Journalof the Egyptian Mathematical Society 25（2017）139nnn1个以上nnnnnnnnn=z一加二-四个nnnnn短通信关于非线性方程Kumar-Singh-Srivastava方法收敛速度的注记J.P. Jaiswala，b，ca博帕尔Maulana Azad国家技术学院数学系，硕士-邮编：462051b/博帕尔巴卡图拉大学理学院，硕士- 462026，印度c博帕尔地区教育学院，M. P. - 462013，印度Ar ticlei n f o ab st ract文章历史记录：2016年4月25日收到2016年10月8日修订2016年10月10日接受2016年11月22日在线发布MSC：41A2565D99保留字：非线性方程迭代法收敛速度计算收敛在本文中，它表明，在Kumar等人（2013）中提出的两种方法都不具有所要求的收敛阶。导数介入法是两种方法之一，而另一种无导数方法具有六阶收敛性。理论收敛速度也通过计算的收敛阶得到了验证。© 2016埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。1. 介绍在文章[1]中，Kumar et al.提出了九阶（导数）和七阶（导数自由）方法，使用两步优化，二. KSSDF7：用差除法逼近导数，得到无导数格式。该方法由下式给出：错误的四阶方法，然后是一个步骤的修改牛顿的方法。在这里，我们分别用KSSWD 9和KSSDF 7表示这些方法。无导数格式由近似-交配涉及的衍生物在以前的计划，由expres-分裂的差异。在这里，我们表明，这两种方法yn=xnzn=y nf（xn）-f[w， x]，- 是 的f（y）<$2<$f（y）f[w， x]f（ x）f[y， x]f[y， w]不具有相同中提到的阶收敛性，作者的文章 具体方法如下：I. KSSWD 9：X- 是 的f（y）<$2 f（z）<$f（z）f[w， x]该方法基于最优四阶方法，一个类似牛顿的步长，由下式给出：k+1nf（xn）f（yn）f[yn， xn]f[yn， wn]f（ xn）yn=xn−fr（x），- 是 的 Σ2Σ其中w=xn+f（xn）。2. 收敛速度zn=yn−1个以上Σf（yn）f（ xn）.f（y）2f（yn）、fr（ yn）f（z）≠f（z）−这里我们证明了上述两种格式的收敛速度不是9和7。事实上，它是八和六，分别。xk+1 =zn−一加二n4Nf（ yn）n（1.1）定理2.1. 设函数f（x）在a中可次微，其根的邻域如果初始近似值x0足够接近λ，则KSSWD 9和电子邮件地址：asstprofjpmanit@gmail.comKSSDF7分别为8和6。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.10.0031110- 256 X/© 2016埃及数学学会。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表埃及数学学会期刊首页：www.elsevier.com/locate/joems−、−（1.2）140J.P. Jaiswal / Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）139F（）n93 2 89==n n22nn2nnn2N2nnn+1223nnKSSWD 9和KSSDF 7，我们计算了计算阶数，nn92 69证据 KSSWD 9的收敛速度：设e n=x n−k，是er-表1n阶误差和ch阶误差（h）=f r（）h！，h = 1，2，3，我们给出收敛的计算顺序式（1.1）中各项的泰勒通过在第n阶单根周围的泰勒展开，我们有f（x n）= fr（n）[e n+ c2e2+. + O（e10）]、（2.1）和fr（x n）= fr（n）[1 + 2 c2e n+.] + O（e9）]。（二、二）在（1.1）的第一个子步骤中使用这些表达式，我们得到y n= n + c2e2+（−2c2+ 2 c3）e3+. + O（e9）.（二、三）此时，我们应该通过考虑公式2.3，使e和f（yn）和fr（yn）围绕exact根。因此，我们有f（y n）= fr（n）（c2e2+（−2c2+ 2 c3）e3+... + O（e9））。（2.4）和f[yn， wn]=fr（n）[1+（ 1+fr（n））c2en+（c2+2fr（）c2+c3+2fr（）c3+fr（）2c3）e2加... +O（e）]。（2.14）通过使用Eqs。（2.1）、（2.12）、（2.10）、（2.13）和（2.14）在方法（1.2）的第二子步骤中，我们得到z n=+ −（1 + fr（））2c2（（−1+ fr（））c2+ c3）e4+. + O（e9）.