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86《理论计算机科学电子札记》65卷第6期(2002)网址:http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume65.html15页基于广义随机Petri网Nawel Gharbi1和Malika IoualalenInstitutG'enieElectrique,D'epartementInformatiqueUniversit′edesSciencesetdelaTe chnologieHouariBoumediene-USTHBAlger,Alg′erie摘要我们考虑重试呼叫系统,其中到达的客户发现服务器忙,可以在随机持续时间后重复他的呼叫。考虑重复调用会带来很大的分析困难。事实上,对于一些特殊的重试系统,已有详细的分析结果,而对于许多其他系统,性能评估仅限于数值算法,近似方法和仿真。重试队列已被广泛用于电话交换系统、电信和计算机网络中的许多问题的建模。在本文中,我们提出了一种方法来建模和分析的重试排队系统,使用广义随机Petri网(GSPN)。关键词:重试系统,广义随机Petri网,建模,性能评估。1介绍建模系统通常用于建模制造[1,9]、电信[29]和计算机系统。经典的排队论给出了两种主要的方法来解决当到达系统的顾客发现服务器忙时所发生的冲突:• 客户可能永远离开系统而得不到服务:这就是众所周知的“Erlang损失系统”,• 顾客可以排队等候,在离开一段时间后接受服务:这是经典的“排队系统”。1电子邮件:nawelgharbi@hotmail.com·c2002PublishedbyElsevierScienceB. V. 操作访问根据C CB Y-NC-N D许可证进行。GHARBI和 IOUALALEN87重审境外入境服务站轨道服务器忙离港图1.一、再审判决系统示意图另一种方式授权客户在某个随机时间后重复他的呼叫。在试验之间,客户被称为处于“轨道”中这种制度被称为:再审改判制度。关于这个主题的主要结果和参考文献的回顾,请参见这些调查论文:[5,17,18,21,33]。如图1所客户可以从系统外或轨道到达服务站如果到达的客户发现服务器空闲,他立即接受服务,并在服务完成后离开系统;否则,如果客户因服务器不可用而被阻止进入服务站,他可以加入轨道,并在随机延迟后再次尝试服务,并继续这样做,直到发现服务器空闲。此时,重试客户得到服务并离开系统。在重试时,每个轨道客户都被视为新到达的客户。自Kosten(1947)[20],Wilkinson(1956)[32]和Cohen(1957)[16]的工作以来,重试排队被认为是电话交换理论和电话交换系统中的一个有趣的问题。对重试系统的研究实际上也受到新发展和新技术的推动,特别是在计算机和电信网络中,其中例如,若干终端进行重试以从中央处理器接收服务,或者在非持久性CSMA(载波侦听多路访问)协议下的局域网(LAN)的情况下,其中终端进行重试以访问通信总线并发送消息。考虑重复调用会带来很大的分析困难。实际上,对于一些特殊的重试系统,在假设重试次数分布、服务器数目、顾客同质性等特性的情况下,存在详细的分析结果。而对于许多其他的,性能评估仅限于数值算法[28,31]、近似方法[17,34]和模拟。本文提出了一种利用广义随机Petri网(GSPNs)对重试排队系统进行建模和分析的方法。该方法为定性和定量分析提供了一些好处GHARBI和 IOUALALEN88→--⊆{×}∪{×}在这些系统中。特别 是,它operemers的可能性,使用的结果和软件工具开发的随机Petri网框架内,获得性能指标,无论是与分析手段或通过其他方法。另一方面,GSPN已被广泛应用于表示和分析生产,通信和计算机系统,并已被证明是一个强大的工具,建模和分析并行系统的性能使用广义随机Petri网形式主义来建模重试排队系统的另一个优点是,我们可以分析可能有点难以用更传统的方法来分析的系统例如,一个具有多个服务器的重试系统,该系统可以休假,并且外部客户是分批到达的,重试时间是一般分布的。首先,对随机Petri网和广义随机Petri网的基本理论进行了简要的回顾。