多目标无约束和约束函数优化算法教学比较研究

Journalof King Saud University沙特国王大学沙特国王大学学报www.ksu.edu.sawww.sciencedirect.com多目标无约束和约束函数优化算法的教学比较研究R. Venkata Rao*，G.G. WaghmareS.V.国家技术学院机械工程系，Ichchanath，Surat 395007，Gujarat，印度收稿日期：2012年12月20日;修订日期：2013年7月7日;接受日期：2013年12月16日2013年12月27日在线发布多目标优化是指在一定的约束条件下，同时对两个或多个相互冲突的目标进行优化的过程。实际工程设计往往包含多个相互冲突的目标函数，这就需要采用多目标方法。在一个单一的对象-在多目标优化问题中，最优解是明确定义的，而在多目标优化问题中存在一组权衡，导致许多解决方案。每个解决方案都代表了目标之间的特定性能权衡，并且可以被认为是最佳的。在本文中，最近开发的教学为基础的优化（TLBO）算法的性能进行评估对其他优化算法在一组多目标无约束和约束测试函数，并比较结果。TLBO算法在求解多目标无约束和有约束基准问题时的性能优于其他优化算法。2013年沙特国王大学。制作和主办：Elsevier B.V.All rights reserved.1. 介绍大多数多目标优化研究都集中在自然启发的算法上。已经提 出 了 许 多 自 然 启 发 的 优 化 算 法 ， 例 如 遗 传 算 法（ GA ） 、 粒 子 群 优 化 算 法 （ PSO ） 、 人 工 智 能 算 法（AI）、遗传算法（GA）和粒子群优化算法（PSO）。*通讯作者。 联系电话： +91 261 2201661;传真：+91 2612201571.电子邮件地址：ravipudirao@gmail.com（R. VenkataRao）。沙特国王大学负责同行审查人 工 蜂 群 （ ABC ） 、 蚁 群 优 化 （ ACO ） 、 和 声 搜 索（HS）、手榴弹爆炸法（GEM）等：这些方法基于不同的 自 然 现 象 。 GA 使 用 基 于 适 者 生 存 的 达 尔 文 理 论（Goldberg，1989; Goswami和Mandal，2013），PSO实现了鸟类寻找食物的觅食行为（Clerc，2006; He和Wang，2007; Kennedy和Eberhart，1995; Liu等人，2010; Mandal等人，2012年;Parsopoulos和Vrahatis，2005年），ABC使用蜜蜂的觅食行为（Akay和Karaboga，2012年; Fahmy，2012年; Karaboga和Basturk，2008年; Karaboga，2005年），ACO基于蚂蚁从源头搜索目的地的行为（Blum，2005年;Dorigo和Stutzle，2004年），HS基于音乐播放器中的音乐即兴创作原理（Awadallah等人，2013年; Lee和Geem，2004年），沙特国王大学。制作和主办：Elsevier B.V.All rightsreserved.http://dx.doi.org/10.1016/j.jksuci.2013.12.004制作和主办：Elsevier关键词Teaching–learning-based多目标优化;无约束和约束基准函数一种基于教与学的优化算法333的比较研究GEM基于手榴弹爆炸的原理（Ahrari和Atai，2010年）。这些算法已被应用于许多工程优化问题，并证明在解决特定类型的问题是有效的。然而，这些算法很少被成功地用于解决复杂的多目标基准测试函数。现实世界中有许多问题，需要同时优化两个或多个目标函数。这些问题被称为多目标优化问题（MOPs），它们的解决方案涉及找到不是一个，而是一组解决方案，这些解决方案代表了正在优化的目标函数之间的最佳可能权衡。这样的权衡构成了所谓的帕累托最优集合，并且它们对应的目标函数值形成了所谓的帕累托前沿。第一个多目标进化算法（MOEA）是由Schaffer（1985）在20世纪80年代中期提出的。然而，MOEA在20世纪90年代中期开始引起研究人员的严重关注。目前，MOEA的应用几乎可以在所有领域中找到。不同的作者已经解决了多目标基准优化测试函数（Akbari等人，2012; Yang，2012）。