1PP算术电路中的单式：计数层次Herv′eFornierandGuillaumeMalodUnivParisDiderot，SorboneParisCit′e，Institut deMath'ematiq ue deJussie u，UMR7586CNRS，F-75205 Paris，France{forurnier，malod}@math. 你可以在这里找到一个你想要的东西。frStefan Mengel帕德博恩大学数学研究所德国帕德博恩D-33098smengel@mail. 联合国-帕德伯恩。De2018年7月16日，本文考虑了由算术电路给出的多项式的两个问题的复杂性：单项式是否存在的检验和单项式个数的计数。我们表明，这些问题是完整的子类的计数层次很少或根本没有已知的自然完整的问题。我们还研究了这些问题的电路计算多线性多项式。1. 介绍最近的几篇关于算术电路复杂性的论文提到了一个类族，称为类PPPP对于一般情况，Bürgissser[6]使用这些类将计算整数与计算多项式联系起来，而Jansen和Santhanam [13]-基于Koiran和Perifel [17]的结果-使用它们从去随机化中导出这 种 层次结构最初是由Wagner [31]引入的，以分类复杂性的复杂性。 当然，在Wagner的文章和T o r a n的文章[ 2- 6 ]中，关于知识的所有概念都是因为我们的知识没有被追求超过20年。相反，研究集中在结构特性和阈值电路的连接[3]。因此，计数层次结构中的类很少有自然完整的问题：例如，Kwisthout部分由DFG赠款BU 1371/2-2和BU 1371/3-1支持arXiv：1110.6271v2 [cs.CC] 2012年3月2-=等。 Givein[19]“thehefirstp r oblem w it a p ractic alapplicaitonthatishow wn to obe F P PP PP complete“。C=Pappe a r a t e te prat e t e p rate t etat a tbtata 293]）。然而，可以通过从#P-完全问题开始并考虑提供实例和正整数的变体来定义一般完全问题我们认为这些问题是伪装成decisionproblems的计数问题，并且对于C=P，这些问题不是一个简单的可执行的problems，而是一个可执行的问题。从线性代数[ 1 ]中可以看出，C = L类的代数问题和空间问题都不存在有趣的完全问题。在这篇文章中，我们将介绍几种常用的算术电路的复杂性分类方法，并指出这种方法是一种有用的工具，显示了类PPPP，PPNP和CP的完整问题。1、常见的设置这些问题是使用电路或直线程序来表示多项式。 等表示可以比给出单项式列表有效得多，但是对多项式的普通操作可能变得更加困难。一个重要的例子是确定给定的多项式是否恒为零的问题。这是很容易做到的，当给定的单项式列表。当多项式作为电路给出时，称为ACIT的算术电路同一性测试问题在coRP中是可解的，但在P中是未知的。事实上，去随机化这个问题将意味着电路下界，如[14]所示。因此，这个问题在复杂性中起着至关重要的作用，并且很自然地考虑以电路表示的多项式在这篇文章中，我们主要考虑两个问题。第一个问题，称为ZMC为零单项式系数，是决定是否在一个电路中给定的单项式有系数0或没有。这个问题已经由Koiran和Perifel [16]研究过了。证明了当回路的形式度为多约束时，P#P 的 最 优 解 是 可 实 现 的.由于它是用相当模糊的强不确定性概念来表述的，因此它并不令人信服。tic Turing reductions.我们通过证明类C=Pundermoreraditi tionalo garithmicspacemany-onere ductions的完备性结果来补救这种情况。 这是一个真正的完整的问题，这类。Koiran和Perifel还考虑了ZMC的一般情况，其中电路的形式度没有界限。他们表明ZMC在CH中。通过证明ZMC是在coRP PP中，我们提供了一个更好的上界。我们最后研究的情况下，单调电路，并表明，该问题是coNP-完全的。第二个问题是计算由电路计算的多项式中单项式的个数这似乎是一个自然的问题，其解决方案不应该太难，但在一般情况下，它是PPPP-完全的，即使对于弱电路也是如此因此，我们得到了另一个自然的完全问题，在这种情况下，对于计数层次的第二层。