标准静态时空f-伴随SSST上的直射向量场及其应用

Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）414原创文章f-伴随标准静态时空的对称性及其应用H.K. El-Sayieda， Sameh Shenawyb， Noha Syiedba埃及坦塔，坦塔大学理学院数学系b埃及马迪现代工程技术学院Ar ticlei n f o ab st ract文章历史记录：2017年3月25日收到2017年6月30日修订2017年7月10日接受2017年7月24日在线提供MSC：小学53C21中学53C2553C50保留字：标准静态时空Ricci孤子本文的目的是研究和探索标准静态时空If×M（也称为f−伴随SSST）上的一些直射向量场。研究了共形矢量场、Ricci和物质直射。这些collineations的存在f-相关SSST的许多影响。此外，我们还研究了含有势共形矢量场的f-伴随SSST上的Ricci孤子结构.© 2017埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。1. 概论翘曲积流形作为一种生成爱因斯坦场方程的一般精确解的方法被广泛研究一个标准的静态时空（也被称为f− 缔合的SSST）通常被描绘成洛伦兹弯曲乘积的形式，即If×M[4，5]。在某种程度上，一个f-缔合的标准静态时空是一些著名的经典时空如爱因斯坦静态宇宙和闵可夫斯基时空的推广[1，6]。时空对称性的研究对于求解爱因斯坦场方程和提供对动力系统守恒定律的进一步理解是必不可少的（参见[7]经典时空对称性的重要参考）。一般来说，直射矢量场使物理学家能够描绘时空的几何形状[8时空上存在非平凡的直射向量场，足以保证某种对称性。试试沿着其局部流线保持时空的某种特征或量的向量场称为直射。上述特征或量的李导数在直射向量场的方向上为最重要的直射是∗通讯作者。电子邮件地址：hkelsayied1989@yahoo.com（香港） El-Sayied），drssshenawy@eng.modern-academy.edu.eg，drshenawy@mail.com（S.Shenawy），drnsyied@mail.com（N.Syied）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2017.07.002度量、曲率和Ricci曲率的凭借保持 它 们 在广义相对论中的重要作用在过去的二十年里，人们做了大量的工作来研究经典四维时空中的直射变换及其推广。本文的主要目的是研究和探索一些在f-相关的标准静态时空上的直射向量场。对以下问题给出了许多答案：在什么条件下，f-缔合标准静态时空上的向量场是某种共线或共形向量场？ 基因子子流形 M从一个f-相关的标准静态时空If×M继承，它允许一个共线或共形向量场？ 研究了在具有势共形矢量场的f-这篇文章的分布如下。在第二节中，我们讨论了f-相伴标准静态时空和直射向量场有了。 第3节研究了f-伴随标准静态时空上的直射向量场。最后，我们在第四节中研究了含有共形矢量场的f-伴随标准静态时空上的Ricci孤子结构。2. 预赛一个标准的静态时空（也称为f−关联的SSST）是一个洛仑兹的warpedprp1110- 256 X/© 2017埃及数学学会。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表埃及数学学会期刊首页：www.elsevier.com/locate/joemsH.K. El-Sayied等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）414415. Σ¯= −∈=F.Σ.- 是的Σ.Σ.˙F2ζΣ度量g <$= −f2d t2g，其中（M，g）是黎曼流形，f：M →（0，∞）是光滑的，且I =（t1，t2），其中−∞ ≤ t1 =<$在M上的Killingif且只有if∈X（M）是M上的Killingvectorfield.1.LetM<$=If×Me是一个标准的静态时空方程，加上度量张量g<$= − f 2 dt 2g。 则类时向量场f<$$>=h<$t∈X（M<$）是M <$i上的matter共线变换，如果hstec=0。还有一个空间滨海蒙特勒伊的一个向量场X∈X（M）称为共形向量场如果 Lg=ρg， 一些 光滑 功能 ρ：M→R，其中L=如vectorfieldf<$$>=f∈X（M<$）是M<$上的X（M）是M上的一个Killing向量场，且X（f）= 0。如果方向上的Lie导数。特别地，X∈X（M）是如果ρ是常数，称为位似，如果ρ=0，称为Killing。 Eq. (2.4) 设x是Killing向量场，当且仅当对任意向量场X ∈ X（M），g（D Xx，X）= 0。一个伪黎曼n维流形最多有n（n+1）/2个独立的Killing向量场和最多有（n+1）（n+2）/2个独立的共形向量场。由基灵矢量场在M上产生的对称性称为等距性。 伪黎曼允许上述最大值的歧管 对称具有恒定曲率。