分数阶微分方程的基本解及Fokker-Planck方程的解

+Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，337埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章分数阶微分方程和分数阶Fokker-Planck方程的基本解E.A. Abdel-Rehim埃及伊斯梅利亚苏伊士运河大学理学院数学和计算机科学系接收日期：2014年11月17日;修订日期：2015年6月6日;接受日期：2015年8月20日2015年10月16日在线发布本文给出了时空分数阶微分方程的解和空间分数阶微分方程的解。时间分数阶Fokker-Planck方程是概率随时间演化的，在一定意义下是稳定的莱维的。利用尺度不变方法较早地得到了分数阶时空微分方程的基本解格林函数。本文利用这种约化的格林函数和尺度不变方法得到了方程的基本解格林函数，分数阶微分方程的解，并通过在这些分数阶微分方程的独立空间坐标之间应用Billers变换，得到时空分数阶Fokker-Planck方程的解尽管如此，我在3D中模拟了空间和时间分数阶的所有可能值以及偏斜度的不同值。MSC：26A33; 45K05; 60J60; 60G50; 60G51; 65N06; 80-99;42A38版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍本文的目的是模拟分数阶微分方程的基本解和分数阶微分方程的基本解。联系电话：20 1221554921。电子邮件地址：entsarabdelrehim@yahoo.com，gmail.com同行评审由埃及数学学会负责福克-普朗克方程为此，我使用相似变量的概念和Biller变换来变换两个模型的基本解。相似变量的主要作用是将偏微分方程化为一阶微分方程。然后通过求解一阶微分方程得到偏微分方程的函数形式。布鲁门和科尔[1]开始使用相似性变量来获得热方程的解，∂∂2tu（ x，t）<<=a（一、一）S1110-256X（15）00071-1 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.08.006制作和主办：Elsevier关键词α-稳定分布;格林函数;相似变量;费勒算子;尺度不变方法;分数阶微分方程;数值模拟338E.A. 阿卜杜勒-赖≥±∞ ==α，ββ==α，βα，ββˆ2d（ F（= −∗∗并对每种情况给出收敛展开式最近，Rodringues[5]跟随Goren Baghio和Luchko[3]。F Dxθ= −|κ|eθf（κ）（π，τ）−（，）=的F P（τ，τ），0DXFP∂ζ2dx0的DX2=这里a>0，称为微分常数。u（x，t）是aDβ v（λ，τ）=aDα v（λ，τ）+bd（λv（λ，τ）），概率密度函数和对t_∞θ_d_∞施加的条件它是u（ x， t）0，u（， t） 0和∞u（ x， t） dx1。这个方程描述了∞自由粒子的离散度，即的在没有力的作用下，粒子的扩散，v（θ，0）= δ（θ），0 <α ≤ 2，0< β ≤1.（1.5）该程序首先使用基本解决方案-由于周围介质的分子在起作用，作用Gθ（x，t）的方程。（ 1.2），（母模型），通过它的解被称为相应的格林函数或基本解。文[2]中的同一作者将相似标度法应用Goren Zelo和Luchko[3]应用尺度不变方法来寻找分数阶微分方程在他们的论文中，作者首先介绍了缩放变量z xt−α作为自变量，用于寻找特殊类型解在完全对称的子群下不变，时空分数阶微分方程的度量群Mainardi et al.[4].获得子模型的基本解的下一步骤是使用方程的空间坐标（x，t）之间的变换。（1.2）和（τ，τ）方程。（1.5），由Biller et al. [8]关于β1。新的观点是根据子模型特征函数的傅里叶变换的逆，根据公式1.5，我们可以推导出两个模型之间的变换对于0 <β<1也是可能的。本文的组织如下：在第2节中，我为读者提供了所需的符号和使用的符号。在STFDE，第三节基本解Gθ格林函数，Dβ u（ x， t）a Dα u（ x， t），t xθu（ x，0）=δ（x），0<α≤ 2，0<β≤ 1，（1.2）这里θ是具有限制值|≤ min（α，2 − α）。