第三部分给出了再审程序的GSPN模型在第4节中研究了该模型的一个例子其次,我们提出了不同的分析方法的大型GSPN。最后,在第5节中给出结论。2随机和广义随机Petri网Petri网[8,27,30]是一种重要的图形和数学工具,用于研究许多系统的行为。该模型是一个很有前途的工具,用于描述和研究系统的特点是并发,异步,分布式,并行,非确定性和/或随机。Petri网是一个有向二分图,由两种类型的节点组成,称为位置(由圆圈表示)和转换(由条表示)。有向弧将地点连接到过渡,并将过渡连接到地点。如果从一个位置到一个过渡存在一个弧,那么这个位置被称为类似地,如果从过渡到位置存在弧,则该位置被称为该过渡的地点可以包含标记(由点表示)。Petri网的状态由每个地方的令牌数定义,并由向量M =(M1,M2,...,Mn)称为标记,其中M i是位置“Pi”中的标记数,“n”是位置数。因此,Petri网的正式定义如下:[30](1)PN=(P,T,A,W,M0)P={P1,P2,...,P n}是位置的集合,T=t1,t2,...,t m是转换的集合,一P不不P是弧的集合(标准弧和抑制弧),W:AN是加权函数,其将每个弧关联到权重,并且N是自然数的集合如果权重等于1,则可以从Petri网表示中省略。M0:是初始标记。GHARBI和 IOUALALEN89∈∈∈∈∈∀ ∈≥≤∈一般来说,标记可以被认为是从位置集合到N的映射。即M:P→N,其中M(Pi)=Mi,i= 1,n.输入的集合(resp.位置p P的转换表示为. p(resp. p. ). 类似地,输入的集合(resp. 输出)转换的位置t∈T表示为。t(resp. t. ).一个变迁t T被称为在标记M处被启用,如果它的每个输入位置包含至少与连接该位置到变迁的弧权重一样多的标记在形式上,tT在M处启用,当且仅当 p. t,M(p)W(p,t)。如果启用,则转换可能会触发。在标记M处触发转移在某些应用中,在某些条件下,可能会禁止转换点火通过定义具有圆形而不是箭头状头部的输入“抑制器”弧来捕获该特征当且仅当每个禁止符输入位置中的令牌的数量小于禁止符输入弧的权重时,启用具有禁止符输入位置的转换每次触发转换都会改变标记在位置上的分布,从而创建一个新的状态。一个标记Mj被称为从一个标记Mi可达,如果从Mi开始,有一个转移序列,其触发生成Mj。从初始标记M0可达的所有标记的集合,记为R(M0),称为“可达集”。与可达性集相关联的“可达性图”可以构造如下:用顶点表示每个状态,并将有向从顶点Vi到顶点Vj的边,如果状态Vj可以由Vi中启用的某个转换的触发产生。一个变迁一个Petri网被称为活的,如果所有的变迁都是活的。称PN中的一个位置 一个PN被定义为有界的,如果 每一个地方都是有界的。因此,Petri网的可达图将是有限的。早期的Petri网研究局限于分析可达集的活性、安全性和有界性等定性性质。没有考虑到时间因素,因此它们在业绩评价中的作用 有限。在PN模型中包含时间可以通过将每个转换与固定的持续时间相关联来完成,该持续时间是从启用转换到触发转换所经过的时间。随机Petri网(SPN)[26]通过将PN中的每个转换与指数分布的触发时间相关联而获得GHARBI和 IOUALALEN90--因此,SPN的正式定义如下:SPN =(P,T,A,W,M0,Λ),其中P,T,A,W和M0与(1)中相同,并且Λ = λ1,λ2,.,λ m是与PN跃迁相关的激发速率(可能依赖于标记)的集合。一个使能的转换转换“t j”的触发速率因此,如果在输入位置“p”中有标记相关触发的条件由放置在' t j '旁边的符号'#'表示由于指数分布的无记忆特性,活的和有界的SPN同构于连续时间马尔可夫CTMC的状态是可达性图中的标记,并且状态转换速率是可达性图中的转换的指数触发速率。SPN。从标记Mi到标记Mj的转换速率为:Σk∈Hijλk,其中Hij是由Mi启用的转换集合,其触发生成Mj。因此,我们认为,马尔可夫链的无穷小生成元Q(转移率矩阵)很容易导出,稳态概率π的向量可以用下式计算:π.Q= 0其中π的所有元素之和等于1。然后,性能指标可以推导出使用这些状态概率。广义随机Petri网(GSPN)[2,3]基本上是一个SPN,其转换要么是定时的(描述耗时活动的执行从图形上看,随机定时转换由矩形框表示,立即转换由粗条表示。