无超调的最优Laplace逆变换方法及其数值实现

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记337（2018）87-104www.elsevier.com/locate/entcs一种无正负超调的最优Laplace逆–Ill'esHorva'th2匈牙利布达佩斯MTA-BME信息系统研究组Zs ofi aTalyig'as3布达佩斯技术大学，布达佩斯，匈牙利Miklos Telek4布达佩斯技术大学网络系统与服务系，匈牙利摘要本文提出了一种无超调的数值拉普拉斯逆变换方法，它是由具有最小变差系数的矩阵指数（ME）分布导出的。我们讨论的性质该方法通过属于Abate-Whitt框架的数值逆拉普拉斯变换方法的基于积分的解释与先前应用的非过冲替代方案相比与关键词：数值逆拉普拉斯变换，矩阵指数分布，超调，最小变异系数。1引言在原始函数为概率或概率分布的随机模型中，数值拉普拉斯逆变换的实现需要1这项工作得到OTKA K123914项目的部分支持2电子邮件：horvath.illes. gmail.com3电子邮件：talyigas. gmail.com4电子邮件：telek@hit.bme.huhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2018.03.0351571-0661/© 2018作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。88I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）87∫∫逆变换过程保持数值逆变换在0和1之间的特性。大多数数值逆变换方法产生正或负过冲，这可能导致数值逆变换值低于零或高于一，这在随机建模中是不可接受的质量误差。这就是为什么我们在这项工作中专注于无超调的数值逆变换程序。文献中已经发表了大量的数值逆拉普拉斯变换方法，其综述超出了当前工作的范围。对于相对较新的初始指针，我们参考[13]及其参考文献，但我们关注的应用领域有很大不同。虽然很大一部分文献，包括上面提到的一个，列出了大量的方法，这些方法的清晰和系统的分类是不容易找到的。一个显著帮助作者直观理解的例外是Abate和Whitt在[8]中提出的，我们称之为事实上，这个框架隐含地定义了函数族，在这些函数族中可以执行各种优化，以获得最佳的逆拉普拉斯变换方法。我们提出了一个程序，这是基于最一般的功能家庭的证明了所得到的泛函最优化问题在概率论中称为具有最小变差系数的矩阵指数分布问题。 因此，在目前的工作中，我们适用于矩阵指数分布的最佳数值逆拉普拉斯变换的极值结果，而不会在Abate-Whitt框架下过冲本文的其余部分组织如下。第二节对拉普拉斯逆变换作了一般性的介绍，并介绍了第三节是对该框架的整体解释。在第4节中描述了所提出的基于矩阵指数分布的过程，并在第5节中将其性能与Abate-Whitt框架中的其他方法进行了比较。本文在第6节中结束。2逆Laplace变换与Abate-Whitt对于实值或复值函数h（t），拉普拉斯变换定义为：h（s）=∞e−sth（t）d t。（一）t=0而逆变换问题是找到点T处h的近似值（即，h（T））基于h∈（s）。注2.1我们假设t∞=0e−s th（t）dt对于Re（s）>0是有限的thush（s）对于Re（s）> 0由（1）定义。当Re（s）≤0时，h∈（s）是解析延拓I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）8789不不不不不不对于Re（s）>0，h（s注2.2我们假设h（t）在本文中是实数. 因此，h（s<$）=h<$（s）且h（s<$） +h（s）=2 R e（h（s））。我们的主要兴趣是逆拉普拉斯变换无过冲。由于这个原因，我们将注意力限制在Abate-Whitt框架上2.1The这个想法是通过变换值的有限线性组合来近似hh（T）hn（T）：=ηkh.βkT>0，（2）T Tk=1其中节点βk和权重ηk是复数，其取决于n，但不取决于变换h或时间自变量t。Abate和Whitt在[8]中介绍并研究了该框架。当（1）中的h（t）是实值时，它可以通过加权变换值的实部来近似Re（h（T））=Re（hn（T））Re.