克隆与Lawvere理论：对偶化模型研究

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记303（2014）79-105www.elsevier.com/locate/entcs克隆作为Lawvere理论模型的对偶化Sebastian Kerkho1，2德累斯顿理工大学代数研究所德国德累斯顿摘要虽然泛代数学家很清楚抽象克隆和Lawvere理论之间的等价性，以及集合范畴中Lawvere理论的具体克隆和模型，它们几乎从不使用范畴理论框架。 似乎他们根本看不出有什么理由为了研究他们感兴趣的问题，使用范畴论是有益的。 在本文中，我们认为，应用对偶理论的可能性可能是这样一个原因，我们支持这一主张，概述了如何治疗和对偶克隆作为模型的Lawvere理论可以是有益的经典问题的研究在一个给定的集合上的克隆格。特别是，我们给出了用这种方法得到的具体结果关键词：克隆，Lawvere理论，上克隆，具体对偶，中心化克隆，上幂，对偶运算，Priestley空间，幂等运算，本质性1介绍克隆理论（见[34]在本卷的介绍）是一个重要的一部分，研究泛代数。它的主要研究对象是给定集合A上所有克隆的格。 虽然这种晶格被完全描述为|一|20世纪20年代，Emil L. 后（发表在大约20年后的[29]），所有较大的案件仍然开放。调查他们是该领域几乎所有出版物的重点[27，38，20，11]。1963年，比尔·劳弗尔（Bill Lawvere）提出了现在所知的劳弗尔理论;由单个对象生成的有限产品的小类别在乘积保持函子下的Lawvere理论的图像被称为模型，波斯特和他的后继者作为克隆研究的东西，直到关于零运算的警告此外，给予1电子邮件：Sebastian. tu-dresden.de2作者感谢英国皇家学会项目“泛代数及其应用”的支持。二元的：单子和共单子，Lawvere理论和什么？（IE120596）http://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2014.02.0051571-0661/© 2014 Elsevier B. V.保留所有权利。80S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）79一个Lawvere理论，直到同样的警告，相当于给出一个抽象的克隆[5，41，39]。虽然普遍algebraists知道这些连接和problwl-边缘他们在文献[25，40]，理论的Lawvere理论从来没有发挥了显着的一部分，在研究格的克隆对一个给定的集。但最近在这个方向上迈出了一步。从[23]开始，并继续在[14，18]，它概述了如何治疗克隆作为模型的Lawvere理论允许一个二元论，并使用二元论的概念来检查他们中的一些更方便的方式。这似乎不能用完全普遍的代数术语来完成，因为对偶的概念（在这种普遍性中）内在地与范畴论联系本文的目的是阐述这种技术，并将其应用于研究克隆的格，表明这可能是一个原因，为什么治疗克隆分类毕竟不是一个坏主意在第2节中介绍了一些符号之后，我们将从第3节开始，在第3节中，我们将遵循[23]中提出的方法来解释如何将克隆更普遍地视为任意类别中的Lawvere理论的模型。然后，我们表明，许多熟悉的概念（包括非常强大的伽罗瓦理论的基础上保持关系的操作的概念）可以推广到这种设置，我们解释这些概念可以被二元论。在第4节中，我们使用这个框架来介绍[18]中克隆的一般对偶理论，然后在第5节中讨论何时可以最好地应用这个理论最后，在第6节和第7节中，我们将使用这种方法，并解释它对研究克隆格的好处。在第6节中，我们选取一个例子，并将对偶理论应用于（不一定是有限的）分配格的中心化子克隆。我们将这些克隆对偶化到Priestley空间的范畴中[30]，这并不抽象地改变它们，而是用不同的态射集来代替它们。正如我们将看到的，调查后者往往更容易。因此，我们不直接处理中心化克隆，而是在Priestley空间范畴中研究它们的拓扑最后，我们得到了关于中心化子克隆及其子克隆的格的结果，这些结果与对偶或范畴论无关，只是它们被用来发现和证明它们。第7章走的是一条比较一般的路由于对偶克隆由一个对象X到这个对象的有限余幂的态射组成，我们有理由相信余幂的性质对克隆起着决定性的作用。