|≤ min (α, 2 −α). 后来，Mainardi etal.[4]获得的乐趣-给出了两种模型之间的相似变量和Biler变换。第四节给出了约化Green函数和Lévy稳定函数的具体公式。最后，第5节专门讨论了两种模型对所有不同α、β和θ值的模拟，并对结果进行了解释。元解（格林函数），Gθ（ x， t）的空间时间分数微分方程（1.2）使用相似性变量z。他们讨论了分数阶数α，β和偏度θ的许多特殊值，并给出了每种情况下的收敛级数。他们在他们的长文中讨论了格林函数的标度性质及其与Lévy严格稳定性的关系2. 使用符号的定义所使用的Dα被称为Riesz-Feller伪分数阶微分器xθ在傅立叶域中的基本运算符为密度，对于β = 1，和约化格林函数，对于β 1 = 1，.ααisig（κ）θπ/2θ他使用巴拿赫不动点定理和自变量z=xt−α来研究解的存在性和唯一性= −<$α（κ）f（κ），0<α≤ 2，κ∈R，（2.1）其中0 <α ≤ 2，|θ |≤ min {α，2 − α}。−θ（κ）是它的符号分数阶偏微分方程的一种我希望在本文中完成我以前的研究工作偏态αθ仅限于定义域|θ |≤ min（α，2 −the Fokker–Planck[15，16]。当α=1时，vv0Lv（一、三）F. D1φ（x）; κφ f = F. d φ（x）;其中L=v（τ，τ）−。F（？）是外力。我由于-|κ|α= −（κ2）α/2，可以设置D α= −（d2）α/2，见我在这里感兴趣的是使用F（）b作为线性吸引力力到目前为止，[10]第10段。这个符号是α稳定概率密度的特征函数的对数。使用的Dβ是Caputo不分数算子，通过其在∂∂2τv（d（λ v（λ，τ））d θ， v（θ，0）= δ（θ）。（1.4）Laplace变换域L. Dβf（t）;s=sβf（s）−sβ−1f（0）1如果b =2 0，则有Eq。（1.1）有解u（x，t）=-f`（0）sβ−2−· · ·−f（m−1）（0）sβ−m，s>0。2ππ， e−x/（4 at）。因此，通过使用Galilei变换-很明显，Caputo di Caputo运营商依赖于在初始条件f（0）下这就是为什么将自变量（x，t）转换为（x-bt，t），则式（1.4）的解为v（τ，τ）=u（ x−bt， t）=21π在√f（ x）;分数阶微分方程和分数阶Fokker-Planck方程的基本解339=e−（x−bt）2/（4at）使 其适合于处理时间差异。道具-许多分布的性质很容易用τ。我学过EQ。(1.4)因为空间具有分数所以我将把文[6]和[7]中的结果加以完善，得到时间和空间都具有分数阶的基本解。因此，他们的特色功能。在本文中，需要使用特征函数，该特征函数是概率密度函数p（x）的傅立叶变换的变体，定义为F {p（x）;κ}=εp（κ）=ε ∞eiκxp（x）dx.−∞340E.A. 阿卜杜勒-赖|κ|==-≤≤∈ ≥≤2=||===−α，βˆ2αα，βα，βrEq. （2.4）和patEq.（2.3）如下：（κ，α，β∈∈（x， t）= t−αKθxt−αβ其中z=xtα 是相似性变量，Kα，β（xta）是a（κ，）=sβ+θ（κ） 、>， κ∈α，βα，βα，β（0，t）=Eβ（ 0）= 1。[18]《易经》云：“君子之道，焉可诬也？有始有终。α−=棕褐色。α/=˜ββ该特征函数属于α稳定分布，对于β=1，它表示为[001 pdf 1st-31files]当且仅当它具有以下形式：.logp（κ）=iμrκ − c |κ|01 -02 - 2016刘晓波（|κ|，α）如果α1=1，v（κ，τ）=exp−|κ|αa（1−e−bατ）eiθπsig（κ）ε，bα.Σˆ2iμrκ − c |κ|. 1+ iβrκw（|κ|，α） 如果α= 1，则为HereκR，c0，μr>0，|βr|1是symme-try参数。它决定了分布的偏度。βr0对应于对称分布。c是尺度参数。它测量样本在平均值周围的分布。μr是位置参数，exp[iμrκ]基本上对应于概率密度函数x轴对于1<α 2，μr代表平均值，对于0<α 1，它代表中位数。如果μr为0，c为1，则称稳定分布为标准分布.二手 函数w（κ，α）定义为其中sig（κ）是符号（κ）。正如我们看到的特征函数母亲和儿子的关系密切因此，可以检测到格林函数也是相关的，并且可以相互转换在下一节中，我将详细解释这个想法。