ηkh.βk好吧T Tk=1在节点和线之间存在复共轭对的特殊情况下（即ηi=η<$j和βi=β<$j），ηihη。βi+ ηjh。βj= 2Re ηih。βiβi我们考虑三个经典的算法的阿巴特和惠特已经对这三个问题进行了调查[8]。我们现在给出一个不同的方法，并将它们与我们提出的矩阵指数方法进行The Gaver–Stehfest algorithm is based on the sequence of Gaver由于Gaver近似的收敛性仅为对数，因此需要加速。Stehfest[10]使用Salzer加速方案提出了一种线性加速方法。正如在[8]中所观察到的，加速版本适合框架（2），因此我们可以在这门课上研究它。欧拉在[8]中，它被改写成适合（2）结构的形式。TalbotTalbot在1979年[11]中。形式（2）的版本是根据Abate和Valko的早期工作[12]在[8]中导出的。这三种方法都是用hn（t）逼近h（t），其中hn（t）具有结构（2），权为η k，节点为β k，k = 1，2，. n.权重和节点对于所考虑的算法，下面给出nn90I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）87Σ6KΣ1+KGaver–Stehfest method (for evenβk=k ln（2），1≤k≤nmin（k，n/2）ηk=ln（2）（−1）n/2+kj n/2+1。n/2次。2 j.Jn， 1≤k≤n（n/2）！Jj=[（k+1）/2]jk−j其中[x]是整数中小于或等于x的最大值。欧拉方法（奇数n）β=（n−1）ln（10）+πi（k−1）， 1≤k≤n哪里ηk= 10（n−1）/6（−1）kk，1≤k≤n11=2k=1，2≤k≤（n+1）/21n=2（n−1）/2克恩 =n−k+1 2 −（n−1）/2。（n− 1）/2，其中1 ≤k<（n− 1）/2。塔尔博特法2Nβ1=5β= 2（k − 1）π。床。（k−1）π+i，2≤k≤nk5n1β1η1=5e2 Σ（k−1）π。Σn. （k−1）π2n. （k−1）πn图1描绘了三种方法的β k节点的位置。Gaver两者都假定节点具有正虚部。Talbot方法也适用于具有负实部的βk值，其通常在（1）的收敛区域之外，但h（s）的解析延拓可能存在。注2.3具有部分复值系数的实值函数kηke−βkt的集合具有以下实表示。第一类如果bothηk和βk是实数，则kηke−βkt是实数表示。ηk= 5 1+Icot-Icote βk，2 ≤k≤n。I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）8791尤拉·加弗30252015105KKΣKKImRe-30-20-10 10图1. Gaver（n= 10），Euler（n= 11），Talbot（n= 10）方法中βk节点在复平面上的位置第二类如果ηk是实数，βk是复数，则Re.<$ηke−βkt<$$>=<$ηke−bktcos（ωkt）是它的实表示，其中β k= b k+ iω k。第III类如果ηk和βk都是复数，则Re. <$ηke−βkt<$$>=<$ake−bktcos（ωkt+φk）是它的实表示，其中Re（ηke−βkt） =ake-bktcos（ωkt+φk），其中Re βk=bk+iω k，ak，φ k是实数，由η k的实部和虚部得到[6].Gaver-Stehfest方法属于I类，Euler方法属于II类，Talbot方法属于III类。矩阵指数法（详见第4.4节）属于III类3Abate-Whitt框架的整体解释对于Re（βk）>0，βk，我们可以将Abate-Whitt框架的逆拉普拉斯变换方法1h（T）=ηh.βk = 1不η∫∞e−βkth（t）dt =n∞h（t）fn（t）dt，（3）nTkT k=1kTTn92I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）87k=10 0nI. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）8793n不不不−f（t）=ηe（5）k不不不−M2不不不K不fT（t）=Tf1∫k=1其中，在点T处的拉普拉斯逆的数值近似被获得为原始函数h（t）的积分，其中f n（t）= 1<$ηe−βkt。