应用于生物组织建模的非线性物理约束数据驱动计算框架的深度自动编码器

你∈CC{|}··电子·N=t，在ΓX上，d2（z，z）=d2（E（u），E）+d2（S，S），（3a）电子u=g，在ΓX上，其中u是位移向量，E是绿色La。电讯I=1{}∈E用于非线性物理约束数据驱动计算框架的深度自动编码器及其在生物组织建模中的应用何小龙1，何启智2，陈俊贤11加州大学圣地亚哥分校结构工程系，La Jolla，CA 92093xiaolong-he@ucsd.edu，js-chen@ucsd.edu2物理与计算科学理事会，太平洋西北国家实验室，Richland，WA 99354qizhi. pnnl.gov摘要物理约束数据驱动计算是一种新兴的计算模式，它直接将材料数据库集成到复杂材料的物理模拟中，绕过了经典本构模型的构建。然而，大多数已开发的数据驱动计算方法是基于简单的距离最小化，从而遭受处理高维应用和缺乏泛化能力。本研究提出了一种深度学习增强型数据驱动计算框架，以解决非线性材料建模的这些基本问题。为此，一个自动编码器，一个特殊的多层神经网络架构，引入学习底层的低维嵌入式表示的材料数据库。将离线训练的自动编码器和发现的嵌入空间结合到在线数据驱动计算中使得能够在低维嵌入空间中从数据库中搜索最佳材料状态，增强了数据驱动计算对有限材料数据的鲁棒性和可预测性。为了提高数据驱动计算的稳定性和收敛性，在自编码器给出的低维嵌入空间上引入保凸插值方法来构造物质状态.所提出的方法的有效性和增强的泛化性能进行检查，通过模拟生物组织与实验数据。1非线性物理约束数据驱动建模在由Neumann边界限定的区域ΩX中，控制弹性固体aryΓX和Dirichlet边界ΓX被给出为（2nd-PK）应力张量。上标X表示参考（未变形）构型 。 F 是 与 u 有 关 的 变 形 梯 度 ， 定 义 为 F （ u ） =（X+u）/X，其中X是材料坐标。b、N、t和g分别是体积力、Γ X上的表面法线、Γ X上的牵引力和Γ X上的规定位移。为了解决方程中的边值问题（BVP）。(1)材料的应力-应变关系的规律。然而，对于复杂的材料系统，构造唯象的材料模型是困难的. 物理约束数据驱动计算框架（Kirchdoerfer和Ortiz 2016; Ibanez等人2018; He和Chen 2020）提供了一种替代方案，通过将BVP制定为物理约束下的优化问题，直接在物理模拟中利用材料数据。在此框架中，材料行为由应变-应力对z=（E，S）描述，定义为材料数据库给出的材料状态，E=ZIM其中M是材料数据点的数量，并且是域Ω上的材料数据库的允许集合。满足物理方程（Eq. （1））被定义为物理状态，其中=z等式(1)是一个物理容许集。数据驱动的解决方案是通过定点全局-局部迭代来获得的，以最小化材料和物理状态之间的距离。在局部步骤中，材料数据驱动的局部求解器通过最小化距离来搜索最接近给定物理状态z的最佳应变-应力对z函数定义如下：∫F（z，z）=mind2（z，z）dΩ，（2）t uDIV（F（u）S）+b=0， 单位： ΩX，E=E（u）=（FTF−I）/2，单位为ΩX，（一）与运动发酵zξ∈EΩX（F（u）S）tz E S你d2（E（u），E）=（E（u）−E）：C：（E（u）−E），（3b）12grangian应变张量，S是第二Piola-Kirchhoffd2（S，S）=1（S−S）：C−1：（S−S），（3c）的2版权所有© 2021本文由其作者。Creative Commons License Attribution 4.0 International（CC BY4.0）.其中，C是预定义的对称且正定的十维矩阵。sor用于正确地调节z和z之间的距离。楼不·→·→{∈|∈ Z}运动发酵·∈I=1·运动发酵∈ C ∈ E运动发酵Σ+β||重量||，电子海图十二米我 电子海图十二我Given最佳材料dataz=（E，S）从方程中的局部步骤获得(2)，数据驱动问题的全局步骤是搜索最接近的物理状态，公式如下：min（E（u），S;E，S）u， S服从：DIV（F（u）·S）+b=0inΩX，（F（u）·S）·N=tonΓX，（四）其可以通过拉格朗日乘子法和非线性数值求解器来求解。