偏序集的连续性近似及拟连续域的刻画

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记333（2017）89-101www.elsevier.com/locate/entcs偏序集各种连续性的近似元毛旭新城科南京航空航天大学，南京210016。中国Luoshan Xu徐罗山1，3扬州大学Yangzhou 225002，P.R. 中国摘要本文考虑了偏序集的各种不一定是dcpos的连续性。引入偏序集上的逼近元和超逼近元的概念。 给出了连续偏序集和超连续偏序集的新刻画。同时，作为逼近元的推广，引入了dcpos上的拟逼近元的概念，并给出了一些刻画也得到了拟连续域的一些性质。证明了在某些合理的条件下， QB（L））的近似元素（分别， 拟近似元素）的诱导阶dcpo的L是连续域（分别地，准连续域）。关键词：连续偏序集;超连续偏序集;逼近元;插值性质;拟连续域1引言连续格作为编程语言语义模型的概念是由Scott在[10]中引入的。后来，一个更一般的连续有向完全偏序集的概念（即，连续DCPOS或域）被引入并被广泛研究（参见[1]，[5]，[6]）。由于一些自然产生的1国家自然科学基金（11671008，11101212）、江苏省高校专业建设基金（PPZY 2015 B109）、江苏省高校科研项目（15KJD 110006）资助2电子邮件：xuxinmao@yahoo.com3电子邮件：luoshanxu@hotmail.comhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2017.08.0081571-0661/© 2017作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。90X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）←←←偏序集是重要的但不是有向完备的偏序集，越来越多的情况下研究不具有所有有向上确界的偏序集（见[7]-[9]，[11]-[14]）。Lawson在[6]中给出了dcpo是连续的且其Scott拓扑是完全分配的一个显著特征。利用嵌入基技术和Scott拓扑的sobrification，Xu在[11]中成功地将连续偏序集嵌入到连续整环中，并证明了偏序集是连续的且其Scott拓扑是完全分配的。拟连续域是由Gierz，Lawson和Stralka（见[3]）引入的，它是广义连续格（见[2]）和连续域的一个共同推广证明了拟连续Domain具有许多与连续Domain相似的性质，并且具有Scott拓扑的拟连续Domain正是分配超连续格的谱。 关于偏序集上的内在拓扑，Mao和Xu在[8]中引入了超连续偏序集和拟连续偏序集的概念，证明了一个偏序集是拟连续的，且它的Scott拓扑是超连续格。在文献[15]中，Zhao引入了完备格上弱逼近元的概念 根据Zhao的观点，完备格的元素xL被称为弱近似，如果它保持x =X.赵衍写了一部小说连续格的特征[15，定理3]，一个完整的格L是连续的，满足（i）下面的路的插值性质（INT），lation（ ii）对任意x，y∈ L，xy蕴涵x/= y. 他还建造了两个反例（见[15，p.163]）表明，没有条件（i）和(ii)可以省略。在偏序集上引入了近似元和超近似元的概念，讨论了近似元和超近似元的一些性质和关系。利用这些新概念，我们给出了连续偏序集和超连续偏序集的几个刻画，推广了[15]中的相关结果。同时，作为逼近元的推广我们将证明，在某些合理的条件下，集合B（L）（分别为，QB（L））的近似元素（分别，准近似的元素）在dcpo的诱导阶L是连续域（分别，准连续域）。2预赛我们很快回忆一些基本的概念和结果（见[1]，[3]，[8]和[11]）。设（L，≤）是偏序集. 一个主要的理想（分别， 主过滤器）是一组形式↓x ={y∈L|y≤x}（分别， ↑x ={y∈L|x≤y}）。对于AL，我们写↓A={y∈L| <$x∈A，y≤x}，↑A={y∈L| <$x∈A，x≤y}。一个子集A是一个（n）较低的集合（分别，上集）如果A=↓A（分别，A=↑A）。我们说，z是一个（n）下界（分别为，A的上界），如果A↑z（分别，A↓z）。A的下界的集合由lb（A）表示。 A的上确界记为A或supA。 