框架设计与无约束优化问题的IHTS算法

可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报6（2019）13一种求解无约束优化问题的甘希亚姆湾Tejania，J.作者声明：a.Patelb，Seyedali Mirjalilica印度古吉拉特邦拉杰果德RK大学工程学院bPandit Deendayal Petroleum University，Raysan，Gandhinagar，Gujarat，Indiac格里菲斯大学信息和通信技术学院，Nathan Campus，Brisbane，QLD 4111，Australia阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年10月16日收到2018年4月9日收到修订版，2018年在线提供2018年保留字：元启发式无约束基准函数全局优化桁架设计尺寸、形状、拓扑优化A B S T R A C T在这项工作中，一个改进的传热搜索（IHTS）算法，提出了将同时传热模式和人口再生的影响，在基本HTS算法。基本的然而，在所提出的算法中，系统分子被认为是相互作用以及与周围环境的热平衡状态的搜索代理另一个改进是人口再生器的集成，以减少局部最优停滞的概率。人口再生器被应用到没有改进的解决方案，为预定义的迭代次数。通过23个经典基准函数和从CEC2014测试集中抽取的30个函数验证了算法的可行性和有效性最后，通过两个桁架设计问题的求解，验证了所提算法的适用性结果表明，IHTS算法比HTS算法更有效。此外，IHTS算法提供了非常有竞争力的结果相比，现有的元算法在文献中©2018计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍现实世界的问题通常是由数学方程模拟的这些函数通常不提供基于梯度的信息（非导数），因此分析方法变得无关紧要，并且通常陷入局部最优。为了优化这些问题，大量的元分析（MH）已被开发，修改，并在过去的二十年中显着使用。第一个也是最受欢迎的MH是遗传算法（GA），它受到达尔文进化论（Holland，1975）的启发。该算法提出后，人们提出了许多新的 算 法 例 如 ， 模 拟 退 火 的 灵 感 来 自 冶 金 学 中 的 退 火 概 念（Kirkpatrick，Gelatt，&Vecchi，1983年;Cern y′，198 5）. 人工免疫系统算法的灵感来自于生物免疫系统（Farmer，Packard，Perelson，1986）。蚁群优化算法（ACO）是另一种基于群体的MH算法由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电子邮件地址：gmail.com（G.G. Tejani）。技术.该算法模拟了觅食蚂蚁对食物的行为（Dorigo，1992; Shan，Yasuda，Ohkura，2015）。粒子群优化（PSO）算法，模仿了群体对食物的社会行为（Kennedy Eberhart，1995），也是一种基于群体的技术。差分进化（DE）算法类似于具有专门的交叉和选择方法的GA算法（Storn Price，1997）。下一段将讨论一些最新的算法细 菌 觅 食 优 化 算 法 模 拟 大 肠 杆 菌 细 菌 的 行 为 （ Passino ，2002）。入侵杂草优化（IWO）算法的灵感来自于杂草的殖民（Mehrabian Lucas，2006）。人工蜂群（ABC）算法模仿蜜蜂群体的合作行为（Karaboga Basturk，2007，2008）。基于地理学的优化（BBO）算法模拟了物种迁移的原理（Simon，2008）。引力 搜 索 算 法 （ GSA ） 的 灵 感 来 自 引 力 和 质 量 相 互 作 用 定 律（Rashedi，Nezamabadi-pour，Saryazdi，2009）。萤火虫算法（FA）的灵感来自萤火虫昆虫的交配行为（Yang，2009）。布谷鸟 搜 索 （ CS ） 算 法 适 用 于 布 谷 鸟 的 繁 殖 策 略 （ Yang Deb ，2010 ） 。 狩 猎 搜 索 （ HuS ） 算 法 适 用 于 动 物 群 体 狩 猎 的 模 型（ Oftadeh ， Mahjoob ， Shariatpanahi ， 2010 ） 。 蝙 蝠 算 法（BA）的灵感来自蝙蝠的回声定位行为（Yang，2010）。手榴弹爆炸法对手榴弹https://doi.org/10.1016/j.jcde.2018.04.0032288-4300/©2018计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。14G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报6（2019）13Q-kA-×dT2K爆炸行为（Ahrari Atai，2010）。带电系统搜索算法使用物理学的电学定律和力学的牛顿定律（Kaveh Talatahari，2010）。人工藻类算法的灵感来自微藻的生活行为，光合物种（Uymaz，Tezel，Yel，2015）。花朵授粉算法的灵感来自花朵授粉的自然现象（Draa，2015）。基于教学的优化（TLBO）算法适用于课堂教学（Rao，Savsani，Vakharia，2011; Savsani，Tejani，Patel，2016;Tejani，Savsani，Patel，2016 b）。