时，x是k_J的k-不可达元素{x α∈F（img（f α））}α≤k_J的集合.我的律师。 W.通过定义函数{gα：X→X}的一个集合，可以得到如下结果：gα（x）=x如果x∈img（fα），其中xx0否则是img（fα）中的任意元素）的。现在|img（gα）fα）|为|img（fα）|=κ，sinc e fαinje，其中|img（gα<$fβ）|<κ，对于α/=β，sinc e |img（fα）img（fβ ）|< 这是一个很好的例子。当α f = β时，F（img（gα<$fα））是κ-可达的，而F（img（g α<$f α））包含一个κ-不可达的元素x α.根据命题3.2（ii），F（img（g α<$f α））=img（F（g α<$f α）），因此存在x α∈img（F（f α））κ-不可达使得g α（x α）= x α. 现在我们证明x α/∈img（F（fβ）），对于所有β α。 即，矛盾地假设xα∈img（F（fβ）），则x α∈img（F（g α<$f β））. 也就是说，使用命题3.2（ii），xα∈F（img（gα<$f β））。因此，由于xα作为F（img（gα<$fβ））的元素是κ-可达的，那么它作为F（img（gα<$fα））的元素，通过包含映射也是κ-可达的i：img（gα<$fβ）→img（gα<$fα）。矛盾5.Q下面的命题6是引理4.6和上面[5]这个证明使用了假设κ无穷大。然而，如果我们放弃这个假设，引理4.7也在这种情况下，证明可以通过对κ的归纳来进行。[6][19]和[14]中出现了一个本质上等价的陈述，但没有证明，但在GCH下。078D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）67引理：第4.8章让|X|= κ无穷大。 如果FX包含κ-不可达元素，J则存在κJ> κ使得 FX包含 κK-不可达元素。证据我们在F包含保持的情况下证明了这一结论。 一般函子的结果则由定理3.4得出，通过观察κ-不可达元素在自然同构下保持不变。设F是包含保持的。根据引理4.6，存在X上的几乎不相交系统X，使得|X |= κJ> κ。对于每个Y∈X，让我们考虑包含映射<$Y，X：Y→X。根据引理4.7，J我们得到FX包含κ κ-不可达元素。Q最后，通过命题4.8和定理3.4，我们得到：定理4.9（κ-连续性）任何集合内函子自然同构直到-G是一个函子，对于所有|X |= κ无穷大，|≤ κ| ≤ κ= GX ={GY||Y| {<\fn黑体\fs22\bord1\shad0\3aHBE\4aH00\fscx67\fscy66\2cHFFFFFF\3cH808080}上述κ-连续性定理4.9的一个推论是：定理4.10（类连续性）任何类内函子自然同构于在类上连续的函子G，即，对于所有适当的类X，GX ={GY|Y设置<$Y<$X}。证据我们通过矛盾来进行，即我们假设F不是基于Ord的。也就是说，存在一个类X，使得FX包含Ord-不可达的元素.根据定理4.9，|FX|>Ord，与NBG的公理N相矛盾，即所有类都有基数Ord。Q备注。注意，如果GCH不成立，则上述定理4.9可以被加强到以下情况：|FX| ≤kJ≤ 2 |X|，对于κJ>|X|在假设存在一个几乎不相交的基数系统κ j的条件下，已知存在这种情况。5不存在的函子由于集函子保持非空区域的内射映射，所以算子和简单的函数是单调的。R. t.obj ectcardin ali es ， up-to-o-par.这 类 算 子 是 n- 单 调 算 子 ， 如X<$→{x|x<$X=}，不能扩展到函子。在第4节中，我们证明了集函子下面的算子也满足各种连续性特性。在这里，我们利用这些，我们表明，一些（单调）集运算符是不可扩展的函子。或者，等价地，在对象部分满足某些（基数）条件的函子不存在。这个问题已经在以前的论文中讨论了满足对象部分上的基数方程系统的函子的不同类别，[16，19]。这里我们重点讨论用不等式表示的基数条件的情况。例如，我们能够证明不存在函子F：C → C使得D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）6779⎧101 如果|X|<ω|=|= ⎩2如果|X| ≥ ω也就是说，通过矛盾假设这样一个F存在。根据定理3.4，w.l.o.g.我们可以假设F是包含保持的。 现在，令X≥ω，令FX={x1，x2}。然后，通过定理4.9，FX是基于ω的。