（四）如果fn（t）是点T处的狄拉克脉冲函数，则拉普拉斯反演将是完美的，但取决于近似的阶数（n）、应用的逆变换方法（权重ηk，节点βk）和时间点（T），函数fn（t）仅以给定的精度近似狄拉克脉冲函数。fn（t）的形状类似于nn βk t1k=1因为，根据（4），n1n.t不86欧拉Gaver420.51.01.52.0-两个15欧拉Gaver1050.51.01.52.0-五个图2. fn（t）对于图3. fn（t）对于Re（β k）> 0，βk的性质对Euler和Gaver-Stehfest方法成立，但对Talbot方法不成立（参见.图1）。图2和图3描绘了在T = 1时，对于欧拉方法n= 11和n= 23，以及对于Gaver-Stehfest方法n= 10和n与预期一致，在这两种情况下，对于高阶，函数在视觉上变得 为了进行更定量的比较，我们在表1中收集了函数f n（t）的 一 些 性 质 。我们从概率论中引入了一个集中度的度量，即变异系数（cv）。对于具有概率密度函数f的随机变量X，cv（X）定义为：var（X）cv（X）=（E（X））2=m21， 其中m1=t i f（t）d t.不我们的目标是测量fn有多集中注意fn不一定是T T一个适当的归一化pdf，因为我们允许它的积分不同于1和fn.（六）我94I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）87不不−M2不不不不不不不不不不不不k=1T不KK∫可以取负值。然而，可以引入fn的cv，稍后将提供信息。fn的变差系数定义为：cv =m0m21， 其中m1=t i|f n（t）|D t.不（如果fn未归一化，则必须使用m0我们引入了一些进一步的测量方法来帮助量化fn的浓度：peak表示fn的最大值，而min和max表示fn（t）= 0的第一个点和最后一个点。01峰值（其中0. 01是任意选择的）。欧拉法的主冲量比欧拉法的主冲量高得多，也窄得多。G a v e r - S t e h f e s t 方法用于两个阶次，如由峰值和最接近t = 1的零点（f n（t）= 0）的距离所指示的。 这一趋势也体现在最小值和最大值（最小值随n增大/最大值随n减小，Euler比Gaver-Stehfest窄具体值，min=0。376047，是由于局部最大值仅略大于0。01 max（如果峰值小于0。01 max，则min将在0左右。474721，见图4），但欧拉方法的最小值对于适当尺度的数值拉普拉斯逆变换方法，fn（t）应该保持狄拉克脉冲的积分性质，即，fn（t）dt= 1，不并且Gaver-Stehfest和Euler方法的权和节点参数确实是这样的，使得对于所有阶都确保了单位积分。具有单位积分性质，较大的m0表明函数fn（t）对于欧拉方法，m0更高，并且随着阶数的增加而增加得更快这一事实与缓慢增加的最小值一起表明，欧拉方法的fn（t）函数主要在主脉冲之前急剧交替，并且这种强烈的波动行为随着阶数的增加而变得更加显著（再次参见图2和图3上述性质的累积效应反映在cv值中对于n= 11，由于相对窄的非零曲线（从最小值到最大值），欧拉方法提供了低得多的cv，但随着阶数的增加，欧拉方法的最小值由于这两个效应，欧拉方法的cv值比Gaver-Stehfest方法的cv值减小得慢正如我们已经看到的，对于给定的阶，欧拉方法的fn（t）函数比Gaver-Stehfest方法的函数窄得多。这种差异还来自于Gaver-Stehfest方法的βk例（参见，注2.3）。 因此f n（t）=<$nake−bkt（实数a，b），我∫I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）8795不不不S不不k=1T不不KKK对于远离T的t值，th（t）fT（t）dt积分是一个可忽略的1.0欧拉0.01峰值0.50.250.300.350.400.450.50-0.5图4. f n（t）在0附近的局部峰值。