工程科学与技术，国际期刊26（2022）100991完整文章基于Coyote优化算法的AVR最优PI_k_DND_ 2N_2约安尼斯·莫斯科a，康斯坦丁诺斯·帕里斯aa西马其顿大学电气和计算机工程系，Karamanli Ligeris，Kozani 50100，希腊阿提奇莱因福奥文章历史记录：收到2020年2021年4月17日修订2021年4月19日接受2021年5月14日网上发售保留字：自动电压调节器分数控制器PID控制器Coyote优化算法瞬态响应A B S T R A C T针对电力系统中的自动电压调节器（AVR），设计了一种新型PIk DND2N2AVR负责将同步发电机的端电压保持在规定的间隔。所提出的控制设计是通过部署首次将coyote优化算法（COA）应用于AVR系统，通过优化一种新的目标函数。并将该控制器与文献中用其它元启发式算法优化的FOPID、PID、PIDA和PIDD2控制器进行了比较。从瞬态响应和扰动抑制两个方面进行了比较。仿真结果表明，该方法优于文献中的其它方法.此外，所提出的设计的稳定性检查通过的位置的闭环极点和频率响应。此外，控制器的鲁棒性进行了测试下的模型不确定性。在这两个测试中，所提出的方法显示出出色的性能。©2021 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍电力系统配电商必须将电压和频率的波动始终保持在一定的范围内，以保证电能的不间断供应，同时使其利润最大化。用于实现上述目标的连接设备和装置设计为在特定标称值下运行。偏离标称值的任何偏差都可能导致设备损坏或降低电能质量。为了避免前者和后者，发电行业采用不同的方法来抑制频率畸变，同时通过负载频率控制（LFC）来保持需求平衡。相应地，负载功率因数的变化导致电压畸变。为了将电压保持在操作水平，使用自动电压调节器（AVR）。AVR连接到发电厂的同步发电机，其目标是将发电机的端电压维持在其标称值[1，2]。用于控制AVR系统的最常见的控制器是PID控制器。因此，许多优化算法已被用来调整这三个参数，包括人工蜂群算法（ABC）[3]，基于生物地理学的优化（BBO）*通讯作者。电子邮件地址：gimosx@hotmail.gr（I. Moschos）。由Karabuk大学负责进行同行审查[46]、差分进化算法（DE）[3]、改进的肾算法（IKA）[4]、局部单峰采样算法（LUS）[5]、多优化联络（MOL）算法[6]、共生生物搜索算法（SOS）[7]、蚱蜢优化算法（GOA）[8]、布谷鸟搜索算法（CS）[9]和粒子群优化算法（PSO）[10，11]。此外，一种不常见的做法是应用PIDA[12，13]控制器来增加稳定性和改善时间响应，AVR 系统。其他应用包括通过粒子群优化（PSO ）[14]优化的PIDD2控制器和通过约束Nelder-Mead蚁群（ACO-NM）算法[15]优化的PIDN控制器。PID控制器已被证明是最有效的控制器，在保持终端电压到其标称值，同时具有一个简单的设计[16]。然而，需求的增加和可再生能源的高渗透率已经产生了对更精确和鲁棒控制的需求，以增强电力系统的稳态性能并改善其瞬态性能。这导致研究人员和从业者探索分数阶PID（FOPID）控制器在控制端子电压中的概念，Karimi等人[17]第一个将FOPID控制器应用于AVR系统。FOPID控制器是传统PID的推广，是分数阶微积分的一种控制应用。分数阶微积分是整数阶分数阶常微分方程https://doi.org/10.1016/j.jestch.2021.04.0102215-0986/©2021 Karabuk University.出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页：www.elsevier.com/locate/jestchI. Moschos和C. 巴黎工程科学与技术，国际期刊26（2022）1009912¼微分方程在Podlubny于1994年引入分数阶PID（FOPID）控制器之后，分数控制器得到了广泛的使用[18]。