3. 相似性质的概念与Biler在这一节中，我们对格林函数、相似变量和比勒变换作了一个综述这些信息必须在提取解决方案之前掌握，（|κ|，α）=.tanπα如果α1=1，（二、三）这两种研究模式。格林函数G（x，s）是以以下形式表示的偏微分方程的（2/π）对数|κ|如果α= 1，对于α2，w（κ，α） 0是正态分布的特殊情况.根据Feller，Lévy严格稳定密度的特征函数的另一个定义表示为：pα（κ;θ），定义为LG（x，s）δ（x s）其中L是线性微分算子，δ（x）是Dirac δ函数.因此，使用u（x，0）δ（x）使得可以写出方程的解。（1.2）以下列积分形式：u（ x， t）=<$∞Gθ（ y， t）δ（x-y）dy，（3.1）p（κ; θ）= exp −|κ|α eiθπsig（κ）ε。（2.4）−∞其中Gθ（ y， t）是格林函数或基本解。参数的取值范围为：0 <α ≤ 2，|θ |≤min{α， 2−α}，并通过第使用等式(3.1)并将拉普拉斯-傅立叶变换应用于Eq.（1.2），yugetGθ（κ，s）=u（κ，s）. 使用所述缩放mond. The relation between the Gnedebko–Kolmogrov另一侧的费勒与pα（κ;θ）的偏度θ有关，βα（κ;θ）2傅立叶变换和拉普拉斯变换的性质F{f（ax）;κ}=a−1<$f（κ/a），a>0，tan.θπsig（κ）L{f（bt）;s}=b−1<$f（s/b）， b>0.（第3.2节）βrpi，α1，（2.5）2其中μr=0，c= 1。使用这些定义，可以写出使用公式（3.1）和（3.2），可以推导出格林函数-至于，β。βΣα，βut）=E（−|κ|αt βe isig（κ）θπ/2），（2.6）−θ−其中，Eβ（z）是到目前为止，方程的Fourier-Laplace变换。(1.2) 读取功能以后再检测。我在这里使用[4]的相同符号以避免混淆。 使用等式（2.1）及其性质，可以证明，南苏丹sβ−1s0Rα（2.7）Gθ（κ， t）=Gθ而Gθ（−κ，t）=G−θ（−κ，t），（3.4）并且其逆拉普拉斯变换给出母模型的特征函数，等式（1）。(2.6).因此，在Fourier-Laplace域中的第四个，见[13]，方程。(1.5)阅读假设下列变换发生在等式的两个独立对（x，t）和（x，τ）之间。(1.2)[14][15][16][17][18][19][1v（κ，s）=βsβ−1.θτ=x（α t+1）−1/α，τ=α−1l og（α t+ 1），（3.5）s+ibκ+a κα（κ）因此，Eq. (1.5)空间分数阶导数α（0，2]和时间分数阶导数β（0，1]与方程的解有关。(1.2)在傅立叶域中，或反之亦然x=ε eτ，t=1 （e ατ 1）。（3.6）α由关系εv（κ，t）=Eβε。−aθ（κ）+ibκtβ，（2.8）使用公式（3.5）和（3.6），你可以写1/α|κ|ˆG（二、二）方程的特征函数(1.2) 作为θα，β（3.3）、v（τ，τ）=（αt+1）u（ x， t），（3.7）分数阶微分方程和分数阶Fokker-Planck方程的基本解341−ααααα，ββαα，1αα∈=Lθ（ z）=（θ−α），z>0，L−1/2（ z）=√Lα（ z）=πz你好！罪2α（θ−α），πβtβ或者使用公式3.7，你可以写u（x，t）= e −τv（τ，τ）.使用这些转换，一个推导出，每一个解决方案的方程。(1.2)这是一个Eq。(1.5).根据等式(2.8)，这在β 1的情况下也是正确<的，因为解是用Mittag-Le Bauer函数E β（t β）表示的，E β（t β）具有以下性质。对于0<β 1和小的t值，它表现出类似于拉伸指数Lz0.40.30.20.1.512.0Eβtβββ（−t ）<$1 −<$（β+1）<$exp {−t/<$（β+1）}，0t1.（3.8）1 2 3 4 5z图1L θ（z）的特殊公式。而对于大的t，它具有渐近表示E（−t β）sin（βπ）（β）， t → ∞.（3.9）4. 格林函数根据Kθ（ xt-α）的特殊公式和相似变量，给出了母模型的特解β这些特殊情况的谱函数，L θ（z），方程。(4.2) 和（4.4）式的关系在图1中绘出。