的X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）91←←→←→A的最小值记为A或infA。L的一个非空子集D是有向的，如果D的每个有限子集在D中有一个上界。偏序集L是有向完全偏序集（简称dcpo），如果L的每个有向子集都有一个上确界。一个完备格是一个偏序集，其中每个子集都有一个上确界。在偏序集L中，我们说x逼近y，记为xy，如果只要D是 有上确界supDy的有向集，则对某些d∈D，x≤d。为x∈L，我们写x={z∈L|zx}和x={z∈L|Xz}。偏序集L是称之为连续的，如果每个元素都是元素的有向上确界，近似，即，对于所有x∈L，集合 x是有向的，x=X. 连续也是DCPO的偏序集被称为连续Domain或Domain。连续也是完备格的偏序集称为连续格。偏序集L的子集A是Scott闭的，如果↓A=A，且对任意有向集D<$A，只要supD存在，supD∈A斯科特闭集的补集形成一个拓扑，称为斯科特拓扑，记为σ（L）。 众所周知，对于一个连续偏序集斯科特拓扑有一个基地的所有集合的形式x。的由所有主滤波器↑ x的补生成的拓扑（分别，主理想↓x）被称为下拓扑（相应地，上拓扑）并表示为ω（L）（分别，v（L））。命题2.1（见[1，13]）设L是连续偏序集。那么以下情况为真：(1) 的关系具有插值属性：xz=y∈L使得Xyz;(2) Scott开滤波器形成σ（L）的拓扑基设L是偏序集。我们在L上定义一个二元关系<$ν（L），使得x<$ν（L）y∈intν（L）↑x，其中内部取在上拓扑ν（L）中.命题2.2（见[8，命题3.1]）设L是偏序集。 那么对于所有的u，x，y，z∈L：(1) x<$v（L）y蕴涵xy;(2) u≤x<$ν（L）y≤z蕴涵u<$ν（L）z;(3) x<$v（L）z和y<$v（L）z蕴涵x< $y <$v（L）z，只要连接x<$y存在于L中;(4) ⊥≺ν(L)xwheneverLhas a smallest element ⊥.定义2.3（见[8]）偏序集L称为超连续偏序集，如果对所有x∈L，设置x={y ∈ L |y ∈v（L）x}是有向的，且x = supvX.ν（L）引理2.4（见[8，命题3.5]）设L是偏序集。则以下状态是等价的：(1) L是超连续偏序集;(2) L是一个连续偏序集，对所有x，y∈L，xy蕴涵x <$v（L）y;(3) L是连续偏序集，Scott拓扑σ（L）是上拓扑ν（L）.注2.5应用命题2.2（1）和引理2.4，我们可以很容易地看到超连续偏序集L上的关系ν（L）正是L的逼近关系。根据命题2.1（1），关系式ν（L） 在超连续偏序集L上，满足插值性质：x∈v（L）z=x ∈y∈L，使得ν（L）92X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）→←←←←←x ν（L）y对于一个集合X，我们用P（X）表示X的幂集，用Pfin（X）表示X的所有非空有限子集的集合。对于dcpoL，我们定义一个预序≤（有时称为Smyth预序）在P（L）\{\displaystyle P（L）\，H\displaystyleH\，H，L}）上，通过G≤H i<$G 也就是说，G≤Hi ≠对于每个y∈H，存在一个元素x∈G，x≤y。我们说L的子集的非空族F是有向的，如果它在Smyth预序中是有向的。更确切地说，F是有向的，如果对所有的F1，F2∈ F，存在F3∈ F使得F1，F2≤F3，即，F3↑F1↑F2.我们说G远低于H或G近似于H，记GH，如果对每个有向集D<$L，supD∈ ↑H蕴涵d∈ ↑G，对某些d∈D。 我们把G记为Gx{x}和y H代表{y}H.对于所有的G语言，我们写G={y∈L|Gy}。命题2.6（见[1，3]）设L是dcpo。然后(1)H.G.，H.L，G.H=G≤H;(2)H.G.，H.L，G.H∈H，Gh;(3)E，F，G，H，L，E≤FG≤H=EH;(4) xy.G={y∈L|yG}和引理2.7（见[1，推论III-3.4]）设F是dcpo中的有向非空有限集族。 如果GH和F ∈ F ↑F <$<$↑H，则对某个F ∈ F，F<$↑ G.作为连续域的推广，下面的定义给出了拟连续域的概念。