多孔介质中边界层厚度对霍尔电流和流体流动的影响研究

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2014）22，143埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems多孔介质中由声表面波壁Kh.S. Mekheimera，b，*，A.M. Salemd，A.Z. Zaherca数学系，科学系，爱资哈尔大学，纳赛尔城，11884开罗，埃及b沙特阿拉伯，哈维阿，888塔伊夫，塔伊夫大学，科学学院，数学系c埃及苏伊士运河大学计算机和信息学院理学系。d埃及Shubra-Benha大学工程学院数学和物理工程系接收日期：2013年2月10日;修订日期：2013年4月29日;接受日期：2013年5月5日2013年6月19日在线提供本文以边界层理论为基础，研究了在中等雷诺数下，当边界层厚度大于波壁振幅时，霍尔电流和滑移条件对二维粘性流体通过多孔介质时，正弦蠕动波壁引起的磁流体流动的影响通过正则摄动法，得到了关于小振幅的级数展开式的解绘制了不同雷诺数、滑移参数、霍尔参数和磁参数值下的内外湍流速度分量图内、外解通过匹配过程进行匹配。本研究结果在机械工程中的一个有趣的应用可能是在没有外部压力的情况下流体输送的可能性数学子分类： 76D、76S05、76W、76Z05？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍壁面非定常运动引起的流体流动的研究在生物力学领域具有重要的实际意义。推进机理一直是人们关注的焦点*通讯作者：Taif University，Mathematics Department，Faculty ofScience，Hawia，888 Taif，Saudi Arabia。电子邮件地址：kh_Mekheimer@yahoo.com（Kh.S.Mekheimer）。同行评审由埃及数学学会负责在生物物理学领域中的鱼类和细菌。Gray[1]研究了游泳海豚的阻力，发现这个阻力比浸入液体中的固体上的阻力小得多。Gray提出了许多减阻机理，如体型效应（层流翼型理论）、柔性蒙皮效应和非定常动力效应。最后一个问题与鱼类游动的流体力学的发展有关，并提出了一个问题，即浸入流体中的物体的不稳定运动如何能在其周围引起稳定的波浪。鱼类的动力主要是由于尾部和鳍的摆动，物体的波浪运动一种推动身体的效果，这种效果减少了阻力。1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.05.003制作和主办：Elsevier关键词蠕动输运边界层诱导磁流体流动波形壁多孔介质K2个pKDT..恩恩2个p2pc@tk@y@te144公里 Mekheimer等人Burns 和 Parkes[2] 、 Tanaka[3] 、 Taylor[4] 、 Dhar 和Nanda[5]讨论过壁面正弦波动引起的流体的振荡问题。田中研究了小雷诺数和中等大雷诺数的问题。在讨论中等大雷诺数的问题时，他指出，如果边界层的厚度大于波幅，则用于小雷诺数的技术也可以应用于中等大雷诺数的情况。蠕动输运现象已引起许多工程学科研究者的兴趣。从机械的角度来看，离心泵提供了构造泵的机会，其中输送的介质不与任何运动部件（例如阀、柱塞和转子）直接接触。 蠕动输送的机制也已经被用于工业应用，例如卫生流体输送、心肺机械中的血泵和腐蚀性流体的输送，其中流体与机械部件的接触被禁止。为了了解蠕动行动在各种情况下，一些理论和实验研究已经取得。对牛顿流体的重要贡献包括Fung和Yih[6]，Mekheimer[7]，Mekheimer[8]，Hayat etal.[9] ， Mekheimer andAbdelwahab[10] ，Mekheimer et al.