01峰（水平线），Eulern= 11，T= 1nm0CV峰值minMax1022Gaver1.328191.463790.2615050.09506821.651083.530380.09694320.3599993.943682.101021123欧拉1.794252.475390.03951980.02998598.2681117.62720.3837630.3760471.344611.16585表1用Gaver-Stehfest（n = 10，22）和Euler（n = 11，23）方法求fn（tGaver–Stehfest method and fn (t) = Σ欧拉方法，即欧拉方法使用更大的指数函数集合来近似狄拉克冲量。到目前为止，我们研究了fn（t）函数的主要性质。下面我们研究这些性质对由Gaver-Stehfest和Euler方法计算的逆变换的影响。在1处的单位阶跃函数的n= 22/ 23。1.21.00.8尤拉·加弗0.60.40.2电话：0510 - 8888888传真：0510 - 88888888图5.用Gaver-Stehfest（n = 10）和Euler（n = 11）方法求单位阶跃函数的Laplace逆变换图6.用Gaver-Stehfest（n = 22）和Euler（n = 23）方法求单位阶跃函数的Laplace逆变换逆拉普拉斯曲线在t= 1附近的增加对于n= 23的欧拉方法是最陡的，并且对于n = 10的Gaver-Stehfest方法是最慢的这种陡度与fn（t）函数中主峰的宽度有关(see以及基于（7）的波的相关讨论一般来说，较宽的fn（t）函数使得h（t）fn（t）乘积非零TTn1.21.0欧拉Gaver0.80.60.40.20.51.01.52.02.53.096I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）87F（吨）不不不1 .一、141 .一、14不不不不不不不016111.14420.5 1.0 1.5 2.0-两个图7.F11（1）欧拉方法。 它的内部-图8. T = 10时的标度：f 11（t）和f 11（t），1 .一、14从1到∞的gral是最大的。Euler方法1 10对于远离T的t的值，h（t）也是如此。如果h（t）在T附近几乎是常数，则由fn（t）的宽度引起的误差不太显著，但是当h（t）在fn（t）的宽度范围内在T附近急剧变化时（如在单位阶跃函数的情况）。作为急剧增加的对应物，欧拉逆拉普拉斯曲线主要在跳跃后具有强烈的波动行为，而Gaver-Stehfest曲线更快地稳定。为了在这种特殊情况下更好地联系fn（t）和hn（T）（其中h（t）= 1，t>1，否则为零），我们写hn（T）=<$∞h（t）fn（t）dt =<$∞fn（t）dt（7）并描绘了f11（t）的欧拉方法在图7中，因为第一个峰值的图5中的欧拉n = 11逆拉普拉斯曲线在 步骤t = 1之后。14.F11的积分（t）从1到无穷大是最大的，因为它正好从最大的负波。根据相同的推理，可以看出，阶跃之后的欧拉逆拉普拉斯曲线的波与主脉冲之前的fn（t）函数的波相关，并且类似地，阶跃之前的欧拉逆拉普拉斯曲线的波与主脉冲之后的fn（t）函数的波相关。由于欧拉方法的fn（t）函数在主脉冲之前是剧烈交替的，因此任何跳跃的欧拉逆变换曲线在跳跃之前具有小的波并且在跳跃之后具有较大的波（如例如在图5和图6中所见）。在1处的单位阶跃函数在以下意义上是有效的概率函数：0≤h（t）≤1，h（t）> 0。如详细讨论的，fn（t）的交替性质在变换域曲线中生成波，其在阶跃之前低于零并且在阶跃之后高于一。也就是说，欧拉方法和[0， 1]间隔。为了在[0， 1]区间内得到单位阶跃函数的数值逆，fn（t）应该是非负的，这是欧拉和8f11（t）16f11（t）104224681012-两个I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）8797ΣΣ11fX（t）被归一化（即，0∞fX（t）dt = 1）i <$α1= 1.这通常是假设的。4矩阵指数分布4.1概率背景类似于形式（5）的概率密度函数（pdf）已经被研究了很长时间[2]。N阶矩阵指数分布类，记为ME（N），包含所有具有以下形式的pdf的分布X：fX（t）=−αAeAt1，t≥ 0，（8）其中α是长度为N的行向量，A是大小为N×N的矩阵，1是大小为N的列向量。