Akbari等人（2012）尝试使用多目标人工蜂群算法解决复杂的多目标无约束和约束问题。Yang（2012）讨论了一种用于连续优化的多目标火焰算法，并将其扩展到解决多目标优化问题。Hartikainen等人，2012年引入了一种称为PAINT的方法，用于计算昂贵的多目标优化问题。现实世界中的大多数问题都缺乏清晰的结构，这就要求对进化计算进行进一步的研究。所有基于进化和群体智能的算法都是概率算法，需要共同的控制参数，如种群规模、世代数、精英规模等。除了共同的控制参数外，还需要特定于算法的控制参数。例如，GA使用变异率和交叉率。类似地，PSO使用惯性权重以及社会和认知参数。算法参数的合理调整是影响上述算法性能的一个非常关键的因素。算法特定参数的不适当调整要么增加计算工作量，要么产生局部最优解。因此，Rao等人（2011年，2012年a，b）、Rao和Savsani（2012年）、Rao和Patel（2012年）最近介绍了基于教学的优化（TLBO）算法，该算法仅需要公共控制参数，不需要任何算法特定的控制参数。其他进化算法需要控制公共控制参数以及控制算法特定参数。在TLBO算法中，调整控制参数的负担相对较小。因此，TLBO算法简单、有效并且涉及相对较少的计算工作量。因此，本文采用TLBO算法对多目标非约束和约束测试函数进行了测试，并将测试结果与其他优化算法进行了比较本文的其余部分结构如下：第2节描述了TLBO算法，第3节介绍了多目标无约束和约束基准函数和实验设置。第4节给出了实验结果和讨论，第5节给出了结论。2. Teaching–learning-based optimization (TLBO)TLBO是由Rao等人（2011，2012 a，b），Rao和Savsani（2012），Rao和Patel（2012）基于教师对班级中学习者输出的影响提出的该算法描述了两种基本的学习模式：（i）通过教师（称为教师阶段）和（ii）通过与其他学习者的互动（称为学习者阶段）。在这种优化算法中，一组学习者被认为是一个人口，并提供给学习者的不同主题被认为是优化问题的设计变量。学习器的结果类似于优化问题的“适应度”值。最好的解决方案在整个人口被认为是教师。设计变量是给定优化问题的目标函数中涉及的参数，最佳解是目标函数的最佳值。TLBO过程分为两个部分，“教师阶段”和“学习者阶段”。这两个阶段的解释如下。2.1. 教师阶段这个阶段是算法的第一部分。在这一部分中，学习者通过教师学习。在这一阶段，教师试图根据自己的能力提高他或她所教科目的平均成绩。在任何迭代i，假设有的学习者（即：人口大小，k= 1，2，.. . ，n）和M j，i是学习者在特定主题“j”（j = 1，2，.. . ，m）。最好的总体结果，Xtotal所有的学习者都可以被认为是最好的学习者，k最好。然而，由于教师通常被认为是一个非常有学问的人，他训练学习者，使他们能够有更好的结果，算法认为最好的识别学习者是教师。每个科目的现有平均成绩与教师对每个科目的相应成绩之间的差异如下：差异平均值j;k：ii 1其中Xj，kbest，i是最佳学习器的结果（即，在主题J中。TF是教学因子，它决定了要改变的均值的值，ri是范围[0，1]中的随机数。TF的值可以是1或2。TF的值以相等的概率随机决定如下：TF1/4轮1/2米范围内的D0;1米2-1g]12米TF不是TLBO算法的参数。TF的值不作为算法的输入给出，并且其值由算法使用Eq.（二）、在许多基准函数上进行了大量实验后，得出结论，如果值TF值在1 ~ 2之间。然而，发现如果TF的值是1或2，则该算法执行得更好。因此，建议教学因子取1或2的值，具体取决于方程给出的四舍五入标准。(2)基于Difference_Meanj，k，i，根据以下表达式在教师阶段更新现有解：X0j;k;i<$Xj;k;i<$差异平均值j;k：i<$3<$334河 Venkata Rao，G. G. Waghmare其中X0j;k;i是Xj，k，i的更新值。 接受X0j;k;i，如果它改善了函数的值。所有接受的函数值在教师阶段结束时，这些值被保持，并且这些值成为学习者阶段的输入。学习者阶段取决于教师阶段。2.2. 学习阶段该阶段是算法的第二部分，在该阶段中，学习者通过彼此之间的交互来增加他们的知识。一个学习者随机地与其他学习者互动，以提高他或她的知识。如果另一个学习者比他或她拥有更多的知识，则学习者学习新的东西。