事实上，如果X是一个具体范畴中的对象，那么我们就可以研究X的上幂的具体形式（即它们在集合范畴的遗忘函子下的映象），从而获得关于原非对偶克隆的信息。 例如，我们展示了如何一个特定的属性的copowers立即揭示了所有的克隆S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）7981我我2符号我们假定读者熟悉[34]中介绍的克隆理论的基础。至于范畴论，我们几乎只使用最基本的概念，例如见[21]。这一节的唯一目的是介绍我们的符号、代数结构的概念和对偶的概念。定义2.1设A是一个集合，F是一个无穷运算符号的集合，R是一个无穷关系符号的集合。型代数结构A=（A，FA，RA），其中FA由n元运算fA：An→A组成，对于每个n元运算符号f∈ F，RA由n元关系rA→An组成，对于每个n元关系符号r∈R.一种类型为F的代数结构，R是一个代数和类型为F的代数结构，R是一个关系结构。设A=（A，FA，RA），B=（B，FB，RB）是同一类型的代数结构<$F，R<$.我们说A是B的子结构，前提是• 一个小女孩，• n元f ∈ F：fA= fB|一个，• n元r ∈ R：rA=rB<$An.一个函数A：A→B被称为是从A到B的同态，前提是• n元f∈F，（a1，...，an）∈An：n（fA（a1，...，an））=f B（n（a1），.，n（an）），• n元r ∈ R，（a1，.，an）∈ rA：（n（a1），.，n（an））∈ rB.定义2.2对于具有相同类型的代数结构的类K，我们用ISP（K）表示所有代数结构的类（必须是相同类型的），同构于来自K的结构的某个（笛卡尔）积的某些子结构。我们称K为拟簇，如果它等于ISP（K），而ISP（K）又称为由K生成的拟簇。我们在本文中称之为范畴的范畴有时也被称为局部小范畴。换句话说，我们的范畴可能有对象的真类，但只有它们中任何两个之间的态射集合。 当写Cop时，我们指的是C的相反范畴。对于n∈N和A∈C，我们记An表示A的n次幂（假设它存在），我们用π n表示相关的投影同态：An→A（i∈ {1，...，n} ） 。 对于 态射 f1， ...， fn ： B→A ， 记为 f1， .， fn： B→Anf1的元组，.，fn. 对偶地，对于一个对象X∈C，我们用n·X表示X的n次方（假设它存在），用in：X→n·X（i∈ {1，.，n}）相关的余投影态射。对于形态学g1，...，gn：X→Y，我们用[g1，...，gn]：n·X→Y是g1，...， gn.如果一个对象A∈C有有限次幂，那么我们可以使用下面的函子Nop（其中N通过将n ∈ N视为集合{1，.， n}82S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）79中国（1）（n）中国（1）（n）⎨→›→并把所有的集合函数作为态射）到CA（−）：Nop→Cn›→Ann∈N（n，m）<$→A<$：=<$πm，...，πmAm→ An。类似地，如果一个对象X∈C有有限余幂，那么我们可以使用函子（−）·X：N →Cn›→n·Xn∈N（n，m）›→n·X：=[ιm，...， 米]：n·X→m·X。注意，这些函子可以用来写类别中的标识。例如，如果我们取某个A∈Set，f：An→A，并定义如果i∈ {1， 2}，则nn：i<$1，否则，则f = Af等价于恒等式f（x1，.，xn）= f（x1，x1，x3，...，xn）。定义2.3范畴C和X之间的对偶等价是一对函子D：Cop→X，E：Xop→C使得ED和DE分别自然等价于恒等函子idC和idX“对偶等价”的概念例如，单态变成满态，乘积变成余积。特别地，我们有An∈C当且仅当 n·D（A）∈X.3分类克隆正如在引言中提到的和在[34]中解释的，Lawvere理论等同于抽象克隆，而具体克隆本质上与集合中的Lawvere理论模型是一样的。因此，只要泛代数学家想研究克隆，无论是具体的还是抽象的，他们都可以使用自己的概念。如果考虑不同于集合的范畴中的Lawvere理论的模型，情况就不再是这样了，本文将讨论这一任务对经典情况的好处。下面的定义，我们将在本文的其余部分使用，可能会让泛代数学家以更熟悉的方式看待它们：定义3.1[23]设C是一个范畴，A∈C是一个具有有限幂的对象O（n）=O（n，n）A AS. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）7983一一一一我并设置OA：=n>0 时间复杂度O（n） 一个子集C_n_A被称为操作的克隆，记为C≤OA，如果C包含所有的投影态射πn：An→A，且对f∈C<$O（n）且f1， . ，fn∈C∈O（k），则补位置f∈f1， . ，fn也是C.时间复杂度O（n）=O（m）A A有n/=m，我们假设An和Am总是表示不同的（但可能同构）对象，如果n和m是不同的。显然，这不失一般性，因为我们总是可以在本质上不改变范畴的情况下向范畴添加同构副本。这几乎是逐字的经典定义在泛代数，除了组成下，克隆必须关闭是书面的帮助下，元组。特别是，把C=Set，这正是克隆的概念，因为它是经典使用。 下面的命题表明，在一个范畴中给予一个克隆，C确实等价于给出这个范畴中的一个Lawvere理论的模型命题3.2 [14]子集C ∈ OA是A上运算的克隆当且仅当存在Lawvere理论L在C中的模型M：L −→ C使得M（n）= An且C（n）={M（f）|f∈ L（n，1）}，对所有n∈ N +.注意，定义中不包括空值操作，即，C（A0，A）/A我们做这个决定是为了遵循通用代数中省略零运算的惯例这个决定有其优点，但也有缺点。然而，这与本文的内容几乎没有什么不同.因此，希望包含空值操作的读者不妨将克隆视为OAC（A0，A）的子集，其定义方式完全相同。我们现在可以把克隆理论中的每一个概念提升到我们的背景中，只要我们能用纯粹的范畴论术语来写它。例如，我们可以写恒等式，并将本质变量和非本质变量的概念提升到OA中的运算（在经典情况下，函数f：An→A的第i个变量被称为非本质变量如果f（x1，...，xn）= f（x1，...，xi−1，y，xi+1，.， xn）对于所有的x1，...，xn，y∈ A）：定义3.3对于n∈N+且i∈ {1，.，n}，操作的第i个变量称f∈O（n）是非本质的，如果f<$A<$n+1=f<$A<$n+1，其中n→n+1niAn是包容，n+1：n→n+1：j→n+ 1ifj=i，如果j i，则为如果一个变量不是非必要的，那么它就被称为必要的。此外，我们说一个操作本质上是k元的，如果它正好有k个本质变量，我们说它是本质的，如果它的所有变量都是本质的。在[17]中，经典的伽罗瓦联系Pol-Inv（见[34]及其参考文献）被推广到适用于任意范畴：定义3.4 [17]设A，B ∈ C。A上的B型关系是C（B，A）的子集用R（B）表示A上所有B型关系的集合。我84S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）79一一一一∈∈T一一不一一一一一定义3.5[17]设σ是A上的B型关系，f∈O（n）。假设σ对f是不变的，等价地f保留σ，设fDσ，i ff∈r1， .. ，rn∈σ，当r1，. rn∈σ。此外，一组运算F<$OA称为保持σ，记作FDσ，如果每个f∈F保持σ。在选择了允许的关系类型之后，这就建立了伽罗瓦连接：定义3.6[17]设T是来自C的骨架的对象的非空类并设置RT：=R（B）。我们定义算子InvT：P（OA）→ P（RT），不B∈T不PolA：P（RA）→ P（OA）如下：对于F<$OA和R<$RA，设Inv TF：={σ∈ R T|<$f∈F：fD σ}，Pol TR：={f∈OA|<$σ∈R：fD σ}。对于C=Set，如果我们选择T作为所有正有限基数的集合，则这个伽罗瓦连接与Pol-Inv重合，如果我们选择T作为所有正基数的类，则它与[31]中此外，它还包含了多年来出现在文献中的经典案例的其他版本和修改，例如[28，33，6]。Pol T-InvT在[17]中描述，不应讨论A A任何细节然而，应该指出，许多强大的结果在这个框架下也成立。特别地，伽罗瓦闭运算类精确地是运算的局部闭克隆，而伽罗瓦闭关系类是关系定义3.7A类RRT被称为类型类T的关系的克隆，A，写作R≤RT，如果(i) n ∈R，(ii) R在一般叠加下是闭的，即：设I是一个指标类，σi∈R（Bi）（i∈I），且令σ i：B→C和σi：Bi→C是态射，其中CC和B。然后，关系（i）i∈I（σi）i∈I∈R（B）定义为ϕ（i）i∈I（σi）i∈I：=（中文）（σi）：={r} |r ∈ C（C，A），i ∈ I：ri ∈σi}属于R.请注意，如果我们将空操作包含到OA中，则必须从该定义中删除第一个条件。