此外，如果对任意X∈ X（M），D X<$=ρX，则称X为共圆向量场[11]。共圆向量场M上的X∈X（M）是具有共形因子的共形向量场定理2. 在标准静态时空M<$=If×M上的向量场<$$>= h stec + n是一个共形场，如果并且ostecf是M上的一个共形场，具有h共形fact或ρ<$=2hstec+n（lnf）。P roof. Let=het+h ebeaconformalvectorfieldonM=If×M有了系数ρ′，则Eq. (3.1) 意味着−ρ<$f2xy+ρ<$g（X，Y）=Lg（X，Y）−2xyf2hstec+（lnf）.因此.L<$g<$（X，Y）=ρ<$g（X，Y）222ρ。如果ρ=0，则共圆向量场也是平行向量场。−ρ <$f xy=−2xy f h+（lnf）此外，对于常数因子ρ，我们有R（X，Y）= 0。的载体一个伪黎曼流形（M，g）上的场函数称为曲线，如果曲率张量R因此，f是M上的共形向量场，共形factorρ=2hstec+f（lnf）。 这个概念是直接的。 Q在X（M）的方向上为零，即L<$R= 0。同样地，这是不是d的metricg<$=−f2dt2gonM<$canbex-M被称为允许Ricci曲率直射，如果有一个向量，R场X∈ X（M）使得L<$Ric= 0，其中Ric是Ricci曲率张量. 每个人都知道，每一个人都是一个人，都是一个人。每一个曲率直射变换都是一个Ricci曲率直射变换。反之则不然。矢量场X（M）称为共形Ricci直射变换，如果在I×M上作为共形度规压缩为乘积1。大都会- ricg<$可以重写如下g<$=f2。−dt2+1g=f2g，其中g= −dt2+g，g=1g。 现在，我们来看看416H.K. El-Sayied等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）414.L<$Ric<$（X，Y）=ρg（X，Y）F2替换g 在M上，g= −dt2+g。 类似的讨论H.K. El-Sayied等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）414417.Σ= − = − +=它是一个位似向量场，.- 是的你，.M，g.. ΣF.- 是的- 是的. 好吧好吧ΣΣΣF. Σζ不. Σ.1Σ四维时空和某些弯曲时空分别在[7，第11章]和[13，14]中给出。假设也就是说，是标准静态空间M<$=If×M上的共圆向量场。是上的共形向量场factorρ，则Lg=[2。M，g具有共形D<$X<$相反，我们假设ρ是一个标量函数。然后<$−ρX<$=.xhstec+hX（lnf）+x（lnf）−xρt因此，n是一个保形的vector场。M<$，g<$$>，带factorρ<$=ρ+2（lnf）。换句话说，一个具有共形函数ρ的共形场是一个共形场，其中+xh fgradf+DX<$−ρX对于任意一个向量场X<$=x∈ X+X∈X。好的假设这是concir-那么，ρ=ρ +2（ln f）。上述讨论和结果[15，Theo-[1]这意味着。第三章. LetM<$=If×Mbeastandardstaticspatimeequippedxhstec+hX（lnf）+x（lnf）−xρ=0，xhf grad f + D X<$− ρX = 0。如果f是常数，度量张量g<$f2dt2g，设g <$dt2g<$，g<$1克的然后，F2X.hstec−ρε=0，1. aKillingvectorfieldkillingonMgisaKillingvectorfieldonM2..M，g。M，g，3. eachchcon formalvectorfieldon.M，gisaconformalvectorfield下面的结果是上述结果的直接结果。定理4. 设X ∈ X（M）是（M，g）上的位似向量场，因子c，设f = 0。则a≠= c（at + b）a ≠t+2 a≠ t是位似的DX−ρX=0，即是M上的一个concularvectorfield，其中factorρ=hstec。Q3.2.Ricci直射变换让我们考虑标准静态时空上的Ricci直射.提案1.设f <$$>=h<$t+h是标准静态时空eM<$=If×M上的向量场，则vect或fieldon。M，gwithfactor2ac. Morereovererr，这是一个杀人的Vector.¯ - 是的¯ 好吧- 是的˙Σ现场。如果a=0或c=0，则M<$，g<$i。吕瑞X，Y=L<$Ric（X，Y）+2xyhfΔf+xyf（fΔf）本文对等长Killing矢量场的研究作了简要介绍。它们是有规律可循的，因为它们对应于恒定距离的等距。安置因此，这些向量场与黎曼流形中的Clifford-Wolf平移有关[16]。在下文中，在标准静态空间M<$=If×M re上的等长Killing矢量场考虑了rd。定理5. 