请注意，等式中的兼容性约束（1b）通过从u计算E来直接实施。2非线性材料流形学习自 动 编 码 器 （ DeMers 和 Cottrell 1993; Hinton 和Salakhutdinov（2006）的目标是最佳地将其输入复制到输出，并在低维嵌入层中保留最具代表性的特征。因此，它允许有效的噪声过滤、降维和数据的隐藏结构发现。如图1，自动编码器包含编码器函数henc（;θenc）：Rd和解码器函数hdec（θdec）：图1：由编码器和解码器组成的自动编码器的示意图，其中嵌入维度小于输入维度。编码器学习高维输入对象的固有低维嵌入，而解码器从低维嵌入最佳地重构输入对象。x~=h（x;θ电子海图，θdec）：=h十二（·;θ十二）oh电子海图（x;θ电子海图），（5）z′Rpz′=henc（z;θ*enc），z，其中物质状态由低维坐标系描述其中d是输入维度，Pd是嵌入di。mension、θenc和θdec是编码器和解码器r的可训练参数。x~是自动编码器的输出，是原始输入x的重构。利用p<_d，编码器h_enc被训练以学习固有表示。z′。这里，素数符号（）’用于表示在嵌入空间中定义的量，并且表示其中定义了材料状态和物理状态z的高维相空间例如，嵌入given材料数据的集合为E'={z'}ME’，其中x∈Rd的表示，记作嵌入x′∈Rp，z′=h（z;θ*）forz ∈E。I I=1而解码器Hdec被训练以重构IN。IencIencI通过将嵌入x’映射回高维空间x~ Rd来放置数据。在这项研究中，自动编码器被用来发现的内在低维材料嵌入给定材料数据集E={zI}M，其中zI=（EI，SI）。3自动嵌入数据驱动（AEDD）求解器在第1节中描述的非线性物理约束的数据驱动计算框架是在高分辨率环境中进行的。自动编码器h（;θenc，θdec）的最佳参数（θ*en c，θ*dec）通过最小化以下损失函数获得：米三 维 相 空 间 （ 称 为 数 据 空 间 ） ， 具 有 物 理 状 态zα，材料数据zα，以及中定义的材料数据集E。下标“α”用于表示积分点处的量。为了提高解决方案-（θ*，θ*）=argmin1Σ||h（z;θ，θ ）−z||2数据驱动计算的精度和泛化能力通过自动编码器实现的深度流形学习被引入材料数据驱动的局部求解器。该au-L+1（l）2楼l=1（六）到编码器被离线训练，并且训练的编码器被增强。并且在在线数据驱动计算中直接采用解码器H_DEC函数因此，编码器映射一个其中L是隐藏层的数量，W是自动编码器的权重从数据空间到嵌入空间的任意点即，z′α=henc（zα），而解码器执行re-enc（z α）。eter，以及||·||F表示Frobenius范数。第一项反向映射，即 z~α=hde c（z′α）。在所提出的AEDD局部求解器中，定义了局部步长损失函数中的第一项是所有训练数据的重建误差，第二项是 用 于 避 免 过 度 拟 合 的 基 于 L2 范 数 的 权 重 正 则 化 项（Goodfellow，Bengio和Courville 2016）。∗ ∗方程式（2）通过三个步骤重新表述步骤1：z′α=henc（zα），（7a）步骤2：z′α*=I. {ΨI（z′α）;z（'I}I∈Nk（z'）Σ（7b）利用经训练的自动编码器h（·;θen，c，θde，c），可以定义一维嵌入空间，即，E′=第三步：αzα=hdec（z′α），（7c）θ电子海图，θ十二I=1我∈.ΣΣ’Σ∈N{ }∈N-||−||最大J=1不超过歼NRMSD=，我我对于α=1，…，Nint，wherezI是积分点的数量，并且是定义为下式的保凸插值算子：z′recon=I{ΨI（z′）;z（'I}I∈Nk（z'）=I∈Nk（z'）ΨI（z′）z′I，（八）其中z′recon是z′的重构，z′I是材料在E′，N′中的数据嵌入k（z′）是knear的整数x集合。z函数的最近邻点是选自E′。插值ΨI（z）=Σφ（z′−z（'I），φ（z′−z（'）（九）其中φ（z′z（′I）=1/z′zI2是表示数据集上的权重的正向核函数 zIIk（z′）。