从那时起，许多研究人员为了控制目的在FOPID上实现了不同的调谐和设计方法[19这种兴趣是基于FOPID有两个额外的调整参数的事实参数，即积分和导数阶，k和l分别为很好 的中的两个额外参数许多应用有与整数阶PID控制器相比，改进了被控系统的性能[22，23]。然而，这两个分数参数可以增加的复杂性和调整的控制器相比，传统的PID控制器及其变化。在文献中，AVR系统中使用的FOPID控制器最常用的优化整定方法是基于元启发式算法[16，17，22，24这些算法包 括Salp Swarm Optimization Algorithm （ SSA ）和Whale Optimization Algorithm（WOA ）[16]、Particle SwarmOptimization （ PSO ） [17 ， 24] 、 Multi-Objective ExternalOptimization （ MOEO ） [22] 、 Chaotic Ant Swarm （ CAS ）[25] 、 Jaya Optimization Algorithm （ JOA ） [26] 、 GeneticAlgorithm（GA）and Ant Colony Optimization（ACO）[27]、Cuckoo Optimization Algorithm （COA ） [28] 、Chaotic YellowSaddleGoatfishAlgorithm （ CYSGA ） [29] 和 AntLionOptimization（ALO）[30]。优化过程中的另一个重要特征是目标函数的选择在[16，26，27，30]中，积分时间加权绝对误差（ITAE）被认为是适应度函数。在[17，24]中，作者提出了一个包含八项的目标函数，即超调、上升时间、建立时间、稳态误差、相位裕度、控制信号能量和积分绝对误差（IAE）。在[25]和[28]中考虑了Zwee Lee Gaing同样，Micev等人[29]使用的目标函数包括建立时间、过冲、稳态误差和ITAE性能指标，而其他人则采用多目标优化[22，31]。这项研究的主要贡献突出如下：所提出的设计的性能进一步研究使用闭环极点和频率响应。此外，委员会认为，对文献中其它FOPID、PID和PIDA控制器的模型不确定性和干扰抑制进行鲁棒性分析本文的其余部分组织如下。第2节描述了AVR系统。第3节介绍分数阶微积分。第4节是专门提出的控制器结构和新的目标函数。第5节概述了Coyote优化算法（COA），并在各种基准函数上与文献中的其他两个著名的元算法一起评估了其性能。第6节是专门的仿真结果和比较的控制器。最后，第7节结束了本文。2. AVR模型描述自动电压调节器（AVR）的目的是通过控制励磁系统来保持同步发电机端电压恒定。它们是不同类型的励磁系统，取决于供应直流电源的方法[36]。本文研究交流发电机供电的可控整流励磁系统. 该系统由放大器、励磁机、发电机和传感器四个主要部件组成，如图所示.1.一、AVR和励磁机输出电压受饱和和非饱和限幅器限制[1]。此外，过励磁和欠励磁限制器用于确保发电机的安全运行。上述非线性以与文献类似的方式被忽略。表1[37]列出了每个组件的传递函数和典型范围。AVR系统的参数选择如下：KA10，KE1/4，KG1，KS1/4，sA 1/40： 1，sE1/40： 4，sG1/4，01.上述值是文献[3K22● 针对AVR系统提出了一种新的PI DND N控制器，它是滤波PIDD2控制器的扩展，允许积分器取分数值。所提出的控制器的调整与应用Coyote Optimization Algorithm （ COA ）是一种新的算法。COA是基于北美本土的犬科动物，被归类为群体智能和进化启发式。这种基于种群的算法受到土狼的社会组织和对周围环境的适应的启发和发展这使得算法具有不同的算法结构，不关注社会等级和统治地位。此外，该算法只有三个可调参数，使其应用更简单。其中一个参数作为停止准则，另外两个参数用于勘探、开发和最终确定总人口。COA已经应用于各种实际工程问题[33引入了一个新的目标函数，包括三项用于改善瞬态响应和一项用于处理稳定裕度。简要的统计分析，以检查COA参数如何影响AVR系统的性能。● 与文献中的FOPID、PID、PIDA和PIDD2控制器在瞬态响应方面进行比较，以验证其能力。3. 