这个阶段的学习现象表示如下，人口规模为X0total-P;i-X0total-Q;iX0j0;P;i¼X0j;P;iriX0j;P;i-X0j;Q;i4如果X0total-P;iX0total-Q;iX 0 j 0; P; i ¼ X 0 j; P; i r i X 0 j; Q; i-X 0 j; P; i 5如果X0total-Q;iX0total-P;i如果X 0 j 0 ; P ; i提高了函数的值，则接受X 0 j 0 ;P;i. 经过一系列的教师向学习者传播知识，学习者的知识水平向教师水平增加，搜索空间内的随机性分布在因此，整个类的知识水平是平滑的，算法收敛到一个解决方案。关于TLBO算法及其代码的更多细节可在https://sites.google.com/site/tlborao/获得。3. 实验研究不同的实验已经进行了验证TLBO算法对其他优化技术的有效性。不同的例子进行了研究的基准测试功能的基础上，从文献中。3.1. 多目标无约束基准函数在进化算法领域，使用大型测试集比较不同的算法是一种常见的做法，特别是当测试涉及函数优化时。许多不同的测 试 函 数 可 用 于 多 目 标 优 化 （ Zitzler 和 Thiele ， 1999;Zitzler等人，2000），但是已经使用TLBO测试了广泛使用的函数的子集，并且已经将结果与具有来自文献的可用结果 的 其 他 算 法 进 行 了 比 较 ， 包 括 矢 量 评 估 遗 传 算 法（VEGA ）（Schaffer ，1985 ）、NSGA-II （Deb 等人，2002 年 ） 、 多 目 标 差 分 进 化 （ MODE ） （ Babu 和Gujarathi，2007年）、多目标优化差分进化（DEMO）（Robic和Filipic，2005年）、多目标蜜蜂算法（Bees）（Pham和Ghanbarzadeh，2007年）和一种强度Pareto进化算法（SPEA）（Deb等人，2002; Madavan，2002）。本节简要介绍了这些算法，这些算法的详细数学公式可在可用的参考文献中获得。矢量评估遗传算法（VEGA）是简单遗传算法（SGA）的推广，与SGA的区别仅在于选择。该算子被修改，使得通过根据回合中的每个目标执行比例选择，在每一代生成许多子群体。该算法的主要优点是它的简单性。这种方法的主要缺点是它不能产生帕累托最优解 的 存 在 下 ， 非 凸 搜 索 空 间 。 强 度 帕 累 托 进 化 算 法（SPEA）是一种结合了精英主义和非支配概念的进化算法。在每一代中，维护称为EXTERNAL的外部填充（即，存储从初始种群开始到目前为止发现的一组非支配解）。这个外来种群参与遗传操作。每个个体在当前总体和外部总体中的适合性取决于支配解的数量。该算法结合了外部和当前种群，并根据所有非支配解占主导地位的解的数量将适合性分配给所有非支配解，然后应用选择过程。在为下一代生成种群之后，必须更新外部种群。该方法的主要优点是将精英主义引入到进化多目标优化中。然而，这种方法不会收敛到真正的帕累托最优解，因为它使用了拟合分配过程，这对凹面非常敏感多目标蜜蜂算法（Bees）是一种新型的基于蜂群的搜索算法。蜜蜂算法是一种基于邻域搜索和随机搜索相结合的算法，可用于多目标优化。使用非支配排序和共享的多目标进化算法主要因其计算复杂性、非精英主义方法和需要指定共享参数而受到批评。Deb等人（2002）提出了一种基于非支配排序的多目标EA（MOEA），称为非支配排序遗传算法II（NSGA-II），它克服了上述三个困难。提出了一种具有计算复杂度的快速非支配排序方法。此外，提出了一种选择算子，该算子通过组合亲本和后代群体并选择最佳（关于拟合度和扩散）解决方案来创建交配池。本文对SCH、ZDT 1、ZDT 2、ZDT 3和LZ的无约束基准测试函数进行了测试。这些函数是包含两个目标函数的无约束基准函数。所有五个测试函数都具有最小化函数。这些函数包含了具有不同特征的Pareto前沿，这些前沿已被用于过去的多目标进化算法的研究。SCH和ZDT 1具有凸帕累托前沿。在ZDT 1函数中，选择30个设计变量Xi（n=30）。每个设计变量的值范围为0到1。当g=1.0时，出现帕累托最优前沿。ZDT 2具有非凸帕累托前沿。在ZDT 2函数中，选择了30个设计变量Xi（n=30）。每个设计变量的取值范围从0到1。