重新插值的网格：基于插值映射和控制点优化的网格划分

可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报5（2018）305(Re-)基于插值映射和控制点优化的网格划分Ivan Voutchkova，Andy Keanea，Shahrokh Shahparb，Ron Batesba计算工程设计组，南安普敦大学Boldrewood创新校区，176号楼，南安普敦大学，SO16 7QF，英国b通风设计系统，罗尔斯·罗伊斯公司，ML-83，邮政编码Box 31，Derby DE 24 8BJ，UK阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年9月21日收到2017年12月13日收到修订版，2017年2017年12月15日在线发布保留字：网格网格平滑网格重插值网格映射网格优化径向基函数A B S T R A C T这项工作提出了一个简单而快速的方法重新网格化的表面光滑的功能几何尝试之前，CFD分析。目的是提高网格质量，从而提高CFD分析的收敛性和准确该方法是基于构造一个插值的基础上的几何形状，然后映射一个规则的矩形网格的原始几何形状使用该插值。根据所选的插值算法，该过程所需时间从不到一秒到几分钟不等。本文讨论的插值函数主要是三次样条基的径向基函数可以使用主动（柔性）控制点和优化算法来进一步优化网格。一系列的目标函数进行了讨论和演示。重新插值的网格与原始网格之间的差异产生一个度量函数，表示网格质量。结果表明，该方法适用于平面2D表面，3D表面和体积。©2017 计 算 设 计 与 工 程 学 会 Elsevier 的 出 版 服 务 这 是 一 个 在 CC BY-NC-ND 许 可 证 下 的 开 放 获 取 文 章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍本文的研 究工作来源于 一个针对结构 化翼型计算流 体动力学（CFD）网格改进的项目。这种网格的期望取向通常被设计成遵循翼型周围的流体的流动。其中最重要的一个领域是，用于预测边界效应的翼 型 。 通 常 在 该 区 域 采取 额 外 措 施 以 确 保 高 质 量 的 网 格 划 分 。PADRAM（Milli Shahpar，2012）-由罗尔斯·罗伊斯公司开发并使用的工具，通过构建O形网格来实现这一点，O形网格随着单元高度的增加而围绕翼型生长到一定厚度。随后添加四个附加块来表示前缘和后缘以及压力侧和吸力侧。在公共领域中可以找到描述使用RBF进行几何平滑、变形和重建的 许 多 论 文 （ Car 等 人 ， 2001; Jakobsson& Amoignon ，2007;Savchenko ， Savchenko ， Egorova ， &Hagiwara ， 2008;Sieger，缩写：CFD，计算流体动力学; RBF，径向基函数。由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： I.I. soton.ac.uk （ I. Keane @soton. ac.uk （ A. Rolls-Royce.com（S.Shahpar），Ron.Rolls-Royce.com（R. 贝茨）。Menzel ， Botsch ， 2013; Staten ， Owen ， Shontz ， Salinger ，Coffey，2011）。虽然这里描述的发展没有受到任何引用的出版物的直接影响，但这种方法有许多相似之处。主要的区别是，我们的方法开始于最小数量的节点用于构建插值，只有增加更多的，如果必要的（将在后面讨论），而现有的已发表的工作开始大量的点。一些研究人员试图使用各种算法来减少这些点的数量大量的点主要是由公布的方法的预期应用引起的本文考虑的CFD网格具有更平滑的特征，因此使用大量的点是不合理的。ANSYS用户可能会发现类似于该产品的“映射面网格化”功能（ANSYS网格化控制：映射面网格化;ANSYS中的使用这种方法的网格如图所示。 6、我们将进一步讨论。在其基本实现中，这个想法确实非常相似。然而，读者会发现显着的- cant进一步发展的中间和本文的结尾最值得注意的是使用额外的固定点（而ANSYS只使用四个角），并能够移动选定的控制点，以获得优化的网格。