最后，我们在电路计算多线性多项式的情况下研究了上述两个问题。我们表明，我们的第一个问题成为等价的基本问题ACIT和计数单项式成为PP-完成。1观察到Hemaspaandra和Ogihara [12，第293页]指出，Mundhenk等人[23]提供了天然的PPNP的完整问题。这似乎是一个打字错误，因为Mundhenk等人实际上提出的完整问题不是PPNP，而是NPPP类，在AI/规划文献中确实有几个有趣的3....../=2. 预赛我们假设读者熟悉计算复杂性理论的基本概念（参见例如：[4]）。除非另有说明，本文中的所有约简都是对数空间我们考虑计数层次中的不同计数决策类[31]。这些类的定义类似于多项式层次结构的量词定义，但是，对于Qiifiersandi，QifiersC，C=andC定义2.1. C是一个复杂性类。被使用。• A∈CC当且仅当存在B∈C，f∈FP和多项式p使得. 、x∈ A惠。 1）{0} |X|）的方式|（x，y）∈ B，的。. f（x），• A∈C=Ci如果B∈C，f∈FP，且p是任意的. 、x∈ A惠。 1）{0} |X|）的方式|（x，y）∈ B，的。. f（x），• A∈C=/Ci如果B∈C，f∈FP且p为零，. 、x∈ A惠。 1）{0} |X|）的方式|（x，y）∈ B，的。. f= f（x）。O bserethatCC=coC=Cw itheuadef ititincoC={Lc|L∈C}，其中Lc是L的补充。 这就是为什么量词Csommetime s cal ledcoC=P。isoftenasoC=，soC/=Pis计数层次CH由我们可以从所有类中获得的语言组成P由等式A，B，C，C=和C组成固定的次数 观察到其中定义了在PP=CP之间的函数。 Tora′n[27]提出了由PP和计数层次可以扩展，并且存在类似于多项式层次的预言机对CH的表征。我们陈述一些这样的刻画，我们将在后面需要，其次是其他技术引理。引理2.2. [27] PP NP= C P。引理2.3. PP PP=CC P。Pro oofLemma2. 3 .第三章。这不是在[27]中定义的，也不是直接的约束条件，例如Tora′n不考虑C- 接线员它可以用类似的技术来证明，我们给出一个用于兼容性的端口。我们知道CC/=P=CCP，这类文件如下所示，CCP= PP PP [27]。从左到右的方向是从右到右的方向：从右到右的方向是从右到右的方向，有CC/=PPP#P. Bybinaryseehhehe 另一个方向是一个小的4......work：设L∈CCP.存在A∈P，f，g∈FP和多项式p，使得2）当f（x）= 0时，f（x）=0时，f（|X|），. ，，。. 1 ）{0} |X|）的方式|（x，y，z）∈ A. ≥ g（x，y）2）如果x= 0，则x =0（|X|），. ，，。v∈ {1，. . . ，2 p（|X|）}：. 1 ）{0} |X|）的方式|（x，y，z）∈ A. f= g（x，y）− v（1）有2个以上的优惠p（|X|）（2 p（|X|）− 1）+f（x）对（x，v），1）{0}|X|）andv∈{1，. . . ，2p（|X|）]}suchthat. ，，。. 1 ）{0} |X|）的方式|（x，y，z）∈ A. f= g（x，y）− v。（二）（2）在第（1）款中，y. getL∈CCP，且husth。 eclaim.为了让你知道等价我们定义r（x，y）：=。 1）{0}|X|）的方式|（x，y，z）∈A. . 固定x，y，那么很明显r（x，y）/=g（x，y）−v对于所有但至多一个v。其中，（y，v）是2016年02月03日02：00 - 02：00（|X|）（2 p（|X|（1）总是不平等的。因此，命题（2）归结为这样一个问题：有多少个y使得不存在v，满足r（x，y）=g（x，y）−v。我们希望这些至少是f（x），所以我们希望至少2 p（|X|）（2 p（|X|）−1）+f（x）对使得r（x，y）/= g（x，y）− v。我是2. 四、 [10]C/=P=C/=P.引理2.5. [24]对于一个足够大的常数c> 0，它认为，对于任何整数n和x，|X|≤ 22n且x/= 0，小于2 cn的素数p的个数使得x/n 0 mod p至少为2 cn/cn。引理2.6. [12，p. 