常曲率Finsler空间上的Akbar-Zadeh定理的内禀推广

ijkRijkijk2不ijk. ΣIJKJijk211-qK.ΣJournal of the Egyptian Mathematical Society（2015）23，518埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于常曲率空间上的Akbar-ZadehA. Soleiman埃及Benha Benha大学理学院数学系2013年7月13日接收;2014年7月8日修订;2014年7月13日接受2015年2月11日在线发布本文的目的是给出Akbar-Zadeh定理在常曲率Finsler空间上的两个内禀推广。这些概括的某些结果是被淹没的。2010年数学学科分类：53C60; 53B40; 58B20; 53C12？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表0. 介绍（2）C的hv-曲率关于最后两个指数：P r/Pikj。Akbar-Zadeh在文献[1]中利用传统的张量演算工具证明了：如果h-曲率R r的汽车-与Finsler流形关联的一个连接CC，在他的论文[2]中，霍霍证明，也是通过局部计算，如果广义Cartan连接CC;dimMP 3的h-曲率Rr满足1dimMP3，满意度RRRrkAj;knqgdrq-2gR¼kgd -gdrr;ijk伊季克国际新闻报其中k是M上的纯量函数，零次正齐次（（0）p-齐次），则(a) k是常数，(b) 如果k1/4，其中k是（0）p-齐次纯量函数且1然后(a) k是常数，(b) 如果k(1) CC的v-曲率满足Sr<$q-2Aj;k<$hij<$r，qArXiv编号：1201.2012 [math.DG]。电子邮件地址：soleiman@yahoo.comijk(2) CC的hv曲率关于最后两个指数。本文的目的是给出Akbar-Zadeh定理和Ho <$jo <$定理的内在证明。作为副产品，一些同行评审由埃及数学学会负责关于S3-like和S4-like空间的推论是推导http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.07.0061Aij表示索引j和k的互换，以及减法：AijFij ¼Fij-Fji。1110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表制作和主办：Elsevier关键词Cartan联络; Akbar-ZadehS3-Like流形S4-Like流形ik(1)CC的v曲率为零：Sr关于常曲率Finsler空间上的Akbar-Zadeh5192ð ð ÞÞ ðÞð Þ ð ð ÞÞðÞ-1200吨/小时f2吨/小时gð Þ ðÞ.ΣRB bBB11X2.ΣR.十一尺。11Σ因此，目前的工作是制定在一个坐标自由的形式，而不会被困在指数的复杂性。自然地，所获得的结果的坐标表达式与开始的局部公式一致。1. 记法和符号在本节中，我们简要介绍了这项工作所需的拉回方法的基本概念。更多详情，请参阅[3我们将使用与[5]中相同的符号。在下文中，我们用p表示：TM！M是与M相切的非零向量的子丛，通过X pM是拉回丛p-1 TM的可微截面的FTM -模。X pM的元素称为p-向量场，用横杠字母X表示。在p-1张量域上的张量场称为p-张量场。基本p-向量场是p-向量场<$g，由<$guu定义;uu，对于所有u TM。我们有以下向量丛的短正合序列RX; Y; Z; W：¼gRX; YZ; W;.. . ; SX; Y; Z; W：1/4gSX;YZ;W：1：1/2以下结果是极其重要的。定理1.1 [6]. 设M;L是Finsler流形，g是由L定义的Finsler度量。在p-1 TM上存在唯一的正则连接，使得(a) $是公制：rg<$0，(b) $的（h）h-挠率为零：Q/40，(c) 的 （h）高压扭转 不 的 $ 满意度：gTX;Y;ZgT X; Z;Y。