通用的曲线曲面比较与配准框架及度量方法研究

3346一个通用的曲线曲面比较与配准框架Ire`neKaltenmarkCMLA，ENSCachan，CNRS，Universite 'Paris-Saclay，94235，Cachan（卡尚），法国Irene. cmla.ens-cachan.fr尼古拉斯·查龙BenjaminCharlier IMAG，CNRS，蒙彼利埃大学电子邮件：umontpellier.fr约翰霍普金斯大学charon@cis.jhu.edu摘要本文介绍了一种构造曲线、曲线集或曲面等有向或无向几何形状之间的数据保真度度量的通用设置。这些度量是基于形状的局部切线或法向量的分布表示和这些空间上的再生核的定义。该构造在一个共同的设置中结合，并扩展了以前的电流和变倍框架，提供了一个非常大的核度量类，该核度量可以很容易地计算，而不需要任何类型的形状参数化，并且足够平滑，以提供对可能导致的某些缺陷的鲁棒性例如因为分割不好然后，我们给出了一个意义上的，与合成的例子，这样的度量的通用性和潜力，当使用在各种问题，如形状比较，聚类和几何配准。1. 介绍上下文形状分析已经成为许多最近应用中的中心问题之一，这些应用的范围从计算机视觉和机器人技术中的自动对象识别到医学成像领域，在医学成像领域中，越来越多的先进设备和协议已经使得能够在纵向研究中对具有跨个体或随时间变化的形态的各种解剖结构进行遇到的具体问题显然取决于应用程序和数据的性质然而，在这些研究中最常涉及的问题中，可以特别提到通过适当的度量、配准（即，表示“估计”之义两个给定形状之间的信息变换），或者从观察到的形状群体估计形状统计，如均值、模板或生成模型。已经提出了许多方法来解决不同形状模态的这些问题这些方法中的一些，[24，7，22，21]仅举几例，依赖于提取有限数量的特征点（或地标）。其他方法如[12，32，4，3，36]将形状视为整个2D或3D图像。然而，在许多情况下，用于形状的更自然或紧凑的模型是与可能已经获得的周围空间的曲线或表面一起工作，例如，通过图像的预先分割。这种情况下，涉及到特殊的挑战，从复杂的性质空间的曲线和曲面。本文的总体目标是提出一个相当普遍的结构之间的相似性metrics的一个广泛的类的这些对象，可以很容易地用于形状分析的多个问题。与其他作品的关系。过去已经引入了几个框架来定义两个给定曲线或曲面之间的相似性度量或测量。如果像Hausdorff或Gromov-Hausdorff距离[27]这样的度量乍一看似乎很自然，但它们对噪声或拓扑不规则性高度敏感，不一定适合不精确配准的应用。一类方法试图通过参数化函数来表示形状并与例如闭曲线的平方根速度函数[35]或闭曲面的q-映射[25]进行比较。在这两种情况下，强制参数化不变性是一个必要的步骤，涉及离散重新参数化的微妙和可能昂贵的优化。本文的重点是，而形状的距离，直接不变的参数化。我们的方法3347∫X以下源自将形状表示为某个分布空间的元素的几何测量理论的思想，该理论在[17，15]的开创性著作中首次用于形状相似性度量的定义。这些都是基于有向曲线或曲面的数学电流的表示。后来，[11，10]介绍了另一种但方向不变的表示，称为varifolds，最近在[31]中研究了正常循环从那时起，所有这些不同的框架已经发现许多应用于皮质表面[26，30]、脑沟[31]、白质纤维束[13，18]或肺血管配准[29]的形态分析。捐款. 本文件的目的有几个。我们首先建议在一个共同的和扩展的框架下统一嵌入式系统的电流和varifolds单位球面Sn−1和T x X由曲线的单位定向切向量或曲面在x处的单位定向法向量表示，我们将写作→t（x）。注意，选择切线空间的相反方向将把→t（x）变成−→t（x）。如果在整个X上存在一个光滑的定向应用x<$→→t（x），则称一个形状在通常意义上是可定向的。3. 作为定向可变折叠的形状表示3.1. 光滑子流形的表示用上面的记号，设X是Rn（曲线或曲面）的光滑子流形，具有有限的总体积vol（X）<∞。