对于每个oracle X，我们有PP BPPX = PPX。算术电路算术电路是一个有标记的有向无环图（DAG），由入度为0或2的顶点或门组成。扇入为0的门称为输入门，标记为−1或变量X1，X2，.。. .，Xn. 扇入为2的门被称为计算门，用×或+标记。我们还可以考虑计算门可能接收两个以上的边缘的电路，在这种情况下，我们说它们具有无界扇入。 由算术电路计算的多项式以明显的方式定义：输入门计算其标签的值，计算门计算其值的乘积或其总和，rep。 我们假设一个电路有一个简单的输入，我们称之为输出门。我们说电路计算的多项式就是输出门计算的多项式。 算术电路的大小是门。电路的深度是电路中从输入门到输出门的最长路径的长度。一个公式是一个算术电路，它的底层图形是一棵树。最后，一个回路或公式被称为单调的，如果只允许常数1而不是常数−1。通常考虑所谓的度有界算术电路，其中计算的多项式的次数在电路的门的数量中是多项式有界的。我们认为这种度界存在两个问题。 一个是计算由电路表示的多项式的次数被怀疑是困难的（参见[2，16，15]），所以用这个次数界限定义的问题通常必须是承诺问题。另一个问题5ZMC输入：算术电路C，单项m。问题：判断m在C计算的多项式中是否有系数0。PER=输入：矩阵A∈{0， 1，−1}n，d∈N。问题：判断PER（A）是否=d。次数的界限不限制计算常数的大小，通过迭代平方可以具有指数位大小。因此，即使在图灵机上评估电路也变得棘手。Allender等人的论文[2]讨论了由此产生的问题。为了避免所有这些复杂性，而不是限制计算多项式的次数，我们选择限制电路的形式次数，或者等价地考虑乘法不相交电路。一个电路被称为乘法不相交，如果对于每个×门，它的两个输入子电路彼此不相交。[22]见《说文》：“礼，礼也。3. 零单项系数我们首先考虑的问题，如果一个单一的指定单项式出现在一个多项式。在这个问题和其他关于单项式的问题中，单项式通过以二进制给出变量幂来编码。这是m3。1 .一、 ZMC是C=P-复杂度，适用于复杂度较高的联合循环和复杂度较高的联合循环。证据使用标准归约技术，从永久式的#P-完备性（参见前一章[4]），定义下一个C=P-完备性可归约性，这是在介绍中定义的。因此，对于ZMCit的业务而言，我们有足够的能力来满足以下需求：We你看这是什么。我们将继续为您服务。输入A=（aij），并将其输入到mua中Qni=1卢恩j=1 aijYj . 这是一个经典的观察Valiant [28]2，单项式Y1Y2. . . Yn具有系数PER（A）。 因此单项式Y1Y2的系数。. . YninQ− dY1Y2。. . Yn为0当且仅当PER（A）= d。我们现在看到，ZMC用于多个公共节点，其在C=P中。这篇文章基于解析树的使用，解析树可以被看作是在计算过程中跟踪单项式形成的对象[22]，并且是证明树的代数模拟[29]。附录A中给出了简要描述。考虑一个乘法不相交电路C和一个单项式m，其中C的输入门用一个变量或−1标记。如果在计算解析树T的值时，我们正好得到m的幂，则解析树T对输出多项式中的单项式m有贡献;如果T中标记为-1的门的数量是偶数，则这个贡献的系数为+1，如果这个数量是奇数，则它的系数为-1。因此，当且仅当正贡献的树的数量等于负贡献的树的数量时，m的系数等于0[2]根据[30]，这一观察甚至可以追溯到[11]。Q：=6L etusreenaboleanorder eefCaper在解析树中的位置（因此，单词的长度N是C中的边的数量）。其中一些单词并不表示有效的解析树，但这可以在多项式时间内进行测试。请注意，以下是根据以下条件生成的L字符串（C，m，N000）：1. 如果C=0，则将n个编码作为C的一个可变参数，其中，C可以将p值定义为整数，2. 或0=1，并且不需要将数据转换为可用的数据类型。将（C，m，0）设为L的整数倍是将整数倍的p a rerete 因此，如果树的系数m等于负贡献的树的个数，则树的系数ucht（C，m，n00）∈L等于02Ni，当且仅当m在C中等于0 0。例如，L在P中，ZMC对于多个独立小区的j i i s jircuitircuits在C=P中。定理3.2. ZMC属于CoRP PP。证据给定一个回路C，一个单项式m和一个素数p，用二进制表示，C OEFF SLP是计算多项式Computted 中 单 项 式 m 的 系 数 模 p 的 问 题 。 