也就是说，必须有两个有限的设 置 Y1， Y2X， 使 FY1={x1} ， FY2={x2}。 但 是 ， 由 于 F 是 单 调 的 ， F（Y1<$Y2）={x1，x2}，这与以下事实相矛盾：|年1月2日|<ω。上面不存在函子的例子是下面定理5.1我们记得基数κ是弱不可达的，如果它是正则的极限基数，即κ大于长度小于κ的基数小于κ的链的sup。定理5.1的证明遵循与上述例子相同的证明路线定理5.1不存在函子F：C → C使得⎧|为|= ⎨κ1如果|X|J<κ1否则，J J其中κ1 κ2 κ1和 κ1，κ1是后继和弱不可达基数，分别6终余代数在本节中，我们讨论最终余代数作为（最大）不动点的特征。特别地，我们从分析Aczel的特殊最终余代数Theo-rem [ 1 ]和映射上的函子一致的概念开始我们提出并讨论了各种例子的函子是不是（自然同构的函子）统一的地图上，我们提供了不同类别的函子的替代特征定理。AczelC类函子在映射上是一致的。我们记得范畴C类是集合的非良基论域 Aczel给出了最终余代数作为函子下的算子的最大定点的特征映射上一致函子的一个例子是幂集P：C类→ C类。众所周知，集合V的非良基论域既可以被看作幂集的最大定点，也可以被看作最终P-余代数（V，idV），见例如[18]更多详情在引入函子一致的定义之前，映射，我们回想起用A中的原子展开的宇宙是集合的宇宙，集合的元素可以是给定类A的原子。用A中的原子膨胀的非良基宇宙，用VA表示，结果是最大的定点函子P（A+）的一个新的性质，即V A= νX。P（A+X）。此外，还可以证明（VA，id）是一个最终的P（A+）-余代数。实际上，函子P（A+）也是映射上一致函子的一个实例。80D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）67定义6.1（映射上的一致）设F：C类→ C类。则F是uni-formed映射，如果F是A . A：F（A）→VA，使得f：A→B，f∈F（A），F（f）（a）=f^φ A（a），即：F（A）φAVF（f）BFJJF（B）iF（B），V V其中VA是A中原子的扩展宇宙，对于任何f：A→V，f^：VA→V定义为：f^（x）={f（y）|y ∈ x <$A}<${f^（y）|y ∈ x<$VA}。7请注意，上面关于映射上一致函子的定义并不完全是[1]的定义，不同之处在于，在原始定义中，图的可交换性仅对函数f：A→V是必需的。我们的定义的优点在于，它意味着映射上的任何一致函子也是包含的。否则，这必须作为假设添加到特殊最终余代数中定理一个映射上一致的函子是一个函子，它在态射上的行为由在对象上的行为决定。也就是说，通过定义6.1，F对态射的作用是用族{φA}A给出的。 但我们可以证明族反过来又由F对对象的作用决定，更多细节见[9]。Aczel定理6.2（特殊最终余代数定理，[1]）设F：C类→ C类在映射上是一致的. 则（JF，id）是最终F-余代数，其中J F是F下的集合算子的最大定点，即J F= νX.FX。映射上一致函子的定义和上述定理的证明本质上利用了这样一个事实，即C类集合的论域是非良基的（更多细节见[1因此，特殊最终余代数定理不能直接推广到一般的类范畴。各种问题自然出现在集合上的函子统一的地图。众所周知，在映射上存在不一致的函子，即恒等函子Id。 然而，Id自然同构于上的函子一致，映射，即函子Sing定义为Sing（X）={{x}|x∈X}。因此，自然会产生这样的问题：C类函子上的所有函子是否自然同构于映射上一致的函子答案是否定的;在下文中，我们给出各种反例。第一个反例由幂集的子函子给出，它产生给定基数的所有子集通过考虑函子R3得到了其他反例，函子R3相当于3-有界幂集，7通过稍微滥用符号，在上图中，我们使用相同的符号f表示函数f：A→B和函数f：A→V。一D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）6781即最多三个元素的所有集合的幂集。 函子R3在[6] 出于不同的原因。这个函子是特殊的，因为，与所有其他函子相反，函子Rn对于n3，它允许两个变体，函子F1，F2，具有相同行为的对象，但不同的行为上的态射。虽然R3在映射上是一致的，但F1和F2都不是自然同构于映射上一致的函子。最后，我们的最后一个例子的函子，这是不自然同构的函子统一的地图，是一个变种的迭代幂集函子。在这里，我们给出了精确的定义：定义6.3(i) κ-Powerset。 设B κ：C → C，对于任意基数κ，定义为：B κ X={uX||u|= κ}{}。