基于A的Jordan分解重写（8），我们得到ME函数的以下一般形式：kli−1fX（t）=ci，jtjeλit，（9）i=1j =0其中λ1，.，λ k是A的特征值，λ i有重数l i.形式（9）与（5）不太一致，因为（9）也可能包含多项式因子;然而，如果fn（t）（如（5）中定义的）是非负的，则fn（t）∈ME（N）。对于给定的f X（t），α和A都不是唯一的，如果（8）成立，我们说X是矩阵指数分布的，有一个λh表示（α，A），或简称XλME（α，A）.fX（t）的非负性不能从式（8）或式（9）中得出，需要单独检验ME（N）的一个特殊子类是相型分布PH（n）：如果，除了（8），我们还假设，• αi≥0，• Ai，j≥0，对于ii=j，Aj，j0，• A1≤0则我们说X是相位型（PH）分布。相型分布有一个很好的随机解释：X是吸收连续时间马尔可夫链的吸收时间，具有大小为N的有限状态空间，具有无穷小生成元A和初始分布α。因此，fX（t）的非负性由附加假设得出显然，PH（N）与ME（N）的区别，但一般来说，这种区别还没有得到很好的理解。4.2浓缩PH和ME分布对于类PH（N），最小cv已知。Aldous和Shepp[4]证明了以下定理：98I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）87定理4.1minX∈PH（N）1cv（X）=N、（十）并对参数为（N，λ）的Erlang分布求出了最小值其中λ> 0是任意的。对于类ME（N），在[6]中计算了最小cv，以下猜想基于N的奇数值直到N=47的数值优化：minX∈ME（N）2cv（X）N2，（11）并且最佳矩阵指数分布具有以下形式（假设奇数N）：fME（t）=ce−λt（N−1）/2i=0cos2（ωt−φi）（12）其中c，λ，ω和φ1，...，φ（N−1）/2由数值优化得到。4.3基于Erlang分布的Laplace逆变换在本文中，我们想强调使用基于ME的逆拉普拉斯变换与基于Erlang分布的常用非过冲逆拉普拉斯变换方法相比的好处[3，9]。Er-lang发行版有pdfλNfErlang（t）=（N−1）！不N−1 e−λt，由于多项式因子tN−1，这与（5）不一致。对于拉普拉斯逆变换，多项式因子tN−1对应于到N−1dsN−1h（s），从技术上讲，它不属于第三类。虽然计算或近似（N-1）阶导数通常可能不可行，但在某些应用中可以使用有效的方法。例如，Asmussen，Avram和Usabel [3]使用它来近似在固定时间T之前的一个双流体模型中的破产概率。4.4基于ME分布的Laplace逆变换我们主要关注的是集中ME分布的应用，I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）8799（12）逆Laplace变换。 （12）可以改写成一致100I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）87（8）或（5）：（N−1）/2N nfM E（t）=ce −λtcos2（ωt−φi）=<$ηie−βit=η1e−β1t+ 2<$Re。ηie−βiti=0i=1I=2（十三）其中n =（N + 1）/2，n1，β1是实数，并且值β2，.，β n具有正的镜像部分。详见[6]附录。使用（4）中的函数（13），（3）是基于最大熵的拉普拉斯逆变换方法。一个完整的列表的值η1. η n，β1，.，对于每个n到n = 24的βn可在线获得[7]。作为示例，我们包括n= 4（N= 7）的值。β 1的虚部，...， 由于（12）式的特殊形式，β n构成一个等差数列（见[6]的附录）。我1234ηi38岁。5032-18。9855− 23。小行星2984i-2。70326+ 13。374i二、47829 −1。37694iβi-3。93763-3。93763 +3。小行星48448i-3。93763 +6。小行星96896i-3。93763 +10。小行星4534i5与基于ME的方法的在本节中，我们通过数值例子将所提出的矩阵指数方法（ME方法）与Abate-Whitt框架中的三种已知算法（Euler，Talbot，Gaver-Stehfest）进行比较。