向3D领域的扩展引入了更多的该技术还与论文中广泛描述的自由形式变形方法相似，例如（Keane，2004）。https://doi.org/10.1016/j.jcde.2017.12.0032288-4300/©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。306I. Voutchkov等人/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）305. X2. 材料和方法与更传统的结构化网格（其是O形网格到周期性边界的根据几何复杂性，例如，在自动优化工作流程中，有时可能导致所得网格不太完美。一个这样的网格显示在图。 2，其中块4由于一个特定区域中节点的高度集中而缺乏平滑度（图2）。3）。块1和块3在翼型长度的中间附近也有小缺陷已经尝试通过运行导数辅助的、基于梯度的优化器来改进这样的网格测试的目标函数包括元素角度的差异，90°，拥挤距离（定义为欧几里德距离的倒数值）和连接长度的差异内的一个元素和它的邻居。这些目标的最小化组合被证明是成功的小网格（小于100个节点）。然而，当应用于大量的节点时，目标函数变得非常多模态，并且所产生的网格的质量对选择的局部最小值变得非常搜索全局最小值是不可行的，由于显着的计算成本。使用直接节点操作的另一种方法与使用椭圆方程相关联（Winslow，1967）。然而，网格中通常存在不需要均匀网格的区域（特别是对于CFD模拟），例如，在粘性表面附近的边界层中所需的拉伸单元，以及与边界条件加强的表面的该方法的成功还高度依赖于所选择的收敛椭圆方程的迭代方案，其中对于大的和复杂的几何形状可能是不平凡的。另一种技术是加权拉普拉斯平滑的衍生物（Shontz& Vavasis，2004），其中顶点被重新定位到连接到该顶点的顶点的质心-如图1B所示。 四、然后，移动计算如下：P1¼P×W1Nni¼1;nCi-P！;图1.一、由ANSYS 14.0生成的网格，使用映射面网格特征。其中P是节点的原始位置，P1是节点的新位置，C1是n个相邻单元的单元质心。添加加权系数（W）和添加约束可以帮助避免倒置（负体积）元素。这是相对快速的技术，但仍然需要几次迭代。这种平滑方法试图基于单元大小来平滑网格，即，较小小区的节点倾向于向较大小区移动更多数量的图二、由PADRAM（Milli Shahpar，2012）生成的围绕涡轮叶片的多块结构CFD网格I. Voutchkov等人/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）305307图三. 放大区域的块4（图。 2）的情况。见图4。 基于单元顶点的质心平均移动的平滑。迭代将使网格更加均匀。对于较大和复杂的网格形状，由于其平均性质，它可能会过早停止。对 直 接 波 节 移 动 方 法 的 进 一 步 阅 读 和 比 较 可 以 在 Erten ，Ungor，and Zhao（2009）中找到。而不是直接操纵节点的位置，本文consideres一种替代的转换方法。3. 理论和计算3.1. 插值映射让我们首先关注最需要关注的第4块。我们将用它来说明插值映射的思想。作为结构化网格，块4具有图3中用正方形标记的四个不同的角。我们也有一个理想的位置节点周围的周长，它准确地描述了这个域的几何形状。这些边界节点还用于将块4附接到块1、3和O网格（块2）。它们沿长度的分布也是有意的，并且用于在前缘流周围添加更多节点。因此，重要的是要保持固定。基于这是一个结构化网格的事实，另一个效果是这个四角形状的相对侧上的节点数量然后，目标是在这些边界内具有给定四个角和边缘周围的节点数，但忽略几何形状，理想网格以均匀矩形网格的形式存在（图5）。沿X和Y的元件的数量对应于块4。因此，存在一对一函数，其描述期望形状的节点坐标（框4）与图6的模板坐标之间的关系。请注意，只有固定的边缘节点用于构造此函数。一旦建立了这种关系，我们就可以用它来从模板的均匀间隔和直角元素中推导出内部节点的坐标。