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理论计算机科学电子笔记155(2006)361-377www.elsevier.com/locate/entcsChu空间Je Escherey M. Egger1,2渥太华大学数学与统计系加拿大渥太华摘要巴尔介绍了朱范畴作为一般建设产生的非自治范畴,基本框架的语义吉拉德的线性逻辑。巴尔在朱范畴中挑出两类对象进行特殊考虑,即分离对象和外延对象。文[2]指出,在一定条件下,可以在这些对象的全子范畴上导出一个双自治结构。这样做的方式,以及所涉及的假设的性质,表明存在一个同伦理论解释这些想法。在本文中,我们表明,情况确实如此。 特别地,我们证明了有可能在某些Chu范畴上放置一个Quillen模型结构,使得Chu空间是分离的当且仅当它是纤维的,而扩张的当且仅当它是纤维的。保留字:线性逻辑,抽象同伦论,Chu空间。1引言Girard线性逻辑语义学的基本单位是monoidal范畴理论。对线性逻辑的研究已经为各种类型的对称monoidal闭范畴产生了新的一致性定理。它导致了许多monoidal闭范畴的新例子,如Girard1部分由NSERC供资。2电子邮件:jeffegger@yahoo.ca1571-0661 © 2006 ElsevierB. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2005.11.064362J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361Ehrhard的K o?th e空间,并给出了一种新的构造方法来构造伪幺-自治范畴,即具有强对偶概念的对称幺半群闭范畴。最著名的这种建筑是楚建筑,由于巴尔。在[2]中,巴尔在任何Chu范畴中挑出一类特殊的对象。这些是分离的、延伸的物体。虽然这些并不一定形成一个独立自主的范畴,但在许多特殊情况下,情况确实如此。 在这种情况下,较小的类别通常更容易处理。作为一个关键的例子,如果一个开始的范畴离散向量空间,那么相应的分离,扩张范畴确实是双自治的,并有一个简单的解释作为一个范畴的拓扑线性空间,如在-[9]《易经》云:“天之道也,地之道也。分离的、外延的子范畴也是当我们从Banach空间的范畴开始时,这是一个有趣的问题。在那里人们得到一类混合拓扑空间,见[1]。本文和作者论文研究的主要目标奎伦模型结构[7]是一个抽象范畴上的结构,它允许人们“做同伦”,即模仿同伦理论中固有的代数和拓扑操作。奎伦思想的影响是巨大的。同伦理论的思想已被应用于各种各样的结构在许多数学分支。考虑到[7]中的许多例子,可以看出这些想法是多么我们的主要结果是,许多楚范畴可以配备一个自然的奎伦模型结构,在这样一种方式,所产生的同伦范畴是相当于较小的,在许多方面更有趣的,类别的分离和延伸楚空间。2背景首先,我们回顾一下我们将在本文中使用的一些基本概念。我们提请特别注意奎伦模型范畴的概念,抽象同伦理论的主要工具之一。当然,具体同伦理论是代数拓扑学的支柱之一。但奎伦观察到,代数拓扑中出现的上纤维化、弱同伦等价和Serrefibration(例如,见[13],其中Serrefibration也称为弱纤维化)的具体概念可以公理化--不是单独公理化,而是根据它们彼此之间共享的范畴性质公理化。此外,所有其余的概念(具体)同伦J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361363理论可以用这几类连续映射来表述。因此,人们能够将拓扑直观引入到由拓扑空间和连续映射组成的范畴之外的范畴,例如参见[8]。2.1Monoidal模型范畴一个奎伦模型范畴是一个有限完备且上完备的范畴A,它有三个不同的态射类:C,其元素称为上纤维化;W,其元素称为弱等价;F,其元素称为纤维化。我们统称为A的Quillen模型结构的C,W和F需要满足一系列公理,这些公理可以总结如下:(C <$W,F)和(C,W <$F)都应该形成弱因子分解系统[12];W应该满足3取2规则-即,如果ω,ω,ωω中的任何两个在W中,那么第三个也是。这些公理是自对偶的,如果(C,W,F)是A的Quillen模型结构,则(F,W,C)是Aop的Quillen模型结构。奎伦模型范畴的同伦范畴可以描述为分数范畴A[W−1],或者(等价地,但不是同构地)描述为A的一个全子范畴由一个同余表示的结果[10]。