分数阶微积分在这一节中，对分数阶算子和分数阶控制作了一个简短的分析。分数次算子是一种古老的数学工具，它将微分和积分的概念推广到任何实数。在过去的几十年里，随着I。波德卢布尼[18]。分数阶积分-微分算子的基本定义定义1.函数f（t）的a阶导数的黎曼-刘维尔Fig. 1. AVR系统框图。●●●●I. Moschos和C. 巴黎工程科学与技术，国际期刊26（2022）1009913sAS_EsGss联系我们-两个2ðÞðn-102ðÞ2Nð ÞN阿克斯H¼ ¼--一种t-sGc sKPKIDtfHXB2N1我不知道。0.X≈Ys;ð ÞSK22Xk¼xb表1各AVR元件的传递函数和参数范围组件传递函数时间常数范围的增益范围放大器Vrs=VcssKA10： 02≤sA≤0： 1 10≤KA≤400激励器Vfs=VrssKE10：5≤sE≤1 0： 8≤KE≤1发电机Vts=VfssKG11≤sG≤2 0： 7≤KG≤1传感器Vss=VtssKs10： 001≤sS≤0： 006 0： 9≤KS≤1.中国0Zt1D的t0春-阿DT4. 控制器结构和目标函数4.1. PIkD ND2 N2控制器如今，即使在控制工程领域做出了所有努力之后，经典的PID控制器（Eq. （9））或其变体如PIDA[12]仍然广泛使用。这是因为PID控制器在实际应用中易于实现，本质上简单，而它对各种干扰具有良好的瞬态响应和鲁棒性[5，7]。PID的传递函数描述如下：DaftfsdsCA其中，Cz1tz-1e-tdt;ffiz>0是伽马函数，0n1
0** dnft;an在目前的研究中，我们提出了PI DND N控制器（等式DT分数Caputo导数的拉普拉斯变换变为如下：LD a fts aFk¼0从等式（4）我们可以观察到，我们有整数阶的初始条件，这使得条件更容易具有（11））。建议的控制器是PIDND2 N2控制器和分数积分阶k0; 1的组合。仅前者就能够减少系统的过冲、建立和上升时间[41]。后者会影响系统的稳定状态并减少系统的上升时间此外，我们还引入了两个低通滤波器，使导数项适当，降低了高频增益和噪声。所提出的控制器表示为：物理意义上，这是不正确的RL定义，它可以有初始条件的分数阶，如GcsKPKI. 1克朗SD1s ssN1第一次世界大战D2s222017年12月24日ð11Þ时间0：23 0的情况。由 于 分 数 阶 微 积 分 的 上 述 定 义 的 不 切 实 际 的 实 现 ，A.Oustaloup[39]经常用于计算分数阶导数。ath导数的拉普拉斯变换近似如下：0是一个KJ5k¼-Nsxk哪里AVR系统的方框图与PI k DND 2 N 2控制器的增加如图所示。二、4.2. 目标函数优化问题的结果与用于最小化或最大化的目标函数（OF）高度纠缠在优化控制器的性能指标有积分绝对误差（IAE）、积分平方误差（ISE）、时间平方误差积分（ITSE）和时间积分K¼xak<$N<$1-a<$=2ð6Þ加权绝对误差（ITAE）[5]。除上述内容外，性能标准许多作者考虑与性能标准相结合的目标函数，x0x. xh2N1包含时域或频域特性的7个 术语千分之四BXB. xkN1a=2[17，24，29]，而其他作者使用ZLG目标函数[10]。在文献中发现的用于调整FOPID控制器的参数的不同使用的目标函数是N是有效频率范围内的近似阶数½xb;xh]。应注意，在a≥1的情况下，s as n sc其中nac表示a的整数部分，并且sc是通过Oustaloup近似（Eq.（5））。频率在文献中发现的AVR系统的范围为[31]及[27]。在该研究中，N被设置为5，1/2xb;xh]1/2 10 -4;1 04]。X2的t0þKD sð9Þ金-阿伯特t-sð8ÞI. Moschos和C. 巴黎工程科学与技术，国际期刊26（2022）1009914图二. AVR系统的框图与建议的控制器。I. Moschos和C. 巴黎工程科学与技术，国际期刊26（2022）1009915ð Þ2ð ÞCN-1c;j¼ ¼¼r;j.Σc;j中一;;;C¼f;：：;cgCCCPmGm配合1/4英尺公司简介C≤如表2所示。