这个联络称为芬斯勒流形的Cartan联络。2. Akbar-Zadeh定理在这一节中，我们研究了Akbar-Zadeh定理的一个内在推广。我们首先从以下两个方面开始0分！p-1α-TMC快！TTMQ快！我的天 ！0的整数;这将是有用的引理为后续使用。与著名的定义丛态射q和C. 向量空间V uMXT uM ：dpX0称为M在u处的垂直空间。设D是拉回丛p-1 TM上的线性联络（或简单的联络）。我们把D和地图联系起来基：TTM！p-1TM：X#DX<$g，称为连接映射引理2.1. 设$是Finsler流形M; L的Cartan 联络。 对于类型为1;1的p-张量场x，我们有以下对易公式：.22英里。22Σ(a) r rxY;X;Z氏盐向量空间HuTMfX2Tu TM：K0g称为M在u处的水平空间。那个骗局联系D被称为正则的，如果TuTMVuTMS<$X;Y<$x <$Z<$，（b）第（1）款RrðX; Y; Z-r rxY;X;ZHTM8u2TM..2英里。1Σ如果M被赋予正则连接，则向量束 地图 c;qjHTM和 KjVTMare 向量丛P<$X;Y<$x<$Z<$ <$rx<$Pb<$X;Y<$;Z< $rxT同构 地图b：¼ qjHTM1号线 将被称为(c)rrxX;Y;Z.ΣY;X;Z连接的水平图D.水平（（h）h-）和混合（（h）hv-）扭转张量D，分别用Q和T表示，定义为：2RX;YxZ RxRbQX;YTbXbY;TX;YTcX;bY8X;Y2XpM;TX;YDXqY-DYqX-q½X;Y]8X;Y2XTM：D的水平（h-）、混合（hv-）和垂直（v-）曲率张量，分别用R、P和S表示，定义为：1 2哪里和是相关的h和v协变导数与$。引理2.2. 设M; L是Finsler流形，g是Finsler度量，定义为L; '：<$L - 1 i <$g g，h <$：<$g - ''是角度量张量.然后我们有：RX;YZ<$KbXbYZ;PX;YZ<$KbX;cYZ;（一）1r1升20;r2L¼“。S X; YZ <$K cX;c Y Z;其中K是与之相关与D.D的收缩曲率张量，分别用R、P和S表示，也称为（v）h-、（v）hv-和（v）v-扭转张量，定义为：（b）r'<$0; r '<$L - 1 h '。（c）ig′ 0。证据这些断言遵循的事实是，rg1/40和gg;gL2.H现在我们有RX;YR X;Yg;SbX;YS X;Yg：PbX;Y< $PX;Yg;定理2.3. 设M; L是n维Finsler流形g是Finsler度量，定义为L。如果双曲挠张量如果M在p-1上赋有度量g，我们记为：Cartan联络的RbRbX;YkL"2u520A. Soleimanbbbð Þ ¼BB.Σ.- 是的ΣþðÞððÞ -ð Þ Þþð Þ ð ð Þ - ð Þ ÞCXBbnbobkLBb.Σ勒布尔k. ‘k. ‘BXRrb′gRrþ当n为P3时。将Yg代入上述方程，注意振英BX其中k是TM上的0次正齐次函数，则：设置 Wg成 的 上述 关系， 注意 的Kc0和Sb0，由此得出，(a) SX;Y;Z R X; Y Z0.2暗淡的MP3.rcXR-PZ;PY;XRTX;Y;ZP Y;PZ;X(b) k是常数，如果bb b b b b证据(a)我们有[7]：-RTX;Z;Y0：将循环和SX;Y;Z应用于上述等式，取(a) 考虑到，我们得到SX;Y;ZrcXRbY;Z0 ：2：8SX;Y;ZRX;YZSX;Y;ZTRX;Y;Z：2：2从（2.1），注意到hhv-挠率T是对称的，我们将式（2.1）代入式（2.8），使用（引理2.2（b）），我们有'0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000获得LrcZk.'k.'SX;Y;ZTRbX;Y;ZkLT'X Y - ' YXLð' ð Y Þ Z - ' ð Z Þ Y Þ Σ þ k ' ð Z Þ.'-1/4kLk' Y ' ZX‘k L.<$h<$$>h<$Z;Y<$X-<$h <$X;Y<$Z <$2000年。