不幸的是，除了柯西分布、高斯分布和列维-斯米尔诺夫分布之外，一般的α-稳定分布并不存在封闭形式的表达式。然而，幂级数展开可以导出Lθ（ z）。Feller[16]给出了Lθ（ z）的收敛渐近幂级数，其中z为相似变量。后来，Schneider[17]修正了这些公式。该系列是针对z>0给出的，您可以使用对称关系Lθ（−z）=L−θ（z）来确定be-表z=xt−这些值与下列值相关：α α以z表示α[15][16][17][18][19][1这些特殊的公式，特征函数，是一类Lévy严格稳定密度。为了便于书写，当β=1时，我们可以替换为<0，而在零和无穷大附近的行为给出分开第一种情况0<α 1：这种情况有三个收敛级数。对于−α≤θ≤α，记法Kθ（z）用Lévy符号Lθ（ z），1.一、απz（1+nα）你好！. nπ2θα，1（x，t）= t−1/αL θ（x/t1/α）。（4.1）n=1z=x/ t1/α，（4.6）该过程是使用L θ（x），然后应用等式（4.1），你得到格林函数，基本解，方程。(1.2). 之后，应用比勒变换，方程。（3.5）和（3.6），你可以得到方程的子模型的解。（1.5）。它的公式接近原点，但对于−α θ≤αLθ（z）≠1。∞（−z）n<$（1+n/α）si n. nπ（θ−α）π，z→0+，α高斯情况下，标准方差，是α=2，θ=0，定义为πzn=1你好！2α（4.7）L0（ z）= 1exp（−z2/4），z=xt−1。（4.2）最后在原点附近，对于θ= −α22√π2=.1α1/ 2c柯西的情况与α定义为1，θ=0且为L−α（z）与2π（ 1−α） α1/（1−α）z−a1e−b1z1，（4.8）L0（z）=11， z=x/ t，（4.3）1πz2+1a= 2 −αα/（1−α）α然后执行前面的步骤。有必要定义一下单数12（1 −α），b1=（1−α）α， c1= 1 − α.函数L±1（x）=δ（x±1）.The Lévy–Smirnov case is in accordance to-1/2，写成第二种情况1 <α<2：这种情况对任意z都有收敛级数R，其中z x/t1/α和对应于θ值的两个渐近表达式。z−3/2二分之一2πθ1。n（1+n/α）∞G∞相似变量满足（−z−α）n罪e −1/4 z， z = x/t 2。（四、四）（−z）342E.A. 阿卜杜勒-赖=n=11=π[z+sin（θπ/ 2）]2+[cos（θ π/2）]2−∞<<∞.απz你好！2. nπ对于α1和0<|θ|<1，必须使用下面的特殊谱函数：z> 0，|θ |≤ 2 − α，（4.9）对于α−2<θ≤ 2−α且z→ ∞Lθ1 cos（θπ/ 2）z（4.5）Lθ（z）≠1。∞（−z−α）n<$（1+nα）si n. nπ（θ−α）π，（4.10）n=1分数阶微分方程和分数阶Fokker-Planck方程的基本解3430的情况。80的情况。91 .一、51 .一、75α=-表1计算中使用的参数。1 2 1/ 2母模型u（x，t）图 2α = 2β = 1θ= 0Son模型v（τ，τ）3α = 2β = 1θ= 0母模型u（x，t）图 4α = 1。0β = 1θ = −0。5Son模型v（τ，τ）5α = 1β = 1θ = −0。5母模型u（x，t）图 6α = 0。5β = 1θ = −0。5Son模型v（τ，τ）7α = 0。5β = 1θ = −0。5母模型u（x，t）图 8α = 1β = 1θ = 0。75Son模型v（τ，τ）9α = 1β = 1θ = 0。75光谱L0。5（z）10α = 0。8β= 1θ= 0光谱L0。4（z）11α = 0。9β= 1θ= 0母模型u（x，t）图 12α = 0。75β = 1θ = 0. 5Son模型v（τ，τ）13α = 0。75β = 1θ = 0. 5光谱L0。4（z）14α = 1。5β = 1θ = 0。4光谱L0。1（z）Fig. 15α = 1。75β = 1θ = 0. 1母模型u（x，t）图 16α = 1。75β = 1θ = 0. 25Son模型v（τ，τ）17α = 1。75β = 1θ = 0. 25赖特函数MFig. 18α = 2β= 0。75赖特函数MFig. 19α = 2β= 0。5母模型u（x，t）图 20α = 2β = 0。