在表2中，ev是参考和端子电压之间的差异，wgc是增益交叉频率，Pm是相位裕度，OS是过冲，urnt是控制信号，Ess是稳态误差，tr是上升时间，ts是建立时间，wi是每个项的权重。从表2可以看出，研究人员使用了各种目标函数。虽然，使用一个性能标准，如ITAE，是有吸引力的，由于其简单性，这是很难实现可接受的瞬态响应和鲁棒性能在同一时间。首先，使用多个术语增加了OF的复杂性，而定义每个术语的权重并不是一件容易的事情。考虑到表2，本文作者提出了一种新的包含时域项的OF，同时保持简单的结构。所提出的OF包括ITAE性能判据、tr与ts之和以及特征方程的因此，拟议的定义为：5. 该算法5.1. Coyote优化算法COA由Juliano Pierezan等人提出[32]。它是一个自然启发式算法的启发和形成的社会条件的郊狼与平衡的探索和利用。在第t时刻，总人口被分成Np2Nωpacksp和NcNωcoyotesc土狼的社会条件（SOC）由以下公式给出：所以Cp;t¼！x¼x1;· · ·xd13其中d是决策变量的数量。每个土狼的初始社会条件随机设置如下：SOCp;t¼x最小值jrj。x最大值j-x最小值j 14其中xmin;j;xmax;j 第j次决策的上界和下界J WZtft t0i¼1i12个变量。 适应度函数的初始解是一般的，¼1jv jþ2秒 r3个jss jPnfð在当前SOC 中，土狼的适应性是所提出的OF包括四个项，每个项的有效性由加权因子w1设定。为了导出权重wi的适当值，首先已经近似了每项的最小值和最大值通过使用拟定控制器和ITAE作为24项试验的OF，考虑ITAE、tr和ts的间期因此，假设ITAE在0.00313和0.00479之间。同样，tr被推断出来。同样地，发现ts跨度从p;tp;tC c郊狼偶尔会离开狼群，加入另一个狼群，或者变得孤独，概率为Pc$40： 005ωN2（Nc14）。这种机制允许文化洗牌的总人口SOC的alpha建模为：alphap;t<$nSOCp;tjargc1Nminf.SOCp;t160.0929 s至0.1652 s。Ess被认为在0和0.02（该值按照建立时间在模拟时间之间实现的惯例进行评估最后，确定了所有阻尼比的倒数和的范围，假设所有阻尼比将为1和0.7，由于分享社会条件并有助于维持群体，群体的文化倾向最小值（0.03177）和最大值（0.04081）。考虑到上述时间间隔和cultp;t¼8Rj;否则ð18Þ表2用于FOPID控制器的目标函数。目标函数ITAE¼Rtftjevtjdt[16，26，27，30]J1¼wgc，J2¼Pm[31]ZLG¼1-e-bOSESSe-bts-tr[25，28]其中，r1;r2随机郊狼形成第p包，rndj是0和1之间的随机数，Pa^1=D和Ps^1-Ps= 2分别是分散和关联概率，Rj是内部的随机数第j维的决策变量界。通过同步土狼的出生和死亡，种群具有静态大小。土狼新SOCp;t¼SOCp;tr1d1r2d2J¼w1Rtf tjevtjdtw2OSw3jEssjw4ts[29]0d1¼alphap;t-SOCp;tð19ÞJw1OSw2t rw3t sw4Ess[17，24]d2¼cultp;t-SOCp;tþR tf. w5jevtjw6u2tdtw7w8jcr2其中d和cr文化影响，CR阿尔法影响，dJ1<$Rtfjevtjdt，J2<$1000jEssj，J3<$ts[22]1 2 1 20IAE¼Rtfjevtjdt[30]0随机狼的包和r1;r2的权重的阿尔法和文化影响力。如果新的社会条件比旧的好，它就被取代，例如：J0由下式给出0I. Moschos和C. 巴黎工程科学与技术，国际期刊26（2022）1009916CXHi1i2X0;jxj≤10iDC适合3分;： þ2019 -01- 0200：00：00新SOCp;t;新p;t符合SOCp;t;否则<最后，表示具有最适合其环境的SOC的土狼，并将其用作全局最小值。与拟定目标函数相关的COA总体流程5.2. COA分析为了评估COA的性能，在当前的研究中对四个难以达到全局最小值的众所周知的基准函数进行了几次模拟实验，数学公式由下式给出控制器如图所示。3.第三章。