对于所有f：X→Y，B κ f：B κ X→B κ Y定义为：⎧f+（u）={fx|x∈u}如果|fu|=κBκ f（u）=否则的话。(ii) 3-有界幂集 设R3：C → C使得R3X ={u |0 <|u| ≤ 3}，且对任意f：X→Y，R3f= f+.设F1X = R3X ={u<$X|0<|u| ≤ 3}。对于所有f：X→Y，⎧{fa}if|f+（u）|=2<$u={a，b，c}<$fa=fbF1f（u）=f+（u）否则。设F2X = R3X ={u<$X|0 <|u| ≤ 3}。 对于所有f：X→Y，⎧{fc}if|f+（u）|=2<$u={a，b，c}<$fa=fbF2f（u）=f+（u）否则。(iii) 迭代Powerset。设G是迭代反变幂集函子，定义为G（X）=P（P（X）），对所有类X，对所有f：X→Y，Gf：P（P（X））→P（P（Y）），使得G（f）=f，其中f定义为f<$（α）={y <$f+（<$α）|f −1（y）∈ α}，其中f −1（y），对于y ∈ PY，我们表示y在f下的逆像。可以检查上面的函子是否都是包含保持的。然而，在这方面，命题6.4函子B κ，F1，F2，G：C类→C类，对2 ≤κ< ω，不自然同构于映射上一致的函子。证据Bκ我们通过矛盾来进行。设F：C →C是映射函子上的一致映射函子，使得Bκε=F. 这是{τX：BκX−τ→FX}X。在特定情况下，对于任意f：X→X，我们有：82D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）67κX1XX，设f：XJX是X上的恒等式，但对fb=a。以来JB XτXFXφXVBκfFffbJJJBκ XτXFXιV设f：X→X是X上的恒等式，则由上述图的交换性，我们有：φ X <$τ X（u）= τ X（u），对所有u∈B κ X.因此，特别地，ΦXΦτX是不连续的。此外，还可以通过考虑适当的非内射函数FJ：X→X，来简单地确定φ X = τ X（τ）= τ X（τ）。现在，设u∈ B κ X，|= κ，且d le t f j e s u c h t h a t|fJ+（u）|=κ−|= κ−J在此之前1. 则Bκ f（u）=在此基础上，提出了一种新的差分格式，即f_（J）φ X_（j）τX（u）=τX（u）。现在，我们来看看并且φX <$τX是连续的，其中nφX <$τX（u）=f，并且如果^j<$φX <$τX（u）/=f，则将τX（u）=f。F1我们通过矛盾来进行设F是映射上的一致函子，使得τ：F1τ=F. 在本实施例中，对于f：X→X，具有：F XτXFXφXVF1f FffbJJJF1XτXFXιV设f：X→X是X上的恒等式，则有：φ X <$τ X（u）= τ X（u），对所有u∈F1X.因此φ X <$τ X是单射的。现在，设u ={a，b，c}，uJ={a，b，cJ}，u，uJ→Jφ X <$τ X是单射的，φ X<$τ X（u）/= φ X <$τ X（uJ）。但是，根据代数的交换性，我们有：f^j<$φX <$τX（u）=f^J <$ΦX <$τX（uJ）。 设φ X <$τX是单射的 ， 则 φ X <$τ X （ u ） ={a}<$v 和 φ X <$τ X （ uJ ） ={b}<$v ， 对 某 个 v ，a/∈v<$b/∈v（反之亦然）.JJ现在我们可以通过考虑f：X→X是X上的恒等式，但对于fJJ JJc=fcb，我们得到一个矛盾。F2类似于上面的F1G函子G在内射函数上表现为P2，其中P2是标准幂集函子与自身的合成，而在非内射函数f上，G（f）在f的任意一个条件下都是P2（f），否则是任意的条件下都是P2（f）. 所谓f-饱和元u∈P2（X），是指满足P（f）（α）= P（f）（β）<$α∈u<$β∈u的元.因此G不能自然同构于一个在映射上一致的函子。 Q现在问题自然出现了，上面的函子是否仍然承认最大定点为最终余代数。答案是肯定的，但对于函子B2的最小定点是最终余代数的情况：6.5号提案JD. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）6783(i) 对于所有κ ≥ 2，集合{k}是B κ的最小定点。 而且（{}，id）是一个84D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）67F¯X、JB κ的最终余代数，对所有κ ≥ 2。