定义2.8（见[1，3]）dcpoL称为拟连续域，如果它满足以下两个条件：(1) 对于每个x ∈ L，fin（x）={F <$L|F是有限的，Fx}是有向族;(2) 对所有的x，y ∈ L，如果xy，则存在F ∈ fin（x）使得y/∈ ↑ F。也可以导出拟连续域的插值性质。命题2.9（见[1，命题III-3.5]）设L是拟连续整环，H <$L和x ∈ L。 如果Hx，则存在有限集合F，使得HFX.3连续偏序集与逼近元在这一节中，我们引入了近似元的概念，并给出了连续偏序集的几个刻画。定义3.1设L是偏序集，x ∈ L。 如果有一个有向集D xxx使得Dx= x，则x称为近似元素。一组所有L的近似元素表示为B（L）。命题3.2设L是偏序集，x ∈ L。 则x是一个近似元素我把这一套 x是定向的，x= x。证据=：简单明了。如果x是一个近似元素，则存在一个有向集Dx<$x这样X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）93←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←显然，DSS）。 对任意的xa，xb∈DS，存在a，b∈S使得是w∈Dc<$DS使得d，e≤w. 故有e∈DS使得xa，指导。 对于所有的a，b∈x，因为aX=如果Dx是有向的，则存在da∈DxB=x∈LDx. 对于所有x∈L，显然（B）x）=x. 为了让B组看到x是S=Ds≤t。所以，S≤t，表明S是最小上界，的Dx=x。 很容易证明x=x。 接下来我们证明，x是使得a≤da。 类似地，存在db∈Dx使得b≤db。 由于方向性，对于Dx，存在某个d∈Dx<$x，使得da，db≤d，表明集合x是指导。Q注3.3鉴于在完备格L中，对任意x∈L，x是定向的。因此，根据命题3.2，L的元素x是弱近似元素（在[15]的意义上）i它是定义3.1意义上的近似元素，揭示了近似元素和弱近似元素的概念在完全格中重合。然而，对于偏序集L，我们将在命题3.6中看到，x 这是我们给出近似元素命题3.4设L是偏序集。 则L是连续偏序集i，且L的每个元素都是逼近元素。证据 它由连续偏序集的定义和命题3.2得出。Q回想一下，偏序集L的基是一个集合B∈L，使得对于每个x∈L，子集B<$x是有向的，且x=（B<$x）。众所周知，偏序集是连续迭代是有基础的。根据第3.4条，我们立即得到以下结果：推论3.5偏序集L有基当且仅当L的每个元素都是近似元素。人们会对直接证明上述推论感兴趣。显然，L的基的存在意味着L的每个元素都是近似的。相反，对于所有x∈L，选择一个有向集Dx<$x，使得Dx=x。 让有向的，设s，t∈B<$x。 则存在一个元素d∈Dx<$B <$x，使得s，t≤d，揭示了BX是定向的。 因此B是L的基。命题3.6设L是dcpo。 如果B（L）非空，则B（L）在L的有向sups下是闭的，因此是dcpo。此外，对所有x，y∈ B（L），xy蕴涵xB（L）y，其中B（L）表示B（L）上的逼近关系.证据 为了证明B（L）在有向上是闭的，设S ∈ B（L）是一个定向集对于每个s∈S，根据定义3.1，存在有向集Ds∈s，使得的Ds=s。 Sinc es≤S，我们有Dss（S）。 设DS= s∈SDs.（x a∈D aa和x b∈D b<$B. 根据S的有向性，存在c∈S，a，b≤c。 所以xac和xbc。 由于Dc是有向的且c =Dc，存在d，e∈Dc使得xa≤d，xb≤e. 根据Dc的方向性，xb≤w，表明DS的有向性. 显然，S是设DS=s∈SDs.设t是DS的任一上界.则对于每个s∈S，94X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←B（L）中的Dx，即，X=B（L）Dx. 根据定义3.1，x是设置D S。 通过定义3.1，S∈B（L），证明B（L）在有向上闭。 有了上述结果，第二部分的命题就清晰了。Q命题3.7设L是偏序集，在L上有插值财产 如果对所有x∈L， x是定向的，x存在，则存在近似元素B（x）满足：隐含yB（x）。B（x）=x;（ii）y∈L，y=x证据 设L是偏序集。如果对所有x∈L，设B（x）=x是定向的，x存在，则条件（i）和（ii）。 由于B（x）≤x，我们有B（x）X. 设a∈x. 由关系的插值性质，存在b∈L使得abx. 因此我们有一个b≤B（x）且a ∈B（x）. 