所讨论的完整子范畴由那些x组成,使得:唯一映射x−→1属于F(这样的对象称为Fibrant;唯一映射x − → 1属于F)。0−→x属于C(这样的对象称为系数)。在这个阶段值得注意的是,如果(C <$W,F)或(C,W <$F)是一个强分解系统(也就是说,通常的分解系统有意义,见[2]),则所得到的同余是平凡的,使得同伦范畴等价于A的纤维对象和上纤维对象的全子范畴。本文件的重点正是这一看似堕落的案件。还应注意,可以使任何单一因子分解系统通过选择W作为A中所有态射的类,将其转化为Quillen模型结构。一个Monoidal模型范畴是一个Monoidal闭Quillen模型范畴,它满足额外的公理以保证同伦范畴具有一个诱导Monoidal闭结构。从这里开始,我们将只讨论对称的情况,它不需要进一步的公理。从对称monoidal模型范畴的定义中得出的关键引理,基本上是证明同伦范畴是monoidal闭的所需的全部内容,是x(−)z,A,rx(−)和(−)zz,Aop,rA(−)z应该是Quillen函数,不一定对所有对象x和z都是,但在364J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361当z是有理数时,x是有理数。Quillen附加是Quillen模型范畴之间的附加,其左部分(即,左伴随)保留了Quillen模型结构的 这相当于保存了‘right parts’ of the Quillen model structure,关于adjunction在第二个附加项的情况下,这种等价是微不足道的!这两 个 陈 述 都 要 求 ( − ) z 应 该 将 C 映 射 到 F , 并 且 C <$W 映 射 到W<$F。正是这些条件与巴尔公理FS-2到FS-4之间的(非常)相似性2.2楚空间给定一个具有拉回的对称monoidal范畴V,V,我们定义一个范畴Chu=Chu(V,d)如下。Chu的对象,别名Chu空间,是三元组A=(a+,a-,α),其中a+,a−是V中的对象,α是V中的态射a+<$a−−→d。态射Θ+θ++-θ−−A−→B在楚国是一对箭a−→bb−→a使得a+a−αzd,,,a+θ−a+b−θ+θb−+,−z,bbβd现在假设我们将Chu构造应用于一个monoidal闭范畴V,该范畴配备了一个因子分解系统(E,M)。然后,给定一个Chu空间A=(a+,a-,α),我们可以考虑α的两个转置:a+−α→αa−d和a−−α→αa+d。如果α ∈ M,则称A是孤立的,如 果 α∈ M,则称A是扩张的。 我们写Chus为Chu的由分离空间组成的全子范畴,Chue为扩张空间的全子范畴,Chu为它们的交。现在,Chu结构的全部要点是Chu是一个单自主范畴(见下面的4.1节);但是Chu一般不是Chu的一个monoidal子范畴,更不用说是一个子单自主范畴了。然而,[2]表明,如果(E,M)满足FS-1和FS-2,或FS-2和FS-3,则有可能在chu上诱导出一个双自治结构FS-1 {epis}。J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361365VFS-2 对于每个x,函子x(−)保持M;等价地,x(−)z,V,rx(−)是一个Quillen附加式,其中,如2.1所示,我们选择C=E,F=MW=V中所有箭头的类。FS-3 对于每个z,函子(−)z将E映射到M;等价地,(−)zVopz,,r(−)z是一个Quillen附加式,关于C,W和F的相同选择。而且,在Chu上导出这种自组织结构的方法似乎是在Monoidal模型范畴上导出Monoidal闭结构的方法的简化版本。因此,一个人自然会被误导--假设V上的因子分解系统使Chu成为一个monoidal模型范畴,其同伦范畴是Chu。现在,尽管巴尔根据他所考虑的应用类型提出了一个有说服力的案例,即FS这部分是因为我们希望利用的明显的平行性,但也因为我们有兴趣将结果推广到前面提到的弱因子分解系统,并可能进一步推广;但满足FS-1的弱因子分解系统实际上,在抽象同伦理论中,C是一类典型的monics。2.3反应因子分解系统让我们暂时把注意力限制在允许子范畴任意相交的有限完全范畴A上。[3]称这样的范畴是有限的好完备的,而[2]则用宽完备的术语来描述这样的猫。小的,也有小的,也有小的。则在A的全自反子范畴和A上的因子分解系统(Wl,F)之间存在双射3对应,使得Wl满足3取2。