对于二维网格，需要一对映射函数X¼FxX sq fixed;Ysqfixed;1Y¼FyX平方英尺固定高度;Y平方英尺固定高度2英尺我们已经实验了线性和非线性多项式高达6阶，径向基函数（RBF）与线性，薄板，立方，高斯，多二次和逆多二次基和克里金（琼斯，Schonlau，韦尔奇，1998年; Nurdin，Bressloff，&Keane，2012年）。结果表明，基于三次样条基的径向基函数以最少的时间（计算开销）产生了良好的映射。我们将使用此插值来解释该方法的机制，但我们也将在本文后面RBF背后的理论在别处描述（Car 等人，2001;Jakobsson& Amoignon，2007; Keane，2004; Savchenko等人，2008;Sieger等人，2013; Staten等人， 2011年，我们就不详细介绍了。不熟悉RBF数学的读者，应该仍然能够按照下面的方程再现结果。根据上面的符号，我们可以将边节点的坐标表示为：图五.理想的四角网格表示块4，沿X和Y具有相应数量的节点。308I. Voutchkov等人/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）305N我我NX轴轴Y轴RjijðÞþðÞðÞðÞ þðÞ.qJ我见图6。 理想模板（左）和所需形状（右）之间的函数关系。XjdXwxRi j;i;j<$1.. . N节点数31/1其中fixed是固定控制点的集合，并且具有三次样条基的距离矩阵表示[X，Y]域中的每个点与[Xsq，Ysq]域中的每个点之间的距离，Rij¼Xj固定þ ðYjðfixedÞ-Ysq;iðfixedÞÞð4Þ在上面的j方程组中唯一的未知数是权重wx，并且由于i = j，所以它是完全定义的集合。因此，以矩阵形式书写，权重的解为：带X轴R固定轴：150mm我们使用Choleski因式分解，而不是直接矩阵求逆，以获得更好的数值稳定性，在解决这个方程。然后可以将内部坐标表示为：XintXwxR1/1ð6Þ见图7。 块4其中，internal是内部节点的集合，.qRij¼Xiþ ðYi ðfixed Þ-Ysq;jðint ÞÞ和X sq，以及（7）中的Y和Y sq，可以计算反向映射，显示当前网格如何映射成正方形，如图11所示。8.第八条。通过计算欧几里得图1中对应节点之间的距离 8和5是位置-注意i和j索引的交换。这允许我们将内部模板节点[Xsq，Ysq]转换为所需形状的内部节点，相对于其固定节点的边界。以类似的方式，可以导出第二维的映射函数FNy我可以导出如图9所示的网格质量度量函数。类似地，原始块4和变换块4之间的欧几里得距离可以被映射到块4网格上显示每个节点在变换期间移动了多少，这也可以指示初始网格平滑度如图 10个。3.2. 使用活动控制点的插值映射1/1图图7示出了使用上述RBF映射重新插值的网格。生成的网格现在比原始网格平滑得多。它也比ANSYS 14.0生成的等效网格更均匀，如图所示。 1，使用映射面网格技术，这是我们在现有技术中发现的最接近本文方法的技术。本文后面将进一步讨论如何改进这种网格。通过在（3）和（6）中用Xsq替换X，并交换X图7所示的网格是块4的改进版本，然而可以观察到一些节点仍然彼此太靠近这可以通过添加活动控制点来纠正，活动控制点可以更改其坐标，而不是用于边的固定控制图11（左）中显示了两个等式（1）-（8）仍然有效，如果我们用X i cp替换所有出现的X i fixedD X icp和Y i固定其中Y i cpDYi cp，其中集合cp是固定和活动控制点的并集：IJ：700I. Voutchkov等人/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）305309“XXð Þ ð Þ“XX#DX2DY210%4%所得网格如图11（右）所示。空心圆表示控制点的原始位置，而实心圆是增量坐标。由于网格线与前缘周围的边界正交，因此此网格优于左侧网格3.3. 主动控制点的优化图11是通过手动移动控制点获得的，这在视觉上似乎改善了网格的光滑度和均匀性。为了减少人的主观性，应该定义一个质量度量，并使用优化技术对其进行优化。经过多次实验，确定以下目标函数最成功：目标1O1O2O3O3哪里图8.第八条。