这表明x<$B（x） 并且因此B（x）=x.因此，元素B（x）满足条件（i）。根据条件（i），它是很容易证明B（x）是一个近似元素。对于所有y∈L，如果 y=x，则yx= B（x）. 因此，B（x）也满足条件（ii）。Q定理3.8设L是dcpo，在L上具有插值性质，- 是的如果对所有的x∈L，集合连续域。x是有向的，则B（L）在诱导阶中是a证据 对于每个u ∈ L，根据命题3.7，存在一个近似元B（u），使得B（u）=u且B（u）≤u。 所以，B（L）是非空的。 按命题3.6，B（L）在诱导阶中是dcpo. 对于每个x ∈ B（L），设Dx= x <$B（L）.从命题3.6可以得出Dx<$B（L）x，其中集合B（L）x={y∈B（L）|yB（L）x}。 根据x的有向性，存在v ∈ x使得vX.再次通过命题3.7，存在近似元素B（v），使得B（v）≤vX. 这表明B（v）∈x<$B（L）= Dx，因此Dx非空。对任意的a，b∈Dx，根据x的有向性，存在c∈x使得a，b≤cX.由于关系 在L具有插值性质的情况下，存在e（x）使得a，b≤ce（x）X. 根据命题3.7，存在一个近似元素B（e（x）），使得 B（e（x））=e（x）和B（e（x））≤e（x）。因此，B（e（x））∈x<$B（L）=Dx和a，b≤cB（e（x））。这表明了集合Dx的方向性。接下来我们证明B（L）Dx=x，其中下标B（L）表示在偏序集B（L）中进行相关运算显然，x是Dx的上界。设t是B（L）中Dx的任何上界对于所有z∈x，由于关系在L上，插值性质，存在h（x）使得zh（x）X. 按命题3.7，存在近似元素B（h（x）），使得B（h（x））=h（x）和B（h（x））≤h（x）。 因此zB（h（x））≤h（x）x和B（h（x））∈xB（L）=Dx.这表明z≤t，因此x=x≤t。 所以x是B（L）。从x的任意性和命题3.4可以得出诱导序是一个连续域。Q注3.9注意，在完备格L中，对于每个x∈L，集合x为←X. 我们接下来证明B（x）是一个近似元素，满足X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）95自动导向。因此，定理3.8是[15，定理2]的推广，连续格96X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）←←←←←←→←←←←←←←←存在，则L是连续的，且L满足以下两个条件：（1）下面的例子表明，定理3.8不能省略对集合的要求。x可以是例3.10在dcpoL中，通过将两个顶部元素粘贴到两个在n个闭区间[0，1]中，对于每个x∈L，x是空的，因此不是有向的。所有近似元素的集合B（L）是空的，并且不是连续域。Zhao构造了[15，例2]一个完备格L={a}<$[0， 1]，其中a/∈[0， 1].他定义了L上的偏序，使得1/ 2<为 1，并且[0， 1]中元素的顺序是[0， 1]的普通顺序对于这个L，可以看到B（L）= [0，1]是连续的，但不具有插值性质（INT）.考虑到赵问题定理3.8是否仍然成立，如果条件 插值属性定理3.11设L是偏序集。 如果对所有x∈L，x是定向的，X关系（ 2）n ∈x，y∈L，x/= y = n xy.证据设x∈L.根据命题3.7，存在一个近似元素B（x）≤x，使得 B（x）=X. 应用条件（2），我们有x=B（x）。 因此L= B（L）。根据命题3.4，L是连续偏序集。=1：通过连续偏序集的定义和命题2.1（1）。Q注3.12定理3.11处理一般偏序集。因此，定理3.11推广了在引言中提到的结果[15，定理3]定义3.13设L是偏序集，Φ P（L）是L的子集族。 我们假设Φ强分离L的点，如果对所有x，y∈L，其中xA∈ Φ且u ∈ lb（A）使得x ∈ A且u/≤ y.y，存在引理3.14设L是偏序集，x，y∈L，且x/≤y。若存在Scott开集U且z∈ lb（U）使得x∈U且z/≤y，则zx.证 据设 D∈L 是 有 向 的 ， 且 存 在 supDx∈U. 通 过 U 的 Scott 开 性 ， 我 们 有supD∈U，因此有d∈U<$D使得z≤d，表明zX.Q定理3.15设L是偏序集。如果对所有x∈L， x是有向的，则L是连续i表示所有Scott开滤波器的族强分离L的点。证据对于每个x∈L，我们只需要证明x =X.