“Y T Z ; X-"Z T Y ; X。Σ2000年。‘kL因此，结果由（2.2）和（2.3）得出。(b) 我们有[7]：SX;Y;ZfrbXRY;Z;WP RbX;Y;ZWg 0：2：4将Zg设置为上述关系，注意"，hg;：r0（引理2.2（c））和rc0，我们得出结论：L2nrk/Y-rk/X0;2：9从（2.1），注意到v hv-挠率P是对称的，我们得到SX;Y;ZPbRbX;Y;ZkLnkLn从这一点和（2.4）可以得出，SX;Y;ZrbXRY;Z0 ：2：5再次从（2.1），注意rbXBXBY其中f是向量p-形式，定义为克/千克X线;Y线：1/4小时X线;Y线：1/2：10千克取（2.9）式两边相对于Y的迹线，注意Tr/n n-1[8]，it如下：n-2因此，委员会认为，rcXk¼0对于所有的X2XlppnMlppn;如果nP3：n 2：11现在，应用关于Y的v-协变导数在公式2.6的两边，我的天啊21kX;YL-1<$hX;Yrk我的天啊‘21'bZ将Zg代入上式，注意"21因为，kÞðrr12k1/20（引理2.1和（2.11）），上述LrbXk. “Y g - L Y L r b Y k. LX-关系简化为1b′gk;取两边相对于Y的迹线，可以得出：即'g g g l/L和<$h l/l：; g g g l/l = 0，则可得出r b g k/l =（引理2.2（c）），我们得到rrL¼0：关于常曲率Finsler空间上的Akbar-Zadeh521Bb;Y;ZðÞ0。因此，rbXk¼L-1rb<$gk然后，再由公式2.6得出，另一方面，我们有[7]rcXR-PZ;PY;XWRTX;Y;ZW-SRY;Z;X WPY;PbZ;XW-RTX;Z;YW0：2：72SX表示X、Y和Z上的循环和。rbXk¼0为所有X2X2 P3M;如果nP3：12：现在，方程式（2.11）和（2.12）意味着k是常数，如果nP3.这就完成了证明。 H定理2.4. 设M;L是一个维数为nP 3的Finsler流形，q-1是一个任意实数.如果h-曲率张量R满足522A. SoleimanΣΣðÞ.LPB-- -是的你好，你好，ðÞ.Σ11X;Y.f-gBR X; YZ kAX;Y.qgX;ZY q-2。L-1gX;Z'推论2.5。 Akbar-Zadeh-其中k是一个h≠ 0的齐次函数，则(a) k是常数。(b) 如果k为(1) PX;YZ<$PY;X.Z（i. e. ，M;L是sym m etric），ð Þ ¼定理2.4，其中q= 2。推论2.6。如果M;L的h-曲率张量R，其中dim MP3，满足¯gR X;Y Z kA g X;ZL证据(2) S X; Y Z2-q200q-100L2hX;Z/Y-Y;Z/X。那么k是一个常数，而且，如果k(a) L是sym M m.等。ΣL2(a) 将Z½g设置为（2.13），我们得到RbX;Y2 q-1k L. "X Y -"Y X：2：14(b) SX;YZ¼-1 hX;Z/Y-Y;Z/X。根据这一点和定理2.3，结果如下。(b)（1）应用关于的v-协变导数，在（2.13）的两边，我们得到rbWR从这一点和（2.4）可以得出，SX;Y;ZPRX;Y;ZW0：2：15根据（2.14）式，注意k-0，（2.15）式意味着2 q1 LP 'XY 'Y X ; Z W 2 q1LP'将Zg设置到上面的等式中，考虑到'g L和P：; g：P g ;：0 [7]，我们得到2μq-1μL。PX;YW-PY;XW档0：3. Akbar-Zadeh定理的第二推广在这一节中，我们给出了阿克巴-扎德定理的第二个内在形式的一般化定理3.1. 如果M; L; dimM P 3的h-曲率张量R满足R<$X;Y<$Z<$kg<$X;Z<$Y-g<$Y ;Z<$X<$x <$X ;Y<$Z;3：1其中x是一个指示反对称的h（0）p-张量场，k是TM上的一个h（0）-函数，则(a) k是常数。(b) 如果k1.Σ因此，结果如下。