[11]，Abd elmaboud and Mek-heimer[12]，Srivastava and Saxena[13] ， Abd elmaboud et al.[14] ，Siddiqui and Schwarz[15]，Hakeem et al.[16]等。多孔介质渗流由于其重要的实际应用，在过去的几十年里引起了众多研究者的关注。它发生在河床、砂岩、石灰石、胆管、木材、人肺、胆囊结石和小血管中的体液过滤和 水 渗 透 中 。 从 这 些 研 究 中 ， 讨 论 了 这 一 点Mekheimer[17] ， Mekheimer 和 Abdelmaboud[18] ，Vajravelu等人[19]，Srinvas和Kothandapani[20]，Ashgar等人。[21]，Afsar Khan et al.[22]，Khan et al.[23]阿夫萨尔帐户. Hayat等人[29]研究了多孔介质中麦克斯韦流体蠕动的霍尔效应。Eldahab等人[30]，[31]研究了霍尔电流和离子滑移电流对磁流体动力学蠕动输运和偶应力流体的影响。因此，研究霍尔电流对正弦蠕动波壁在多孔介质中诱导的湍流的滑移效应具有重要意义。用正则摄动法对小振幅进行级数展开，得到解。内（边界层湍流）和外（边界层以外的湍流）解通过Kevorkian和Cole[32]给出的匹配过程进行匹配。绘制了各种问题参数值的外部和内部流线的速度分量图2. 运动方程我们考虑一个不可压缩粘性流体的二维湍流，它是由一个无限长的正弦波形拉伸壁引起的，其振幅为a，波长为k，以频率c垂直振荡，x是湍流下游方向的坐标，y是垂直于湍流的坐标。壁的运动由下式描述：yhx;tacos2px-ct1其中a是波浪壁的振幅，k是波长，c是波速。控制该模型的基本方程以及考虑霍尔电流和麦克斯韦方程的影响的广义欧姆r：q¼0Q.@qq：rq-rplr2q-lqJ×B2Σ1ΣKhan等人[24]第10段。在几个非线性问题中，作者假设了遵守，即。J¼rV×B-e nJ×Bð3Þ紧挨着刚性表面的流体层会随着表面移动，脸上一些作者认为，假设涉及滑动，即刚性表面和其旁边的流体的相对运动对于包括水和汞在内的几种流体，许多实验（其中有些是构思巧妙和仔细进行的）表明，即使流体不润湿边界表面，粘附条件也是适当的。时不时地，一个显然很仔细的实验其中q是速度矢量，p是压力，l是dy-动力粘度，2是拉普拉斯算子，q是流体密度，d是材料导数，t是时间，J是电流密度，B是总磁场，r是电导率，e是电荷，ne是电子数密度。这里我们假设一个1。控制该模型的二维运动的方程为：似乎导致相反的结论，但进一步的分析揭示了理论或实验错误。在许多应用中，所述流动模式对应于滑动流动，所述流体在湿壁处表现出粘附力的损失，使得所述流体沿着所述壁滑动。在固体-液体表面相互作用的研究中，@uq@t@vq@t@uu@x@vu@x@uv@y@vv@y@p¼-@x微升@p1/4-@yl@2u@x2@2v@x2@2u在y2时，@2V在y2时，L— K1L— K1rB2u1立方米2rB2v1立方米2mv-uð4Þ固体壁处的流体滑移的概念用于描述某些分子现象的宏观效应。在以往的蠕动泵的研究中，很多工作都是在无滑动的情况下进行的边界条件u<$A@u;v<$A@haty<$Hx;tð5Þ条件，Ebaid[25]讨论的滑移条件的影响，[27]杨和，杨和，杨和。[26]第10段。在所有这些分析中，没有考虑霍尔电流的影响。然而，在电离气体中，当磁场强度非常强时，人们不能忽略霍尔效应。Attia[28]研究了非定常哈特曼流动与热传递的粘弹性介质的霍尔效应，juj;jvj<1asy！1个;其中u、v是速度分量，m^rB0是霍尔参数，a是滑移参数。