标准静态时空eM=ht+h是一个常数，它不满足hif且仅满足if-是的1 H f（X，Y）+1 H f（[X，X]，Y）+1 H f（X，[X，Y]）对于yX<$，Y<$∈X（M<$）.P roof.L et<$=ht+∈XM<$ 那么，吕瑞X、Y =R<$icX<$，Y<$−R<$ic X<$$>，X<$，Y<$−R<$icX<$$>，X<$，Y<$。Ri c（X，Y）−1Hf（X，Y）+xyfΔf+2.xyhstecketfΔf1Fdhf=0且dh hstec+2hf（lnf）=0.（ 第3.2节）推论2. 设m<$$>=h<$t+m是标准静态时空eM<$=If×M上的常数k t h的Killing向量场。 M上的第n条直线是测地线当且仅当f是常数或h= 0。定理6. 设f=h_t+f_t是标准，−Ric（X，[X，Y]）+fH（X，[X，Y]）1−Ric（[X，X]，Y）+fH（[X，X]，Y）=. L<$Ric<$（X，Y）+.2xyh位移fΔf+xy（fΔf）F1F静态时空eM<$=If×M，其中f是常数，且letα（s），s∈R，−fH（X，Y）+fH（[X，X]，Y）+fH（X，[X，Y]）是一个大地测量（M<$，g<$），它具有一个无向量场或场X<$=x<$t+X。然后¯ ¯ ¯h是常数，且λ ∈ X（M）是沿X的积分曲线的Jacobi向量场.定理7.设f=h_t+f_t是沿曲线的共形向量场对任意向量场X，Y∈ X（M）. Q上述命题直接导致以下结果。第九章.Let<$=ht∈X。Mbeavectorfieldonastandardstatic在标准静态空间上，单位切向量U<$=u<$t+U的α（s）时间eM<$=If×M。由下式给出的第n个配置函数或p′ i时空eM<$=If×M。那么，i是Mif上的Ricci直射变换，且仅ρ<$=2−u2.hstecf2+f（f）+g（DU，U）.ifhstec=0或Δf=0。西奥·雷姆10.Let=∈X。Mbeavectorfieldonastandardstatic时空eM<$=If×M并假设Hf=0。然后，是利玛窦家的人考虑静态时空第八章. 一个vect或场<$$>∈XM<$在标准静态时空M<$=If×M上，i f是一个一致的向量或场，且只有if在M上是一个一致的向量或场，且fact或ρ=he ct，且f是常数。证据 很明显D=.xhstec+hX（lnf）+x（lnf）t+xhfgradf+DX且只有if是M上的Ricci直射。4. 标准静态时空伪黎曼流形（M，g）可以定义一个Ricci孤子，如果1 .一、Lg<$（X，Y）+Ric（X，Y）=λg（X，Y），对于任意一个向量场X<$=x∈t+X∈XM<$。设f是常数，且f是M上的一个concularvector field，其中factorρ=hstec，则D<$X<$$>=ρX<$，现在，在一个标准上的共圆向量场的结构f ff418H.K. El-Sayied等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）4142其中Ric是Ricci曲率，L表示度量张量g的Lie导数，λ是常数[17，18]。 在这一节中，我们考虑标准静态时空中的Ricci孤子。让H.K. El-Sayied等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）414419.=×f. =+∈t.=×f. Σ..ΣF. ΣF.- 是的ΣM<$，g<$，，λ当M<$=If×Mis时，是一个Riccisoli吕X为oh+RicX，Y=λg<$X，Yζ¯2ζ¯×M. 了n.M<$，g<$，λ<$isaRiccisolitoonif具有因子ρ最大向量场。然后当p是常数时。定理13. 让M<$，g<$，，λ当M<$=If×M时，Σ2个月f.Σ.Σ.=f×。 ¯¯Σ证据就完整了 QM<$，g<$，λ是一个Riccisoliton，其中M<$IM是一个standanddardstaticspace etime，λh是一个整数XM<$.很明显，是conformalon。我，我。M，g是一个在mani中的一个ste4. LetM<$，g<$，λbeaRiccisoliton，whhereM<$我M是一个标准的静态时空e，且M=h，并假定H f= 0，（M，g）是Ricci代数. 则λ是与因子2λ共形的。折.¯ΣP roof. Let（M<$，g<$，λ）是一个Riccisolit，当M<$=If时standaardstatic空间和m<$$>=h<$t+m∈X（M<$）. 然后M是一个一个标准的静态时空，且x∈x=h∈t+x∈X。假设1¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Hf= 0。 则（M，g，λ）是Ricci孤子.P roof.L ET。M<$，g<$，λ<$beaRiccisoliton，then2（L<$g<$$>）（X，Y）+Ric（X，Y）=λg<$（X，Y）对于任何yvecor场X<$，Y<$∈X。好的 等式（2.3）我想说的是，1 .一、 ¯- 是的¯¯Σ¯ .¯ ¯Σ. ¯ ¯Σ. Lg。