定时转换的行为与SPN中的行为相同,而即时转换具有无限的触发速率,并且在零时间内触发。其中至少有一个立即过渡被启用的标记被称为消失标记。另一方面,其中仅指数转变被启用的标记被称为有形标记。GSPN中转换的触发取决于我们是否正在检查有形的或消失的标记。在有形标记的情况下,任何启用的转换都可以在下一个触发。对于消失标记,仅允许启用的立即转换触发,因为最低优先级级别被保留用于定时转换。包含有形和消失标记的GSPN仍然等价于马尔可夫链[15]。在这种情况下,等价链称为嵌入马尔可夫链.如果我们去除消失的标记,那么我们就有一个简化的嵌入马尔可夫链。这个链,其中只包含tangi- ble标记,是我们用来计算稳态概率和性能指标的链广义随机Petri网中的所有定时转移的触发时间是指数分布的,被称为“马尔可夫GSPN”,否则,如果定时转移的触发延迟是确定的或一般的,GHARBI和 IOUALALEN91分布式,GSPN被称为:“非马尔可夫”。3重试排队系统的广义随机Petri网模型由于重试系统的复杂性,通常很难获得分析结果,并且通常最后的手段仍然是数值算法[28,31],近似方法[17,34]和模拟。事实上,分析结果存在于特殊的再审判决制度中,并假设了一些特征,例如:• 人口和系统的容量是无限的。• 服务器的数量:多服务器重试队列已经引起了相当大的关注。然而,这些模型的分析研究是有限的,在许多情况下,仅限于两个服务器系统[17,4]。由于具有两个以上服务器的一般情况的分析的复杂性,仅应用模拟、近似[13]和数值[28]方法[21]。• 重试时间分布:大多数文献考虑重试时间服从指数分布的重试排队.然而,对于具有一般重试时间分布的重试排队系统的研究却很少。这部分是因为问题的复杂性 为了获得这些具有一般分布重试时间的系统的结果,模拟和近似方法似乎是唯一的方法,并且没有可用的解析解[21]。• 批量到达:通常,假设在每个到达时间点,一个客户到达系统。然而,重试队列可以用来模拟客户成批到达的系统。批量到达重试排队在电信网络中非常常见,但对这类排队模型的研究相对较少在这些系统中,如果一个进入的批次发现服务器空闲,则该批次的一个成员开始服务,其余成员加入轨道。如果传入的批处理发现服务器忙,整个批处理加入轨道。轨道上的成员,单独和独立地,在随机的时间后尝试他们的运气• 多类系统:在大多数重试排队系统中,假设顾客的到达间隔时间、服务时间和重试时间等特征是均匀的。然而,在实践中,这些特征对于不同的客户群可能有很大的不同。这就导致了多类重试队列或具有多种类型客户的队列。特别地,具有两种类型呼叫的重试队列已被广泛用于建模和求解在电信网络、电话交换系统和数字蜂窝移动网络中出现的各种实际问题。另一方面,在多类再审判决制度中,人们自然会认为,GHARBI和 IOUALALEN92每个客户类别都有自己的优先级[12]。从数学的角度来看,这种模型本质上是更困难的重试排队与单一类型的呼叫(客户)。• 休假系统:在具有休假的重试系统[6,22]中,服务器休假,即。在随机的时间段内变得对客户不可用这些休假期通常是为了利用服务器的空闲时间进行其他次要工作而引入的:维护和/或检查任务,为另一系统的客户提供服务,提高服务质量等。例如,计算机和通信系统中的处理器除了完成它们的主要功能(处理电话呼叫、处理交互式和批处理作业、接收和发送数据等)之外,还要进行相当多的测试和维护测试和维护期间主要是为了保持系统的完整性和提供高可靠性,可以被视为服务器休假。同样,随机发生的机器故障也可以被视为服务器休假。本文提出了一种利用广义随机Petri网(GSPNs)对重试排队系统进行建模和分析的方法该方法提供了几个好处的定性和定量分析这些嵌入系统。特别是,它提供了使用在全球战略规划网络框架内开发的成果和工具的可能性。本文考虑一个顾客到达率为λa的Poisson过程的单服务台重试排队系统。如果服务器空闲,到达的客户立即接收服务服务时间以速率λs呈指数分布。否则,如果服务器忙,客户立即离开服务站,并在随机延迟后加入轨道重试服务假设顾客的重试持续时间服从如果这个重新获得服务的尝试发现服务器是免费的,那么轨道的一个客户(头部的客户或随机选择的另一个客户)占据了服务器。我们还假设系统具有有限的人口(N)和有限的容量(L)。我们最终假设外部到达的输入流、重复尝试(重试)之间的间隔和服务时间是相互独立的。