显然，x是一个集合x的上界设t是x的任意上界。假设x/≤t。则存在Scott开滤波器U且z∈lb（U）使得x∈U且z t。通过引理3.14，zx但z/≤t，与t是上界x的边界。 因此，x≤t。 这表明x是x的最小上界，正如所期望的那样。= L：设L是一个连续偏序集。对所有的x，y∈L，其中x，y，有zx使得z/≤y。由x∈z∈σ（L）和命题2.1（2）得出，X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）97→←⇓≺ν（L）≤ab≤⇓≺⇓≺是一个Scott开滤波器U，使得x∈Uz↑z. 因此，z∈lb（U）且z/≤y。通过定义3.13，所有Scott开滤波器的族强分离L的点。Q推论3.16（见[15，定理1]）一个完备格L是连续的，对所有x，y∈L，其中x≤/ y，存在S_c_p_f证据 注意，在完全格L中，集合x自动定向为每个x∈L。然后，由定理3.15直接得出推论。Q通过这个推论，我们可以看到，对于完备格，定义3.13中的强分离概念与Zhao的[ 15，定义1]一致4偏序集的超连续性与超逼近元在这一节中，我们引入了超逼近元的概念，并给出了超连续偏序集的几个刻画。定义4.1设L是偏序集，x ∈ L。 如果有一个有向集D x{\displaystyle D\，}Xν（L）使得Dx= x，则x称为超近似元。一组所有L的超近似元素表示为HB（L）。命题4.2设L是偏序集，x ∈ L。如果x是超近似元素，则x是近似元素。证据 由命题2.2（1）、定义3.1和定义4.1得出。Q命题4.3设L是偏序集，x∈L。 那么x是一个超近似的元素i{\displaystylei}x是定向的，ν（L）x= x。ν（L）证据=：简单明了。如果x是一个超近似元素，则存在一个有向集D xx，使得Dx=x。 很容易证明，⇓≺x= x。我们接下来ν（L）证明集合x是有向的。对于所有的a，b∈{\displaystyleb}x，根据命题2.2（1），ν（L）ν（L）我们有一个x和bX. 由于ax=Dx且Dx是有向的，所以有da∈Dx使得a≤da。 类似地，存在db∈Dx使得b≤db。 由于方向性，对于Dx，有某个d∈Dxx使得d，d，d。 这说明ν（L）是d∈πx使得a，b，d。 因此，ν（L）X是定向的。Qν（L）命题4.4设L是偏序集。则L是超连续偏序集i，且L的每个元素都是超逼近元。证据由定义2.3和命题4.3得出。Q命题4.5设L是偏序集，且L上的关系ν（L）有插值财产 如果对所有的x ∈ L，x是定向的，ν（L）x存在，则ν（L）存在一个超自适应元HB（x）满足：（i）HB（x）=HB（L）x;ν（L）（ii）y∈L，y=ν（L）x蕴含yHB（x）。ν（L）⇓≺98X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）∈ ⇓≺⊆⇓≺⇓≺⇓≺⇓≺⇓≺证据 对于所有x∈L，令HB（x）=HB（x）X. 我们接下来证明HB（x）是一个ν（L）满足条件（i）和（ii）的超近似元素由于HB（x）≤x，wehavev（L）HB（x）X. 让一个ν（L）X. 通过插值性质ν（L）在关系式ν（L）中，存在b∈L使得aν（L） bv（L） X. 因此，我们认为，a∈H_b （L）_b≤H_b（x）和a∈H_b（L）_b（x）. 这表明，xHB（x）ν（L）ν（L）且thusv（L）HB（x）=X. 因此，元素HB（x）满足条件（i）。通过ν（L）条件（i），很容易证明HB（x）是超逼近元。为所有y∈L，如果y=ν（L）x，然后yν（L）x= HB（x）。因此，HB（x）满足ν（L）条件（ii），如所期望的。Q定理4.6设L是偏序集. 如果对所有的 x ∈ L，x是定向的，ν（L）x存在，则 L是超连续偏序集i，且L满足以下两个条件ν（L）条件：（1）L上的关系式<$v（L）具有插值性质;（2）<$x，y∈L，x/=y= 0Xν（L）y.ν（L）证据 设x ∈ L. 根据命题4.5，有一个超近似元素HB（x）≤x，使得HB（x）=HB（L）X. 应用条件（2），我们有ν（L）x= HB（x）。因此L= HB（L）。根据命题4.4，L是超连续偏序集。=：根据定义2.3和注释2.5。