这种对应的一个方向很容易描述:首先,注意我们正在处理的因子分解系统的类型可以被制成A的Quillen模型结构,通过将C作为A中所有映射的类;然后,我们将Fibrant对象的全子范畴(等于同伦)[3]这里我们认为A的两个全子范畴是相同的,如果它们仅由它们包含的同构类的代表而不同。366J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361范畴,因为没有全等,所有对象都是全等),作为相应的子范畴-它是反射性的,因为因子分解系统的强大性。另一个方向的一半也很容易描述:给定A的A1的一个相对子范畴,其中有反射子l,我们定义W1由A中的那些箭头ω组成,使得lω是A1中的同构。因此,F被确定为满足关于Wl的适当提升公理的那些箭头,但是F一般不容易描述。然而,如果A1是[3]所称的半左正合全对应子范畴,ψA的,则F可以被描述为A中的那些箭头x−→y,使得自然广场lxηx zx,l,ηy,lyzy,是一个回撤方格此外,在这种情况下,我们可以免除假设A允许任意交叉。3Chu的Quillen模型结构将2.3的观察应用于Chus,它总是Chu的一个相对子范畴,并且与Chue对偶,我们看到,在模(C,Wr),使得Wl和Wr都满足3取2。还有什么可以证明是类W的存在性,满足3取2,且Wl=C <$W和Wr=W <$F。通过构造,我们可以得到Chus,它等于抽象对象的全子范畴,Chue,它等于抽象对象的全子范畴,因此,chu作为同伦范畴。但是,如果没有F或C的具体描述,这是相当困难的。因此,试图在(E,M)上找到保证Chus是Chu的半左正合全子范畴的额外条件是有意义的。但是,在这方面,半左正合性是一个相当难证明的条件。因此,我们采取直接表明的方法,用一个进一步的公理,即E在拉回下是闭的,我们得到正确类型的分解系统。对于本文的其余部分,(E,M)将表示V上的强因子分解系统,而V又是具有有限极限和上积的任意对称monoidal闭范畴。d是V的任意对象,Chu是对应的Chu范畴Chu(V,d).J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361367定义3.1设A=(a+,a-,α)和B=(b+,b-,β)是Chu空间,A-Θ→Ba Chu态射。(i) 对于a+−→a−d的(E,M)-因式分解,我们写al,对于唯一的提升,我们写θl。a+zza,l,z,za−,dθ+、、、θ−d、b+zzy,l,z,zb−,d(ii) 我们定义Wl为所有Θ的类,使得θ−和θl可逆。(iii) 我们定义F为所有θ的类,使得a+zza,l,θ+θl、、、b+zzbl,,是一个回撤方格双重,(iv) 对于a−−→a+d的(E,M)-因式分解,我们写一个r,对于唯一的提升,我们写θra−zza,r,z,za+,d、、θ−,,θ+db−zzbr,,z,zb+,d(v) 我们定义Wr为所有Θ的类,使得θ+和θr可逆。(vi) 我们定义C为所有θ的类,使得a−zza,r,、、θ−θrb−zzbr,,是一个回撤方格最后,(vii) 我们定义W为所有Θ的类,使得θl和θr可逆。定理3.2如果E在V中的拉回下稳定,则(Wl,F)和(C,Wr)是Chu上的分解系统.证据通过对称性,我们只需要证明(W1,F)是一个因子分解系统.因子分解公理是最容易验证的:给定Chu空间X和368J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361`\b,,、、、b,,Y和aChumorphismX−Θ→Y,l∈a+,λ+和φ+be,如所示:+J、、、λ+za+,,zzx,l,、、、、、φ+pbθlθ+ ,,,ty+zzy,l,又设a−=x−,λ−是x−上的恒等式,φ−=θ−。 则A=(a+,a-,α)是一个Chu空间,其中α是复合的转置a+zzx,l,z,z(x,−d)则Λ =(λ+,λ-)是属于Wl的Chu态射,而Φ =(φ+,φ-)是属于F的Chu态射。下一个提升公理:给定一个交换图AΘzX,Λ Φ、、、BΩzY,对于Chu空间和Chu态射,当Λ∈ Wl和Φ∈ F时,我们定义了B−Δ→X如下。我们可以在下图中反转λl,我... ,θlλl、、、...+、、、、zzbl,xl、、、、,φlω+,ωl,,,ty+,ztzy,l让我们可以制造一个箭头Jδ+z,`\,+ 、、、 、、、x+zzx,l,,φ+φlω+ ,X、、、、、、J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361369,,ty+zzy,l,- 因为右边的方块,假设是一个回调。