我们用特征长度k规范化所有长度，用特征速度c规范化所有速度q，用qc2规范化流体压力p，用特征时间k规范1Σ.Σ0Σ.Σ0þ-@w@w. H. ΣiΣThirdorder0e22222-1/4-2rr13211K2121121DD221多孔介质中由于表面声波波形壁引起的蠕动诱导MHD滑移流145上述的流体运动方程变为，@u@u@u@p1.一、@2u@2uuM@2@tu@xv@y-@xR@x2@y2— RkR1m2mv-u@trw1¼0 11@v@v@v@p1.一、 @2V@2伏vMð6Þ@tu@xv@y-@yR@x2@y2— Rk- R1 m2muv内kqc@4周1@3周1哪里 雷诺 number R1/42pl， 的 磁 参数记为M<$rB2k2，孔隙度参数k<$4p2k，@y4 -@t@y<$2¼01 204p2l各种条件是1K2@w<$100;@w<$10-sinx-tð13Þ@u@h@y<$@xru<$-be@y;v<$@taty <$h<$x;t<$hjuj;jvj<1asy！1个;ð7Þ二阶（[0（e）]）外部其中，hx;teco sx-t;ba和e2pa1。@@w@w@w@w通过引入流体的流函数w（x，y，t），控制方程（Eq.（6），边界条件（7）变为，@trw2¼@xr内@y-@yr@x14小时@2@w2@w@w2@w12212M2@trw@xr@y-@yr@x¼Rrr w-kRr-R1m2rw@4周2@3周2@w<$1@3周1@w<$1@3周1@w@2w@w@h@y4 -@t@y<$2¼@y<$@y<$2@x-@x<$@y3年1月5日@y¼-be@y2;-@x¼@taty¼hx;t.. ;。. <1、如y！1个;@w<$2b@2w<$1cosx-t@2w<$1. @y。 .@x。ð8Þ@y0-r¯@y<$20-r2¯@y<$20ð16Þ@w2ð0cosx-t@w103. 解决问题当雷诺数较大时，形成边界层。我们假设边界的厚度32外@r2r2Mary层大于波幅，遵循田中r2wrrrw1[5]，正则摄动技术可以应用于pres-@t31k11立方米2ent问题。如果d是边界层的厚度，@w12@w2@w22@w1@w12@w2—r-rr无量纲可以定义为y^y和w^w。当@y@x@y@x@x@y假设粘性项与惯性项的阶数相同，我们通常有d2R= 0（1）。将y=h处的边界条件展开为泰勒级数，h=0，内部变量w<$andy<$as内@w2@xr第1周2例联系我们@wh@ 2w<$1小时2天，3周1@h@4周@3周@4周@3周r2@2w<$@x0d@x@y<$$>02d2@x@y<$20···¼-d@t3 32121 1@wh@ 2w<$1小时2天，3周.1@ 2周h@ 3w<$小时2，4周@y<$@t@y<$@x@y<$@t@xk@y<$@y<$$>0d@y<$202d2@y<$30···b ed@y<$20d2@y<$302d3@y<$40·· ·r2M@2w<$1@w<$1@3w< $2@w<$2ð9Þ为了使泰勒级数收敛，0（d）必须大于2011年1月2日@3周1@y2 @y<$@y<$2@x@w< $1@3w<$2@w< $2@3w<$10（h），即0（e） <0（d）。在田中之后[5]，d^r e2，r是任意常数0（1）。外环流×@y<$2@x-@x<$@y3 -@x@y3年1月8日(the边界层外的湍流）由（8）根据原始变量（w，x，y，t）描述，而内部湍流（边界层湍流）根据内部变量@w@y<$b@2w<$b0cosx-t@3周1@y<$30-r¯2-112¯3¯在代入R=（re）时，和d^r e2。