与[16，17，11]类似，我们关联到X一个有向变倍μX，即空间上的分布Rn×Sn−1（位置×切空间方向），曲 线 和 曲 面 。 这 是 基 于 一 个 适 应 的 概 念 ， 面 向varifold，我们展示了这种表示如何允许构建一个一般类的形状相似性定义如下：µX（ω）=∫ω（x，→t（x））dvol（x）（1）X适用于任何类型的曲线或曲面（开放或关闭）或甚至多个对象的团聚。此外，委员会认为，对任意光滑检验函数ω：Rn×Sn−1→R。 在这些（希尔伯特）度量具有独立的优点从分布意义上讲，我们可以写为µX=Xδ（x，→t（x））dvol（x）狄拉克δ。→在离散形状的情况下，依赖于参数化或采样，除了电流和（无方向）varifolds的特殊情况下，我们表明，我们可以很容易地从我们的建设新的度量与intermediate属性。我们对这些相似性度量的几个不同选择的特性和行为进行了彻底的比较，并说明了各种可能的用途。我们的实现也可以在[9]中免费获得。2. 记法和序言在下面的所有内容中，虽然我们提出的框架可以扩展到任何维数或余维，但我们将通过考虑形状是光滑流形或1维或2维光滑流形（可能有边界）的团聚并嵌入周围空间Rn（n=2或n=3）来限制说明。这些包括大多数常见的2D或3D几何形状，如开放和封闭的平面曲线，3D曲线，曲面，曲线束......任何这样的单个子流形X（曲线或曲面）都继承了黎曼度量和体积测度（记为vol），这些度量和体积测度是从嵌入欧氏空间导出的。在每一点x∈X，存在一个切空间Tx X（x，→t（x））（ω）=ω（x，t（x）），X→μX确实是集合Rn×Sn−1上的一个测试函数空间W的对偶W∈ R n ×S n−1，只要这个空间足够大空间W的具体选择将在下面更详细地讨论。注1. 分布μ X仅取决于形状，而不取决于X的任何特定参数化，但确实先验地取决于通过向量→t（x）给予每个正切空间的方向的选择。 此外，定向变倍表示是可加的，因为两个不同子流形X和Y的重联满足μX<$Y=μ X+μ Y。备注2. 这种一般的形状表示包括作为特殊情况下，[16][17][18][19]每一个简单的consists在限制空间的测试功能与特定的形式，我们将看到下文。3.2. 多面体形状定向可变折叠可以进一步用于在同一分布空间W内嵌入离散曲线或曲面或它们的集合。 事实上，这种离散的形状是典型的多面体物体，我们可以用gen来写它是Rn的一维或二维线性子空间一个如X=Fi=1 其中单元格Xi是线X的定向在于给出Tx X的定向对于所有x∈X，在这种情况下，每个定向切空间曲线情况下为线段，3D情况下为三角形三角化曲面，并且彼此不同（模数可以表示为有向格拉斯曼数的元素。对于维数或余维数为1的形状，这样的ori-的边界）。在注释1之后，我们关联到这样的X=SFi=1i在这两种情况下，Grassmannian都可以被识别为定向变倍µXΣFi=1 µXi 其中，每个µXi为=3348近似图1. 三角剖分面的有向变倍逼近。与平面单元Xi相关联的定向可变折叠根据等式（一）.如图1所示，我们可以近似：∫在某些技术假设下，给定连续曲线或曲面的更精细的多面体近似将收敛到连续形状的定向变倍。精确的条件和证明可以从[28]和[1]中导出的关于电流和变倍的类似最近结果中推广，但这将超出本文的范围。然而，一个重要的结果是，这种表示是强大的离散resstrom。4. 核空间与度量性质我们将继续定义一类度量结构空间的定向变倍，这反过来又会导致之间的metrics形状。W上的这些对偶度量是通过对测试函数集W引入更特殊的Hilbert空间而得到的。对于这样的空间，再生Kernel希尔伯特空间（RKHS）被证明是特别适合于离散形状的实际计算。µXi（ω）ω（xi，t→i）dvol（x）=riω（xi，t→i）（2）Xi4.1. 有向变折叠的RKHS我们提醒，任何集合M上的正定核其中xi是定义xi的所有顶点的重心，→ti∈是一个函数k：M×M→R，使得对于一个nyfam-Sn−1指向线性子空间ily（x1，. . . ，xp）∈ Mp中的不同点的 ma-p.n（k（x，x））是对称半正定的由Xi和ri=vol（Xi）长度（相应面积）ij i，j=1，.