六次样条求解五阶边值问题组：埃及数学学会原创研究

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，406埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章用六次样条求解五阶边值问题组加扎拉·阿克拉姆旁遮普大学数学系，巴基斯坦接收日期：2012年12月2日;修订日期：2014年2月19日;接受日期：2014年2014年6月4日在线发布本文用六次样条函数求解了一类与障碍物、单侧和接触问题相联系的五阶边值问题。与Ghazala和Siddiqi[1]提出的方法进行了比较，结果表明，本文提出的方法优于四次样条法。两个例子被认为是数值说明的方法开发和结果是令人鼓舞的。AMS分类： 65L10？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍变分不等式理论已成为研究纯科学和应用科学各分支中的接触问题、单边问题、障碍问题和平衡问题的一种有效而变分不等式理论在数学和工程科学的许多分支研究中已被证明是非常有用的。在障碍函数已知的情况下，利用罚函数技巧，一般变分不等式可以用一个微分方程组来刻画。Lewy和Stam-pacchia[2]曾用这种方法研究变分不等式解的正则性。该技术的主要优点是它在解决障碍和单边问题时的简单适用性。电子邮件地址：toghazala2003@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责Al-Said[3]发展了二阶边值问题组的二次样条解法。Gao和Chi[4]用四次B样条方法求解了一组与三阶障碍物问题相联系的三阶边值问题，称该方法为二阶方法。Siraj等人[5]用非多项式样条提出了一个三阶边值问题的解，该方法也被称为二阶方法。Siddiqi和Ghazala[6Ghazala和Siddiqi[1]用四次样条方法解决了五阶障碍问题，并观察到本文方法优于四次样条方法。Noor等人[9]也用变参数法求解了五阶障碍问题，但文中给出的问题的精确解是不正确的。因此，Noor等人[9]开发的方法不能与本文开发的方法进行比较。本文利用六次样条函数，发展了一种求解下列方程组的1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.04.009制作和主办：Elsevier关键词六次样条;边值问题组;障碍问题;变分不等式;接触问题f xy xgx r; c6 x6 d;¼¼[美国]Σ.ðÞ ¼01212; 019y-1y1 y1-1y11y2-1 0;在X1/4/2 - 1;1]上;d我我我我我我i-1我H5我第二章Xi3Xi3>==>ð Þ¼ ð Þ¼45关于我们3：50用六次样条407求解五阶边值问题y5x8>fx;a6x6c;>：fx;d6x6b;1：10其中bk;dk;ek;lk;mk;nk;ci;di;i0; 1; 2是要确定的任意参数。对于四阶端部条件，bi-1;bi;bi以及边界条件yayba0; y1 ay1ba1;9>=di-1;di;diycda2;y1cdda3;1：20. 198;160-459;650417;960-192;67036; 200磅y2aa;y2cy2da;>;019;12; 019 12、019;12; 019 12、 019;其中r和ai; i0; 1;. 五是真实的，真实的，真实的。函数f x 而g x 连续的 a;b 和 c;d，分别这种类型的系统与接触、障碍和单方面问题有关本文介绍了六次样条法及其相应的终止条件。li-3;li-2;li-1;li;li0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000n i-3; n i-2; n i-1; n i; n i12;56;940;12;应用于一个五阶边值问题的系统。在第4节中，两个例子被认为是有用的方法开发。2. 六次样条法最多0天;最多1天;最多2天3. 应用-2;5二十八;二百六十12; 019;-2：5为了发展问题（1.1）的六次样条逼近S，使用网格点xi<$aih将区间1/2 a;b]分成k个相等的子区间为了说明所开发的方法的实现，以下五阶障碍边界值问题可以被认为是i¼ 0; 1;. ; k，其中h^b-a^=k。S到每个子区间1/2xi;xi=1];1/4 0; 1;.的限制Si。 ; k-1，定义为654-y5xPfx;y xPw x;9>=Six ai x- xibici2015年10月15日x为32I I I I I II3：10Sxy;S1xm;）我我我我我我其中，f是作用在弦上的给定力，w是弹性力障碍。问题（3.1）出现在几个纯粹的分支中，S5xt;S3xn;假设y∈x∈ x是方程组（1.1）的精确解和应用科学，包括交通，平衡，优化，力学，结构分析，流体流动和yiSxi。是yxi的近似值，由样条函数多孔介质和医学图像处理。