作为E1，我们@w21×cosx-t0-副秘书长（2）（x）-（t）（西1）可以使用摄动法，并假设（外切流）并且（内部流）可以在E2中扩展为幂级数，@w3@y22R2@y3wX1enw;wX1恩威ð10Þ×0@x<$0¼2nn1212nn1. y.w一- -@x¯R@x@y<$2422替换（10）并使用2012- 02 - 222d;w¼d;R¼1¼-r@2周cosx t0@x@y<$12R2cos2x-tr e 在（8）中，以及边界条件（9），然后使e2的相似幂的系数相等，我们得到方程和对应于一阶、二阶的边界条件如下。第一个了. h0.e1i×@x@y<$2019四阶（[0（e2）]）OUTER1关于我们3@wRRRþrþrþr2 2r-r1- -ðÞ3@y'r3111dy¯12@t@y<$2@2x@2y<$@t@x2其中k-i和A，B，a是常数。替代（27）e1@w1-e1@w1@3周e！0e22@x2@xe！0e2221wx;y;tf1yeix-tfωe-ix-tf1syw'¼-ike-ky'--2.. ..146公里 Mekheimer等人@2 222R22r2M2及其解决方案@trw4¼rr rw 2-krw 2-1m2rw 2@w@w@w@w@w1F<$Ae-ky<$$>kAy<$-A12 2232 11 1112R@y@x@y@w@w@w@x@y@x@w@w@wdF1s123 222 321ð20Þð27Þ内@x@y@x@y@x@yf1¼ae-y遵循tanaka½3]df1s¼C@4w< $4@3w<$4@4周2@3w< $2r2@2w<$2第1天-1/4-2rrpr2M@2周@w @3周@w（23）我们有221 1211立方米2@x3@x¯@y2@y<$Σ¯ Σ×@x2@y<$@y<$@y<$2@x<$@y<$@y<$2@x@w3@3w< $1@w <$1@3w<$3@w<$2@3w<$2--A1ke-ky<$$>kA1c：c：-B1y<$2-B2y<$]@y<$@y<$2@x-@x@w< $3@3w<$1@y3 -@x@y3¼0-@x@y<$3年2月1日其中C。C. 代表相应的复共轭。考虑到y，将指数展开为2 311@w4b@w< $3b@w<$2e-y<$e-re2y<$1-re2y<$r2ey<$2· · ·0@y<$Br20 -2cosx-t2@4周110@y<$@3周.-k1yRe2衰减得非常快，-2r3cosx-t@y<$40-rcosx-t@y<$20这就是所谓的超越性小（T.S.T），它是一个新的。1@3周21@4周1在匹配过程中收集），我们有23-2r2cosx-t@y<$$>3 <$0-6r3cosx-t@y<$4<$0lim½-a-kAc：c：C-By<$2-By<$T：S：T]¼0@w< $41@2w< $31@3周21e！01 1 2@x<$$>0-rcosx-t@x@y<$$>0 -2r2cosx-t@x@y<$201@4周1-6r3cosx-t@y<$3@x022一系列内解应满足边界条件，在墙上的位置，而外部的解决方案只限于随着y的增加而有界，但因此，匹配条件只有在以下情况下才满足：-a-kA1;B1<$B2<$0;C1<$0当对（24）进行类似的处理时，我们有lim1e1@w1-re1@w<$1llim1he1iae-yeix-tc：c：oei. @w.0. @w..n. ;。n. < 1、如y！1表示n 1; 2; 3;.. . ：@x@y有必要匹配外解和内解。根据cole xxxx，通过以下原则对速度的x和y所以匹配条件满足a = 0。我这样A1¼B1¼B2¼0C1¼01“XNn@wnXNn @wn#第一阶解为：LimNe！0e2e2n1@y-e2n1@y<$¼0ð23Þw1¼0w1eix-t1e-ix-t281“XN西北1XNn@wn#12r2rLimNe！