75θ= 0Son模型v（λ，β）21α = 2β = 0。75θ= 0θα，αθα，α图 22α = 0。75β = 0。75θ = 0。5图 23α = 1。5β = 1。5θ = 0。4母模型u（x，t）图 24α = 0。75β = 0。75θ = 0。6Son模型v（τ，τ）25α = 0。75β = 0。75θ = 0。6母模型u（x，t）图 26α = 1。5β = 1。5θ = 0。4Son模型v（τ，τ）27α = 1。5β = 1。5θ = 0。4母模型u（x）图 28α = 2β = 0。75θ= 0Son模型v（v）Fig. 29α = 2β = 0。75θ= 0母模型u（x）图 30α = 0。75β = 0。75θ = 0。4Son模型v（v）Fig. 31α = 0。75β = 0。75θ = 0。4母模型u（t）Fig. 32α = 1。25β = 1θ =0。5母模型u（x）图 33α = 1。4，α = 1。6，α = 1。8β = 1θ = 0。50.3u x，t0.20.10-10-50X0.63对0.40.20-10t-5110551010图2高斯母模型最后对于θ=α−2和z→ ∞Lα−2（z）<$（2π（α− 1）α1/（α−1））−1/2a2e−b2zc2，（4.11）其中图3高斯子模型我已经列出了z>0时所需的所有收敛级数和渐近公式，但为了绘制这些关系，我们仍然需要它们在z0处的值，对于β1，该值由以下方程计算：一 = 2 −α，b2α=（α − 1）α α/（α−1），c=.2L θ（0）=K θ（0）= ε（1/α）cos.0 <α≤ 2。（ 4.12）1θπ2（α− 1）α−1α α，1πα2αKK232案例图αβθL0（z），L0（z），L−1/2（z）图1α=1，α=2，α=.5β=1θ=0，θ=0，θ=0。52344E.A. 阿卜杜勒-赖−β你好！[−βn+（1−β）]0.3u x，t0.250.140312吨2x34150.8v0.650.40.2034261810图4柯西母模型图7儿子，α1。1，0.751.5v10.54031223145u x，t0.30.20.1054-4-23t02x241图5柯西子模型。图8妈妈，α=β= 1。1，0.75u x，t1.5v150.540-4-230224110图6妈妈，α1。图9儿子，α=β= 1。∞n这意味着，Eq。（4.12）式对α∈（0，2]的所有值都有效。M（z）=.（−z）n=0例为了得到方程的解。（2.6）作为（x，t）的函数，一个需要使用所谓的M-函数，这是所谓的赖特函数的特殊形式，见[18在[21]中，Mainardi提出了Wright函数和Mittag-Le Bounger函数1=πn=1（z）n−1（n − 1）！n（βn）sin（πβn） z≥ 0，（4.13）以及它们之间的关系。M函数定义为其中0<β 1。第一个特殊情况是时间分数具有格林函数0.10.050543242不X681∞随时间分数变化的物质略有不同。在425.分数阶微分方程和分数阶Fokker-Planck方程的基本解3432，βL z0.8，0.50.20.150.10.05L0.20.150.10.051 2 3 4 5z图10光谱，α1。z0.9，0.41 2 3 4 5z图11光谱，α1。0.75，0.5L0.60.50.40.30.20.1z图14光谱，α>1。z1.75，0.11 2 3 4 5z图15光谱，α>1。一点七五，零点二五u x，t0.040.020-0.0212x3432tu x，t0.410.2010.80.65图12妈妈，α1。120.4吨x30.20.150.75，0.5G01−β/ 245图16母亲，α>1。β/20.10.050-0.0532，β（x， t）=2t22-|X|/t），−∞ β。首先是α β的情况，计算谱函数，从而提出了利用相似性的基本解K（一点七五，零点二五1.5v150.54031223145u x，t图20妈妈，β1。图17子，α> 1。v图18赖特很有趣。M0.5z图21儿子，β1。K0.75、0.60.30.250.20.150.10.0512 3 4 5z图19赖特很有趣。图22K θ ，α<1.1zα−1sin<$π（α−θ）<$的11−βθα，αz2α α20<α<2，0 0，b=β> 0其次，当α <β，βi=1时，|θ|≤α，必须使用同时处理分数阶数α和β更为复杂。