当g=1.0时，出现帕累托最优前沿。ZDT 3etXp≤g ¼-1pk10计划 --一种et2Dg¼Ntf1¼ x1jJjxj-sin6px1nxjJ jxj-sin 6px1nJ1DX11 121pD3.4.实验设置一种基于教与学的优化算法335的比较研究函数的前沿增加了离散性特征，其Pare-to-optimal前沿由几个非连续的凸NEP-PF-PFð12Þ零件.正弦函数的引入，这个目标函数的帕累托最优的前端，但不是在参数空间中的不连续性。多个目标通过一个权重向量组合成标量目标。如果目标函数被简单地加权并相加以产生单个最后，最大范围的函数支配evo。lution. 目标的输入值较差，J J第1页其中N是点的数量广义距离（Dg）可以如下给出：vuXN第1页PFj-PF jð13Þ与使用范围较小的目标的较差值相比，范围显著地增加了整体值为了避免这种情况，所有目标函数都被归一化为具有相同的范围。在本文中，测试了以下无约束基准测试函数：1. 具有凸Pareto前沿的Shafferfxx2;f=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000-103≤x ≤ 10 36还针对10 个不同的多目标无约束基准函数UF 1-UF 10（Zhang等人，2008），对其他算法。表1和表2给出了这些测试函数的数学表示。无约束测试函数UF 1最小化。无约束测试函数UF 8 多个目标组合成标量通过权重向量的目标。所有目标函数都是非-12使其具有相同的范围。2. ZDT1函数具有凸前沿f1=1;f2=1;g1=1;九Xi3.2. 多目标约束基准函数针对七个不同的多目标约束基准函数（CF 1-CF 7）评估TLBO算法的性能（Zhang等人， 2008年，针对其他算法。g¼1g1/2D-1;xi21/20;1];i1/21;. . . ;30;107这些测试函数的数学表示为见表3。受约束的测试功能，CF 1-其中，d是维数。3. 具有非凸前沿的ZDT2函数fxx;fxg 1-f=g2;84. ZDT3函数，具有不连续前沿f1xx1;f2xg½1-f1=g-f1=gsin10pf19其中，函数ZDT 2和ZDT 3中的g与函数ZDT 1中的g相同。5. LZ函数得到2个目标函数，f1和f2，它们将被最小化。多个目标通过一个权向量组合成标量目标。所有的目标函数被归一化为具有相同的范围。TLBO算法在为CEC09多目标优化专题赛和竞赛提供的基准函数上进行了测试。测试套件是Pareto前沿的不同特征的集合。IGD度量用于每个测试函数以测量算法的性能。3.3. 性能度量性能度量（IGD）：设P*是沿PF（在目标空间中）均匀分布的点的集合。 假设A是PF的近似集合，从P*到A的平均距离使用以下等式定义：2XX XX.jp2012X#;AIGDβ A;Pω#2pωð14Þ1pj2J12XX XX1j2j2.jp2012Pωj其中d（λ，A）是v之间的最小欧几里得距离和A中的点。如果|P* 的|足够大 ，其中，J1<$fjjj是奇数且2≤j≤ng，J2<$fjjj是偶数且2≤j n。这个函数的帕累托前沿是f21f1的帕累托集x1/4sin.6pxjp;j<$2;3;. . . ;d;x2½0;1]：1110帕累托前沿，多样性和趋同性可以使用IGD（A，P*）来测量近似集合A的值。优化算法将尝试最小化IGD（A，P*）度量的值。TLBO生成200个点后，这些点与真实的f2前向一致ZDT 1的1f1图1（b）.让我们将估计的帕累托前沿PFe与其对应的真实前沿PFt之间的距离或误差定义为在这些实验中，针对SCH、ZDT 1、ZDT 2、ZDT 3和LZ功能考虑了50和125，000个功能评价的总体大小此外，还考虑了100和300，000次功能评价的总体规模，F;f2¼1-2336河 Venkata Rao，G. G. Waghmare图1（a）UF 1-UF 10和CF 1-CF 7，对每个测试问题独立评估算法30次。