0e2e2n1@x-re2n1 e2 @x¼0ð24Þ下面我们用下面的形式求出解w2;w<$2we2ix-tF21yeix-tc：c：F2sye其中y固定到N阶，让我们找出一阶解的形式：wx;y;tfye2ix-tfeix-tc：c：f2019年10月29日w;tF1yeix-tFωye-ix-tF1syeð25Þ将（29）和（28）代入（14）是的Ik1 1221-2002年ð30Þ通过将（25）代入一阶微分方程（11），32e2n@y4K @y21Lim1/4 lim1/2- a e-yeix-tc：c：C1@w1@3周3@w2@3周2e！012@y2@y<$1e！0并注意到，2s21eix-tc：c：-þ¼.Σ333sþ（12）和边界条件（13），我们得到以下结果：w2¼e-yeix-tc：c：2下降方程现在让我们寻求三阶解的形式d4F1d2F1d4F1sd2f1d4F1swe3ix-tf32ye2ix-tf31yeix-tc：c：f3syedy<$4-idy<$2 1/4;dy<$4 1/4;2-f1¼0;dy<$4 ¼0ð26Þwx;y;tf ye3ix-tfe2ix-tfydy31324¼dy¯4-44r24 4F31¼--eþþþ1IR2B-Ydf4s1dy¯4R4R42¼4- 4r2- 4-2- 8r2 4.Σ.Σ多孔介质中由于表面声波波形壁引起的蠕动诱导MHD滑移流147哪里d F4S¼1e-kkωy。1ib ky<$ie-ky'F3¼011--我是说...1-Ibkωy<$-ie-kωy1F32¼4r-4re四四r二四F31irb-ky<$2 2rirke-y2ikry<$ ry<$2irb2 4 2 2rf4<$f43<$0;f42<$4e;f41¼2 þ2e;dy4dF3Skωe-kωy4. 讨论问题我们现在将寻求以下形式的四阶解：w< $4x;y<$;tF4y<$$>e4ix-tF43y<$e3ix-tF42y<$e2ix-tF41y<$eix-tc：c：F3sy<$ewx;y;tf4ye4ix-tf43e3ix-tf42ye2ix-tf41哪里F4¼0在这里，我们应该注意到，三阶解有一个稳定的流动分量F3s.然而，随着y′的增加，它衰减得非常快，并且只局限于边界层，而在外层中，直到这个近似阶数，都不会产生稳定的流动。但四阶解由以下组成：F43-ke-ky'16r2F. 是的b kike-ky是的b k ik. Kr2kikb kb2kr2Mk r2F41¼-8r2 4- 2- 2r2-41m2- 4ke-ky¯þir2y'4þ2百万年41m2ir2y e-ky'4Kkω16r2 e-kωy<$-第二年，第三年12ir2ky<$2ir2y<$by<$kr2 ibkkb2kr2Mkr2þ四-2- 2- 42 2r241m2 4kð34Þ图2b= 0.1和e=0.1时不同雷诺数R值下边界层中流体U的诱导定常轴向速度分量。图1在R = 500和e = 0.1时，不同滑移参数b值下，边界层中流体U的诱导定常轴向速度分量。图3在R = 500、e = 0.1、b = 0.1、k = 1和m = 0.5时，不同磁参数M值下，边界层中流体U i的轴向速度分量。¼.Σ--ð32Þ-2岁-148公里 Mekheimer等人图 4 孔 隙 度 参 数 k 在 R=500 、 e=0.1 、 M=2 、 b=0.1 和m=0.5时的不同值下边界层中流体Ui图6在R = 500、e = 0.1、M = 2、m = 0.5和k = 1时，不同滑移参数值下边界层中流体U i的轴向速度分量。图5在R=500、e=0.1、M=600、b=0.1和k=1时，不同霍尔参数m值下，边界层中流体Ui图7 e = 0.1、M = 2、b = 0.1、m = 0.5、k = 1时不同雷诺数R值下边界层中流体U i的轴向速度分量。除周期解外，还包括定常解，因此我们将讨论四阶解。