研究了当h_∞给定时，这两种方法对h的逼近程度我们比较了不同的算法为相同的顺序n，其中n是指的节点数，h的评估。注意，欧拉方法仅适用于奇数阶，Gaver-Stehfest方法仅适用于偶数阶。因此，对于每n个测试，欧拉方法的阶数或Gaver-Stehfest方法的阶数表2包含测试函数列表h和h的拉普拉斯变换对。h.h（t）e−t唱T1（t>1）1（t>1）e1−t[t方波函数h/h（s）11+s1s2+ 11e−s/2Se−s1+s11s es−111s es+1表2测试函数I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）87101图9和图10分别描述了使用阶数n= 3（Gaver-Stehfest的n= 4）和n = 5（Gaver-Stehfest的n = 6）的各种方法对h（t）=e-t对于阶数n= 5的所有方法，近似值已经相对准确。图11和图12描绘了对于阶数n= 13（对于Gaver-Stehfest，n= 14）和n = 24（对于Gaver-Stehfest，n = 25）的各种方法的h（t）= sin（t102I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）87不不不1.210.80.60.40.20−0.2精确的我欧拉·塔尔博特·加弗10.90.80.70.60.50.40.30.20.10电话：+86-0511 - 8888888传真：+86-0511 - 8888888图9. h（t）=e−t，对于阶数n=3（Gaver：n=4）电话：+86-0511 - 8888888传真：+86-0511 - 8888888图10. h（t）=e-tforn=5（Gaver：n=6）欧拉）。请注意，T值越大，近似值越差。这是所有Abate-Whitt类方法所固有的，T1f n（t）对于较大的T值较不集中。图8演示了这一效果用欧拉方法求f11（t）和f11（t）直觉，当主冲动1 10fn（t）比正弦波的周期宽，则（3）中的积分使波平均。也就是说，随着T的增加，近似变得更差的速度对于不同的方法是不同的。Talbot和欧拉方法提供了对于n= 14的4个周期和对于n= 25的 7个周期的相对准确的近似;过冲是可见的，因为欧拉方法还提供了大于1的值和小于-1的值（在欧拉方法的范围之外）。原始函数sin（t））。对于较大的t值，周期也会失真，局部极值（由于fn（t）与欧拉方法的强不对称性）。此外，欧拉方法提供的函数的“振幅”衰减得相当突然。矩阵指数法保留了sin（t）的周期性，不超调，也保留了周期长度，但幅度逐渐衰减。总的来说，欧拉方法提供了sin（t）的最佳近似，但有一些过冲。图13和14分别描绘阶跃函数h（t）=1（t>1）对于阶数n= 13（对于Gaver-Stehfest，n= 14）和n = 24（对于Euler，n = 25）的近似省略了塔尔博特法，因为它会在积分收敛域之外采样h（s）的值其他方法提供一个合理的近似;再次注意，Gaver-Stehfest和Euler方法过冲。还要注意的是，过冲的“大小”并不随着顺序垂直地减小，而只是水平地减小。矩阵指数法不会过冲，并提供了最佳的近似整体。图15和图16描绘了移位指数函数的近似精确的我欧拉·塔尔博I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）871031.510.5精确的我欧拉·塔尔博特·加弗1.510.5精确的我欧拉·塔尔博特·加弗0 0-0.5-0.5−1 −1-1.50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1.50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50图11. h（t）= sin（t），n= 13（Gaver：n= 14）1.2确切图12.h（t）= sin（t），n= 24（Gaver：n= 25）1.2确切10.8我尤拉·加弗10.8我尤拉·加弗0.6 0.60.4 0.40.2 0.20 0−0.2电话：+86-0511 - 8888888传真：+86-0511 - 8888888图13.h（t）=1（t >1），n= 13（Gaver：n= 14）−0.2电话：+86-0511 - 8888888传真：+86-0511 - 8888888图14.