将TLBO与基于档案的微遗传算法（AMGA）（Tiwari等人，2009），聚类多目标进化算法（聚类经济部）（Wang等人，2009）、具有自适应和局部搜索算法的差分进化（DECMOSA-SQP）（Zamuda等人， 2009），动态多目标进化算法（DMOEADD）的改进版本（Liu等人，2009年），广义差分进化3（GDE 3）（Kukkonen和Lampinen，2009）、LiuLi算法（Liu和Li，2009）、基于分解的多目标进化算法（MOEAD ）（Zhang 等人，2009 ）、 具有指导突 变和优先级更 新的增强 MOEA/D（MOEADGM）（Chen等人，2009）、多目标进化规划（ MOEP ） （ Qu 和 Suganthan ， 2009 ） 、 多 轨 迹 搜 索（MTS）（Tseng和Chen，2009）、基于局部搜索的进化多目标优化算法（NSGAILS）（Sindhya等人，2009），一种基于高效多目标进化算法的改进算法ΣΣ4jpJPnnn1jJ1jj2J1J[1]2jJ1jJ[1]jJ1jj2J1jjJ1jj2J2j（x j-10：3 x2cos. 24 px1 4 jp0：6 x1cos。6px1jp j2j1J1n1njJ1jj2J1j2jj2j2n2NjJ1j2Nj2jjj1jj2J1jjj1jJPj2J2j1一种基于教与学的优化算法337的比较研究表1两个目标无约束测试问题的数学表示。问题数学表示UF1f1/4x1/2P1/2 x-sinn 1/6px2，f1/4-px1/2P½x-sinjp2J1fjjj是奇数且2≤j≤ng;J2fjjj是偶数且2≤j≤ngUF 2f1/4x1/2Py2，f2/41-px1/2Py2，J1/4fjjj是奇数且2≤j≤ng，J2/4fjjj是偶数且2≤j≤ng，yj¼x-100：3 x2 cos.24pxn北京0：6x北京6pxnþj2jUF3f1/4×102。4个Py2-2Qcos.20jp2.第一次世界大战4个Py2-2Qcos.20jjp21 1jJ1jj2J1jj2J1普吉2 200：00：00-00：00- 00：00 -00：00jJ1jj2J1jj2j2普吉n-2J1和J2与UF 1相同，yj <$$> xj-x1;j<$2;. ;nUF 4f1<$^x1<$2Phyj，f2<$^1-x2<$2Phyj，J1和J2与UF 1，yj<$^xj-sin相同。6 px1jp; j ¼ 2;.. . ; nUF5f1¼ x1mm。 12j sin2Npx1j2Pj2J1 hyj，f2¼ 1-x1。 12j sin2Npx1j2Pj2J2 hyj，J1和J2与UF 1相同，e> 0; yj ^xj-sin。6 px1jp; j ¼ 2;.. . ; n：h（t）= 2t2-cos（4pt）+1UF6f1/4x100mm x.0;2.12si n2Npx2.4Py2-2Qcos.20jjp2，1 12N1jj1jj2J1jj2J1普吉f1/4-x最大值x.0;2.12sin2Npx2。4个Py2-2Qcos.20jjp2，J和J与UF1相同1 12N1jj2jj2J2jj2j2pj12e> 0; yj ^x j-sin。6 px1jp; j ¼ 2;.. . ; n：UF7f1¼p5 × 10 -15×10-15×1y2，f2¼1-p512Py2、J1和J2与UF 1相同e> 0; yj ^x j-sin。6 px1jp; j ¼ 2;.. . ; n：算法（OMOEAII）（Gao等人，2009）和具有目标学习策略的多目标自适应差分进化算法（OWMOSaDE）（Huang等人，2009）的方法对无约束测试问题和约束测试问题。本节简要介绍了这些算法，这些算法的详细数学公式可在上述参考文献中获得。广义差分进化3（GDE 3）是差分进化（DE）的扩展，用于具有任意数量的目标和约束的全局优化。对于一个没有约束的单目标问题，GDE 3又回到了原来的DE。GDE 3通过产生更好的分布式解决方案来改进多目标问题的早期GDE版本。基于存档的微遗传算法（AMGA）是一种进化优化算法，其依赖于遗传变异算子来创建新的解。在算法中部署的生成方案可以被归类为代，只有在特定迭代之前创建的解决方案才能在所述迭代（生成）期间参与选择过程。但该算法表2三个目标无约束测试问题的数学表示。