它显示在 [15]中，将C〇EFFSLPbelong转换为FP#P。我们现在描述一个随机算法来决定ZMC。设c为引理2.5中给出的常数。考虑以下算法，以确定给定大小为n的电路C和单项式m的ZMC，使用COEFF SLP作为oracle。首先均匀随机选择一个小于2cn的整数p。如果p不是质数，则接受。否则，计算2N在C中的monomialm与oracle的帮助下，并接受，如果a0 modp。 以来|一|≤ 2，引理2.5确保上述是用于以下的正确的单侧误差概率算法：ZMC 这产生ZMC∈coRPCOEFF SLP。 因此ZMC ∈coRPPP。定理3.3. ZMC对单调公式和单调电路都是coNP -完全的.证据 对于困难，我们将[9]上的NP完全问题E XA c T-3-C简化为ZMC在单调公式上的补充，如[25，第3章]中所做的那样（为了完整性，我们在这里重复论证）。EXA cT-3-C完毕输入：n和C1，. . .，C在{1，. . .，n}。问题：判断是否存在I{1，. . . ，m}，使得{Ci|i ∈ I}是{1，... . . ，n}。考虑公式F=QmQ（1+）X）。单调公式F具有单项式Qni=1j∈Ciji=1 Xi当且仅当（n，C1，. . . ，Cm）是E xac T-3-C OVER的正例。现在让我们证明单调电路的ZMC是coNP的。这个证明将使用解析树类型的概念，它受到[21]中引入的通用多项式的启发来计算系数函数。我们在这里给出一个论点的草图，更多的细节在附录A中提供。不一定乘法不相交的电路的解析树可能比电路本身大得多，因为它们可以被视为与电路相关联的公式的解析树，并且通过复制门和边来获得。通过为原始电路中的每条边给出该边在解析树中的副本数来定义解析树的类型对于一个给定的解析，可以有许多不同的解析树7我计数MON输入：算术电路C，d∈N。问题：判断C计算的多项式是否至少有d个多项式。EEXIST EXT MON输入：算术电路C，单项m。问题：判断C计算的多项式是否包含m-扩张单项式.树类型，但它们都将有助于相同的单项，这很容易从类型中获得：单项式中的变量的幂是在由该变量标记的所有输入门上取得的从该门离开的边沿的数目的和。在单调电路的情况下，计算给定类型的解析树的确切数量因此是不必要的，因为当且仅当存在产生该单项式的有效解析树类型时，单项式将具有非零系数解析树类型，很像定理3.1的证明中的解析树，可以表示为布尔元组必须满足一些易于检查的条件才有效。因此，单项式的系数为0，当且仅当没有有效的解析树类型产生这个单项式时，这是一个coNP条件。4. 计数单项式现在我们来研究用一个回路表示的多项式的单项式的计数问题。为了研究计数M的复杂性，我们将研究我们所谓的扩展多项式。给定两个单项式M和m，我们说M是m-扩张的，如果M=mm′，并且m和m′没有公共变量。我们首先研究的问题，确定存在的一个扩展的单项。4.1号提案E EXIST E XT M ON在RP PP中。 对于乘法不相交电路，它是C=/P-complete。证据我们首先给出第一个上界。因此，设（C，m）为EXIST EXT M的输入，其中C是变量X1，. . .，Xn. 不失一般性，假设X1，. . . ，Xr是在m中可改变的。 LQetd=2|C|：disabounde g e e e ofhedegeeofhe多项式由C. 我们定义C′=ni=r+1 （1 +YiXi）d对于新变量Yi。我们如果前一部分CC中的聚合物不均匀，则C具有均匀的不均匀性P（Yr+1，. . . ，Yn），其中，ni=r+1 Xd不等于0。 观察到P没有显式给出，但可以用Oracle对随机素数取模进行计算，COEFF SLP.因此，可以用经典的Schwartz-Zippel- DeMillo-Lipton引理（例如参见[4]）来检查P是否相同为0。因此，E在∈RPPP上存在E xt M。乘法不相交设置中的上界更容易：我们可以猜测一个m-扩展单项式M，然后输出ZMC的补的预言的答案，以检查M是否出现在计算的多项式中。这就建立了遏制，C/=Pw hichbyLemma2。4是C/=P。8i=1计数EXT M打开输入：算术电路C，d∈N，单项式m。问题：判断C计算的多项式是否至少有d个m-扩张单项式.CC/=3SATI输入：3SAT-对于mulaF（x<$，y<$），k，k∈N。