1¼B@1CA：.ciB@CA和 c¼B@2jCAJ0 1 01Journalof the Egyptian Mathematical Society（2013）21，311埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章dim型和Alexandro型空间的维数D.N. Georgioua，*，Sang-Eon Hanb，A.C.Megaritisca帕特雷大学数学系，265 00帕特雷，希腊b全北国立大学纯数学和应用数学研究所通识教育系，全州市，大韩民国全北561-756c希腊梅索隆吉技术教育学院，会计系，30200梅索隆吉。接收日期：2012年11月2日;修订日期：2013年2月15日;接受日期：2013年2月20日2013年4月23日在线提供Alexandroff空间具有有限空间的所有性质，因此在数字拓扑、图像分析和计算机图形学中起着重要作用。本文利用矩阵代数研究了Alexandroff可数拓扑空间类的dim型MSC：54F45、54A05、65F30？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 预赛设X ={x1，x2，.. . 是一个Alexandroff空间。 x·x矩阵T=（tij），其中Alexandroff空间（见[1]）是指每个点都有极小开邻域的空间。这也就相当于每个家庭的交集蒂伊杰1个;如果xi2Uj0;否则开集是开的（并使用德摩根一个拓扑空间X称为可数的，如果集合X是可数的。在下文中，我们用X={x1，x2，.. . }一个Alexandroff可数空间，通过Ui，X的最小开集包含点xi，i=1，2，也，我们表示为x是第一个无限大的基数。*通讯作者。联系电话：+30 2610997404。电子邮件地址：georgiou@math.upatras.gr（D.N.）Georgiou），se-han@jbnu.ac.kr（S.- E. Han），megariti@master.math.upatras.gr（A.C. Megaritis）。同行评审由埃及数学学会负责称为X的关联矩阵。我们观察到U j<$fx i：t ij<$1 g; j <$1; 2;. . ：我们用c1，c2，... 矩阵T的列和1所有元素都等于1的x·1矩阵，即，011.让c1ic1jc2ic....1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.02.015制作和主办：Elsevier关键词覆盖维数;Alexandroff空间;关联矩阵.¼¼312D.N. Georgiou等人C一2122nfg-2ci cj@fgf g2我2J：1MC···1/4fg1是两个x·1矩阵。然后，通过max c i，我们表示集合{c1i，c2 i，.. . }（如果存在），通过ci+cj，x·1矩阵存在2 {1，. ，m}，使得U jaRr。因为r是X的覆盖，所以存在b2 {1，. . ，l}，使得x<2Vb.通过Uja是包含点xja的X的最小开集，我们0c1ic 1j1BC有那个UjaVb.另外，由于UjaRr，我们有Uja因此，UjaVb。由于r是c的一个精化，所以存在c2 {1，. ，m}，使得Vb<$Ujc。因此，UjJ.C. 我们观察一..此外，我们写c i6 c j，如果仅当c ki6 c kj对于每个k = 1，2，.. . .对于以下概念，例如参见[2]或[8]。X是一个空间。X的覆盖是X的子集的非空集合，其并集是X。X的子集族r称为X的子集族c的精化，如果r的每个元素包含在c的元素中。定义空间X的子集族r的阶如下：(a) ord（r）= -1当且仅当r={;}。(b) ord（r）= k，其中k x，当且仅当R的任意k+2个相异元素都是空的，并且R存在k+1个相异元素，它们的交集不为空。(c) order（r）=，当且仅当对于每个kx存在kr的不同元素，其交集不为空。我们用dim表示函数，称为覆盖维数，Domain表示所有空间的类，Range表示集合家庭CU JA是X的开覆盖，m1 ele-这是一个矛盾的选择M。因此，CCR。相反，我们假设存在一个开覆盖U j1;. ; U jm使得阶U j1;. 证明了dim（X）6k.的确，让C是一个有限的开盖，空间X。 它足以证明开覆盖f U j1;... ;Ujmg ofX是一精炼的C.为每个i2 {1，2，.. . 存在Vi2c使得xi2UicVi.这意味着打开的盖{U1，U2，.. . X是一个函数，C.由于f U j1;. ; U jmgf U 1; U 2;.. . g，我们有开覆盖fUj 1;. . ;X的Ujmg是c的一个精化。在的以下命题我们假设X={x1，x2，. . }是一个Alexandroff空间，T=（t ij），i，j {1，2，.. . }，X的关联矩阵，以及c1，c2，. . ，矩阵T的列。H提议2.2. 如果对于某个j {1，2，... . }，则dim（X）=0。证据 由于c j= 1，我们有t ij= 1，对于每个i = 1，2，.