如果我们定义δ−成为x−θ−的坐标−(λ−)−1−za,zb,,thenΔ=370J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361、、、、、X,、、、(δ+,δ−)是一个Chu态射B−→X,如下所示。b+Jzzbl,,z, z(b,−`\,d)−1`\(λl)−1、(λ−d)-,−δ+alz,z(a,d)(δd)、θl、、、(θ−d)-你好x+,,zzx,l,z, z(x,d),r,,此外,很容易检查Δ是唯一的Chu态射,使得AΘzX,......Λ,,Δ, Φ......比如说,BΩzY,+θ+z+,、、、λ+,+,δB+从上面的回调的通用属性得出。最后,应该清楚的是,Wl和F在同构和复合下是封闭的。Q定理3.3若E在V中的拉回下稳定,且函子(-)d将E映射到M,则Wr= W<$F且Wl= C <$W。此外,W总是满足3选2。因此,在这些假设下,(C,W,F)在Chu上形成了一个Quillen模型结构。证据首先观察到(<$$>ω)l=<$l<$ωl,通过在(E,M)分解下提升的唯一性。[I.e.、(−)l实际上是一个函子Chu−→ V。 如果有两个人, 一个人,一个人。类似地,(ωrω)r=ωrωr;因此W满足3取2。现在假设Φ =(φ+,φ−)∈ Wr。 然后将函子(-)d应用于图·,,zz·,,z,z·,φ−φr(φ+d)·zz·,z,,z·,、、、一J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361371我们得到一个图表·,r,·,rr ·,r·(φ−d)·,,r通过举,我们得到(φrd),·,,rr((φ+(d)·,,rφ+·,·zz·,,z·z,, z·,φ+φl(φrd)(φ−d)·,zz·,,z·,z,,z·,,通过分解的唯一性,我们得到两个虚线箭头都在M中。但φ+和(φrd)都是可逆的,所以因式分解的唯一性[再次!]意味着φ1是可逆的;即,φ∈ W。但最左边的方块也是一个拉回,即φ∈ F。相反,iso的回撤是iso,表明WF Wr。Q定理3.4一个Chu空间是分离的当且仅当它相对于上面给出的Quillen模型结构是纤维的,而扩张的当且仅当它是纤维的。证据 设0和1分别表示V.则终端Chu空间为T=(1, 0,!)在哪里!是唯一的映射1<$0−→d。Ntethat0d=1. 因此,对于X−→T成为纤维化m,我们有一个撤退广场x+zx1,、1并且ISO的拉回是ISO。、z1,Q4单轴结构在本节中,我们研究在什么情况下,上面定义的Quillen模型结构(C,W,F)满足上面2.1中讨论的关键引理,并在下面的推论4.3中定理3.3的假设将在本节中被假定;注意,其中一个假设是一个特殊的假设。Barr首先让我们回顾一下楚国的自治结构。定义4.1设A=(a+,a-,α)和X=(x+,x-,χ)是Chu空间。∼372J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361z(D然后(i) 定义一个αX为Chu空间((a·x)+,(a·x)-,α·x),其中• (a·x)+定义为a+<$x+;• (a·x)−定义为以下回调:(a·x)−z(a,+x−)(a+(x,+d))=(x+,a−)z(x,+(a+d))=. a·x)+,和• α·χ被定义为映射(a·x)- 我知道+z(,a·x)d在上面的图表中。(ii) A被定义为(a−,a+,α<$σ),其中σ是对称映射a−a+−→a+a−。(iii) 一X定义为(XA)。众所周知,上面定义的运算确实使Chu成为一个π-自治范畴,特别是成为一个具有单位E=(e,d,π)的对称monoidal闭范畴,其中π是典范同构eπd−→d。现在,从所有涉及的定义中可以清楚地看到,函子(-)在交换C和F时保持并反射W。正如我们将在下面看到的,这个观察大大简化了我们对推论4.3的证明;它也是一个充分的,虽然远不是必要的,条件同伦范畴不仅是对称monoidal封闭的,但它是n-自治的。此外,请注意E是cobra nt,因为cobrant是canonica i somorphis md−→ed。这消除了对恼人的技术条件的需要。 关于非自治模型范畴的完整处理,参见[4]。