和n2n n2n n（2.15）fr（y n）= fr（n）（1 + 2 c2e2+（−4c3+ 4 c2c3）e3+. + O（e9））。（ 二、五）使用Eqs。（2.1）和（2.3）-（2.5）在（1.1）的第二子步骤中，根据上述方程，我们得到f（zn）= −fr（n）[（1+fr（n））2c2（（−1+fr（n））c2+c3）e4我们可以找到zn=n+（4c4− 2c2c3）e5−c2（ 30c4− 39c2c3+ 8c2+ 3c2c4）e62N加... 时间复杂度为O（n）。（2.16）最后，利用已经存在的所需关系，2 2N92 23n上面得到，然后简化，最终误差表达式为加... 时间复杂度O（n）（二、六）根据上面的等式，我们有给出e=[（1+fr（））3c（（ 5− 11fr（）+ 6fr（）2）c4f（zn）=fr（n）（（4c4− 2c2c3）e5−c2（ 30c4−39c2c3n+122r2 2 6 72 2n2 2+8c3+3c2c4）en +...+ O（en））.最后，使用（2.1）和（2.4）-（e=24c （−2c+c ）e+O （e ）.（2.7）这表明KSSWD 9的收敛速度至少为8。KSSDF 7的收敛速度：根据表达式（2.1），可以写为：w n=（1 + fr（n））e n+ fr（n）[c2e2+ c3e3+.. + O（e7）]，（2.8）+（−10+11f（n））c2c3+5c3）]en+O（en），这证明了KSSDF7的正确收敛速度 Q3. 数值试验为了使用公式[2]验证理论收敛速度（COC），COC测井|f（x n）/f（x n−1）|.（3.1）日志|f（x n−1）/f（x n−2）|我们考虑具有相应零点的测试函数及其初始值，然后n n n近似值如下：f（x）= e（−x2 +x+2）− cosx + x3+ 1，=-1。0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000f（wn）=fr（n）[（1+fr（n））en+（fr（n）c2+（1 + f r（））2c2）e2+. + O（e7）]。（2.9）x0= −0。5.计算是在程序包中进行的n n使用多精度算术的Mathematica[3]为每个在Eqs的帮助下，(2.9)，（2.1）和（2.8），我们得到f [ w，x ]f（w n）− f（x n）的泰勒级数展开式如下：wn−x n方案中，我们计算需要的迭代次数（n），以使方法nCOCKSSWD 938.0000KSSDF746.0000140J.P. Jaiswal / Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）1392nnnn222222nnnnf[wn，xn]=fr（n）[（2c2+fr（n）c2）en+（fr（n）c2+3c3+3fr（n）c3+f r（）2c3）e2+. + O（e9）]。（2.10）|xn-xn−1 | ≤ 10 −15.（第3.2节）通过将Eqs. (2.1) 和（2.10）在第一子步骤中， 等式(1.2)，我们实现yn=n+（c2+fr（n）c2）e2+（−2c2−2fr（n）c2−fr（n）2c2+2c3与本文[1]中所考虑的相同。收敛到所考虑函数的零点所需的必要迭代次数n和收敛的计算阶数（COC）见表1。很明显，计算阶数的计算值是一致的+3 fr（）c3+ fr（）2c3）e3+. + O（e9）.（2.11）另一方面，我们发现f（yn）=fr（n）[（c2+fr（n）c2）e2+（−2c2−2fr（）c2−fr（）2c2+2c3+ 3fr（）c3+f r（）2c3）e3+. + O（e9）]。（2.12）此外，我们还可以获得收敛性（COC）验证了理论研究中证明的理论收敛速度引用[1] M.库马尔，A.K.辛格A.李文，解非线性方程组的牛顿型迭代法，北京：清华大学出版社。埃及数学Soc. 21（2013）334[2] M.S.佩特科维奇湾Neta，L.D. Petkovic，J. Dzunic，求解非线性方程的多点方法，Elsevier，纽约，美国，2012。[3] S. Wolfram，The Mathematica Book，fixed.， Wolfram Media，2003.f[yn，xn]= fr（n）[1 + c2e n+（c2+ fr（n）c2+ c3）e2+. + O（e9）]，2 2Nn（2.13）给出了非线性方程、初值和误差容限
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