原始块4O1¼或NM联系我们“XNXMai;j-360=M4号：四号固定[活动O2/4或和联系我们1/2k节点i-节点jk-k节点i-节点j-1k]DXi cp和DYi cp对于固定为零，对于活动为元素为了证明这一想法，通过试错法手动选取了网格位置为[2117]和[2142]的两个控制点，O3½或NM1i/1j/1k节点i/1k-节点i/2j/1 k说明目的。他们被选在一个靠近高度弯曲的边界线的地区。 这些是图中所示的。 11（左）。相应的增量选择如下：. D X1D Y10.5。 3%-15%的浓度：这里N是节点数，M是节点i的连接数。Thenor [. .]运算符是针对初始网格的归一化值，在对网格进行任何更改之前计算该值。这确保了所有三个目标函数具有相同的数量级，这对于加权对象很重要主动功能法见图9。 正方形和映射的原始网格之间的差异度量。310I. Voutchkov等人/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）305k-k×见图10。 变形后和原始块4之间的差异。图十一岁使用附加活动控制点的插值映射，左O1表示所有波节角αi;j和90°的差，如图12所示。 对于连接数大于4的节点（M >4），分别调整角度。最小化该函数应使节点周围的所有角度相等。O2具有类似于保持纵横比等于1的效果，但也使相反的连接相等，而不仅仅是相邻的连接。节点i节点j运算符表示节点i和j之间的欧几里得距离。减少这个函数将导致所有节点到相邻节点的连接变得相等。O3是拥挤距离。最小化该函数将导致相邻节点被推开以避免聚类。为了确定加权系数w1、w2和w3的最佳值，测试了所有可能的0、0.25、0.5、0.75和1的组合，这些组合对于三个系数总和为1，并且通过观察选择了以下最佳值：周一至周五：0：25;周二至周五：0：25;周三至周五：0：5：因此，最小化目标函数Obj旨在产生均匀的、去聚类的、不偏斜的网格。为了研究网格变化，选择了 为了证明这一想法，一组九个控制点定位在一个网格的3 3被选中，如图所示。还剩13个每个控制点的位置采用18I. Voutchkov等人/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）305311× ××见图12。使用附加主动控制点的插值映射变 量 （ 每 个 点 的 X 和 Y 增 量 ） 由 MATLABhttp://uk.mathworks.com/help/matlab/ref/scatteredinterpolant-class.html刷新=真）。所得网格如图13右侧所示。网格的主动控制点4 4，5 5和6 6也进行了研究，没有显示出显着的改善，为这个块。还进行了测试，使用交换算法，试图确定控制点的最佳数量和位置在网格内部间隔开三个控制点的初始集合，并优化它们的位置如果控制点位移小于预定义值，则将其从集合中排除，这表明该位置处然后添加一个新的控制点，最大化到现有点的距离，并重复该过程结果并不令人满意。一旦控制点被移除，目标函数的值就会发生如果旧的控制点是固定的，添加的对象移动迭代持续了相当长的时间，这并不能证明搜索的成本是合理的。因此，建议简单地选择一组网格，间隔或拉丁超立方体方式的点，并使用所有点进行单一优化。3.4. 特征保存下面让我们将在这个区域周围创建一个补丁，并将RBF三次插值应用于内部节点。生成的网格失去了初始的不规则性，但获得了另一种变形，这被认为是不利的。一个合乎逻辑的结论是，径向基函数三次插值无法捕捉正确的趋势，这个网格使用固定的控制点周围的边缘。如上所述，我们可以添加一组活动控制点并运行SQP以最小化组合目标函数。这产生了更好的网格，如图15所示。虽然这是一个好看的解决方案，但应该记住，它是通过优化本地补丁中的节点来实现的。在其他情况下，不对补丁外部的其余节点应用此优化过程的效果可能会导致补丁内部和外部节点之间的显著差异。在某些情况下，这可能是所需的效果，但如果目标是平滑所有节点（和块边界），则不是。一种稍有不同且更快的方法是增加固定点的数量，如图16所示，并且不使用活动控制点。它更快，因为它不涉及与先前的方法一样的迭代优化过程。固定控制点的选择方式是保留原始网格的曲线和特征，但让需要修复的节点自由移动。效果是具有保留特征的固定网格。3.5. 插值函数的作用解决上述问题的另一种方法是改变插值函数.