定理4.2如果(E,M)满足巴尔公理FS-2且M ∈ { monos },则XJ.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361373余标蕴含X ∈(−)保持余标。374J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361、、、、=zz zz++++D证据 为了理解(a·x)r,请注意,我们有(a·x)−z(a,+x−)、、、、,,ss)r,、、、(a+(x,+d))+ ,−(a·x++S,,,,,,,............=+,(xa))z(x,(a(d))z(,a·x) d因为(x−−→x+d)∈M且a+(−)保持M。类似地,我们从以下假设中获得下面的虚线箭头,X+(−)保持M。(a·x)−z(a,·x)r`a+x−<$我............、“”,一XD=. ','`r``你好`,x+a−zx,+arz,.zx,+a+d= z(a,·x)+d,,,. `x+b− <$`+r'.`+`+´´∼=`+´zx,b,,z,zx,bD..z(b,·x)D,,=```B x...、、.,,..',,'(b·x)−z(b,·x)rz,zb,+x−我们需要证明左边的大矩形(垂直虚线的那个但是中间偏左的小方块是一个回调假设,因为函子x+(−)是右伴随,保持回调。现在看来,左上角和左下角的两个中等大小的抛物线是回调。但这是因为顶部和底部的大矩形是通过简单的图表追踪而拉回的--如果>s确实是monic的话。Q推论4.3在定理4.2的假设下,如果X是协因子,Z、、、 、、、.´´J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361375是一种执着,两种执着,X(−)楚智,和(−)Z操作Z,,rX(−)都是奎伦的作品楚楚,r(−)Z楚376J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361证据 我们已经证明了函子X ∈(−)保持协纤维,当-every X是协纤维时。因此,可以得出函子X<$(−)<$映射F到C,并且有X(−)<$=(X<$(−) <$) <$mapsF到F 。 但这等价于断言X<$(−)保持C<$W。因此,是一个Quillen的附加词。如果Z是有理数,则Z是有理数。所以(Z<$$>(−))保持C和C <$W , 并 且 ndhence ( − ) Z<$= ( Z<$$> ( − ) ) <$mapsCtoF 和C <$WtoW <$F。所以第二个附加条件也是Quillen附加条件。Q5结论这部作品的预期价值与其说在于启发,Chu空间理论作为现有线性逻辑文献中抽象同伦理论概念未来的工作包括研究Ehrhard从埃哈德的表述方式来看,似乎很明显此外,超相干的“平行展开”的概念唯一映射x−→1的因式分解为一个非循环上纤维化和一个纤维化。由于平行开折不是唯一的,这开启了非平凡同伦关系的可能性,因此开启了作为串行和平行超相干空间的全子范畴的非平凡商的同伦范畴。另一个可以被看作是从这项研究中产生的问题如下。假设A是一个Quillen模型范畴,并且它的同伦范畴B也允许一个Quillen模型结构。有没有可能把B的同伦范畴描述成A的同伦范畴?也就是说,是否存在另一个Quillen模型结构,其同伦范畴与B的同伦范畴一致?[NoteB一般不是有限完全的或上完全的,但它确实有有限乘积和上乘积。虽然最直观的证据同伦关系的传递性使用推出和拉回,存在一个替代的证明,不使用这种额外的结构。 事实上,我们在[4]中表明,在这种更一般的背景下,建立同伦理论是可能的。这个问题的产生是因为chu是一个互指子范畴,因此J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361377··的同伦范畴,Chus-而Chus是一个相对子范畴,因此是Chu的同伦范畴。我们证明了在某些情况下,更有趣的是,如果任何已知的同伦范畴都可以被理解为“双重同伦”范畴。 也就是说, 如果在单纯集范畴和它的同伦范畴之间存在有趣的中间体。6附录弱因子分解系统的概念,虽然在代数拓扑学中很重要,但似乎直到最近才被范畴主流所忽视。