使用Lewy和Stampacchia[2]的思想和技术，障碍问题（3.1）可以由以下描述应用二阶、三阶和四阶导数连续-在结处，即SlxiSlxi对于l2;3;4，Siddiqi和Ghazala[10]导出了以下一致性关系，这是找到问题（1.1）的解所必需的。ti-357ti-2 302ti-1 302ti 57ti1ti 2变分不等式问题-y15ly-w15y-w15f15x;-1x1;3：2y=1000y=1000 y =2000 y=1000y= 2000 y = 2000 y = 20其中s是一个小的正常数，w是障碍函数¼-720½y— 5y10岁— 10岁至15岁-y];而l是惩罚函数，定义为：第三节第四节. ; k-2;k2：3kb对应于系统（1.1）的结束条件，lt1;tP 0;0的整数;t0：<2013年3月4日（1.2）根据下列条件Xi3Xi3由于障碍函数w是已知的，因此可以找到>9确切 溶液 的 的 问题 在 的 间隔1Þ5ð5Þ5ði Þbyþc hyð德熙1= 26x6 1= 2。d t¼0;>-KKk1/20i-1ð1Þ0i-12ð2ÞK Kk1/25假设障碍函数w定义为：i/1;n/ 1; 3n/ 1;>。-1;-16 x 6-1= 2;1 = 2 6 x 6 1;ðiiÞk1/2 ek ykc1hyi-2d1hyi-2hi/2;n/ 2; 3n/ 2;lk tk<$0;k1/2>.5在第2节中导出。 第3节，专门讨论.i¼ 0; 1;. ; k2：20i-3i-2i-1第一章11;- 1= 26x6 1=2：从Eqs。（3.2）获得作为Xi1ð1Þ5ð5ÞXi1>第三章k1/3mkykc2hyi1d2hyi1hn-1; 3n- 1; 4n- 1;nk tk<$0;k 1/3;>100：40关于我们f;-16x6- 1= 2;1= 26x6 1;-1yf;-1=26x6 1= 2;3：60¼->>>>>>>（中文）>>>（¼.ðÞ ¼K K223=51223=5221=10223= 522 3= 5221=10：408 G. 阿克拉姆与边界条件y-11-1=211=21 1 10;3：7y1-11-1=2y11=2y111/4y2000- 1/4y 2000- 1=2/4y 2000-1 =2/4s;1/3：8 s以及在x1 =2和1 = 2时y ; y和y的连续性条件。如果lt和wx取为（yx1=4801 7x 19x2 25x3 16x4 4x5;-16x6=2;y-1-1=20;y1-11-1=22-1 0;>1= 2-b1exp-22= 5x-b2expa1xcosa2x-b3expa3xcosa4xb4expa3xsina4xy1-1=2 111=2 2 2-1=2 0;>1=960-1 8x- 25x2 38x3- 28x4 8x5;则可以获得以下方程组：y= 5 ×f;-16×6- 1= 2;1= 26×6 1;1- 4yxf;-1= 26x6 1= 2：2013年3月11日哪里1= 26x6 1;y=2001y= 10010;y11=21111 2 1 =20;2014 -04- 24b1¼0： 083472402636811683486236902194475814000555110022391306503;b2¼0： 197226655875097793394145018248435611353617476770476389696;b3¼0： 218780476045802273706722229445094829786402746435753855139;b4¼0： 005598628986902192748619920098904556943240511107281886036;b5¼0： 031624084344408001357285362723625687421220160348823034071;应该提到的是，带障碍物的问题（3.1）是该系统的一个特例a¼。1-p5;a 1/4p的价格将超过500美元;五阶边值问题（1.1）4. 数值算例. 1p100p5-p5例1. 考虑以下问题，如y= 5xx1;- 16x6- 1= 2;1= 26x6 1;2- 4yx;-1= 26x6 1= 2;2014-04-19观察到的最大误差（绝对值）总结在表1中，从表1中可以明显看出，本文开发的方法给出的结果优于Ghazala和Siddiqi[1]给出的结果。从表1中可以确认，如果h减小1/2倍，则E减小1/4倍，这表明本方法给出了二阶结果。以及x<$4 -1;x<$4 1处的边界条件和y;y<$1和y<$2在x<$4-1= 2和x<$41= 2处的连续条件。方程（4.1）的解析解为：实施例2. 考虑以下问题，如8>>>：2a3¼;a4¼表1问题（4.1）的最大绝对误差。H呈现的方法本文加扎拉和西迪基[1]1/141/281/561/1121/2243：10 × 10-76：15 × 10-82：10 × 10-49：20 × 10-92：93 × 10-51：24 × 10-93：85 × 10-61：62 × 10-107：93 × 10-76：23 × 10-8表2问题（4.3）的最大绝对误差。