接下来，我们展示了其他插值的使用，基于边缘周围的固定节点的初始集合 如见于图 17图13岁使用优化的活动控制点、控制点的左起始位置、控制点的右优化（填充）和起始（空）位置的插值映射312I. Voutchkov等人/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）305见图14。 块1（左），修补（右上）和使用RBF三次样条重新插值（右下）。图15. RBF三次样条和优化控制点图16. 带有附加固定控制点的RBF三次样条I. Voutchkov等人/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）305313图17. RBF插值图18. 其他插值器和曲线拟合器。插值体的选择对重新插值后的网格有很大的影响。有些比其他的更好-例如，高斯和逆多二次基的RBF在这个特定的补丁的RBF插值中表现最好。克里金法（Jones等人，1998; Nurdin等人， 2012）是另一个好技术，然而，由于需要选择性地调谐超参数，因此具有相当大的时间损失请注意三次多项式得到的结果-它似乎具有正确的节点形状，但仔细检查显示，外部边缘的形状与原始形状314I. Voutchkov等人/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）305XZw R：11jijXj固定þ ðYj ðfixed Þ-Ysq;iðfixed ÞÞ ZjXiþ ðYi ðfixed Þ-Ysq;jðint ÞÞ Zi这是可能的，因为多项式在预测期间不参考训练数据集，因此预测误差被转移到训练点，就像内部一样。所有其他插值在训练点上都不会有任何错误。图18中提到的然后可以在任何位置评估该表面（http：//uk.org/2013/04/04/04/04/04/04/04/04/04/04/04/04/04/）。mathworks.com/help/optim/ug/constrained-nonlinear-optimization-algorithms.html）。图19示出了应用于块4的来自前两个图的一些更好的方法。由于几何体的形状更复杂，因此结果显著不同。三次多项式显著地改变了边界形状。两个插值基于这些结果和所需的时间，以获得他们每个人，我们得出结论，RBF三次样条应该是推荐的首选。修复选项应包括添加固定和活动控制点。如果以上都没有提供良好的结果，应该考虑将几何体划分为简单/更小的块或补丁，测试控制点的数量和位置，并改变插值。3.6. 在三维空间我们已经用一个简单的2D例子说明了插值映射的思想，然而该方法并不限于任何特定的维数。对于三维，我们更新方程。（4）及（7）. q。ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiΣffiffi2ffiffiΣ3. q。ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiΣffiffiffi2ffiΣ3已经表现得更好，但有些已经折叠到自己的网格创建负体积：'散射自然'和'RBF逆多二次'。克里格法产生了更精确的形状复制，但降低了整体平滑度。使用主动控制点可以修复这些问题，但这会显着增加Kriging和RBF逆多二次的成本。负体积的可以通过小心地将活动或固定控制点靠近问题区域来修复。并创建第三个插值：Nz我1/1该方法的应用如图20所示。就像我们在2D情况下使用边缘一样，我们需要在3D情况下使用墙上的所有点。在Block 4的案例中，用于连接其他块，这就是为什么必须图19. 应用于块4的插值和曲线拟合器。Rij¼ð9ÞRij¼ð10ÞI. Voutchkov等人/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）305315图20. 在3D中重新内插块4。我们严格使用墙壁，不允许在那里有任何移动。即使是最轻微的偏移也会导致这堵墙无法与它的邻居连接。但是，有些墙是自由的，该墙上的某些节点可以省略或转换为活动控制点。如果墙需要重新插值，这会很有用.注意，墙壁不一定是平的。它们可以是曲面，这就是为什么选择固定的主动控制点的设置要注意保留所有的三维特征。