，p三角形（三角形）。这就导致了每个替换µXi 由一个加权的狄拉克ri。δ（xi，→ti）. 然后，写作与任何这样的内核相关联，通过Moore-Aronszajn定理[2]，M上函数的Hilbert空间称为简体中文ΣFi=1 ri.δ（xi，→ti）一个是µX 联系我们以下是─K的RKHS。再生内核已经被广泛用于例如机器学习[20]。ing近似界：1.提案如果X是包含在Rn的紧K内的形状，则对于任何C1测试函数ω：在目前的情况下，我们希望在乘积空间Rn×Sn−1上构造实核，并将相关的RKHS作为有向变倍表示中的测试函数在本文中，我们考虑一类特殊的|≤ε ε x ω ε ∞，K.|≤ǁ∂xωǁ∞,K. 第十卷。max1≤i≤F 直径（Xi）可分离内核定义如下：第二个提案。 如果kpos和kor是两个正定的ker-Pr oof. F或一个ny胞腔Xi，因为对所有x∈Xi，→t（x）=→ti，我们有∫在Rn和Sn−1上的类C 1的nels，则张量积k=k posk或是Rn×Sn−1上的C 1正定核。此外，k的RKHS连续嵌入在| （µ-r δ）（ω）|≤|dvol|dvolC1（Rn× Sn−1，R）.Xii（xi，→ti）Xi我我这是张量经典结果的一个推论≤vol（Xi）<$$>x ω<$K，∞diam（Xi）其中k∈ x ω∈ ∞，K表示ω关于第一个变量的导数在K上的超范数，diam（Xi）= maxx，y∈Xi|x−y|细胞的直径。结果是对所有单元格求和因此，只要胞元的尺寸保持足够小，Diracs μ π X的有限和提供了多面体形状X在定向变倍方面的可接受的近似。这种有向变倍集的另一个有趣的性质是，它提供了离散和连续形状表示之间的一致性，从这个意义上说，从更多和更少的空间中获得的离散分布=3349再生核的乘积（参见[6] 1.4.6）。再生核性质还意味着所有Diracδ（x，→t）都属于W∞，并且对偶度量满足<$δ（x1，→t1），δ（x2，→t2））<$W<$=k（（x1，→t1），（x2，→t2））=kpos（x1，x2）kor（→t1，→t2）.（三）虽然这种可分离的结构并没有覆盖Rn×Sn−1上的整个可能的核集合，但张量积构造的优点是仍然通过kpos和k的各种可能的选择提供了一大类度量，或者同时易于解释。空间和方向特征之间的组合。实际上，kpos可以被认为是嵌入空间Rn中的点位置之间的接近度的度量，而k或，3350JJ另一方面，量化了单位球面上向量所表示的关联切空间之间的接近程度。度量的另一个相关性质是刚性运动的等变性，即对于任何仿射等距x<$→Ax+b，对于W中的任何两个Dirac，<$δ（Ax1+b，A→t1），δ（Ax2+b，A→t2）<$W<$ =<$δ（x1，→t1），δ（x2，→t2）<$W<$. 我们有以下简单的描述：3号提案在前一类可分核中，度量W与刚性的作用等变，n在∞处消失的连续函数空间中的稠密性[8]。现在，让X/=Y。 则存在x0∈ X和r >0，B （ x0 ， r ） <$Y=<$ 。 考 虑 由 g （ · ） =kor （ →t（x0），·）∈Wor 定 义 的 函 数 g.由于g（→t（x0））=korr（→t（x0），→t（x0））>0，g是唯一的 且X是smoth，x<$→g（→t（x））在某个球B （x0 ，r′）<$X<$B（x0，r）上是严格可微的. 现在取一个连续的正函数在Rn上，B（x，r′）是支集的，且在x处是严格正的。通过0 0以下形式的核k的变换：k（（x1，→t1），（x2，→t2））=kpos（x1，x2）kor（→t1，→t2）=p（|x1−x2|）γ（→t1·→t2）。（四）密度，存在一个序列（hn）∈（Wpos）N一致收敛于h.然后0=（µX−µY）（h ng）相反，函数ρ和γ获得正定核的条件也得到了更精确的解释。∫ ∫=hn（x）g（→t（x））dvol（x）−XYhn（y）g（→t（y））dvol（y）胺化。 [33]的结果表明，容许ρ可以定义为有限个正的贝塞尔变换−n−→−−∞→X<$B（x0，r′）h（x）g（→t（x））dvol（x）.R+上的Borel测度同样，一个必要的和充分的但由于h和x<$→g（→t（x））都是严格对称的，λ∞（λ）关于γ的条件（cf [37]）是γ（u）=k=0akPk（u）B（x0，r′），我们最终得到一个矛盾。∞（λ）（λ）其中a≥0，a P（1）∞，P是超0。 则dW<$（X，Y）=<$µ X−µ Y<$W<$定义了一组形状上的距离。证据我们只需要证明dW<$（X，Y）=0<$X=Y。 对于与核k pos和k or相关联的R n和S n −1上的RKHS，我们kpos的C0普适性精确地意味着Wpos是=3351这两个内核的性质，可以直接从命题1给出了近似误差的W-度量的类似界，即这个增益是由X中所有单元的最大直径控制的。正则性的第二个结果是，（6）的度量相对于形状顶点的位置是不同的，并且梯度很容易通过链式规则简化来33521个以上|x−y|/σS4.3. 选择核函数从现在开始，我们集中讨论由（4）给出这一系列指标的特别简单的形式使得它非常方便的实现，保留了内核选择的灵活性。对于径向核kpos，典型的选择是|2|2广泛使用的高斯kpos（x，y）=e−σ2或柯西图2. 不同指标的行为。 在左边，一个形状，kpos（x，y）=122个核，其中参数σ红色的细长部件在右边，一个比例图是-给出度量敏感的空间尺度。两者都满足命题4的C0普适性假设，参见[8]。 我们将主要用高斯克尔-在下一节的模拟中。我们的实现还包括具有不同尺度的任意数量的高斯的总和，以尝试允许多尺度策略。等变球核k或另一方面 对结果度量的基本性质具有深刻的影响。下面，我们将检查几个不同的γ示例，其中一些作为特殊情况检索前-介绍了形状不同的术语：• γ（u）=1（分布）：给出丢弃方向向量信息以仅评估两个形状中的点之间的相对位置的度量。这些度量可以等价地从将形状表示为Rn上的标准分布中获得，这是[16]的初始方法。• γ（u）=u（currents）：k或是线性核在Sn−1上的限制。由于线性，µX可以解释为向量空间的对偶元素场或换句话说作为电流，并且度量族（5）精确地恢复了[17，15]中介绍的框架。这样的度量仅适用于可定向的形状。给定一个曲面或曲线X，我们将X表示为同一个曲面或曲线，但方向相反。在这种情况下，内核的线性意味着µX<$=−µX。• γ（u）=u2（无向变分）：对应于Sn−1上的比奈核，不随方向变化。这是一个最简单的无方向可变倍数度量的例子[14]在[11]中还提出并研究了其他方向不变核。在红色部分的范数与整个形状的范数之间，增加高斯函数ρ的尺度σ。注意，在电流的情况下，由于相对于σ彼此“接近”的相反取向的片的抵消，电流迅速减小对于这两种变倍表示，与电流相比，k或的非线性可防止薄结构的抵消，见图2。相反，该线性特性在某些特定配准问题中强制执行更多规则性，以模拟形状增长[23]。5. 实验我们现在给出这些不同度量的各自的兴趣和缺点的几个例证我们使用4.3节中描述的特定内核来处理电流、无方向和有方向的变量。5.1. 形状聚类在本节中，我们将介绍在标准形状数据集Kimia-216上进行对象检索的实验结果。它由18个类组成，每个类有12个对象。每个形状的轮廓从其平滑图像中提取。我们不控制每个轮廓的最终样本。曲线的点数在100到305之间。为了解决尺度不变性的问题，我们根据数据集的平均尺度来固定定向变倍从W上的先前的等变度量，我们然后通过解决刚性配准问题来获得形状上的刚性不变2U• γ（u）=eσ2（oriented varifolds）：在这种情况下，k或为dinv（X，Y）=inf的刚性d W（X，S（Y））.（七）球面上的外部高斯核（Rn的高斯核到Sn−1 的限制）。形状需要是可定向的，并且内核对方向但非线性，尺度σs加强度量的角度灵敏度。可以使用许多其他具有类似性质的核，特别是Sn−1上的内禀热核，尽管其表达式涉及分解为超球多项式，因此，这是更大的数字密集型。