Q定理4.7设L是偏序集，且L上的关系ν（L）有插值财产 如果对所有的x ∈ L，x是有向的，则L是超连续的ν（L）偏序集i是所有ν（L）-开滤子的族，强分离L的点。证据 对于每个x∈L，我们只需要证明x=X. 显然，xν（L）是集合的上界X. 设t是ν（L）X. 假设ν（L）这x t。 则存在ν（L）-开滤波器U且z∈lb（U）使得x∈U<$↑z且Z1≤t。由于U是ν（L）-开的，我们有x∈intν（L）↑z。所以z<$v（L）x但是z t，这与假设t是上界的假设相矛盾，X. 因此，我们认为，ν（L）x≤t。 这表明，x是最小上界x，如所愿。ν（L）由引理2.4和定理3.15得出。Q5拟连续域与拟逼近元在这一节中，我们引入拟逼近元的概念，并给出拟连续域的几个刻画。定义5.1设L是dcpo，x∈L。如果有一个有向族Dx {\displaystyle D x{\frac {f}，使得{\displaystyle {\frac {f}|F∈Dx}，则称x为拟逼近元。L 的 所有拟近似元素的集合表示为QB（L）。命题5.2设L是dcpo，x ∈ L。 如果x是一个近似元素，则x是一个拟近似元素。证据 设L是dcpo，x∈L. 如果x是一个近似的元素，则有一个⇓≺X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）99←有向集S xx使得S x=x。 设Dx={{d}|d∈S x}。 按命题100X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）s∈SDs。 1999年，张晓飞（S）。 对于所有Fa，因此存在F3∈DS使得Fa，Fb≤F3. 这表明了对于所有的s∈S，我们有t∈{↑F|F∈ Ds}=↑s。因此，在本发明中，S）。2.6（4），Dxfixin（x）. 它直接表明Dx是一个有向族，↑x ={↑d |{d}∈ Dx}。因此，x是一个拟近似元素。Q命题5.3设L是dcpo，x∈L。则x是一个拟近似元素i，且family fin（x）是有向的，且↑x ={↑F |F ∈ finn（x）}。证据=：简单明了。如果x是一个拟近似元素，则存在一个有向族Dxxfinn（x），使得↑x ={↑H|H∈Dx}。 很容易证明↑x={↑F|F ∈ finn（x）}。接下来我们证明了族Finn （ x ） 是 有 向 的 。对 所 有 的 F1 ， F2∈ fin （ x ） ， 由 于 F1x 和 ↑x={↑H|H∈Dx}。根据引理2.7，存在H1∈Dx使得H1<$↑F1。类似地，存在H2∈Dx使得 H2<$↑F2 。 根 据 Dx 的 有 向 性 ， 存 在 H ∈ Dx 使 得 H1 ， H2≤ H.因 此 ，↑H<$↑H1<$↑H2<$↑F1 <$↑F2。这表明存在H∈DxRifin（x）使得F1，F2≤H。因此，家族fin（x）是有方向的，如所希望的。Q命题5.4设L为dcpo。则L是拟连续区域i，且L的每个元素都是拟逼近元。证据根据定义2.8和命题5.3。Q命题5.5设L为dcpo。如果QB（L）非空，则QB（L）在L的有向sups下是闭的，因此是dcpo。此外，对所有x ∈ QB（L）和F ∈Pfin（QB（L）），Fx蕴涵FQB（L）x，其中QB（L）表示QB（L）上的逼近关系.证据 我们证明了QB（L）在L的有向上是闭的. 让SQB（L）是一个有向集。对于每一个s∈S，根据定义5.1，存在一个有向族Ds∈ finn（s），使得↑s={↑F|F∈Ds}。 由于s≤S，我们有Ds（S）。 令DS=F b∈ DS，存在a，b ∈ S使得F a∈ Dafinn（a），F b∈ Dbfinn（b）.根据S的有向性，存在c∈S使得a，b ≤c。 所以，c和FbC.由于Dc是有向族且↑c={↑F|F∈Dc}，根据引理2.7，存在F1，F2∈Dc使得F1<$↑Fa，F2<$↑Fb. 这表明Fa≤F1和Fb≤F2。 根据Dc的有向性，有F3∈Dc <$DS使得F1，F2≤F3.DS. 显然，↑（S）{↑F|F∈ DS}。 设t ∈{↑F|F∈ DS}。然后这表明，|01- 02S）。 所以，↑（S）={↑F|F∈ DS}。根据定义5.1，sups.S∈QB（L），证明QB（L）在有向此外，设x∈QB（L），F∈Pfin（QB（L））.设FX.设S∈QB（L）是一个有向集，QB（L）Sx，其中QB（L）S表示S在QB（L）中的上确界。