通过微小的修改，我们已经调整了控制点程序，以适应3D表面和体积。尽管结果相似，但完成优化运行的时间从几秒显著增加增加是由于目标函数计算和RBF构造和预测以及节点数量的增加在处理大网格很明显，必须处理小的子网格块，尽管许多子网格块可以并行处理4. 结果和自动化在处理结构化网格时（Ali，Tucker，Shahpar，2017; Zhang，2011），3D网格（如图20所示）可以被视为一堆表面，提取每个表面的过程快速而简单。相邻的表面彼此之间只有微小的不同，尽管端面可能完全不同，这也是经常发生的。这就产生了这样一种想法，即可以优化第一个表面的控制点，而后续表面是相似的，可以简单地重新插值它们，使用当前坐标和前一个表面中优化的坐标之间的变化，相对于壁形状的变化（Blanchard Loubere，2016;Gillebaart，Blom，van Zuijlen，Bijl，2016; Holloway，Grimm，&Ju，2016; Imai，Hiraoka，Kawaharada ，2014; Lu ，Quadros ， &Shimada ， 2017; Niu ，Lei ， He ， 2017; Poirier Nadarajah ， 2016;Renka ， 2015;Sieger，Gaulik，Achenbach，Menzel，Botsch，2016）。让我们考虑3D堆栈的第一表面，如图21所示。在3D坐标系中绘制（图21，左），可以看到表面的取向使得它不平行于三个轴中的任何一个，并且它略微弯曲。我们的第一步是在其边界内重新插值表面，将它们映射到本文前面讨论的完美正方形，但是需要进行一些更改以促进它是3D表面而不是2D表面的事实。我们为X关于（x，y），为Y关于（x，y）和为Z也关于（x，y）构建RBF插值在映射之后，我们将获得Xpred（x，y）和Ypred（x，y）的预测值，然后我们使用它们来预测Zpred（Xpred，Ypred）。这可确保在X和Y方向上移动的点相对于Z保持在同一曲面上。由于表面的曲率很小，我们将使用2D投影的图片，如图21右侧所示，以说明所提出的想法，同时记住这是一个3D表面，并且X，Y中的任何移动都会使用上述插值自动映射到正确的Z坐标。如前所述，该过程从将该形状的边缘映射到完美的正方形开始，然后我们使用该映射来插回内部点，如图22所示。在某些情况下，径向基函数平滑会导致线条变得过于图21. 提取第一个3D曲面：左侧316I. Voutchkov等人/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）305图22.重新插值曲面。图23. 使用控制点重新插值曲面。彼此靠近或甚至交叉，导致倒置的元件。我们已经构造了一个函数，可以自动检查此类事件，并将其用作约束。在倒置元件的情况下，如图1所示。 22，我们可以通过检测哪些节点引起它并将它们设置为活动控制点来纠正这种情况，然后进行新的重新插值步骤。结果如图23所示。在不移动活动控制点（实际上充当固定控制点）的情况下重复重新插值，并且防止线交叉相比于图 21，该网格在其平滑度方面已经好得多，并且在没有任何迭代优化步骤的情况下非常快速地实现。如前所述，人们可能希望改进网格的某些度量让我们假设一个这样的度量与每个节点处的角度有关，并且它们需要尽可能接近90度。直觉上，我们希望能够操纵最差节点的位置，而不会恶化其余节点周围的度量。为了使该过程自动化，我们计算所有节点的度量函数，并选择最差的百分比然后，我们使用k均值算法识别N个聚类，并提取它们的图25. 添加三个k均值质心作为角度的活动点。图24. 相对于角度，分别为10%（左）和20%（右）最差节点。I. Voutchkov等人/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）305317质心，如图所示。 二十五最差点的百分比以及簇的数量是变量，需要根据原始网格的扭曲程度进行通常只需要很少的主动控制点，但对于更复杂的形状，所需的数量会增加。我们重复这个过程，应用所有其他网格质量指标，如纵横比和大小，我们还通过识别点云在网格的其余部分周围添加一些控制点，这些点云是从所有节点中减去上面选择的点的结果，并再次应用k均值聚类。