X<$，Y<$=2λg<$.X'，Y'，也就是说，是因子为2λ的共形向量场。 Q其中X<$=xt+X和Y<$=yt+Y是M<$上的场。通过使用等式(3.1)（2.3）我们得到西奥·雷姆14.Let<$=ht+∈X。Mbeavectorfieldonastandard1.Σ1F静态时空eM<$=If×M。 了n.M<$，g<$，λ<$isaRiccisolitoonif2 Lg（X，Y）+Ric（X，Y）−f H（X，Y）= λg（X，Y）.假设Hf=0，则1. 是M上的共形向量场，共形因子为2ρ，2. （M，g）是具有因子μ，3的爱因斯坦流形。Hf=0，12Lg（X，Y）+Ric（X，Y）= λg（X，Y）.4. hstec+λ（lnf）=ρ+μ=λ.P roof.L et<$=ht+∈X。M¯Σ，然后Eqs。（3.1）和（2.3）意味着因此（M，g，λ）是一个Ricci孤子。 QL ET。M<$，g<$，λ<$b是一个Riccisoliton，其中M<$=If×M是一个stann-的1 .一、LX<$，Y<$+R<$i c.X′，Y′′=1。Lg（X，Y）+Ric（X，Y）。¯Σ2ζ¯2ζdard静态时空和τ=hτt+τ∈XM。然后1 .一、LX<$，Y<$+R<$i c.X<$，Y<$=λg<$.X'，Y'，-xyf2.hstec+n（lnf）F因此1 .一、Lg<$（X，Y）+Ric（X，Y）−1Hf（X，Y）=λg（X，Y），（4.1）由于Hf是具有共形因子2ρ的共形向量场，因此Hf=0 且（M，g）是具有因子μ的爱因斯坦流形，1 .一、LX<$，Y<$+R<$i c.X<$，Y<$=（ρ+μ）g（X，Y）−xyf2.hstec+（lnf）hstecf+Δ f（f）− Δf=λf。（4.2）假设gradf是一个因子为ρ的共圆向量场，则2g（X，Y）.最后一个条件意味着，1 .一、我来了X<$，Y<$+R<$i c.X<$，Y<$=λg<$.X'，Y'1 .Σ.ρΣ2ζ¯西奥·雷姆12.设M<$，g<$，λ是一个Riccisoliton，其中M<$=If×M是一个标准的静态时空，并假定梯度f是一个concircu-M，g，λ，λ+ρ是一个Ricci孤子类似的讨论导致以下结果。西奥·雷姆15岁。 Let<$=ht+∈X。Mbeavectorfieldonastandard静态时空eM<$=IFF.¯Σ1. （M，g，λ）是Ricci孤子，2.Hf=0，在M ′上的自同构vect或场，其中hfact或2ρ。 n（M，g）是Ricci算子，λ=ρ.P roof. LetM<$，g<$，λ是一个Riccisoli，其中M<$=If×M是一个平稳的平稳空间，且λ<$<$=h<$t+λ∈XM<$e是M′上的共形vector场。然后RicX，Y =（λ−ρ）g<$X<$，Y<$因此Δf= −（λ−ρ）f，Ric（X，Y）− 1 H f（X，Y）=（λ − ρ）g（X，Y）.假设Hf= 0，则Ric（X，Y）=0。Q3. LetM<$，g<$，λbeaRiccisoliton，whhereM<$我M是一个标准的静态时1定理11. 让2、2+xy f Δf−Hf（X，Y）.Lg（X，Y）+Ric（X，Y）=λ+f3. hstec+λ（lnf）=λ。420H.K. El-Sayied等人/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）414是一个标准的静态时空，Hf=0，且Hf=ht+Hf∈X。我是空，Hf=0，且H′=h′t+H′∈X.《米西的杀戮》M上的向量场然后是一个稳定的Ricci孤子，λ = 0。M，g<$，λ，λ确认我们要感谢审稿人的仔细审查和宝贵意见，这提供了见解，帮助我们提高文章质量。引用[1] J.K.比姆体育Ehrlich，K.L. Easley，Global Lorentzian Geometry，第二版，马塞尔·德克尔，纽约，1996年。[2] R.L.毕晓普湾李文，负曲率流形，国立台湾大学数学研究所硕士论文，1998。[3] B. O'Neill，Semi-Riemannian Geometry with Applications toRelativity，Academic Press Limited，London，1983.[4] S.谢纳维湾Unal，2-Killing vector fields on warped product manifolds，Int.8（2016）1550065（17页）。[5] S. 谢纳维湾 Unal，翘曲乘积流形上的w2−曲率张量和应用，Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 13（2016）。 2016年第7期1650099（14页）[6] S.W. 霍金，G.F.R.埃利斯，《时空的大尺度结构》，剑桥英国剑桥大学出版社，1973年。H.K. 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