局部闭包算子在这里可以不定义，因为在本文的其余部分中不需要它们。它们在[17]中被提出和研究，在那里我们也可以找到它们可省略的情况的特征（推广基集是有限的情况换句话说，经典伽罗瓦理论的力量仍然存在。甚至一些更复杂的结果如Baker-Pixley定理[1]仍然成立[15]。S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）7985XXXXn我我尽管如此，在我们的论文的这一点上，还不清楚为什么泛代数学家可能想首先在与集合不同的类别中研究克隆。在极少数情况下（例如，有一系列论文作者在拓扑空间范畴中研究克隆[40，42]），克隆仍然是经典意义上的具体克隆，不一定需要任何范畴论处理。范畴理论框架的主要优点之一是可以使用函子，允许我们将不同范畴的克隆相互连接起来。特别是，它允许我们二元化克隆的概念，产生对偶操作的克隆（再次假设n·Xm·X，当mn）：定义3.8设X∈C是具有有限余幂的对象。 时间复杂度O（n）X上所有n元对偶运算的集合，即O（n）：=C（X，n·X），且集合OX：= n>0 时间复杂度O（n）子集CO被称为双重操作的克隆（或coclone），记为C≤OX，如果C包含所有的共投影态射<$n：X→n·X，对于g∈C<$O（n） 而g，…，G∈C<$O（k），叠加[g，.，G [英语泛读材料]inC.X1nX1n如果X是来自集合范畴的对象，则X上的对偶运算的克隆是在[7]中作为余函数的克隆引入的，并且在例如[10，22，28]中进行了研究。当然，每一个相应的概念也可以二元论的广义Galois联络PolT-InvT对偶于完全类似的伽罗瓦A A不对偶运算和对偶关系之间的PolX-InvX的连接，以及定义对偶运算的基本变量的函数使用函子（−）·X而不是A（−）：定义3.9对于n∈N+且i∈ {1，.，n}，对偶运算的第i个变量称g∈O（n）是非本质的，如果<$n+1·X<$g=<$n+1·X<$g.尽管如此，仍然存在一个问题，为什么一个古典克隆理论的研究者应该关心这个问题。 接下来的几节试图用下面的陈述来回答这个问题：因为将对偶性应用于与集合不同的范畴中的克隆可能是有帮助的，即使人们只考虑经典的情况。4从对偶等价到克隆对偶如上所述，反转范畴C中的所有态射将操作的克隆携带到对偶操作的克隆，并将关系的克隆携带到对偶关系的克隆。因此，C中操作的每个克隆都是Cop中对偶操作的克隆。以这种方式对C的克隆进行二元化几乎没有帮助，因为它只是符号的变化。为了获得任何好处，人们需要有可能把这些克隆对偶化为任何对偶等价的范畴X。当然，这应该以这样的方式来完成，即对偶性在某种程度上与广义伽罗瓦理论相对应在本节中，我们将解释如何做到这一点最终，我们将最终得到一个框架，在这个框架中，我们可以在操作的克隆之间来回移动X86S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）79∈∈≤我一我1n一一X关系的克隆，对偶运算的克隆，对偶关系的克隆，在它们各自的范畴中，为我们提供了将问题从一个地方转移到另一个地方的机会，寻找最容易解决的地方对于整个部分，设（D，E）是范畴C和X之间的对偶等价，设AC使得A的所有有限方幂也在C中。设置X：=D（A）。因为C和X是对偶等价的，所以X包含X的所有有限余幂。函子D将A带到X，并反转态射的方向，因此一厢情愿地认为它应该将态射fOA映射到O X中的态射。不幸的是，D只将f映射到从X到D（An）的态射，而后者只是同构的，不一定等于n·X。然而，我们可以很容易地绕过这个小技术问题，通过使用函子D<$A（−）到（−）·X的自然等价来获得具有所需性质的映射。引理4.1[18]存在唯一映射（−）：OA→OX使得（i）（−）：OA→OX是一个双射，（ii）（πn）n=πn且（f∈f1， . ，fn）=[f，. ， [ f] ，fn∈O（k），由此得出结论，C是A上的操作的克隆，当且仅当C是A上的操作的克隆。X上的对偶运算的克隆。用LA表示A上的运算克隆的格，用LX表示X上的对偶运算克隆的格（两者都按包含排序），下面的定理是一个直接的结果：定理4.2LA=LX，其中LA和LX之间的同构由下式给出：C ›→ C因此，（−）具有“克隆对偶”这个名称所暗示的所有性质事实上，一个（纯范畴论的）语句对操作C≤OA的克隆成立，当且仅当对偶语句对对偶操作C≤OX的克隆成立。