由于QB（L）在L中的有向上闭，S=QB （L）Sx. 由Fx得出S↑F/=。这意味S<$↑QB（L）F<$，其中下标QB（L）表示与操作相关在偏序集QB（L）中。 因此，FQB（L）x.Q01-02X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）101命题5.6设L是dcpo，并且L上的关系具有命题2.9中所述的插值性质。如果对所有的x∈L，族fin（x）是有向的，且{↑F|F∈ fin（x）}=↑t，则存在一个拟逼近元QB（x）满足：（i）fin（QB（x））=fin（x）;（ii）y∈L，fin（y）=fin（x）蕴涵yQB（x）。证据设L为dcpo。如果对所有x∈L，finn（x）是有向的，且{↑F|F∈finn（x）}= ↑t对于某个t，则令QB（x）= t。我们接着证明QB（x）是满足条件（i）和（ii）的拟逼近元.从QB（x）≤x和命题2.6可以得出finn（QB（x））≠finn（x）。设F∈finn（x）.根据命题2.9中所述的关系的插值性质，存在一个有限集合E使得FEx。所以我们有FE≤ QB（x）和F∈fin（QB（x））。这证明finn （x）等于finn（QB（x）），因此finn （x）= finn （QB（x））。因此，元素QB（x）满足条件（i）。 通过条件（i），很容易证明QB（x）是准近似元素。对于所有的y∈L，如果fin（y）= fin（x），则y∈{↑F|F∈fin （x）}= ↑t= ↑QB （x）.故yQB （x）和QB （x）满足条件（ii）。Q引理5.7设L是dcpo，并且L上的关系具有命题2.9中所述的插值性质。 如果对所有的x ∈ L，族finn（x）是有向的 ，{↑F|F∈ fin（x）}= ↑t，则对每个F∈ fin（x），存在QB（F）∈Pfin（QB（L））使得FQB（F）x。证据设x∈L. 对于每个F∈fin（x），根据L上关系的命题2.9中所述的插值性质，存在非空有限集EF，使得这个FEFX。从命题2.6（2）可以得出，对于所有e∈EF，我们我有F。根据命题5.6，存在一个拟近似元QB（e），使得finn（QB（e））= finn（e）且QB（e）≤e。设QB（F）={QB（e）|e∈EF} ∈ Pfin（QB（L））. 很容易证明FQB（F）X.Q定理5.8设L是dcpo，L上的关系式具有命题2.9所述的插值性质. 如果对所有的x∈L，族fin（x）是有向的，且{↑F|F∈fin（x）}=↑t，则QB（L）在诱导阶上是一个拟连续区域.证据对于每个u∈L，根据命题5.6，存在一个拟近似元QB（u）使得finn（QB（u））= finn（u）且QB（u）≤u。所以QB（L）是非空的。根据命题5.5 ，QB （L ）在诱导阶中是一个dcpo 。对于所有x∈QB （L ）和F∈fin（x），根据引理5.7，存在QB（F）∈Pfin（QB（L））使得FQB（F）x。设Dx={QB（F）|F∈ finn（x）}。从命题5.5可以得出，Dx∈ f in QB（L）（x），其中集合f in QB （L）（x）={H∈Pf in（QB（L））|HQB（L ）x}。因为族fin（x）是非空的，所以族Dx也是非空的。对所有的QB（F1），QB（F2）∈Dx，我们有QB（F1）x和QB（F2）x.根据finn（x）的有向性和L上关系的命题2.9中所述的插值性质，存在F3∈finn（x）使得QB（F1），QB（F2）F3x。 根据引理5.7，存在QB（F3）∈Pfin（QB（L））使得F3QB（F3）x. 这表明存在QB（F3）∈Dx使得QB（F1），QB（F2）≤QB（F3）.因此，族Dx为102X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）z∈ {↑F| F ∈ fin(x)}. 由于x∈QB（L）是一个拟近似元，我们z∈{↑QB（L）QB（F）| QB(F ) ∈ Dx}. 通过构造Dx，对于所有指导。我们接下来证明了，↑QB（L）x={↑QB（L）QB（F）| QB(F )∈Dx}，其中下标QB（L）表示在偏序集QB（L）中进行相关运算。以来Dxfin QB（L）（x），我们有↑QB（L）x{↑QB（L）QB（F）|QB（F）∈Dx}. 