(ii) 对于所有κ> 2，{k}是Bκ的唯一定点;而B2允许其他定点。B 2的最大不动点是在以下规则下闭的最小集合A：x ∈A，y∈A{x，y}∈Ax ∈ A。8z={x，z}∈A(iii) 集合{x}，其中x是自单例集合，即 x ={x}，是F1和F2的最大定点。此外，（{x}，id）是F1，F2的最终余代数.(iv) 宇宙V是G的最大定点，（V，id）是最终的G-余代数。然而，请注意，在上述所有情况下，最终余代数都是定点。如果是这种情况，并且函子是包含保持的，则可以证明最大定点是弱最终余代数。这适用于泛型类类别：定理6.6设F是类范畴C9上的保包含内函子. 如果F允许一个定点作为最终余代数，则最大定点J F连同恒等式是一个弱最终余代数。我的律师。 L etX<$b是F的固定点，满足at（X<$，id）是F的固定点，Let（X，α）是F的固定点，L etf：（X，α）→（X <$，id）是F的固定点，L et（X，α）→（X<$，id）是F的固定点。我的天啊（1）belowcommutsinc e（X′，id）isfinal，其中diagam（2）commutsinc eF是在clusionpreserving. 因此，<$X<$，JF是一个F-聚块，它是从（X，α）到（J F，id）的过程。XX¯IX<$，JF Jα（1）id（2）idJJJFXFfFXF（m）FF JFQ在上述命题6.5中的函子Bκ和F1，F2的情况下，作为最终余代数的实际上，这些都是一般情况的例子：当一个类范畴上的函子有一个单定点时，那么这是一个最终余代数。定理6.7设F是类范畴C上的闭函子。 如果F允许一个定点，当X<$hichisai n g l etonsett时，n（X<$，id）是一个finalF-coalgebra。证据设（X，α）是F-余代数.则从（X，α）到o（X<$，id）的唯一余代数态射是f：X→X<$的函数，其中X的所有元素都是X<$的唯一元素.Q如果我们研究[8] B2的另一个定点是x={x，n}。[9]假设C类范畴对于确保F容许C中的最大不动点是必要的。FD. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）6785定理6.8设F是类范畴C上的闭函子。 那么F自然同构于一个函子，它的唯一定点与单位元一起是一个最终余代数。证据通过加强Aczel让我们定义函子G如下。设GΩ = Ω。对于任何X/= Ω，选择GX，使得存在αX：GX→FX双射，但GX Gf=（αY）−1<$f<$αX。X.此外，如果f：X→Y，令我们可以很容易地检查G自然同构于F，Ω是唯一的定点而（Ω，id）是一个最终的G-余代数。Q但是，使用类似于证明定理6.8的技巧，我们也可以证明：定理6.9设F是类范畴C上的闭函子。 则F自然同构于一个没有定点的函子。最后，我们列出了一些评论和问题，在调查的这一部分。• Aczel的特殊最终余代数定理中的F前面考虑的函子F1，F2因此，另一种方法是推广在映射上一致的函子的定义，以便捕获更广泛的函子集合实际上，通过分析特殊余代数最终定理的证明，可以将函数算子的性质这是一个证明，最大的定点是一个（弱）final余代数。 这使我们引入了一个在映射上一般一致的函子的概念，其中函数f^由f代替，对于（）是一个通用函数运算符，是“行为良好的”，即它满足公理化的性质。则在映射上一般一致的函子的最大定点是（弱）最终余代数。这应该允许我们也包含函子F1，F2（和Bκ，对于弱final余代数）的情形。这里我们省略细节。• 第6节中考虑的所有非均匀映射函子都错过了均匀性，因为它们因此，问题自然出现，是否所有包含保持函子都是良好行为的内射函数，即它们在地图上总是一致的。内射函数• 此外，第6节的所有（在映射上不一致的）函子都承认一个定点（尽管不一定是最大的定点）和单位元是最终余代数。因此，出现的另一个问题是，对于包含保持函子是否总是如此。• 第6节中考虑的函子G在对象和内射函数上表现为标准迭代幂集P2此外，G和P2都承认（V，id）是最终余代数.我们推测这是一般情况的一个例子86D. Cancila等人理论计算机科学电子笔记164（2006）67其中，在对象上重合的函子和在内射函数上重合的函子具有相同的最终余代数。7最后意见和今后工作最后，我们总结了最后的评论和未来工作的路线。• 在本文中，我们解决了最终余代数的存在性问题，
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