问题数学表示UF8F¼cos1ð0： 5xpaclycos1ð0：5xpk1022jJ1jF¼sinP.j2J1 x-2x sin 2pxJ2.1 2000 年，JPnΣΣ22ð0： 5xpk1010：5xp22Þþj2j P.j2J1 x-2x sin 2pxJ2.JP1 你好，n3ð0：5xp1 Þþ 2jJ 1 jj2J1P.x-2 x sin 2 px π，J ¼f.JPJ21nΣΣ2ΣΣ21jj ≤ j≤n;且j-1是 3的乘积G、J2fjj ≤j≤n;并且j-2是 3g的乘法，J3fj≤j≤n;并且j是3gUF9f¼0： 5最大值 0; ≤1μeh n.211 -4ð2x- 11200 xX轴科沃岛12f2¼0： 5最大值0;h n1个月e1 -4.ð2x- 12科沃岛2jJ1j2P.j2J1 x-2x sin 2pxsin，.JPΣΣ2J21n1200 xX轴12j2j P.j2j2 x-2x sin 2pxsin，.JPJ21nf¼1-x2ΣΣ232jJ 3 jj2J3P.x-2 x sin 2 px π，J ¼fJ2.JP1nΣΣ21jj ≤ j≤n;j-1是 3g的乘积、j-2是 3g的乘积，J3<$$> fj≤j≤n;j是3g和e< $0： 1UF10F¼cos1ð0： 5xpaclycos1ð0：5xpk1022jJ1j PJ2j1j½4y-cos2ð8ppp p1第1页]，f¼cos2ð0： 5倍长春新碱1ð0：5xp2 Þþ 2jJ1j P2J2J1j½4y-cosð8ppp p11]，f/s30：5x1pÞþ 2jJ jJ1P2J1j½4y-cos2ð8ppp p11]、J¼f1jj≤j≤n;并且j-1是3g的乘法，J2fjj ≤j≤n;且j-2是 3g的乘法，J3fj≤j≤n;且j是3g1j2j2112、2N104jtjennn2nn2CF1f1mmx1 mmx1mm2xj- x1n-2，f2x¼x12xj- xn-21jJ1jJn2j2jJn1jJ1jj2J1 JPJ21j2jj2j2 JPJ11CF 4f11 1/4x1Pj2J1hjyj，f21/4 1-x1Pj2J2hjyj，J 11 1/4 fj jjj是奇数且2 ≤ j≤ng，J21/4 fj jjj是偶数且2≤j≤ng，22不2个ph jtt 2 for j 3; 4;. ：n，服从：1e4 jtj≥ 0，其中t ¼ x2 sin 6 px1n（.p20： 125上午10点-下午1点2分，否则jt t21（.p2x2- 0：8 x1sin. 6px12p-符号0：5 1-x1-1-x12（.p2j t j if t<2 第1 -2页下一篇：x2-x1sin 6px12p-符号0：5 1-x1-1-x12jJj1j2J1jJj2j2j210： 125上午10点-下午1点2分，否则338河 Venkata Rao，G. G. Waghmare表3约束测试问题（CF 1-CF 7）的数学表示。问题数学表示P.00：00：00-00：00-00：00 P .00：00：00-00：00-00：00J2<$f jjj是偶数且2≤j≤ng服从：f1<$f2-ajsin<$np<$f1-f2<$1<$n]-1≥0其中N是整数且a≥1CF2f××××2002年P. x-sin。6pxjp. x-cos。6px2002年，J1/4 fjjj是奇数且2≤j≤ng，J2<$fjjj是偶数且2≤j≤ng服从：t≥0其中t<$f2<$pf<$1<$p-asin<$Np。pf1-f2-1-1CF3f××××2002年。4个Py2-2Qcos.2 0yjp2，fx1-x22。4个Py2-2Qcos.20年前，J1xj-sin。6px1jp;j1; 2;··························································································;n，服从：f2f2-ajsinnpf2-f21sin-1≥ 0（jtjift<3.1-p2012年 。ΣCF5f1 1/4x1Pj2J1hjyj，f21/ 4 1-x1Pj2J2hjyj，J11/4 fj jjj是奇数且 2≤j≤ng，.JP3. xj-0：8 x1cos. 6px1jp0：6x1if j2J1xj-0： 8x1 sin 6px1slip10：6 x1如果j2 j2J2<$fjjj是偶数，且2≤j≤ng，yj<$$> xj-sin 6px1<$n;j<$1;2;;n，yj<$42.