让F∈ finn（x），我们有FQB（F）≤z，则z∈ ↑F。这 表明有z∈的{↑F|F∈finn（x）}= ↑x. 因此z∈ ↑x <$QB（L）= ↑QB（L）x。 这说明{↑QB（L）QB（F）|QB（F）∈Dx}<$↑QB（L）x.因此，↑QB（L）x ={↑QB（L）QB（F）|QB（F）∈Dx}.根据定义5.1，x是QB（L）的拟近似元素。从x的任意性和命题5.4可以得出QB（L）在诱导阶上是一个拟连续域。Q定理5.9设L是dcpo。 如果对所有的x∈L，族finn（x）是有向的 ，{↑F|F∈ finn（x）}=↑t，对某个t，则L是拟连续整环i <$L满足以下两个条件：（1）关系在L上有插值性质如命题2.9所述;（2）nx，y∈ L，xy = nfin（x）fin（y）。证据设x∈L.根据命题5.6，存在一个拟近似元QB（x）≤x，使得finn（QB（x））= finn（x）。应用条件（2），我们有x= QB（x）。 因此L= QB（L）。 根据命题5.4，L是拟连续整环。2.定义2.8和命题2.9。Q6结论意见和未来发展本文通过修改赵文在[ 15 ]中的弱近似元的概念，引入了偏序集的（超）近似元和dcpos的拟近似元的概念，以刻画（1）连续本文系统地推广了赵文应当指出，现在仅定义准近似元素对于DCPOS。如何定义一般偏序集中的拟近似元素仍然是开放的。文[4]中的一个新结果证明了dcpoL是拟连续的，它是由逆包含序的非空有限生成上集的偏序集QfL这是连续的。然而，在[8]中，这个结果是否可以用拟连续偏序集的概念推广到偏序集上还不清楚。然而，利用上面的结果，通过偏序集QfL从拟连续域到连续偏序集往往是方便的。通过这种技巧，我们可以把单个元素x看作偏序集QfL中的主滤子↑x。 则元素x∈L是拟逼近的i ∈ L，且x在QfL中是逼近的。这样，一方面，对于一般偏序集L，一个元素x∈L是拟近似的，可以定义为：↑x在偏序集QfL中近似;另一方面，第5节中报道的结果可以被看作是第3节中报道的结果的直接推论，X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）103推广到偏序集的集合。 至于细节，我们把它们作为未来的工作。确认作者要感谢审稿人。他们的宝贵意见和建议使本文的表述方式有了很大的改进。引用[1] G. Gierz，K. Hofmann，K. Keimel，J. D.劳森，M。Mislove和D. S. Scott，Continuous Lattices andDomains.剑桥大学出版社，剑桥，2003年。[2] G. Gierz和J.D.劳森广义连续格与超连续格。落基山数学杂志，1981，11：271-296。[3] G. Gierz，J. D. Lawson和A.斯特拉卡拟连续偏序集 Houston Journal of Mathematics，1983，9（2）：191-208.[4] R. Heckmann和K.凯梅尔拟连续Domain和Smyth Powerdomain理论计算机科学电子笔记，2013，298：215-232.[5] R. E. 霍曼。连续偏序集与伴随序列。半群论坛，1979，18：173-188.[6] J. D. 劳森连续偏序集的对偶性休斯敦J数学，1979，5：357-394.[7] J. D. Lawson和Luoshan Xu，具有连续区间的偏序集。 理论计算机科学，2004，316[8] 毛旭新，许罗山。基于Scott拓扑和sobrification的偏序集的拟连续性Order，2006，23（4）：359-369.[9] M. Mislove，Local DCPOs，Local CPOs and Local Completion，Electronic Notes in TheoreticalComputer Science 1999，20：1-14.[10] D. S. Scott.连续格。数学讲义274，施普林格出版社，柏林，1972年，97-136。[11] 徐罗山。通过Scott拓扑和sobrification的偏序集的连续性。拓扑学及其应用，2006，153：1886-1894.[12] 许罗山，毛旭新。强连续偏序集与局部Scott拓扑。J. Math. Anal. Appl，2008，345：816-824.[1