为了完整定义6.1范畴A的弱因子分解系统由A的箭头的两个子类L和R组成,使得(i) A中的每个箭头α都可以分解为α=ρ<$λ,其中λ∈L,ρ∈ R;(ii) 对于每个交换平方·αz·,λρ,z,,β当λ∈L和ρ∈ R时,应该存在一个(不一定是唯一的)映射δ·αz·,,λ δρ,z,,β这使得两个三角形都是可交换的;αβ(iii) 对于每个收缩,·z,z·, zz·,inA:(a) 如果λ∈L且···μλμ,α,β,对易,则μ∈ L;·z,z·,zz·,,··378J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361ρρ(b) 若ρ∈R,且αβ·z,z·,zz·,,对易,则σ∈ R。σ·,ρ·,σ·,[2,命题5.4]的类比成立。引理6.2若(L,R)构成A的一个弱分解系,且σ关于L中的所有箭头具有提升性质,则σ ∈ R。证据因子σ作为映射λ∈ L后跟映射ρ∈ R.因此我们有一个交换平方··λσ,z·,,这可以通过如下假设来解除:··,λ δσ,z·,,henceweheheeh e h•zλ,z·,δzz·,,σ·,所以我们有σ∈ R,如所希望的。ρ·,σ·,Q这个引理和它的对偶有通常的推论:L和R在复合下是闭的,包含所有的同构,并且被某些种类的(余)极限所保持。为了表明我们对Quillen模型范畴的定义与[7,11]的定义一致,有必要证明以下内容:引理6.3如果A是有限完备和余完备范畴,具有三个不同的态射类C、W和F,使得(C <$W,F)和(C,W <$F)形成弱因子分解系统,并且W满足3取2规则,则W在 A → 中的所有收缩下是闭的。证据设α∈ W,β是α的收缩核. 然后我们可以将β因子化为φ<$λ,其中λ∈C<$W且φ∈ F。它表明φ∈ W。··J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361379.,r·φ,,形成如下推出。·z,z·,zz·,,Jλpoμαλ`\β·,z,z·θ,rzz·,,βφ,Zr,θzr·,φzz·,观察到μ∈ C <$W,因为它是λ的推出。因此θ∈ W,3取2。现在φ是θ的收缩。但θ可以分解为ρ<$κ,其中κ∈ C <$W,ρ∈W <$F。 然后我们可以应用提升性质,如下所示:·z,z·,zz·,,、、κ,φθρ、、、·z,z·,z,rzz·,,- 这表明φ也是ρ的收缩,因此也在W <$F中。因此,最后一次应用3取2得到β=φ<$λ∈ W。Q引用[1] 我是巴尔。 你可以去吃早餐。 CahiersTopologieG'eom. Di'erentielle,17(1):15-32,1976.[2] 迈克尔·巴尔分离的张性楚范畴。理论应用分类,4:No.6,137[3] Francis Borceux和George Janelidze 伽罗瓦理论,剑桥高等数学研究第72卷。剑桥大学出版社,2001年。[4] Je Escherey M. 艾格抽象同伦理论在线性逻辑中的应用。博士论文,渥太华大学,2005年(待发表)。[5] 托马斯·埃哈德。并行和串行超相干。理论计算。Sci. ,247(1-2):39[6] 我的天啊。 在Kéo,顺序空间和线性逻辑。我也是。结构简单。 斯克岛,12(5):579 -6 2 3 ,2002 .[7] 马克·霍维模型类别,第63卷的数学调查和专著。美国数学学会,普罗维登斯,RI,1999年。[8] 马克 诉 劳森, 约瑟夫 马修斯 和蒂姆·波特逆半群的同伦理论。内部J.代数计算,12(6):755[9] 所罗门·莱夫谢茨代数拓扑学American Mathematical Society ColloquiumPublications,v. 27.美国数学学会,纽约,1942年。[10] 桑德斯·麦克·莱恩分类为工作的数学家,第5卷的研究生教材在数学。Springer-Verlag,纽约,第二版,1998年。、、380J.M. Egger/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 155(2006)361[11] Daniel G.奎伦同伦代数数学笔记,第43号。施普林格出版社,柏林,1967年。[12] 我很高兴你能来我家。 我是一个很好的人。 J. PurereAppl. AlGebra,175(1-3):355-382,2002.特别卷庆祝教授马克斯·凯利70岁生日。[13] Edwin H.斯潘尼尔 代数拓扑学 麦格劳-希尔图书公司纽约,1966年。
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