因此，x[{-1，1}，满足以下条件：dim（X）6k，U <$fx：t<$1 g <$fx;x;.. . g¼X：其中k2{-1}[x]当且仅当对每个有限开覆盖jiij12C空间X存在一个有限的开覆盖rX，的C，这样的命令（R）6K。在[3，7]中，作者给出了用矩阵因此，族{Uj}是X的开覆盖。由于or- d（{U j}）=0，通过命题2.1，我们有dim（X）= 0。H引理2.3. 令f U i;. ; U ig是X的开覆盖，代数本文研究了dim型的维数，所有Alexandroff可数拓扑空间的类。特别地，在第二节和第三节中，我们研究了所有Alexandroff可数拓扑空间类的经典覆盖维数dim和相对覆盖维数r-dim。最后，在第四节中，我们给出了一些公开问题。2. Alexandroff空间与覆盖维数dim提案2.1. 设X ={x 1，x 2，.. . 是一个Alexandroff可数空间。假设X至少有一个有限覆盖f U i1;... ; U ilg.那么，dim（X）6k，其中k2x当且仅当存在一个开覆盖fUj 1;. . ; U jmg of X使得ord f U j;.. . ; U jg 6 k.m/min fm2x：存在j1;. ;jm2 f 1; 2;.. . g使得f U j1;. . Ujmg是Xg的开覆盖;并且fUj1;. . ;U jmg是X的开覆盖。然后，f U j1;. . ;U jmgf U i1;. . ;Uilg：证据 这个证明类似于命题2.1。 H提议2.4. 令c ji，i=1，. . ，m，是矩阵T的m列，使得cj1=.Ifcr1·· ·crqj1，每个q 1。那么dim（X）6n- 1。证据 家庭fU ... . ;U g具有n个元素，因此，我们有cjl 1对于每个j = 1，2，.. . 、j1jn011B1C011B1Cord_f U_j1;.. . ; U jng 6 n-1：因此，根据命题2.1，dim（X）6n-1。 H备注2.7. 我们注意到不等式dim（X）6n1 在c1c3¼1P1¼1;-dim型空间和Alexandroff型空间的维数315命题2.6不能用不等式代替316D.N. Georgiou等人dim（X）n1（见例2.8）。x的Alexandroff空间X的覆盖维数dim的一个特征.问题4.2.找到对（Q，X）的相对覆盖维数r-dim的特征，其中Q是Alexandroff空间X的子集，基数为<$X<$>x。定义4.3.见[5，6]我们用dim表示（唯一）函数，定义域是所有子集的类，并对集合x[{-1，1}进行值域，满足以下条件dim（Q，X）6n，其中n2{-1}[x]当且仅当对于空间X的每个有限开覆盖c，存在Q的有限开覆盖rQ，使得rQ是c和ord（rQ）6n的精化。定义4.4.见[5，6]我们用dim*表示（唯一）函数，定义域是所有子集的类，范围是集合x[01000000···1{-1，1}，满足条件dim*（Q，X）6n，其中n2{-1}[x]当且仅当对每个有限开覆盖B1111111···CT¼B0001000···C：b0的011111···C..............c存在一个有限族r的X的开子集，使得Q c [{V：V 2 r}和ord（r）6 n。问题4.5.找到对（Q，X）的相对覆盖维数dim和dim*的特征，其中Q是Alexandroff可数空间X的子集。我们认为Q是集合{1，3，4}。然后，我们有011 011 001 0011Q1B1C;c11B0C;c3B0C;c4B1C;B C B C B C确认我们感谢审稿人为改进文章提出的一些有用的建议。引用00@。一.00@。一.1 11 1.@。一[1] P. Alexand roff，你好，Mat. 某人（N.S.） 2（1937）501-518。2@..1 0 10dim型空间和Alexandroff型空间的维数317[2] R.张学良，《有限与无限维理论》，北京：科学出版社，1995年。[3] D.N. Georgiou ， A.C. Megaritis ， Covering dimension andfinite spaces ， Applied Mathematics and Computation 218（2011）3122-3130。[4] D.N. Georgiou，A.C. Megaritis，On a new relative invariantcovering dimension ， ExtractaMathematicae25 （ 3 ）（2010）263-275。[5] D.N. Georgiou，A.C. Megaritis，在相对尺寸昏暗和昏暗*我，一般拓扑学的问题和答案29（2011）1[6] D.N. Georgiou，A.C. Megaritis，关于相对维度dim和dim*II，一般拓扑学中的问题和答案29（2011）17[7] A.C. Megaritis，Relative dimension r-dim and finite spaces，Applied General Topology 13（1）（2012）91[8] A.R.李文，《一般空间的维数理论》，北京：中国科学出版社，1995年。
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