正插值函数满足单位分解Ik（z′）ΨI（z′）=1，这保证了变换的有效性。插值方案的客观性和凸性，方程。（8）。使用AEDD局部求解器进行数据驱动计算的示意图如图所示。2，其中为了简洁起见，省略了积分点索引α。例如，在第v次全局-局部迭代中，在从全局步骤（等式10）获得物理状态z（v）(4))，局部求解器的步骤1（等式1）(7a))将所寻找的物理状态从数据空间映射到嵌入空间通过编码器，z′（v）=henc（z（v）），由图2中的白色填充三角形描绘。2.在步骤2中，在嵌入空间中寻找基于欧氏距离的z′（v）的k个最近邻居，并通过使用所提出的保凸插值（Eqs.（8-9））。最后，在步骤3中，最佳材料嵌入状态z（v）是反式的。图2：所提出的自动嵌入数据驱动计算框架的几何示意图。相空间中的材料数据点（灰色填充的圆圈）zI通过编码器函数与材料嵌入点（白色填充的圆圈）zI相关。l〇w维嵌入流形由或表示。长划线。（10和11）。所有方案的Green菌株的正常组分和相关的第2-PK应激趋势绘制在图1中。3（c-d）。 考虑到试件几何形状和载荷条件的对称性，采用对称边界条件建立了四分之一模型，如图所示。3b.采用相对于最大实验应力数据S真实的归一化均方根偏差（NRMSD）来评估方法的预测性能，参见等式（1）。（10），从嵌入空间到数据空间形成解码r，z（v）=hde c（z′（v））（图中的红星）。2）。亚”。NΣeval（SAED−Strue）2我Neval进程完成一次全局-局部迭代。重复进行直到物理和配偶之间的距离-其中Neval= 200是评估点的数量SAEDD和Strue是预测应力和经验应力。序列状态在容差范围内，从而产生数据驱动的so_i图中绿色星号表示的解2，其理想地是数据空间中的物理流形和材料流形之间的交集这里，在滤波（无噪声）低维嵌入空间中处理最佳材料状态的最近邻搜索和局部凸重构，从而增强了对噪声的鲁棒性和局部解的准确性。4数据驱动的生物组织建模所提出的AEDD计算框架的有效性进行了评估，通过建模生物心脏瓣膜组织，数据来自一个代表性猪二尖瓣后叶的双轴机械实验（Jett etal. 2018年），见图中的示意图3a. 共11个方案，包括9个不同双轴拉伸比的双轴拉伸方案（1第i个评估点的精神压力数据。据观察，具有嵌入di-MensionP2不能捕获具有二维应变-应力对（d= 6）的材料数据集的有意义的嵌入表示。 这与（He和Chen2020）中的观察结果一致，即局部凸重建的最近邻数应大于数据的固有维数，对于二维应变-应力材料数据集，该固有维数为2。因此，采用具有“6-4-3-4-6”架构的自动编码器因此，嵌入维数等于3。 采用双曲正切函数作为自编码器的所有层的激活函数，除了嵌入层和输出层，其中替代地采用线性函数。损失函数中的正则化参数β最大随后，该材料从方程中的局部解算器中得到z（v）在下一物理状态更新z（v+1）中使用等式（7）。这/Strue，（10）(a)（b）(c)（d）图3：（a）安装在双轴测试系统的二尖瓣后叶样本的示意图(c) 所有方案的实验Green应变数据;（d）所有方案当量（6）设为10- 5。采用自适应梯度算法Ada-grad（Duchi、Hazan和Singer 2011）。 初始学习率为0。1并且训练时期的数量是2000。训练数据集包含以下的应变-应力数据方案1、3、4、7和8，参见图1B。图3（c-d），其被标准化为具有零均值和单位方差以用于加速训练过程。自动编码器使用开源Pytorch库（Paszke et al. 2017），然后在协议5的在线计算期间应用于AEDD求解器。数据驱动的模拟预测模型的应力响应（图1）。图3b）在由方案5的变形历史规定的位移控制载荷下（图3c）。如图4，AEDD实现了比局部凸性数据驱动（LCDD）计算方法更高的预测精度（He和Chen 2020; He et al. 2020），（NRMSDAEDD= 0. 061

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