f1×1× 2d-1i¼1一百x-x22þðxi-1Þið21Þp（2d-12h2i2）f2×100d10sinpyiDu1/11/1伊-1001千10百万D-100型ð22Þux i8>100-xi-104;xi10>：100xi-1004;xi>10yi¼1xi1=4FX y05。cos2。sin. . x2-y2时间：2019 -05-23f4x418：9829d-Xi¼1xisin . pjxijð24Þ图3.第三章。AVR系统的拟议COA流程图p;tXSOCp;t≤ 1¼Cð20ÞÞ ¼（ÞCI. Moschos和C. 巴黎工程科学与技术，国际期刊26（2022）1009917Rosenbrock函数（等式（21））是单峰的，全局最小值位于一个狭窄的抛物线盆地，盆地很容易找到，但收敛到最小值是困难的[42]。（一）刑罚化的我（Eq. （22））函数是多峰的，存在许多局部最优解，这些局部最优解随维数的增加而增加，并且是不连续的。Schaffer函数N.4（等式2）（23））是单峰的，尽管二维函数难以实现最优，因为为了达到最小值，算法必须克服许多最大值。施韦费尔（Schwefel）（24））函数是多峰的，具有许多局部最优解，且局部最优解随维数的增加而增加表3给出了每个函数的名称、每个函数中使用的维数、每个维的搜索空间以及每个函数的全局最小值在仿真中，COA的性能与著名的Grey Wolf Optimizer（GWO）[43]和Firefly算法（FA）[44]。该算法已经测试了30次，每个基准函数与停止标准dω10000功能评估。COA的参数为Np/Nc/10。GWO中狼的数量设置为100，a从2线性减少到0. FA的参数设定为种群大小、随机度、吸收系数分别为100、0： 7和0： 1。基准函数的平均适应度值如图2和3所示。4 -7，其中平均适应度值以对数标度表示。此外，每个基准函数的最小值、平均值和标准差的统计结果见表4对于Rosenbrock函数，GWO具有最好的收敛速度和平均值，而COA则获得更接近全局极小值的最优值对于惩罚I，GWO具有最好的收敛速度，FA具有最好的平均值，而COA实现了最佳接近全局最小值。对于chaffer函数N.4. GWO和COA的平均适应度收敛于全局极小值附近.最后，对于Schwefel函数，COA通过实现最佳平均值和最小适应值而优于GWO和FAI. Moschos和C. 巴黎工程科学与技术，国际期刊26（2022）100991表88benchmark函数的属性。名称功能尺寸评估区间全局最小Rosenbrockf1x30½-30; 30]d0惩罚ISchaffer N.4f2xxxxf3x50½-50;50]d02½-100;100]20：292579施韦费尔f4x30½-500;500]d0见图4。 Rosenbrock函数见图7。 Schwefel函数图五、惩罚I函数的平均适应度并且能够有效地探索全局最优的域，如可以从Rosenbrock、PenalizedI和Schwefel函数得出的。6. 成果和业绩本节介绍了通过将所提出的控制器和目标函数应用于AVR系统而得出的结果。首先，进行了简要的统计分析，以了解COA的参数如何影响最优适应值，从而影响被控系统的性能为了实现上述目标，并适当地比较所提出的设计与文献中的先前结果，考虑两种情况下，具有作为停止标准的1000和2000功能评估的COA。之后，进行了比较的AVR系统的瞬态响应与不同的整定算法和控制器在文献中接着，通过闭环极点与其相应的阻尼比和系统的频率响应最后，对系统中的不确定性和干扰进行了鲁棒性分析分数积分器的计算使用FOMCON工具箱进行[45]。设置控制器参数10 - 1≤ KP; KI; KDN2≤1000。≤3，10-2≤KD≤3，0k2和50<<≤N1;6.1. COA参数的性能评价见图6。Schaffer N.4函数的平均适应度。这意味着它可以克服局部最小值，并获得接近最优值的适应值，而其他算法则陷入局部最小值。总体而言，COA显示出GWO收敛较慢，但它在每个基准函数中都达到了最佳极小值在本节中，将建议设计的性能与COA的各种值进行将1000和2000次功能评价的两组视为停止标准，其中每组中通过使用不同数量的包和郊狼对3个亚病例进行研究在每种情况下进行24次试验，统计结果见表5，包括最佳适应值的最小值（MIN）、平均值（AVG）和标准差（SD）从表5中可以注意到，在第一组中，最小最优适应度值是针对Np1/420和Nc1/45实现的，尽管这种情况具有最差的平均适应度值和标准21I. Moschos和C. 