控制点的最终集合如图26所示。然后使用最小化组合度量的优化算法来操纵活动控制点的坐标。序列二次规划算法（SQP）、Nedler-Mead算法和模式搜索算法都是解决这一问题的合适算法。由于变量的数量是活动控制点（X和Y）的两倍，因此可能需要大量的时间来完成具有高性能的优化。图26.最后的活动点设置。图27. 优化网格。精度图27中显示了优化网格。由于在边界区域周围适当地形成高质量的节点，它构成了CFD的更好的网格。通过使用控制点及其对前一切片的优化移动作为起始点，可以针对3D网格中的每个切片重复上述过程。由于相邻的切片彼此相似，优化所需的时间更少，有时这大大减少了优化整个3D网格所需的时间和计算机资源5. 结论本文提出的网格光顺方法是基于插值映射的，为局部网格改进提供了一种快速、简单的方法。该过程从相对较少的控制点开始人们可以设想一个软件包，它允许用户交互地选择控制点，手动移动它们，立即看到结果或使用优化策略。可以重新定义目标函数以适应一系列需求。该方法可用于构造新的网格划分算法或改进现有的网格划分算法。添加控制点的能力使得该方法适用于各种应用。它已被证明，添加一个适当的组合的固定和主动控制点可以保持被操纵的点的数量下降，同时产生良好的结果。我们已经表明，该方法适用于2D网格以及3D表面和3D体积，增加了计算工作量，并建议在可能的情况下只处理单独的2D或3D表面切片。我们还提出了一种基于质量指标和k均值聚类的自动控制点选择。插值贴图可以应用于具有任意数量墙的几何体，前提是使用等效的基本体几何体。利益冲突一个也没有。引用阿里，Z.，塔克，PG，&沙赫帕尔山（2017年）。计算流体动力学的最佳网格拓扑生成。应用力学与工程中的计算机方法，317，431-457。 2017年4月15日。ANSYS网格控制：映射面网格。。Blanchard，G.，&卢贝尔河（2016年）。基于后验MOOD限制的多边形网格上的高精度守恒重映格式。ComputersFluidshttps://doi.org/10.1016/j.compfluid.2016.06.002网站。发布时间：2016年9月10日。卡尔，杰西，比特森河K.，Cherrie，J. B.，米切尔，T. J.，恐惧，W。R.，麦卡勒姆湾C.的方法， &Evans，T. R. （2001年）的 第10页。使 用径向基函 数重建和表 示3D 对象，SIGGRAPH 2001会 议 记 录， 图 书 系 列 ： 计 算 机 图形 学 （ 第 2001页 ） 。67-76） 。.Erten，H.，Ungor，A.，&Zhao，C.（2009年）。复杂几何域的网格光顺算法。在第18届 国 际 网 格 圆 桌 会 议 的 会 议 记 录 （ pp 。 175-193 ） ， Sandia.http://www.imr.sandia.gov/papers/imr18/Erten.pdf>.Gillebaart，T.，Blom，D.美国，van Zuijlen，A. H、&Bijl，H.（2016年）。使用数据简化的自适应径向基函数网格变形。Journal of Computational Physics，321，997-1025. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2016.05.036网站。发表日期：2016年9月15日1最优值的精确确定是困难的，因为目标函数在吸引盆周围是平坦的，其中控制点坐标的大变化导致目标函数的最小变化，这又可能导致定位局部最小值或过早触发搜索过程停止标准。318I. Voutchkov等人/Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）305Holloway，M.，格里姆角&朱，T.（2016年）。基于模板的截面表面重建。ComputersGraphics-UK，58（SpecialIssue：SI），84-91.http://doi.org/10.1016/j.cag.2016.05.012网站。Published：August 2016.Imai，Y.，Hiraoka，H.，&Kawaharada，H.（2014年）。基于拉普拉斯能量的多法 线 保 留 尖 锐 特 征 的 四 边 形 网 格 拟 合 。 