我们可以说，壁的前进运动首先在边界层中引起与壁运动同相位的周期性行波，然后在边界层中引起高次谐波行波，并在外层中相继引起周期性行波。对于雷诺数R、滑移参数b、磁参数M、霍尔参数m和x t的不同值（取e=0.1），分别绘制了外、内湍流的速度分量与y和y ′的关系曲线。图图1和图2示出了内部稳态流动的特性。从图1中我们发现，内稳流部分的流速随离壁面的距离以阻尼振荡的形式趋近于一个定值，滑移参数b的增大使内稳流部分的流速U增大。在滑移当参数b=0时，得到了与Tanaka [3]在大Reynolds数情况下相同的结果，此时定常湍流速度接近壁面1/4。图2表明，雷诺数R越大，内部定常流动的速度越高。当雷诺数很大时，离壁面1/ 4处的定常紊流速度接近，这与[J Phy SocJapan]的结果一致。现在，我们将研究内部轴向速度Ui的性质，图3-7号。它是明确的从图3在当x-t=0时，磁参数M的增大使靠近壁面区域的内轴速度Ui略有减小，而当y增大而远离壁面时，磁场的增大使内轴速度Ui加速，而当x-t=p时则相反。还值得注意的是，内部轴向速度Ui变得稳定。---多孔介质中由于表面声波波形壁引起的蠕动诱导MHD滑移流149图8在R=500、e=0.1、M=2、k=1和m=0.5时，滑移参数b不同值时，边界层中流体Vi图10不同磁参数M值时边界层中流体Vi的横向速度分量，R=500，e=0.1，b=0.1。图9e= 0.1、M=2、b=0.1、m=0.5和k=1时不同雷诺数R值下边界层中流体Vidy随着y的增加而增加，并接近几乎相等的值。 在图4中，我们发现孔隙度参数K的影响与磁性参数M对内部速度Ui的影响相反。从图5中注意到， t=0时霍尔参数m的增加使壁面附近的内轴向速度Ui略有增加，而在远离壁面的地方则相反，在x-t=p处则相反。图6表明，滑移参数b的增加增加了x-t=0时的内轴向速度Uix-t=p。通过图7，我们看到雷诺效应numberR增加的内轴向速度Ui在x-t=0时，反之亦然，在x-t=p时，有趣的是，注意到内部轴向速度Ui在所有的数值上都在正值和负值之间振荡，并且随着y的增加而稳定，这里我们离开壁面。现在，我们将研究内部横向速度Vi，图第8和第9条。 从图 8.我们发现，图11在e=0.1、M=2、m=0.5和k=1时，不同滑移参数b值下，流体U0的外湍流轴向速度分量参数b减小了内部横向速度Vi。从图9中我们可以看出，雷诺数的增加 R 增加 的 内 横向 速度 Vi 在x t=p，但在x t=0时出现相反的情况。但是我们看到磁参数M的改变并不影响磁共振的性质在内部横向速度Vi中，并给出如图10所示的恒定值的结果。不同的霍尔参数m和孔隙度参数k值也有相同的效果。 图11描述了轴向外部速度Uo，从该图中，我们可以看到，滑移参数b的增加使外部轴向速度Uo在x-t=p时增加，在x-tx-t=0。我们还看到，随着y的增加，外轴速度Uo的曲线几乎接近相等的值，并且我们发现x-t=0时的速度Uo小于x-t = p。--150克朗 Mekheimer等人引用图12在e=0.1和b=0.1时，不同雷诺数R值下，流体的外湍流横向速度分量Vo图13在e=0.1和R=500时，不同滑移参数b值时，流体的外湍流横向速度分量Vo从图12中我们观察到横向外部速度Vo的性质。雷诺数R的增加使x-t=p时的横向外流速度Vo增大，速度Vo为x-t=0。但为当xt=p和xt= 0时，横向外速度Vo随y的增加而趋于稳定，且x-t = p时的横向外速度Vo小于x-t= 0，滑移参数b的不同取值对横向外速度Vo没有影响，其结果与图12所示相同。 13岁致谢作者感谢评审员的宝贵意见，这些意见增强了论文的表达。[1] J. 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