表5.1显示了前11个最接近的匹配，这些匹配是用刚性不变流、定向和非定向变分矩阵获得的度量定义为kpos的高斯径向核，它取决于标度参数σ和第4.2节中介绍的三个标量函数γ，最后一个标量函数取决于一个附加参数σs。我们测试了一小组不同参数的分类。优化结果表明，33531方法月1月23日月4月5月6月7月8月9月10月11总形状上下文[5]2142092051971911781611441311017876.13冲击图[34]21621621621521021020720420018716394.44弦轴变换[38]21621621621421521221320820419516895.83电流21421120520220020319719718916015089.56无向变倍21421621221021020720220119117115091.92定向变倍21521421421321220620620219218516193.43表1. Kimia-216的前11个最匹配的形状。在最近的11个匹配中，有方向的可变折叠表示的检索结果为93.43%，优于当前和无方向的可变折叠表示。方法检索精度电流96.30无向变倍96.57定向变倍97.92表2.针对Kimia-216提出的方法的牛眼评分（24个最近邻居之间的检索率，图3.查询形状的最不准确的前12个检索当前Unor varifold或varifold图4.使用模板马（蓝色虚线）到目标（红色）的不同度量的同构配准估计的变形模板与defor一起以蓝色显示mation网格 核kpos在每种情况下都是具有空间尺度σ= 15的高斯。流动方程<$tφv=vt<$φv，其中φv=Id且λ>0t t0得到σ=1。5和σ s=. 5对于定向可变折叠，σ= 1。对于无向变倍，σ =5;对于电流，σ=1如图3所示，检索分数特别低的几个查询显著降低了分类的最终分数。5.2. 微分纯配准5.2.1变形模型作为第二类的应用程序，我们转向使用以前的指标作为数据保真度条款的曲线和曲面的同构配准算法。我们提出的框架是足够灵活的嵌入在各种不精确的注册方法;本文主要研究文献[ 4，39 ]中描述的大变形超纯度量映射（LDDMM）模型。在这个模型中，同构被构造为依赖于时间的速度场t∈[0，1]<$→vt的流，每个vt属于光滑向量场的预定义希尔伯特空间V 如果X0表示模板形状，X1表示目标，则X0到X1的配准被写为最小值，问题：是正则化和数据之间的权重参数忠诚条款这个问题是通过一个测地线射击程序，在涉及到两个定向的varifold距离和它们的梯度相对于顶点位置的计算离散形状的数值解决。5.2.2闭合曲线我们首先比较注册结果（定向）封闭曲线的当前，无定向和定向varifolds。图4示出了模板、目标和配准的形状以及每种情况下的最终变形网格。对于电流，注意简并结构的出现以及两个峰没有很好地恢复的事实：这是前面提到的抵消效应的另一种表现。在其他两种情况下，这些影响完全避免。然而，由于对方向不敏感，未定向的可变折叠在通过产生单个在这种情况下，定向可变折叠实现了非常精确的配准。5.2.3曲线集配准. ∫12Σ2我们现在考虑一个简单的例子，minv∈L2（[0，1]，V）vt0（八）曲线的“袋”，而不是以前的单一连接的形状。这些都是通过提取草图，其中，φv（X0）是通过下式获得的φv的变形模板：两个图像的脸使用线段检测器al-1 133541图5. 使用无方向可变折叠在两个面草图之间进行配准[19]的租值。在这种情况下，一致地定向每个单独的段显然是非常麻烦的问题。然而，无定向的可变折叠度量允许比较这些对象，而不需要定向步骤。5.2.4噪声形状数据经常被观察到具有加性噪声。在这种情况下，可以有利地使用电流的抵消特性来抑制噪声在估计变形中的影响，如图6和7所示。这适用于与噪声引起的振荡相比选择足够大的核大小σ另一方面，有向和无向变倍方法始终更受噪声的影响。然而，请注意，如果模板和目标都存在类似类型和级别的噪声，则所有三种方法通常都会导致良好的配准。光滑表面噪音版本变形：t = 0t = 0. 3t= 0。6t=1与无噪声表面的重叠图7。