巴黎工程科学与技术，国际期刊26（2022）100991表99基准函数的统计结果。职能FA GWO COA电话：021- 88888888传真：021 - 88888888电话：+86-21 - 8888888传真：+86-21 - 88888888粤ICP备15044557号-1f2xMIN 7：8958645e- 6 0： 01582453 1： 01955e- 15平均值1： 0919182e- 5 0：03268504 0： 00207338SD 2： 1650306e- 6 0：00884985 0： 01135637f3xMIN 0：29257864 0：29257863 0： 29257863电话：+86-021 - 8888888传真：+86-021 - 88888888SD 0： 00169806 2： 6849567e- 7 2： 50940e- 6f4xMIN 4283：70456 4485：24756 0： 00038182电话：+86-510 - 8888888传真：+86-510- 88888888SD 741： 016203 817： 599188 1： 995e- 10偏差此外，从情况3获得最佳平均值。值得注意的是，在案例1和案例2中，24次试验中只有一次达到了小于0.03的最佳值。关于第二组（2000个功能评估），从情况5中获得最佳最小值和平均值，而标准差略大于情况6。在情况6中，最小适应值比情况4更差，而它具有比情况4更好的平均值。可以得出结论， 从情况 5 （ nfevalMAX1/4 2000 ， Np1/410 和NC1/410）获得了最佳统计结果，因为它获得了最佳的最小值和平均值。此外，它的标准差很小，这意味着更多的数据集中在平均值附近。6.2. 瞬态响应分析通过应用新的控制器（Eq. （11））和新的目标函数（方程。（12）），表6中呈现的最佳最优参数（最佳值以粗体表示）来自情况5：表5PIk DND2 N2-COA控制器的统计结果。Kp¼3，KI¼ 3，KD1¼1： 7794211，KD2¼0： 1351417，k¼0： 7857363，N1 1/4 67： 216233，N2/ 4 541： 85503。应该注意的是，Kp和Ki饱和到上限，并且通过将增益扩展到4而不是3，该算法可以实现较低的最优解。然而，为了提供公平的比较，排除了这个最佳解决方案。在瞬态响应方面与文献中的其他知名优化设计进行了比较，结果如表7所示。瞬态响应分析的主要指标是超调量（OS %）、上升时间（Ts）、调整时间（Ts;2%带）和稳态误差E ss。此外，给出了PIkDND2N2-COA 控 制 器 以 及 FOPID-CYSGA 、 PID-SOS 和 PIDA-WOA 、FOPID-COA图为Fig. 8.第八条。在对表7中先前研究的瞬态响应进行详细评估后，很明显，所提出的控制器在上升和建立时间方面优于先前研究的优化设计。例如，所提出的控制器获得比FOPID少36：1%的上升时间ALO控制器，并将建立时间提高了62：26%，与PIDD2和FOPID-COA相比，分别为58：14%此外，所提出的控制器保持低过冲等于1：59%。 此外，PIk DND2 N2-COA达到了可接受的状态误差，其可以通过增加（等式2）中的权重w3来减小。（12））。6.3.稳定性分析为了评估通过所提出的技术调谐的AVR系统的稳定性能，闭环极点及其相应的阻尼比如表8所示。据观察，所有的极点都在s平面的左侧，这意味着所提出的系统是稳定的。此外，共轭极点远离复轴放置，而虚轴附近的极点具有0： 7812的阻尼比，这意味着减小了过冲而没有缓慢的响应。为了从另一个角度审查所提出的控制器的稳定性，进行了频率响应分析，结果列于表9中。比较分析表6不同PIDND 2N2-COA控制器的比较.