上述混合系统表示为:M/M/1/L/N。图2显示了上述系统的GSPN模型• 地点• 位置• 位置• 目前,网的标记(初始标记)是M0={M(PA),M(PS),M(PO)}={N, 0, 0}GHARBI和 IOUALALEN93≤tS图二. 用于M/M/1/L/N再审判决系统的这意味着没有顾客到达服务并且轨道是空的。• 触发转换这一发射取决于标记。因此,“t a”的发射率• 当位置'PS'包含至少2个令牌时,立即转换'S'被启用,这表示服务器处于服务中,因此'S'点火,到达的客户必须加入轨道。 这是由一个令牌存放在“P o”中的事实表示的。一旦进入轨道,客户的行为是独立的,他们中的每一个都试图在平均延迟1/λR。• 当定时转换因此,转移的触发速率因此,如果在“P o”中有• 当“P S”包含至少一个令牌时,启用定时转换当它被触发时,一个令牌被存入• 从'Po'到'ta'的抑制弧因此,新的客户可能会到来(即。’包括一个接收业务的系统容量小于L)。我们假设L N,也就是说,系统的容量不能超过人口规模。4例如作为一个例子,我们考虑一个M/M/1/2/3重试系统,它有一个大小为2的有限容量和一个大小为3的有限人口PoS#L2EURRtR拉瓜PAN不PS公司GHARBI和 IOUALALEN94ts1 1 1不是1 1 1tR2 1 02 0 1SM60 1 2tstR0 2 10 2 11 0 21 2 03 0 021 0M0不是M1TSTAM0M2M3tR不是M2M4M5M3M1M7M4tRM3图3.第三章。图2的GSPN的可达性树(N=3,L=2)假设一个顾客还没有到达,那么他到达的时间服从指数分布,平均值为1/λa。假设顾客的重试时间和顾客的服务时间分别服从该系统的GSPN模型与图2中给出的N= 3和L= 2的模型相同图3显示了这个GSPN的可达性树它允许我们从最初的标记开始计算所有可能的未来标记树表示给定初始标记的转换的触发序列。当获得先前的标记时,修剪树。每个有向边上的标签表示其触发产生后继标记的转换30 01 1 11 2 0SGHARBI和 IOUALALEN95−M03年a公2年a拉瓜M1M3M6RM5M7见图4。 图2的GSPN的CTMC(N= 3,L= 2)可达性树包含两个消失标记:M2和M4以及六个有形标记:M0,M1,M3,M5,M6和M7。消失标记是其中启用至少一个立即转变的标记,并且有形标记是其中仅启用定时转变的标记。一个连续时间马尔可夫链现在可以从可达树中构造出来MC的状态是树的有形标记。消失的标记与它们的后继有形标记合并,因为穿过消失的标记需要零时间因此,M2与M3合并,M4与M6合并。 CTMC的转移率是Petri网转移图4显示了图2中GSPN的CTMC(N= 3,L= 2)。CTMC的无穷小生成元(转移率矩阵)Q由下式给出:3λa3λa0 0 00稳态概率密度函数sπ=(π0,π1,π3,π5,π6,π7)的向量是系统的解:π.Q= 0且iπi= 1,其中πj表示稳态-在图4中,该过程处于状态Mj的状态概率。有了稳态概率π,我们可以很容易地计算几个性能指标,特别是:• 有效客户到达率:(η)Ση=j∈SMjλa(Mj).πj(2) =λa. [3π0+ 2(π1+π5) +π3]λs−(λs+2λa)2λa00000−(λs+λa)λsλa00λR2λa−(λR+2λa)000000−λsλsGHARBI和 IOUALALEN96其中:· SMj是启用转换“t a”的标记集· λa(Mj)是与M j中的跃迁“t a”相关联的发射速率• 轨道上的平均客户数(n0)这对应于位置“P 0”中的令牌的平均数量模拟轨道。(三)n0= ΣMj(Po).πj=π3+π5+ 2(π6+π7)J其中:Mj(Po)是标记“M j”中位置“P o”的标记数• 系统中的平均客户数:(ns)这代表了服务中和轨道上的客户平均数量Σ(四)ns=πj [Mj(Po) +Mj(Ps)]=π1+π5+ 2(π3+π7) +3π6J• 主要响应时间:(τ)根据利特尔(五)τ=nsη在这个例子中,我们考虑了有限人口和有限容量的系统的情况然而,具有无限容量的重试排队系统可以用图1的相同GSPN来建模其中省略了从位置“Po”到过渡“ta”的抑制弧另一方面,我们可以模拟一个无限人口的重试排队系统,通过标记的值这相当于说“PA”中有足够的令牌在这种情况下,“t a”的触发率广义随机Petri网可以提供一个非常紧凑的表示非常大的系统。