例如，一个恒等式在C中成立，当且仅当它的对偶版本在C中成立：命题4.3 [18]设f ∈ O（k），h ∈ O（l）. 对于函数k：k → n，k，J：m → n，A A我们有fA= h A′·X f= J·X h。因此，对偶性为我们提供了一种新的技术来检查克隆：而不是试图解决操作C的克隆问题，我们可以解决C的对偶问题，这可能更容易。事实上，能够做到这一点是我们理论的一下面的定理表明对偶理论也推广到克隆和对偶克隆的相对方面用L<$T和L<$T′表示来自T的类型关系无性系和来自T的类型二元关系无性系TJ，分别，我们可以制定以下声明：定理4.4 [18]设T，TJ分别是来自C和X的骨架的对象类，它们在D下是等价的（即， D [T]等于TJ直到同构）。然后存在唯一的映射（−）：RTT′→RX，从S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）7987一X一一LT到LT′，使得以下两个图可交换：AXL（−）L洛杉矶，（−）LInvTJC（−）InvT′JCPolT（−）PolXT′LTLLT第十章因此，我们可以在操作的克隆、关系的克隆、对偶操作的克隆和对偶关系的克隆之间自由移动，寻找给定问题的最佳解决方案。我们还没有讨论如何将所有这些应用于经典情况。这将在接下来的两节中完成。 首先，我们概述如何将这一理论应用于对布景中克隆人的研究之后，我们将该方法投入工作，使用它来产生一系列具体的结果。5我们什么时候才能把这种方法应用到经典案例中去呢？在最后一节中，我们给出了如何将C范畴中的运算克隆、关系克隆和相应的伽罗瓦理论对偶化为它们的对偶 在任何范畴X与C对偶等价。到目前为止，我们的方法完全是理论上的。我们还没有看到这项技术在实践中是如何工作的。除了从哪里获得对偶等价这个显而易见的问题之外，我们也不清楚为什么要在C中查看克隆（或者它们在X中的复制）。毕竟，泛代数学家的主要兴趣在于经典理论发生的地方。这些是我们在本节中讨论的问题。首先，让我们注意到，一个范畴中的一个克隆--不管它可能是什么范畴--总是同构于经典意义上的一个克隆。这是因为我们观察到范畴中的克隆仍然同构于抽象克隆，也是[5]的一个结果，即每一个抽象克隆同构于一个具体克隆。例5.1设（A，F，R）是一个代数结构（见定义2.1）。如果C是一个包含A及其所有有限笛卡尔幂的范畴，则OA同构于包含A上所有与F的运算交换并保持R的关系的无穷函数的具体克隆C。因此，LA同构于C的子克隆格。特别地，对于F= F，我们有OA= PolR，对于R= R，我们得到所谓的代数（A，F）的中心化子克隆中心化器克隆对通用代数社区特别感兴趣，例如见[3，37，35，43]。在这种情况下，我们甚至可以说OA是一个具体的克隆体。在其他例子中，同构不是那么明显。XX，X一一88S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）79例5.2设A∈Setop.已知Set与完备原子布尔代数范畴的等价性，得出OA同构于由A的幂集所给出的布尔代数的中心化子克隆。因此，如果我们在一个与集合不同的范畴中考察一个克隆，我们仍然要考察一个经典克隆，直到同构为止然而，新的范畴论环境为这个克隆提供了一个新的角度，并允许我们对其进行二元论。这是我们方法的关键思想：在集合A上取一个克隆，并找到它（直到同构）为一个C类的克隆体，你知道如何进行二元化或者，反过来，采取一个对偶等价，看看你在其中发现了什么经典克隆对于许多著名的对偶性来说，很容易走后一条路;例如，我们确切地知道，在斯通、盖尔芬德、普里斯特利或庞特里亚金的著名对偶性中出现的范畴中，我们可以找到哪些克隆例5.3通过Priestley对偶，有界分配格范畴对偶等价于Priestley空间范畴，其中（X，≤，T）是一个Priestley空间，如果（X，T）是一个Stone空间（即，一个完全不连通的紧Hausdor空间）和（X，≤）是一个偏序集，使得下面的分离公理成立：<$x，y∈X，x/≤y<$U<$X：U趋近于&递增， x∈U，y∈/U.在对偶下，一个有界分配格被映射到它的素理想（或素滤子，它是双向的）的集合上，配备了由包含和拓扑给出的序，其基本开是包含a的素理想的集合和不包含a的素理想的集合，a在格的所有元素上反之亦然，一个Priestley空间对偶于由它的开闭增子集给出的有界分配格。