你必须区分α=β，αβ和α的情况=式1.一、πzn（1+αn）（1+βn）nπ20.50.40.30.20.1-3-2-1123二 ，零点七五，0.40.20-0.254-43-22不0X214二 ，零点七五，0.50-0.554-43-220214∞Kθα，β（z）=分数阶微分方程和分数阶Fokker-Planck方程的基本解345（θ−α）变量z =（x/t β/α），则必须使用以下公式：0 1。50.75，0.6图26母亲，α>1。1.5，0.40.1u x，0t.075 50.050.0250312吨2x34150.8v0.650.40.20312231图24母亲，α=β1。0.75，0.645图27子，α>1。0.6v0.450.2403122314 2 2 445图25儿子，α=β1。图28妈妈，情况不一样。第三种情况是α> β，即1<α 2和θ2α，你必须使用公式K θ（z）=1。<$（1 − αk）sin<$kπ（θ − α）<$（−z α）kα，βπzk=0 （1−βk）2∞+1。<$（1 −k/α）<$（1 +k/α）sink=0α×<$kπ（θ−α）<$（−z）k z>0（4.17）图29孩子，情况各不相同。0.2.150.10.0505431不2X23410.75，0，0.350.30.250.20.150.10.052t 1t 3t 50.75，0，0.60.50.40.30.20.12t 1t 3t 544346E.A. 阿卜杜勒-赖u0.75，0.4t 1t 3t 5v0.75，0.4t 1t 3t 5ut1，1，0.50.5十一点五2 2.5x1.81.61.4.1Σ=-≤→→∞||−=→−+1<α 2，则θ2−α，即0.350.30.25θα，β （z）∞πzn=1（1+αn）sinnπ2 （θ−α）<$（−z−α）n，0.20.150.10.05z→ ∞。（4.18）如果θ有极值，即θ= −α，对于0<α β的情况，则必须对z：0→ ∞使用以下公式：1 2 3 4 5xK θ（z）=1。<$（1+αn）sin<$nπ（θ−α）<$（−z−α）n，图30妈妈，情况不一样。α，βπzn=1 n（1+βn）2z：0 → ∞。（4.19）和β1的情况一样，你必须计算z3从一个单独的公式，即2.52Kθ（0）=1 <$（1/α）<$（1 − 1/α）cos<$θπ<$。 （4.20）1.5α，βπα <$（1−β/α）2α10.50.20.150.10.050.20.150.10.051 2 3 4 5x图31孩子，情况各不相同。u1.25，1，0.51 2 3 4 5吨图32妈妈，x变化。图33孩子，x是变化的。现在我们已经有了模拟方程组基本解所需的所有公式。(1.2) 的EQ。(1.5)对于所有值α，β和θ。在计算数值结果时，必须注意空间坐标的值。5. 数值结果下面的表1列出了所有的数值结果，这些结果是我为模拟变量α、β、θ、x、θ和τ的不同值而计算的。要绘制谱函数，必须将区间分为三个区间：第一个区间位于z0，第二个区间位于z0，第三个区间位于z。正如你在1 α 2的情况下看到<<的，θ <2α，区间z：01比0 α 1的情况下更稳定<<，θ2α，|θ| α。 所得结果与我以前的工作基本一致。例如，在[6，7]中，我使用有限差分方案来找到子模型的近似解。在本文中，我使用格林函数模拟的母亲和儿子的模型在2D和3D的解析解也有其他作者用其他方法模拟了时空分数阶微分过程。例如，El Danaf[22]利用样条函数研究了s时空分数阶微分方程的数值解分析了差分格式的稳定性Liu等人[23]用直线法求解了一种特殊形式的福克-普朗克方程，该方程确认我真的要感谢裁判们富有成效的建议。本文正是在他们的意见和建议的帮助下，以这种良好的形式出现的。引用在计算这个方程时，你会发现因子（1 k/α）（1k/α）给出了k的某些值的无穷大，所以你不能画出这个十.1x.2x.5K∞分数阶微分方程和分数阶Fokker-Planck方程的基本解347方程。另一种方法是只计算它的渐近表示为z ，考虑到θ没有任何极值，即。为[1] G.W. 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