使用电流在噪声表面（1165个顶点）上配准球体（2560个顶点）。示出了沿着变形的模板形状演变以及登记的形状和初始无噪声表面的比较。以及一束曲线（50和53条曲线，每条曲线分别包含9个点）。为了固定符号，X=（X1，X2）表示源多形状，Y=（Y1，Y2）表示第一对象对应的目标多形状曲面部分和第二个曲线部分。为了注册这些多形状中的两个，我们考虑（8）的优化问题的变型，其写为：. ∫12 2minvtv∈L2（[0，1]，V）011Σ2+λ2µφv（X2）− µ Y2W、12电流未取向有向噪声变倍变倍模板图6.与噪声目标的配准。请注意，非线性内核（定向或不定向）对噪声比对电流更敏感在最后的实验中，噪声也被添加到模板，并且对于三个度量，结果是相似的。5.2.5多对象配准多模态数据分析是医学成像中的常见问题。因此，我们在图8中呈现了涉及混合各种类型的对象的多形状的配准的示例。源形状和目标形状分别包含一个表面（分别有5000个和5055个三角形的手）其中λ1、λ2>0是加权参数。重要的是要正确校准λi这两个Varifold数据附加项可能非常不同。最后注意，变形φ v对于两个子形状是共同的，而数据附加项对于每个子形状是特定的。5.2.6注册到不完整的形状基于核的定向变倍距离与第5.2.1节介绍的LDDMM框架相结合，即使手头数据的网格有缺失部分，也可以轻松使用在我们的实验中，我们假设源形状是完整的，而目标形状具有比例（1-p）33551Vφv（X）ǁt=0t=1/5t=2/5t=4/6t=1图8.多形状的无方向可变折叠配准每个包含一个表面和一组曲线。目标形状为红色。t=0t=1/3t=2/3t=1图9.用有向变量数据附加项配准有70%三角形缺失的海豚椭球缺失的三角形例如，在图9中，目标海豚网格包含完整网格（最初包含14207个三角形）的p=30%的三角形移除的源形状是一个包含20000个三角形的椭圆体。为了对数值成本进行一些透视，计算源和完整目标之间的定向变倍距离通常需要0。在NVIDIA Geforce GTX 780Ti上实现CUDA仅需1然而，为了在这样的不完整目标上获得相干配准方向变倍表示允许非常方便地这样做，通过简单地重新加权目标定向变倍与一个单一的常数等于丢失的三角形的比例的估计。然后，配准问题被替换为：p=100%p=30%p=5%图10.三次配准到一个目标上，失踪的面孔已知缺失三角形的比例（1−p）对应的目标形状位于第一行。 变形的椭球体绘制在第二行。 变形椭球体和完整目标之间的比较显示在第三行。p= 1p = 0。7p = 0。5目标图11。将椭圆体配准到缺失三角形的海豚上，如图9所示。目标的三角形的真实比例是p= 0。六、当p> p<0时，pp）结果匹配看起来更薄（分别为由于总面积的差异而凸出）。稍微恶化，并且虚假变形可能影响具有复杂几何形状的区域中的网格。如果真实比例p

未知，则配准质量受所选p值的影响，如图11所示。6. 结论在本文中，我们提出了一个一般的框架，二维和三维形状相似性措施，不变参数化和等变刚性变换。在这 个 简 单 而 有 效 的 框 架 ， 包 括 电 流 和 无 方 向 的varifolds，度量的选择减少标量函数只有一个或两个规模参数，参数化家庭的内核。一个数字工具箱是免费提供的[9].它包括所有的功能minv∈L2（[0，1]，V）. ∫1vt0ΣµY2pW*本文介绍，并允许容易地定义新的自定义内核指标。我们通过大量示例说明，这些形状表示和相关度量非常适合其中（1−p）是目标形状Y中缺失三角形的比例。图10示出了比例p已知的一些实验。配准结果看起来全局良好，即使是小p，似乎几乎完美的任何p大于30%。低于此值，注册开始并强调了这些度量的不同子类别的特定特征。除了用作配准的保真度术语之外，我们还想强调这样的框架如何直接应用于形状聚类或分类问题。3356引用[1] S. 是的，E。 Tre'lat，A. Trou ve'和L. 你好利用约束最优控制的多重递归。SIAM Journal on Imaging Sciences，9（1）：344-385，2016。