然而,困难将仅在于CTMC的状态空间因此,已经投入大量的精力来克服或减轻这个问题。由于马尔可夫GSPN是基于CTMC的解决方案,所有的技术,已经探索处理非常大的马尔可夫链可以适当地利用与GSPN。然而,当处理大型模型时,不仅系统的求解变得困难,而且模型描述和计算机表示也变得繁琐。为了克服状态空间爆炸现象,除了精确的数值解[10]、模拟和近似技术之外,最近还提出了几种方法:• 分布式算法:它们是专门为从GSPN生成可达性图和解决底层CTMC而开发的。分布式方法可以实现计算时间的显著加速和计算时间的相当大的扩展GHARBI和 IOUALALEN97可解模型的基数• 结构化表示:在这种方法中,生成矩阵以紧凑的形式表示为较小分量矩阵的组合,并且这种表示在求解算法中被利用。• 分层模型:如果整个系统模型可以由子模型组成,则每个子模型单独求解,并将结果传递到更高级别的子模型。• 产品形式GSPN:具有产品形式解决方案的嵌入式网络已经建立,并在各种领域中找到应用最近已经有几个提案被记录下来,将产品形式概念导入GSPN领域。• PN驱动技术:这些技术通过使用关于非定时PN模型的结构的信息来因此,在不构建完整的可达性图的情况下生成缩减的状态空间• 性能界限:一个补充的方法,以发展有效的解决方案技术的计算性能的措施,是寻找界限。边界需要更少的计算成本,因为它们是基于GSPN级别的方程估计的,并且不需要生成可达性图。• 软件包:可达性图和等效CTMC模型的推导以及稳态概率的计算可以自动化并合并到软件包中,例如:随机Petri网包:SPNP [14],基于Petri网的可执行性评估工具(PEPNET)和时间和随机Petri网的图形编辑器和分析器:GreatSPN[11]。例如,在SPNP中,用户将GSPN描述作为基于C的文件输入,并且可达性图和等效马尔可夫链被自动导出。输出描述标记的稳态重要的是要注意,在这些计算中没有模拟,蒙特卡罗或其他方式。除了这些顺序包之外,还有其他分布式GSPN解决方案工具[25],它们能够利用一组工作站提供的聚合资源来解决复杂的GSPN模型。在研究的例子中,我们集中在重试队列中,客户用同样的方法对具有非马尔可夫分布的再审判决系统进行建模,并给出了一个非线性的判决结果。GHARBI和 IOUALALEN98马尔可夫GSPN,其中定时转移的分布触发时间是确定性的或一般的。这些分布的主要优点是它们推广了指数分布。对于这些重试队列的性能评估,得到的非马尔可夫GSPN模型将作为任何其他系统的模型进行分析。为了明确这些模型的分析性,可以设想三条主要的研究路线:[7]• 一种基于马尔可夫再生理论的方法[24]。• 一种基于使用补充变量的方法[19]。• 提出了一种基于扩展基本Petri网可达图的方法。5结论重试系统已被广泛用于模拟许多问题,其中到达的客户(呼叫)发现服务器忙或不可用,加入轨道以随机顺序和随机间隔再次尝试他们的请求。在本文中,我们提出了一种方法,允许模型的重试排队系统,由广义随机Petri网(GSPNs),然后分析这些系统使用的方法,结果和软件工具开发的广义随机Petri网框架内。在M/M/1/2/3排队模型上,证明了GSPN作为一种有效、灵活和强有力的工具,可以对几个重试排队系统进行建模我们已经展示了它如何能够考虑所考虑的系统的所有参数,然后可以用于获得感兴趣的性能指标。另一方面,我们已经观察到,这种方法可以应用于分析非马尔可夫系统中,客户总之,该方法可以简化再审判决系统框架中的许多问题,并可以用于评估更复杂的再审判决系统的性能。引用[1] Aissani,A.,Propri′et′esdeseconondorrdr e desmod`elesd'attente,appli c ation`alacon ception des sys t`emesdeproduction,4i`emeR enco ntredeRe cher cheOp′erationnelle,U.S.T.H.B., Alger(1996)5-10.[2] Ajmone Marsan,M.,G. 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