因此，如果X是A的对偶，那么我们可以通过研究X上对偶运算的克隆和格LX来研究有界分配格A的中心化子克隆及其子克隆格。作为一个例子，设A=（A，n，n，0， 1）是由下图给出的有界分配格：S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）7989˜˜这个格有六个素理想，它们构成下面的偏序集x3z2x1x2y z1与离散拓扑（注意每个有限Stone空间都是离散的）一起，这构建了Priestley空间X，使得我们得到克隆对偶（−）：OA→OX。其他例子可以在相当广泛的自然对偶理论中找到[4，8]，在那里我们可以找到许多其他类别的代数结构的对偶。这为我们提供了丰富的克隆类，我们可以应用我们的理论。然而，另一种方式听起来更难。给定集合A上的一个克隆C，没有明显的方法可以在可以方便地对偶化的范畴中找到这个克隆。当然，人们很难指望这方面的食谱。 然而，至少对于A是有限的情况，我们可以描述一种通用的方法来获得这样一种场景，其中C和X是代数结构及其同态的范畴定理5.4 [18]设C是有限集合A上的克隆。然后，存在两个对偶等价的有限代数结构范畴C，X和某些A ∈ C，X∈ X使得C= OA，并且存在克隆对偶（-）<$：OA→ OX。证据 总存在一个有限代数结构A =（A，F，R）使得C是从A的有限次幂到A本身的同态的集合（我们可以设置A=（A，InvC）。现在，设M是一个有限代数结构，使得A在ISP（M）中定义C为这样的范畴，其对象类包含来自ISP（M）的所有注意我们有A∈C和C=OA。通过自然对偶的蛮力构造[8]，存在某个代数结构M，使得C对偶等价于由ISP（M）的所有有限结构及其之间的同态构成的范畴的某个子范畴。定义X为这个范畴，设X为A在相应对偶等价下的对偶。Q请注意，定理结果的一个主要优点这意味着，就A上的态射而言，我们不需要进行比必须的更多的对偶化6利用分布格的在本节和下一节中，我们最终将我们的方法付诸实践，并提出该理论的几个应用。我们选择了一组结果（有些来自以前发表的论文），说明了克隆对偶如何产生一般结果以及特定的技术结果。90S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）79·i=1在本节中，我们选取一类特殊的克隆，即分配格的中心化克隆。如例5.3所讨论的，我们可以通过观察抽象相同但具体不同的全克隆OX来考察有界分配格A的中心化子克隆，其中X=（X，≤，T）是在Priestley对偶下A特别地，我们可以通过观察LX来研究LA，即A的中心化子克隆的子克隆格。考虑到X的余幂很容易理解（Priestley空间范畴中的余积由不交并给出），我们有理由相信研究OX和LX比直接研究OA和LA因此，让我们收集一些关于Priestley空间上对偶运算克隆的结果我们先来看看幂等对偶运算。定义集合函数f：An → A的幂等性的方程是f（x，.，x）= x.用范畴论的术语来写，这意味着f_i，id A= id A.因此，通过对偶，对偶运算g∈OX是幂等的，只要我们有[id X，.，[id X]g= id X.请注意，所有幂等（对偶）运算的集合必然形成一个克隆。我们的第一个目标是检查它的子克隆（称为对偶运算的幂等克隆）的格。为了做到这一点，我们需要引入更多的符号。定义6.1用Partfin（X）表示所有有限余积分拆的集合，X到非平凡Priestley子空间。也就是说，n元集合{X1，...，X的子集的Xn}属于Part fin（X），如果• 每个Xi是X的非空Priestley子空间Xi的载波集，ni=1 Xi=X，• 如果i/=j，则任意两个元素x∈Xi，y∈Xj是不可比较的。观察到一个n元集合{X1，...，Xn}的非平凡Priestley子空间属于Partfin（X）当且仅当余积nXi同构于X，通过典范态射n[κ1，.， κn]： Xi→ X，i=1其中每个κi：Xi→X是注入。同样，让我们注意到每个Xi必然是闭闭的。此外，用“划分上的粗于序关系”表示也就是说，对于两个集合P1，P2，我们有P1<$P∈P2<$Q∈P1：P<$Q.注意（Partfin（X），我们将证明X上对偶运算的幂等克隆格的结构和（Partfin（X），“）的结构是密切相关的这个结果的优点在于，格的结构（Part fin（X），“）很容易理解。