对于n= 24，h（t）=1（t >1）（欧拉：n= 25）1（t >1）e1−t，阶数n= 13（Gaver-Stehfest为n= 14Talbot方法再次被省略。与图13和图14类似，Gaver-Stehfest和Euler方法再次过冲，矩阵指数方法提供了总体上1.210.8精确的我尤拉·加弗1.210.8精确的我尤拉·加弗0.6 0.60.4 0.40.2 0.20 0−0.2电话：+86-0511 - 8888888传真：+86-0511 - 8888888图15. h（t）=1（t>1）e1−tforn=13（Gaver：n= 14）−0.2电话：+86-0511 - 8888888传真：+86-0511 - 8888888图16. h（t） =1（t>1）e1−tforn=24（Euler：n= 25）图17和图18描绘了步进函数h（t）=[t，104I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）87对于阶数n= 13（Gaver-Stehfest为n= 14请注意，误差随着t的增加而增加，并且渐近地，所有近似函数都变成线性的（参见图19）。Gaver-Stehfest方法通过非常快地收敛到线性渐近线而提供了差的近似;其他方法提供了合理的近似，但是Euler和Talbot方法都过冲，并且Euler方法即使在步骤的中间（跳跃之间的中途）也具有相当大的误差。矩阵指数法提供了一个很好的近似，没有过冲。5 5精确的我4欧拉4塔尔博特·加弗3 3精确的我欧拉·塔尔博特·加弗2 21 10 0−1电话：+86-0511 - 8888888传真：+86-0511 - 8888888图17. h（t）=[t]，n= 13（Gaver：n= 14）181614121086420−2−1电话：+86-0511 - 8888888传真：+86-0511 - 8888888图18.h（t）=[t]，对于n= 24（欧拉：n= 25）精确的我欧拉·塔尔博特·加弗0 2 4 6 8 10 12 14 16 18图19.h（t）=[t]，对于n= 24（欧拉：n= 25）图20和21分别描绘了阶数n= 13（Gaver-Stehfest的n类似于h（t）= sin（t），Talbot和Gaver方法提供了差的近似，在非常少的周期之后两个函数都接近常数。欧拉方法提供了I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）87105对于n= 14的4个周期和对于n= 25的7个周期的相对精确的近似欧拉、塔尔博特和Gaver-Stehfest方法的过冲类似于h（t）= sin（t），矩阵指数方法保留了周期性的-（与周期长度一起），不会过冲，但振幅逐渐衰减。1.41.21确切我欧拉·塔尔博特·加弗1.51确切我欧拉·塔尔博特·加弗0.80.6 0.50.40.2 00−0.20 2 4 6 8 10 12 14−0.50 5 10 15 20 25图20. n= 13的方波函数（Gaver：n= 14）1.210.8图21. n= 24的方波函数（Euler，Talbot：n= 25）确切我欧拉·塔尔博特·加弗0.60.40.20−0.2电话：+86-0511 - 8888888传真：+86-0511 - 8888888图22. n= 24的方波函数（Euler，Talbot：n= 25）在表3中，比较了不同阶数的各种方法的h（t）=e-t的绝对最大误差 对于这种措施，塔尔博特方法优于矩阵指数法和Gaver-Stehfest法的计算结果相近，欧拉法的计算结果较差。(Note绝对最大误差只有在h（t）是连续的并且有线性渐近线时才有意义，这只对测试函数中的e-t有效。在表4中，检查了每个测试函数在区间（0，14）中的该表反映了文献的结106I. Horváth et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 337（2018）87论，即欧拉方法