H呈现的方法本文加扎拉和西迪基[1]1/141/281/561/1121/2249：29 × 10-71：84 × 10-74：39 × 10-42：76 × 10-86：12 × 10-53：73 × 10-98：05 × 10-64：84 × 10-101：03 × 10-61：30 × 10-7.ðÞ ¼>>>>：>>1=480- 18x- 25x2 38x3- 28x48x5;K K14422><用六次样条409求解五阶边值问题y=5 ×2;- 16×6- 1= 2;1= 26×6 1;-1yx;-1=26x6 1= 2：2014年4月3日六次样条方法是求解五阶边值问题的一种强有力的数学工具。数值例子也说明了方法的精度。以及x¼-1处的边界条件;x¼1和y;y1和y 2在x¼ -1= 2和x¼1= 2时的连续性条件方程（4.3）的解析解为：1=2401 7x 19x2 25x3 16x4 4x5;-16x6=2;y-1-1=20;y1-11-1=22-1 0;1-b1expa1xcosa2x-b2expa3xcosa4x-b3expxb4expa3xsina4xb5expa1xsina2x;y=26x6 1= 2;确认感谢编辑和审稿人的认真阅读、宝贵意见和及时审阅。引用[1] Ghazala Akram，Shahid S. Siddiqi，用四次样条求解五阶边值问题，Res. J. Appl. Sci.，Eng. Technol.（in press）.[2] H. Lewy，G. Stampacchia，关于变分不等式解的正则性，Commun。《纯粹应用数学》22（1969）153-188页。哪里y-1=211=2 0;>y1-1=2 111=2 2 2-1=2 0;1= 26x6 1;y=2001y= 10010;y11=21111 2 1 =20;2014年4月4日[3] E.A.李明，二阶边值问题的样条解法，北京：计算机科学出版社。62（1996）143-164.[4] 高峰，池春梅，用四次B样条求解三阶障碍问题，应用数学。180（1）（2006）270-274。[5]放大图片作者：Muhammad Azam Khan，Ikram A. Tirmizi，E.H. 非多项式样条方法求解三阶边值问题，应用数学。Comput. 168（1）（2005）152-163。[6] Shahid S. Siddiqi，Ghazala Akram，四阶边值问题的 三 次数值解b1¼0： 421971253377808180784844197586481579304275360089514777474;b2¼0： 363965259605979866780921476737942599547341650816790531421;b3¼0： 214323949709503239977271742174791615518760110013465674423;b4¼0： 031318976821447235311388883995038835884137184947278662482;b5¼0： 032949018430124054163299461434266313081077383697306730612;a¼。-1便士至5便士;a1分1秒。ffiffiffi5ffiffiffiþffiffiffiffiffipffiffiffiffiffi5ffiffiffiffiΣffiffiffi;非多项式样条方法，应用数学计算。一百九十（一）（2007）652.-1p2015年1r10，00，00，00，000ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffipffiffiffiffiffiffiffiffiffiΣffiffiffi[7] ShahidS. Siddiqi，Ghazala Akram，系统的解决方案a3¼四比四;a4¼22 五-第五章：四阶边值问题的三次样条，应用。数学Comput. 187（2）（2007）1219-1227。[8] Shahid S. Siddiqi，Ghazala Akram，使用非多项式求解四阶边值问题组为了分析该方法的有用性，结果总结在表2中，从表2中可以明显看出，本文开发的方法给出的结果优于Ghazala和Siddiqi[1]给出的结果。从表2中可以确认，E如果h减小因子1/2，则h减小因子1/4，这表明该方法是二阶的。5. 结论本文发展了六次样条方法来求解五阶边值问题应当注意，该方法样条技术，应用数学Comput. 185（1）（2007）128-135。[9] Muhammad A.努尔放大图片作者：Asif Waheed，Sanjay K.Khattri，E.A. Al-Said，A new method for solving a systemoffifteen-order boundary value problems，Int. J. Phys. Sci. 6（7）（2011）1798-1802。[10] Shahid S.李文，李晓刚，等，五阶边值问题的六次样条解，应用数学学报，2000。20（2007）591-597。8>>2>