为了使连接明确，用Idl（Partfin（X），“）表示（Part fin（X），“）的所有理想按包含排序的格。S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）7991X我X我Ji=1i=1` ˛¸xmtimes1i=1n我J我Xh：=<$hn，. .. ，hn）... 1.h3，. .. ，h3）h2，. .. ，h2）n h1.引理6.2对于Priestley空间X =（X，≤，T），X上对偶运算的幂等克隆格同构于Idl（Part fin（X），“）。证据 为了显示所需的同构，我们需要收集一些观察结果-vations. 首 先 ，对于g ∈ O（n），证明[id，.， id] g = idX X是等价于存在某个i ∈ {1，.， n}对于每个x ∈ X，使得g（x）= πi，xπ = πn（x）.其次，对于每个对偶运算g∈O（n）（幂等或非幂等），我们可以定义aX的有限分划n（g）：={g−1[n[X]]， . ，g−1[n[X]]}\{n}.让我们证明我们有n（g）∈Partfin（X）。显然，g−1[n[X]]是X的Priestley子空间的载波集。我们还需要证明，对于tw o di ntg−1[ιn[X]]，g−1[ιn[X]] ∈n（g），a nytw o eleme ntsy1∈g−1[ιn[X]]，2.[1][2][3][4][5][6][7][8] 对于非一致性，假设y1≤y2。但现在，这意味着<$n[X]3g（y1）≤g（y2）∈<$n[X]，由于i j，这是不可能的。因此I j对于所有g∈OX，n（g）∈Partfin（X）。此外，委员会认为， 对于给定的划分P ∈第（X）部，总是有一个idempo-展开对偶运算g，使得k（g）是划分：对于n元集合{X1，.，Xn} ∈Part fin（X），定义g（x）=i，x：x∈Xi. 从Partfin（X）的定义可以很容易地得出g是连续的并且保持顺序。因此，映射f：OX→Partfin（X）对OX中的幂等对偶运算的限制是满射的。同样，对于幂等元g，h∈OX，我们有g∈ Clo（h）当且仅当n（g）“n（h）（在[ 14 ]中对X是有限集合范畴中的对象给出了证明，但是对于X是任意大的Priestley空间，这些论证几乎是逐字逐句地成立的）。为了我们的目的，我们需要将这个陈述稍微扩展如下：对于幂等元g，h1，...，hn∈OX，我们想证明g∈ Clo（h1，...，（hn）等价于n（g）“n（h i）。为此，它表面上表明，一个合适的表面，h1的对位，...， hn和共投影态射生成一个对偶运算h，其中我们有n（h）= n（hi）和Clo（h）= Clo（h1，. ..，hn）。 为了这样做，让我们为k元f∈OX引入以下符号：f. . . ，f）：=[1·Xf， . ，[m·Xf]，其中，i：k→i：j→（i− 1）k+ j。 注意，这定义了一个态射，k·X到k·X。在可能添加一些非必要的变量之后，我们可以假设h1，...，hn都有相同的元数，比如k。使用我们刚刚介绍的符号，我们设置`kn−1时间sx`k2timesx`ktimesx显然，我们有h∈ Clo（h1，.，hn）和n（h）=n（hi）.我们也92S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）79i=1XX我有h1，...，hn∈ Clo（h），因为对于所有i ∈ { 1，.，n}。因此，Clo（h1，.，hn）= Clo（h）。我们现在已经收集了所有的结果来证明声明的说法用IX表示OX中所有幂等对偶运算的集合，用L表示对偶运算的所有幂等克隆的格。我们定义：L →Idl（Partfin（X），C→ {\displaystyle {\frac {g} |g∈ C}。根据我们以前收集的观察，我们可以很好地定义“不”。它也是秩序的维护和秩序的恢复. 此外，我们可以推断，对于给定的理想J∈Part fin（X），集合{g∈IX|（g）∈J}是一个克隆。因此，J<$→ {g ∈ IX|（g）∈ J}构成了J的逆。Q下面的陈述是这个引理的一个几乎显而易见的推论命题6.3幂等对偶运算的有限生成克隆的格同构于（Part fin（X），“）。证据 在引理6.2中给出的同构下，每个有限生成的克隆CIX对应于（Part fin（X），“）中的主理想，并且这些可以自然地用这个格的单个元素来标识。