Journal of Computational Design andEngineering，1（2），88-95. ISSN 2288-4300。Jakobsson，S.，阿莫瓦尼翁岛（2007年）。基于梯度的气动外形优化的径向基函数网格变形计算机&流体，36（6），1119。琼斯，D. R.，Schonlau，M.，&Welch，W. J.（1998年）。昂贵的黑箱函数的高效全局优化。Journal of Global Optimization，13，455-492.Keane，A. （2004年）。 使用具有回归功能的径向基函数进行设计搜索和优化。在重症Pramee（Ed.），设计和制造中的自适应计算VI，Pramee I（pp. 39-49）。斯普林格。卢，J. H.- C.的方法，夸德罗斯湾R.，岛田角（2017年）。六面体网格半自动分解工具之 评 估 。 Journal ofComputational Design and Engineering ， 4 （ 4 ） ， 330-338.ISSN2288-4300。ANSYS中的映射面网格划分.Milli，A.，&沙赫帕尔山 （2012年）。 PADRAM：复杂涡轮机械的参数化设计和快速网格划分系统，论文编号：GT2012-69030，pp.2135-.Niu，J.P.，Lei，J.M.，&他，J. D。（2017年）。基于动态控制点的径向基函数网格变形。航天科技，64，122-132。https://doi.org/10.1016/j.ast.2017.01.022网站。发布时间：2017年5月。Nurdin，A.，Bressloff，N.，Keane，A.（2012年）。 使用CAD链接的自由变形进行形状优化。The Aeronautical Journal，115（1183），915-939.普瓦里耶，&Nadarajah，S.（2016年）。基于伴随的气动优化框架内基于简化径向基函 数 的 高 效 网 格 变 形 。 Journal of Aircraft ， 53 （ 6 ） ， 1905-1921.https://doi.org/10.2514/1的网站。C033573。发布时间：2016年11月。伦卡河（2015年）。通过最小化单元体积平方的加权和来改进网格。InternationalJournal for Numerical Methods in Engineering，101（11），870-886. 2015年3月。Savchenko，V.，Savchenko，M.，叶戈罗娃岛，&荻原岛（2008年）。网格质量改进：径向基函数方法。International Journal of Computer Mathematics，85（10），1589-1607.https://doi.org/10.1080/00207160802033624网站。Shontz，S.，&瓦瓦西斯角（2004年）。一种基于加权拉普拉斯平滑的网格变形算法。康奈尔大学应用数学中心。<网址：citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download? doi=10.1.1.9.7349&rep=rep1&type=pdf>.Sieger，D.，Menzel，S.，&Botsch，M.（2013年）。使用三次谐波径向基函数的高质量网格变形。在第21届国际网格圆桌会议的会议记录（pp。第1-16段）。Springer，ISBN978-3-642-33572-3..Sieger，D.，Gaulik，S.，Achenbach，J.，Menzel，S.，&Botsch，M.（2016年）。用于设计优化的约束空间变形技术。 计算机辅助设计，72，40-51。2016年3月。斯塔顿湾L.，Owen，S. J.，Shontz，S. M.，Salinger，A. G.，&科菲，T。S.（2011年）。三维形状优化的网格变形方法比较。 在第20届国际网格圆桌会议（pp。293-311）。.温斯洛，A. M. （1967年）。非均匀三角形网格下拟线性泊松方程的数值解。Journal ofComputational Physics，2（1