在此，11h<$jtjif t<2 第1-2页hforj1/4 3; 4;. ：n，受：x-0：8 x sin.6px2012年12月22日星期五上午10：00-上午10：0010：25≥0CF6f111/4 x1Pj2J1hjyj，f21/4 1-x1Pj2J2hjyj，J 11 1/4 fj jjj是奇数且2≤j≤ng，.JP3. xj-0：8 x1cos. 6px1jp0：6x1if j2J1xj-0： 8x1 sin 6px1slip10：6 x1如果j2 j2J2<$fjjj是偶数，且2≤j≤ng，yj<$$> xj-sin 6px1<$n;j<$1;2;;n，yj<$4.在此，h2t 如果t<2， 第1 -2页0： 125上午10点-下午1点2分，否则nhjtt2forj¼3; 4;. ：n，受：qj0：5 1-x1-1-x1j ≥ 0x4-0：8x1sin.6px12p-sign0：251-x1-1-x12pj0：2p1-x1-0：51CF7f111/4x1Pj2J1hjyj，f21/ 4 1-x1Pj2J2hjyj，J 11 1/4 fj jjj是奇数且 2≤j≤ng，.JP3. xj-x1cos. 6px1jp0：6x1if j2J12xj-x1sin 6px1slipp10：6 x1如果j2 j2J2<$fjjj是偶数，且2≤j≤ng，yj<$$> xj-sin 6px1<$n;j<$1;2;;n，yj<$4.在此，h2019 -02-230： 125上午10点-下午1点2分，否则nh jtt2forj3; 4;. ：n，h2（t）= h4（t）= t，h j（t）= 2 t - cos（4pt）+1，对于j/4 3：5：6. . ;nqj0：5 1-x1-1-x1j ≥ 0x4-x1sin。6px12p-sign0：251-x1-1-x12pj0：2p1-x1-0：51在每次迭代中生成少量的新解。因此，它也可以被归类为几乎稳态遗传算法。该算法以较小的人口规模运行，并保持良好的解决方案的外部存档。在每次迭代中使用遗传变异算子创建少量的解。然后使用新创建的解决方案来更新存档。AMGA使用非常小的人口规模，并使用外部存档来维护其搜索历史。建议使用大的archive以获得大量的非domi-mated解决方案。归档文件的大小决定了算法的计算复杂度。然而，对于计算昂贵的优化问题，算法所花费的实际时间与时间相比可以忽略不计。由分析程序进行。从档案中创建亲本群体该算法的设计独立于表4结果摘要功能错误（1000次迭代）错误（2500次迭代）Sch4.3E-095.6E-26ZDT 11.1E-62.6E-23ZDT 27.1E-63.2E-19ZDT 32.1E-54.1E-17n，J1 1/4 fjjj是奇数且2≤j≤ng，1j2J11j2j2111j2J1j2j2h2019 -02-23-0： 5x1小时0： 25200吨n2LZ7.8E-71.2E-18一种基于教与学的优化算法339的比较研究变量的编码。因此，该算法可以用几乎任何类型的编码来操作（只要向算法提供合适的遗传变异算子）。该算法使用了从NSGA-II借用的Pareto排名的概念，并基于两层适应性机制。LiuLi算法是一种基于子区域搜索的多目标优化算法，它通过进化算子使同一区域内的个体相互作用，不同区域的个体之间通过其后代交换信息并重新划分区域。基于分解的多目标进化算法（MOEAD）是一种将多目标优化问题分解为多个标量优化子问题并同时优化的多目标进化算法。每个子问题的优化只使用信息，从它的几个相邻的子问题，这降低了计算复杂性的MOEAD在每一代相比，非支配排序遗传算法II（NSGA-II）。多轨迹搜索（MTS）使用多个代理同时搜索解决方案空间。每个代理使用三个候选本地搜索方法之一来执行迭代本地搜索。通过选择一种最适合解决方案邻域景观的局部搜索方法具有目标学习策略的（OWMOSaDE）在多目标优化问题中分别为每个目标学习合适的交叉参数值和变异策略。在高效多目标进化算法（OMOEAII）的基础上，提出了一种新的线性育种算子，并引入了低维交叉和复制操作。通过低维交叉，降低了搜索的复杂度，使算法收敛速度更快。 正交交叉增加了产生潜在优解的概率，有助于算法获得更好的结果。4. 实验结果与讨论在本节中，TLBO应用于几个基准问题以评估其性能，包括为CEC09特别会议和多目标优化竞赛提供的基准函数集。所有测试均在Intel Core i3 2.53 GHz处理器上进行评估。算法采用Matlab编程语言实现。本节包含TLBO算法与其他多目标方法在一组测试问题上获得的计算结果。