情况KPKiKd1Kd2KN1N2Mp%ts100%trjEss j适应度值12.745333131.5616150.10373950.74417361000748.310970.83011950.0715630.0470870.0018570.02685862331.85003690.14369750.421320150812.718121.91853710.0708300.0426440.0098040.03450803331.55216880.11034140.6467400545.25298635.299600.50287590.0681420.0442330.0055400.02793814331.45256200.10628280.7476003819.44004329.618301.39725800.0627030.0412000.0031840.02492345331.77942110.13514170.785736367.216233541.855031.59608740.0617030.0400100.0007390.02428456331.51889760.10694090.7758591524.4760810000.18483310.0773590.0491900.0019690.0278508pC情况nfevalMAXN ，N适应度值11000二十，五MIN电话：026 -85862AVG电话：04579452SD电话：0124845021000十，十MIN电话：03450801AVG电话：04320587SD0073917431000七、十四MIN电话：02793810AVG电话：04009523SD00607078 -00607078 -0060707842000二十，五MIN电话：02492346AVG电话：0345 -0394I. Moschos和C. 巴黎工程科学与技术，国际期刊26（2022）10099110表7比较所提出的方法与其他设计在文献中的瞬态响应。控制器算法Mp%ts2%trjEssj可能发生的变化。为了仔细检查系统的鲁棒性数值参数的不确定性进行了以下模拟。系统参数，即放大器、励磁机、发电机和传感器的时间常数分别在± 50%的范围内以± 25%的步长从标称值变化，而控制器参数保持不变。结果如图9所示，并列于表10中。从表10中可以观察到，峰值（p.u ） 受 参数 变 化 的 影 响最 小 ， 当sG 降 低 50% 时 ， 最大 偏 差 为17.69%，而放大器、激励器和传感器的影响较小，平均偏差分别为3.47%、4.69%和2.93%。考虑到上升时间，可从表10得出以下结果。传感器和放大器时间常数的变化影响最小。放大器时间常数变化的最大偏差为57%，而传感器时间常数的最大变化为32.25%。当发生器时间常数增加50%，数值为0.0721秒时，列出了上升时间的最大影响，而标称值等于0.04秒。关于建立时间，可以说它受参数变化的影响最大。例如，最差值等于0.5554秒，并且当励磁机时间常数减小了50%。虽然这个值是有符号的，与标称值相比，仍然可以容忍。当传感器时间常数为在频域中与其他优化一起进行文学中的技术可以推断，AVR系统实现了接近零的峰值增益，并且通过所提出的控制器实现了最大带宽，这意味着系统可以快速响应任意输入命令。6.4. 鲁棒性分析和干扰抑制6.4.1. 鲁棒性分析在前面的章节中，它表明，所提出的方法实现了更好的瞬态特性，并运行在一个广阔的稳定区域的AVR系统在标称条件下。然而，控制器必须能够保持良好的瞬态响应，并保证系统对参数的稳定性减少了25%，偏差等于24.96%。此外，与其他时间常数相比，它具有最小的平均偏差。总体而言，表10中提供的最大峰值、上升时间和建立时间的平均偏差分别为4.22%、40.62%和282.95%。结果表明，PIk DND2N2-COA控制器使AVR系统对各种时间变化具有较强的鲁棒性常数因此，所提出的控制器可以在不可预见的参数变化下执行。6.4.2. 抗扰分析在本节中，研究了所提出的方法在存在不同干扰的情况下生存的能力。为了实现两种类型的干扰施加到AVR见图8。 所提出的控制器与不同控制器设计的比较。