(b)（2）取（2.7）的循环和SX;Y;Z，并使用（b）（1），我们得到SX;Y;ZnrcXRY;Z;W-SRY;Z;XWo0：12：16另一方面，通过取两者的v22k L2r rrxg <$;<$g;X;Y;Zx X;YZ ：证据(a) 从定理2.3出发，将Z↑[1]g代入式（3.1）。式（2.13）的两边，使用rcX和rcXg<$0，我们得到L' X'0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011关于常曲率Finsler空间上的Akbar-Zadeh523-<$hð Þ ¼B¼þgðX;WÞL-<$hZ;Y'现在，将（3.1）和（3.2）代入（3.3），我们得到(b)(1)通过（3.1），我们有Rb=X;Y=kL。‘cXRY;Z;Wkq-2AX;Y¯gfgX;WhZ;YL2到（2.4），我们有/ZXSX;Y;<$gfrbXRY;<$g;WP RbX;Y;<$gWg0：13：3X-<$hZ;W'K. 布雷尔b′gxX;Y;W-L2. PX;YZ-PY;XZ取上述等式两边的循环和SX;Y;Z然后设置Z¼¯g，it，SX;Y;<$g rcXRY;<$g;W2kq-2。hY;W/X鉴于（2.14），注意到S：;<$g：0和S是反对称的，我们得到：由此，由于k为（b）（2）取（2.7）的循环和SX;Y;Z，我们得到：SX;Y;ZnrcXRY;Z;WrbYPZ;X;W- rbZPY;X;W-SRY;Z;XWo0：3：4鉴于上述（1），可以得出以下结论：2rbWPX;Y;Z-rbWPY;X;ZSX;Y;<$gSRbY;<$g;XW¼4kLq-1SX;YW：12：18。11Σ因此，通过将Zg设为（2.16），取（2.17）和（2.18）考虑到这一点，结果如下。 H1/4L-2rrxW;524A. Soleiman.ΣBR r：ðÞ.Σþ111S X; Y Z¼2srrsg;<$gL：;;：;<8sg;g9=由此我们得到SX;Y;NgP=X;Y;Z=Zb′gPY; X; Z布雷尔b′g(a) PX;YZ<$P。Y;X<$Z。ΣL2.Σ(b) SX;YZ¼s<$h X;Z/Y-<$hY;Z/X。¼L-2r rrxrg;g;X;Y;Z：3：5另一方面，注意x是齐次的，零，我们得到SX;Y;<$grcXRY;<$g;WrcXRY;<$g;WrcYR×g;X;WrcgR推论3.5。 如果定理3.1中的张量场x由下式给出：xX;YZ¼AX;Y HX;Z/YHX;ZHoY;其中H是对称指示h（0）2-标量p-形式，并且H<$X;Y<$1：g<$Ho<$X <$;Y<$1，则<$M;L<$是S4-like，即，×X;Y;W¼2kx;Yx21SX;YZ¼L2AX;Y8<. lX;Z/YhX;ZloY;.11Hg;<$g;X;Y9=SX;Y;g<$SRX;Y;g<$SW2kLSX;YW：33：7考虑到（3.5）-（3.7），在（3.4）中设置Z½g其中，l<$X;Y< $ $>H<$X;Y<$H2 kL2.结果如下。H推论3.2。 Akbar-Zadeh定理[ 1 ]是由上述定理通过令x1/40得到的。推论3.3。Finsler流形M;L是S3-like的，如果定理3.1中的x由下式给出：xX;YZ<$sh<$$>X;Z/Y- <$h<$Y;Z/X;3：8其中f由式（2.10）给出，s是仅取决于位置的标量函数证据 根据定理3.1（b）和（3.8），S采用以下形式：8<119=.Σ2KL2证据 证据很清楚，我们省略了它。致谢作者对审稿人提出的意见和建议表示衷心的感谢，并特别感谢Nabil L。优素福的指导和宝贵的讨论。引用[1] H. Akbar-Zadeh，Les espaces de Finsler et certaines deleursge'ne'ralisation，Ann. Sci. 诺姆学校辅助核算 80（3）（1963）1 -7 9.[2] S. 关于Akbar-Zadeh定理在Finsler中的推广几何，张量，N.S. 7（1982）285-290。[3] H. 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