可能性：如果已找到某个特定的索引，则该特定的索引将被删除，而该特定的索引将被删除。对于C=/P-复合材料，由于EXISTEXtM，，即，该COM-plementofthePER=prblemintrdfor theproo.为了你的幸福3.1. 我们基本上同样的简化构造一个电路Q：=Qn卢恩j=1 aijYj . 注意到唯一m的潜在延伸：= Y1Y2。. . Yn是m本身，具有系数PER（A）。因此Q− dY1Y2。. . Yn有m-扩张当且仅当PER（A）/= d.4.2号提案 计数E XT M是PP PP-完成。证据 显然，计数EXT M ON属于PPZMC，因此根据定理3.2，它在PP中。使用引理2.6 ， 我 们 得 到 PP PP 中 的 成 员 。 为 了 显 示 硬 度 ， 我 们 将 正 则 CC/=P-c_p_p_b_m_C_p_m_c_t=3S_A_t简化为C_O_T_E_X_T_M_N。 与Lemma2. 3PP PP的特点如下。Let（F（x<$，y<$），k，k）是CC3SAT的一个不动点. 如果你失去了一部分，thatx<$=（x1，. . . ，xn）andndy<$=（y1，. . . ，yn），并且在所形成的块中不存在可用于计算的成本。 Letr1，. . . ，Γc是F的类。对于x和y中的可用v，在可用v中定义了一个简单的mi（u），X1，. . . ，Xn，Z1，. . . ，Zc以如下方式：I（xi）=XiY{j|xi∈Γj}YZj，I（<$xi）=Y{j|<$xi∈Γj}YZj，I（yi）={j|yi∈Γj}Zj，I（<$yi）={j|<$yi∈Γj}Zj.根据这些单项式，我们计算公式C，C：= Yni=1（I（xi）+I（<$xi））Yni=1（I（yi）+I（<$yi））。（三）我 们 从 F 的 赋 值 到 C 计 算 的 单 项 式 确 定 一 个 映 射 mon ： 设α<$beanassignmenttox<$adβ<$beanassignmenttoy<$a。 Wedef inemo n（α<$β<$）是在C的展开式中通过选择以下项而获得的一种非线性。如果αi= 0，则选择I（<$xi），因此，w是echoseI（xi）。 同样地，如果βi=Q0，则choseQI（<$yi），否则choseI（yi）。Themomnomiaalmom（α<$β<$）hasasheformnXαicγji=1ij=1Zj ，其中γj是真literalsinnrjundertheheassignmentα. 如果fm（α<$β<$）为零，9ZZZJQc¯Qc.2σ因子j=1Zj。TusFistrueeunderα<$βifandnnlyifmon（α<$β）j=1 1+Zj+Zj具有Qn α Qc3Qc.2σ因子i=1Xiij=1Zj。我们设C=Cj=1 1+ Zj+ Zj。Consideranassignmentatoxa。这是一个非常简单的问题，XαiQcZ3inC′它是一个集合，它包含一个函数F。Thusweget（F（x<$，y<$），k，n）∈CC/=3SATi=1iYnj=1jYc如果您有任何疑问，请与我们联系。在C′中没有系数如果您有任何疑问，请与我们联系。i=1Yni=1αi3Ijj=1Ycαi3Ijj=1发生在C′′：=C′−C ′ Yni=1（1+Xi）Yc3Jj=1YnYc让您的梦想成真Yci=1αi3Ijj=1⇔C′′至少有k个（Z3）-扩张单项式.j=1定理4.3. 计数M是PP PP-完成。即使对于深度为4的无界扇入公式，它也是PP PP -困难的。证据 由于一个多项式的单项式的个数是1-扩张单项式的个数，所以Count M on可以很容易地简化为Count E xt M on。因此，计数M属于PPPP。为了说明困难性，证明命题4.2中构造的COUNTEXT MON的实例可以在对数空间中约化为COUNTMON就足够了证明的想法是，我们要确保我们计算所有单项式的多项式包含所有不是m-扩展的这样我们就知道它包含了多少个非m-扩张单项式，并且我们可以从所有单项式的个数中计算出m-扩张单项式的个数我们可以使用相同的策略来表明，一般情况下，COUNTEXT MON简化为COUNTMON，但通过考虑命题4.2的证明中获得的实例并分析下面的额外计算，我们得到了深度为4的无界扇入公式的困难性Solet（C′′，k，m）bQeint e i ntent ei nteN T E E N T E Nt e n eNt e n t e n式4.2，其中m=cZ3。