表5中总结了广义距离Dg方面的性能测量。该表清楚地表明，TLBO对所有多目标测试函数SCH、ZDT 1、ZDT 2、ZDT 3和LZ都产生了最佳结果，并获得了八个算法中的第一名表5n=50和t=500次迭代的Dg比较方法ZDT 1ZDT 2ZDT 3SchLZVEGA（Scha Schuyer，1985年）3.79E-022.37E-033.29E-016.98E-021.47E-03NSGA-II（Deb等人，（2002年）3.33E-027.24E-021.14E-015.73E-032.77E-02MODE（Babu和Gujarathi，2007年）5.80E-035.50E-032.15E-029.32E-043.19E-03演示（Robic和Filipic，2005）1.08E-037.55E-041.18E-031.79E-041.40E-03蜜蜂（Pham和Ghanbarzadeh，2007年）2.40E-021.69E-021.91E-011.25E-021.88E-02SPEA（Deb等人，（ 2002年）1.78E-031.34E-034.75E-025.17E-031.92E-03外交部（Yang，2012）1.90E-041.52E-041.97E-044.55E-068.70E-04TLBO1.12E-071.70E-061.61E-069.99E-071.27E-06粗体值表示最佳性能。表6用于每个测试实例UF 1算法UF1UF2UF3UF4UF5UF6UF7MOABC（Akbari等人， 2012年）0.006180.004840.051200.058010.0777580.065370.05573MOEAD（Zhang等人，（2009年）0.004350.006790.007420.063850.180710.005870.00444GDE 3（Kukkonen和Lampinen，2009年）0.005340.011950.106390.026500.039280.250910.02522MOEADGM（Chen等人，（2009年）0.006200.006400.042900.047601.791900.556300.00760MTS（Tseng和Chen，2009年）0.006460.006150.053100.023560.014890.059170.04079LiuLi算法（Liu和Li，2009）0.007850.012300.014970.043500.161860.175550.00730DMOEADD（Liu等人，（2009年）0.010380.006790.033370.042680.314540.066730.01032NSGAIILS（Sindhya等人，（2009年）0.011530.012370.106030.058400.565700.310320.02132OWMOSaDE（Huang等人，（2009年）0.012200.008100.103000.051300.430300.19180.05850聚类MOEA（Wang等人，（2009年）0.02990.022800.054900.058500.247300.087100.02230AMGA（Tiwari等人， （2009年）0.035880.016230.069980.040620.094050.129420.05707教育部（Qu和Suganthan，2009年）0.059600.018900.099000.042700.224500.103100.01970Zamuda et al.，（2009年）0.077020.028340.093500.033920.167130.126040.02416OMOEAII（Gao等人，（2009年）0.085640.030570.271410.046240.169200.073380.03354TLBO0.010210.004780.100490.005460.076510.102910.010013粗体值表示最佳性能。340河 Venkata Rao，G. G. Waghmare图2（a）所有函数的结果总结在表4中，SCH、ZDT 1、ZDT 2、ZDT 3和LZ的估计帕累托前沿和真实前沿如图所示。1.一、 图 结果表明，TLBO算法成功地收敛到最优Pareto前