PIk DND2 N2-COA1.5960.06170.04000.0007FOPID-COA1.9520.14740.10110.0072PID-ABC [3]25.003.0930.1550.0258PID-IKA [4]15.000.7530.1280.0139PID-LUS [5]15.560.80.1490.0038PID-MOL [6]20.5150.3430.002PID-SOS [7]1.30.5350.3530.002PID-GOA [8]20.530.9700.1300.0106PID-PSO [11]2.600.5200.240–[46]第四十六话15.511.4450.1480.0138[12]第十二话1.650.4950.3280.0030[13]第十三话3.20.90.3220.0320[13]第十三话11.070.2740.010[25]第二十五话0.06400.23050.31870.0012[22]第二十二话3.20380.18000.13006.57-09[26]第二十六话13.20.4530.0827–[28]第二十八话00.45070.10420FOPID-SSA [16]15.50.5510.0981–[26]第二十六话22.50.9310.111–[29]第二十九话1.890.20.13470.0009FOPID-ALO [30]10.90.3530.0626–PIDD2-PSO [14]00.16350.09291.06-08[15]第十五话1.80.4410.2930.0045I. Moschos和C. 巴黎工程科学与技术，国际期刊26（2022）10099111表8PIDND 2N2- COA设计控制的AVR系统的复闭环极点及其阻尼比。2019-01 - 2800：00：00电话：+86-064993-78：723400电话：+86-0312- 2274传真：+86-0312 -电话：+86-541 - 855030传真：+86-541-855030传真：+86-541电话：+86-549-974196传真：+86-549 -974196电话：021 - 88888888传真：021- 88888888电话：021-442694传真：021-442694表9不同控制器的波特分析。控制器峰值增益相位裕度延迟裕度带宽PIk DND2 N2-COA0.00831600.18151.9FOPID-COA0.991516.7322.2PID-ABC [3]2.8769.40.11112.88PID-PSO [3]1.7962.20.12113.915PID-IKA [4]1.7876.70.09516.785PID-LUS [5]1.4383.20.12614.208PID-MOL [6]0180INF6.34PID-SOS [7]0180INF6.15PID-GOA [8]2.1373.40.09515.958PID-CS [9]0180INF7.3416[46]第四十六话1.5681.60.12214.284[12]第十二话0.0061724.76.6[13]第十三话0.161622.428.11[13]第十三话3.4259.50.055322[26]第二十六话1.2490.30.076520.6FOPID-SSA [16]0.289.30.09117[29]第二十九话0.1311630.9916.3PIDD2 [14]0180INF23.5031[15]第十五话0.0121713.947.56见图9。 AVR系统在参数变化时的阶跃响应：（a）sA，（b）sE，（c）sG，（d）sS。闭环极点阻尼比闭环极点阻尼比-0：0023731电话：+86-57-517056传真：+86-570： 83238I. Moschos和C. 巴黎工程科学与技术，国际期刊26（2022）10099112¼¼¼¼¼表10系统参数-50%和+50%变化之间的稳健性分析。时间常数变化率（%）峰值p：u：m偏差百分比trs偏差百分比%tss偏差百分比%2019- 01-15 00：00：002019 - 01 - 2500：00：00二百七十：八十三2019 - 05 -25 01：00：0025：50：1794一百九十：七十六电话：021
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