3[2] N.阿龙萨再生核理论。译Amer.数学学会，68：337-404，1950. 3[3] J·阿什伯恩一种快速同构图像配准算法。神经影像，38（95-113），2007年。1[4] M. F. B e g，M. I. Mille r，A. Trouv e′和L. 你好利用仿射的测地线流计算大变形度量映射国际计算机视觉杂志，61（139-157），2005。1、6[5] S.贝隆吉，J. Malik和J.普兹查使用形状上下文的形状匹配和物体识别。IEEE Transactions on Pattern Analysisand Machine Intelligence，24（4）：509 6[6] A. Berlinet和C.阿格拉-阿南概率统计中的再生核希尔伯特空间。Springer，2004.3[7] F. L.布克斯坦 主要经纱：薄板样条和变形分解。IEEETransactionsonPatternAnalysisandMachineIntelligence，11（6）：567 1[8] C. Carmeli，E. De Vito，A. Toigo和V.乌玛尼塔向量值再生核Hilbert空间及其普适性。分析与应用，8（01）：19-61，2010年。四、五[9] B. Charlie r，N. Charon和A. 你来吧。函数形状工具包的简短介绍https://github.com/fshapes/fshapesTk/，2014-2015. 二、八[10] N. 卡戎 几何和功能形状与电流扩展的分析。应用于配准和图谱估计。博士论文，ENS Cachan，2013年。2[11] N. Charon和A. 你来吧。无定向形状的变分表示及其在SIAM Journal of Imaging Sciences ， 6 （ 4 ） ： 2547-2580，2013。二、四、五[12] P. Dupuis、杜氏隐翅虫U. Grenander和M. I.米勒图像匹配中的仿射流变分问题。应用数学季刊，56（3）：587，1998. 1[13] S. Durrleman，P. Fillard，X. Pennec，A. Trouv e′和N.一种Y-疼痛。以电流为模型的白质纤维束NeuroIm-age，55（3）：1073-1090，2010. 2[14] S. 杜尔曼 M. 普拉塔瓦， N. 卡戎 J·科伦伯格，S. 乔希湾，澳-地Gerig和A. 你来吧。变形测量学：空间变形的形状复合体的形态Neuroim-age，101：35-49，2014。四、五[15] J. Glaun e`s，A. Qiu，M. Mille r和L. 你好拉氏变形纯度量曲线映射。Int J Comput Vis，80（3）：317336，2008. 二、五[16] J. Glau n`s，A. Trouv e′和L. 你好分布的特征匹配：无标号点集与子流形匹配的一种新方法。CVPR，2：712-718，2004. 二、五[17] J. Glau n es和M. 再见 表面匹配通过电流。医学成像信息处理会议录（IPMI），计算机科学讲义，3565（381-392），2006年。二、五[18] P. 哥里岛科利奥湖Marrakchi-Kacem，Y.Worbe，F.D. V.Fallani，M.查韦斯角Poupon，A.哈特曼，N. Ayache和S.杜 尔 曼 白 质 纤 维 束 流 线 轨 迹 的 IEEE 医 学 成 像transactions，PP（99），2016年。2[19] R. Grompone von Gioi，J.Jakubowicz，J.M. 莫雷尔，G.兰德尔LSD：一种线段检测器。Image Processing OnLine，2：35-55，2012. 7[20] T.哈斯蒂河Tibshirani和J.弗里德曼统计学习的要素。Springer，2001. 3[21] D. Holm，T. Ratnanoburr，A. Trou ve'和L. 