实 际 上，如果C = C10（g1，...， gn），则n（C）={P∈ Part fin（X）|P“n（g i）}。Q下面的引理给了我们对LX的进一步了解：引理6.4设X =（X，≤，T）是Priestley空间。 对于每一个n ∈ N+，下列陈述是等价的：(i) 存在n个但不多于n个的非空Priestley空间X1，...， X n，使得X是它们的不交并（或者，等价地说，Partfinn（X）中集合的基数的上确界是n）。(ii) X上对偶运算的本质性严格有界于n。(iii) X上对偶运算的幂等克隆格同构于（Part（n），“），n元集合的划分的格。(iv) 对于每一个k ∈N，恰好有k！S（n，k）p1本质k元对偶运算（一）其中p1是O的基数，S（n，k）是Stirling数第二种类型（即，将n个元素集合划分为k个元素的数目部分）。证据 （i）法庭（ii）。很容易检查给定变量的第i个变量时间复杂度O（n）是不必要的，当且仅当g [X] n [X]= n。因此，使用func-在引理6.2的证明中定义，g的基本变量的数目是f（g）的基数。因为我们已经知道了sup g∈OX|（g）|= sup P∈Partfin（X）|P|，索赔随之而来。(i) （iii） 由引理6.2，命题6.3可知。S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）7993X（i）（i）=（iv）。选择一个n元素集{X1，.，Xn} ∈ Part fin（X）.为每个f∈O（1）和满射n：n→k，我们定义函数h（f，f） ：X→k·X：x<$→如果x∈X1，则f（x）≠0，如果x ∈ Xn，则f（x）∈ n，f（n）∈n.很容易检查h（f，f）是否定义良好。此外，它的每个变量都是必不可少的。因此，每对（f，f）唯一地确定X上的一个基本k元对偶运算.反之，设h∈OX是本质的，元数为k. 从X1开始，Xn都是余积不可约的，则存在唯一的i ∈ {1，.，k}，对于每个i∈ {1，.，n}，使得h [Xi] ≠k[X]。既然h是essen-tial，赋值i <$→ i（i）必须是满射的。 设定f（x）=[id X，.，id X] φ h，则得到h = g（f，φ）. 因此，在OX中的k元本质对偶运算与对（f，n）之间存在一一对应，其中f是一元（对偶）运算，n：n → k满射。因为有K！S（n，k）从n到k的满射函数，权利要求如下。㈣=㈡。小事一桩。Q例6.5对于例5.3中给出的普里斯特利空间，整数n为3。因此，X上对偶运算的幂等克隆的格同构于（第3部分，现在让我们利用LA的克隆与LX的克隆之间的对偶性，将所得到的陈述转化为我们实际上所要达到的目的：有界分配格的中心化子克隆的结果。定义6.6用Partfin（A）表示A的有限个非平凡同余分解的集合。 也就是说，n元集合{θ1，.，θn} Con（A）\ {A}属于如果A/θ1，...，A/θn通过标准格同态同构于An在θ1，...，nat θnθ：A → A/θi。i=1注意，Partfin（A）的元素对应于A到直积的有限分解的同构类。此外，Priestley对偶保证了格（Part fin（A），）同构于（Part fin（X），“）。定理6.7设A=（A，n，n，0，1）是有界分配格.幂等克隆的格同构于Idl（Part fin（A），“）。此外，对于每个n∈N+，以下陈述是等价的：(i) 1的最大划分包含n个元素，也就是说，存在n个（但不多于）元素a1，...，an∈A\ {0}使得ai= 1且ai∈aj= 0，..94S. Kerkhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 303（2014）79一i/= j。(ii) A上的运算的本质性严格有n的界。(iii) A上的幂等克隆格同构于（Part（n），“）。(iv) 对于每一个k ∈ N，恰好有k！S（n，k）p~ 1本质k元运算这是O（1）的一个例子。是的。 由（Partfinn（X），“）n=（Partfinn（A），），第一部分立即如下。对于（i）-（iv）的等价，只需要回忆一下众所周知的事实，即A到非空子格的最大乘积划分恰好包含n个元素，当且仅当1的最大划分包含n个元素。 Q注意，将这个定理应用于有界分配格A的中心化子