因此，我们需要计算由C′′j=1jQc3 ′′其形式为f（X1，. . . ，Xn）j=1Zj。回路C在X中是多线性的，Zj只能以{0， 1， 2， 3， 4， 5}中的幂出现。所以计算出的非m-扩张单项式是Xi中的多线性单项式和Zj中的单项式的所有乘积，其中至少一个Zj具有{0，1， 2， 4， 5}的幂。固定j，则所有不是m-扩张的单项式XXZX10C3SAT输入：3SAT-对于mulaF（x<$，y<$），k∈N.可能性：确定是否有一个特定的数据库，因为数据库中的数据可能会导致数据丢失F（α<$，y<$）isatisf iable.CHE cK ML输入：算术电路C。问题：判断C计算的多项式是否是多线性的。由于Z，j由以下公式计算：.ΣYn是的。ΣC：=（X+1）Zp=1 +Z+Z2+Z4+Z5.（四）JIi=1j′j′/=jp=0jj j j你是我的妈妈Σ：=j吉吉计算所有非m-扩展单项式，C“”可以计算。C ′′中单项式的系数不能小于−k，其中k是CC/=3SAT的一部分，其中c为（C′′，k，m）。 对于MulaC：=C′′+（N+1）CC C"可以计算的形式有2n个6c单项式，其中只有2n个是m-扩张的，这意味着有2n（6c− 1）个C“可以计算的单项式不是m-扩张的。因此，C"至少有k个m-扩张单项式当且仅当C“至少有2个n（6c− 1）+k个单项式。定理4.4. 计数M对单调公式和单调回路都是PP NP -完全的.证据我们首先证明了单调公式的困难性。这个论证与定理4.3的证明非常相似。考虑以下典型的C P-完全问题C3SAT。我们把C_（13）SAT约化为C_（13）M。对于引理2.2，PPNP的硬度如下。Considera3SAT-formulaF（x<$，y<$）.Letn=|x¯|为|是的|我们的客户服务团队荷兰盾 定义多项式C=C+Cj=1 由等式3和C定义C的C方程4。这个分析类似于定理4.3的证明。多项式C由单调算术公式计算，且至少有2n（6c− 1）+k个单项式当且仅当（F，k）是C3SAT的正例。我们现在证明上界。回想一下，CCOUNT MON∈PPZMC。 根据定理3.3，因此，单调回路上的计数M属于PPNP。5. 多重线性在本节中，我们考虑多重线性对我们的问题的影响我们将不考虑承诺问题，因此我们的问题的多线性变体必须首先检查计算的多项式是否是多线性的。我们首先要说明这一步并不难。5.1号提案 C HE c K ML相当于ACIT。11QM在 ML上输入：算术电路C。问题：判断C计算的多项式是否包含多线性单项式。ML-ZMC输入：算术电路C，单项m。问题：判断C是否计算一个多线性多项式，其中单项式m的系数为0。证据将ACIT简化为CHE cK ML很简单：简单地将输入乘以任意变量X2。结果电路是多线性的当且仅当原始电路为0。对于另一个方向，想法是计算由输入电路计算的多项式的二阶导数，并检查它们是否为0。设C是一个包含变量X1，. . .，Xn，其将被检查多重线性。对于每一个i，我们归纳地计算电路Ci，其计算二阶导数，关于Xi。 为了这样做，对于C中的每个门v，电路C′具有三个门vi、v′和v′′。的我我vi中的多项式是v的多项式，v′计算一阶导数，v′′计算二阶导数。针对输入我我盖茨的建设是显而易见的。如果v是一个+门，有孩子u和w，我们有vi=ui+wi，v′=u′+w′和v′′=u′′+w′′。 如果v是一个有子门u和w的×门，我们有vi=uiwi，伊伊v′=u′wi+uiw′和v′′=u′wi+2u′w′+uiw′′。很容易看出，所构建的电路I I I I I I I ICC o m ptesin desinde r esivetoXi.接下来我们计算C′：ni=1 对于新变量Yi，我们知道C′恒为零当且仅当C是多线性的。C′也可以很容易地在对数空间中构造。接下来，我们表明，如果问题变得更加困难，而不是问是否所有的单项式的多项式计算的电路是多线性的，我们问是否至少有一个单项式是多线性的。问题蒙ML在于核心的快速精确算法，以决定k-路径Koutis和威廉姆斯[18，32]（虽然在这些文件中的多项式是在特征2这改变了一点问题这促使Chen和Fu [7，8]考虑MONML，证明它是#P-hard的，并给出有界深度版本的算法。