你好计算解剖学中的溶胶动力学。神经影像，23（S1）：170-178，2007年。1[22] S. Joshi和M. I.米勒基于大变形同态的地标匹配.图像处理，IEEE学报，9（8）：1357-1370，2000. 1[23] I.卡尔滕马克计算解剖学的几何生长模型。博士论文，ENS Paris-Saclay，2016年。5[24] D. 肯德尔形状流形，普罗克勒斯特度量与复射影空间 。 Bulletin of the London Mathematical Society ， 16（2）：81-121，1984. 1[25] S. Kurtek、E. Klassen，Z. Ding，S. W.雅各布森，J。L.Ja- cobson，M. J. Avison和A.斯里瓦斯塔瓦。参数化-解剖表面的不变形状比较。IEEE Transactions on MedicalImaging，30（3）：849-858，2011。1[26] J. Ma，M. I. Miller和L.尤尼斯一种用于表面模板估计的贝叶斯生成模型。生物医学成像杂志，2010：16，2010年。2[27] F.梅莫利Gromov-Hausdorff距离在形状比较中的应用基于点的图形研讨会，第81-90页，2007年。1[28] G. 纳尔迪湾 Charlie r和A. 你来吧。通过BV-惩罚项的函数形状之间的匹配问题：一个Γ-收敛结果。CoRR，abs/1503.07685，2015年3月。3[29] Y.潘湾，澳-地Christensen，O. Durumeric，S. Gerard，J.Rein-hardt，and G.雨果基于当前和变量的肺血管和气道树配准。CVPR，2016年。2[30] I. Rekik，G. Li，W. Lin和D.沈多方向和地形为基础的动态规模多样性表示与应用匹配发展皮层表面。NeuroImage，135：152-162，2016。2[31] P. P. Glauns。正规圆上的核函数及其在曲线匹配中的应用。SIAM Journal on Imaging Sciences，9（4）：1991-2038，2016。2[32] D.吕克特湖I.索诺达角Hayes，D. L. G. Hill，M. O.Leach和D. J·霍克斯使用自由变形的非刚性配准：应用于乳腺MR图像。IEEE医学成像学报，18（8）：712-721，1999年。1[33] I. J. Schoenberg度量空间与完全单调函数。Annals ofMathematics，39（4）：811-841，1938. 4[34] T. B. 塞巴斯蒂安，P。N. Klein，and B.B. 基米亚通过编辑形状的冲击图来识别IEEE Transactions on PatternAnalysis and Machine Intelligence，26（5）：5502004年5月。6[35] A. Srivastava、E. Klassen，S. H.乔希和我H.杰米恩欧氏空间中弹性曲线的形状分析。IEEE Transactions onPattern Analysis and Machine Intelligence，33（7 ）：1415-1428，2011。13357[36] T. Vercauteren，X.Pennec，A.Perchant和N.阿亚奇双形恶 魔 ： 高 效 的 非 参 数 图 像 配 准 。 NeuroImage ， 45（1）：61-72，2009。脑成像中的数学1[37] Y. Xu和E. W.切尼球面上的严格正定Proceedings of theAmerican Mathematical Society，116（4）：977-981，1992. 4[38] Z. Yasseen，A.Verroust-Blondet和A.纳斯里基于扩展弦轴变换的零件对齐形状匹配Pattern Recognition，57：115- 135，2016. 6[39] L.尤尼斯n和n-同态。施普林格，2010年。6