我们提供了关于这个问题的复杂性的进一步信息。5.2号提案ML上的M在RP PP中。它是C- 是的乘法不相交循环的P-完全QProf. 对于第一个备份，让C作为输入变量X1，. . . ，Xn. WesetC′=ni=1 （1 +XiYi）。 则C计算多线性单项式当且仅当在乘积CC′n系数多项式P（Y1，. . . ，Yn）不等于0。 这是可以检验的就像命题4.1的证明一样，这样就建立了ML ∈RPPP上的M。在乘法不交情形下的CP-完备性也可以用同样的方法得到证明如命题4.1。我们现在转向我们的第一个问题，即决定在多线性设置中，由电路计算的多项式中是否出现单项。5.3号提案 ML-ZMC相当于ACIT。12ML-C计数 MON输入：算术电路C，d∈N。问题：判断C计算的多项式是否是多线性的，并且至少有d个单项式。证据我们首先表明，ACIT减少到ML-ZMC。因此，让C成为ACIT的输入。A l l e n d e r 等人[2]已经证明ACIT简化为ACIT的受限版本，其中所有输入都是−1，因此电路计算常数。设C1为该约化的结果。则C的计算结果相同，当且仅当C1的常系数为0。这就确立了第一个方向。对于另一个方向，设（C，m）为输入，其中C为算术电路，m为单项式。首先检查m是否是多线性的，如果不是，则输出1或任何其他非零多项式。接下来，我们构造一个电路C1，它用经典方法计算C的度deg（m）的齐次分量（例如参见[5，引理2.14]）。观察到如果C计算多线性多项式，那么C1也是。我们现在为出现在m中的变量插入1，为所有其他变量插入0，将结果（常数）电路称为C2。如果C1计算一个多线性多项式，则C2为零当且仅当m在C1中的系数为0。简化的最终结果是C：=C2+ZC3其中Z是一个新变量，C3是一个同为0的回路当且仅当C计算一个多线性多项式（通过命题5.1得到）。C计算一个多线性多项式，并且不包含单项式m，当且仅当C2和ZC3都为0，当且仅当它们的和为0。在我们的第二个问题中，计算单项式的数量，复杂性下降到PP。5.4号提案 ML-C COUNT M ON是PP-完全的（对于图灵归约）。证据我们首先证明了M在∈PP上的ML-计数。为此，我们使用CHE cK ML来检查C计算的多项式是否是多线性的。然后，可以在PPML-ZMC中进行计数单项式，并且ML-ZMC在coRP中。通过引理2.6，类PPcoRP简单地是PP。对于硬度，我们将{0， 1}-永久式的计算减少到ML-CCOUNT M上。命题如下，因为{0， 1}-永久性对于图灵归约是#P-完全的。设A是0-1-矩阵，d∈N，我们必须判定PER（A）≥d。我们通过设置bij：=aijXij从A得到矩阵B。因为B的每一个元素要么是0，要么是一个不同的变量，所以当我们计算B的永久式时，每个产生非零被加数的置换都会产生一个唯一的单项式。这意味着没有取消，因此PER（A）是PER（B）中单项式的数量。现在的问题是，没有用于永久的小电路是已知的，因此PER（B）不是ML-COUNT MON的良好输入。但是因为没有取消，我们有DET（B）和PER（B）有相同数量的单项式。所以取一个行列式的小电路（例如[20]中给出的电路），并将其输入替换为B的条目。其结果是电路C计算单项式的个数为PER（A）的多项式。观察行列式以及C计算的多项式是多线性的，就完成了证明。致谢我们要感谢Sylvain Perifel进行了有益的讨论。这篇文章的其余部分都是通过 以 下 方 式 实 现 的 ： 将 这 篇 文 章 中 的 内 容 转 换 为E'quuipedeLogiqueMath'ematiqueatUiversiteParisDiderotParis7。他想让我去参加一个叫ArnaudDurand的活动13由于ANR ENUM（ANR-07-BLAN-0327）的资助，这三个主要任务都是为了让您的设备能够更好地工作。引用[1] E. 阿 伦 德 河 Beals 和 M. 荻 原 矩 阵 秩 的 复 杂 性 和 线 性 方 程 组 的 可 行 解 。 ComputationalC omplexity，8（2）：99- 126，1999.[2] E. 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