动物迁移优化（AMO）算法受到动物迁移行为的启发（Li，Zhang，Yin，2014）。水波优化（WWO）算法的灵感来自浅水波理论（Zheng，2015）。狮子优化算法适用于狮子的孤独和合作行为（Yazdani Jolai，2016）。这些MH可以处理困难，同时解决具有挑战性的现实世界的问题 。 然 而 ， 根 据 没 有 免 费 的 午 餐 （ NFL ） 定 理 （ WolpertMacready，1997），没有最适合优化所有类型问题的MH。因此，一个算法可以被期望在解决一组问题时优于另一个算法，但它在不同的一组问题上可能表现不佳。这是该领域许多作品的基础。NFL定理为开发新的MH、混合两个或多个MH以及增强现有MH提供了动力Patel和Savsani（2015）提出了一种最近称为传热搜索（HTS）算法的优化方法，该算法基于热力学和传热的自然定律。由于系统分子内以及与周围环境的相互作用，可以发生诸如传导、对流和辐射的热传递模式，热传递的基本原理在Lorenzini，Biserni和Rocha（2014）以及Lorenziniet al. （2014年）。因此，HTS算法在三个阶段上工作，例如传导阶段、对流阶段和辐射阶段。在HTS算法中，辐射阶段在提供二次、三次和多项式函数的解方面更有效，而对流阶段在提供线性函数的解方面更有效，传导阶段在提供非线性函数的解方面更有效（Patel Savsani，2015）。在基本的高温超导算法中，传热过程在一个实例中通过其三种模式中的一种来因此，如果传导阶段在优化过程中获得更多的机会，则该算法对于线性问题很好地工作，但它可能在非线性问题上表现不佳这一说法也适用于对流相和辐射相，如果它得到优势。这里还值得一提的是，传递环加热的过程也可以包括多于一种模式。为了减轻这些缺点，我们提出了一种改进的HTS通过在基本HTS算法的搜索过程中引入通过传导、对流和辐射的同时热传递，改进了IHTS算法。由于在优化过程中解可能陷入局部最优并降低解的精度，人口再生器也被纳入IHTS算法在所提出的机制中，只有当最佳解2. 传热搜索算法Patel和Savsani（2015）提出的HTS算法模拟了系统的热平衡热力学的自然定律&因此，热力学不平衡系统总是试图通过启动系统与其周围环境之间的热传递来实现热平衡。热传递的模式（例如传导、对流和辐射）在设定热平衡方面起着重要作用。因此，HTS算法考虑“传导阶段”、“对流阶段”和“辐射阶段”以达到平衡状态。在HTS算法中，所有三种传热模式具有相等的传热概率，并且每一代随机决定一种传热模式。HTS算法是一种基于群体的技术，由随机生成的群体发起，其中系统具有“n”个分子（即群体大小）和温度水平（即温度）。 设计变量）为“m”。通过随机选择的热传递模式之一在每一代（“g”）中更新群体HTS算法中的更新解只有在其具有更好的目标值时才被接受随后，最坏的解决方案被替换为精英解决方案，如果存在，相同的解决方案被替换为随机生成的解决方案。因此，可以通过执行当前解与最佳解、另一随机解或解的平均值之间的差来获得更好的解。HTS算法的所有三个阶段的详细描述将在随后的章节中解释：2.1. 传导阶段在这个阶段，由于物质分子之间的传导而发生热传递因此，能量较高的分子将热量传递给能量较低的分子，以建立热平衡状态。当系统和周围环境彼此直接物理接触时，传导也可以发生在系统和周围环境之间。传导热传递由傅立叶热传导定律控制，如下所dT dT 1传导dx dx=kA电阻1/4-电导×dT其中k是热导率，A是传热面积，dT是温差，dT/dx是系统的温度梯度。系统的导热系数是温度的函数，其值在热传递期间变化。根据Patel和Savsani（2015），傅立叶（2）和（3）。（Xk;i-R2ωXk;i;如果F <$Xj<$$>>F<$Xk<$对于预定义数量的函数求值保持相同。IHTS算法已经在约束基准测试功能协调发展的此外，Savsani，Tejani，Patel和Savsani（2017年）以及Tejani，Savsani，Patel和Savsani（2017年）使用HTS进行结构分析。X0j;i¼Xj;i 电子-RωX j;i;如果F<$Xj<$F<$Xk<$;Xji<$$>-riωXji <$$>;如果F<$Xj<$F<$Xk<$<如果FEPFEMax=CDF* *第二节讨论了高温超导优化算法中的数学模型和基本方程。IHTS算法是在ð3Þ第3款.第4节介绍了结果并讨论了调查结果。桁架设计问题在第5节中解决。最后，在第6节中给出了结论。其中X0j;i 是更新后的解决方案;j1;2;.. . ;n;k是随机的选择解; j- k ; k 2 = 1 ; 2 ;. ;n<$;i是随机选择的设计变量; i2 <$1;2;. ;m;FE是函数求值;CDF是.¼G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报6（2019）1315.¼2½] 2½]滤波因子;R是随机变量;R2½0;0：3333];ri是随机数;ri2½0;1];R2和ri表示傅立叶方程的滤波参数CDF设置为2，以平衡传导阶段的探索和利用请注意，在传导阶段，每次迭代中仅更新一个设计变量。2.2. 对流阶段其中h是对流传热系数，A是传热面积，Tms是系统的平均温度，Ts是环境温度。根据Patel和Savsani（2015），牛顿（5）和（6）。X0j;i<$Xj;i<$Rω<$Xs-XmsωTCF<$5在此阶段，由于系统与运动中的相邻流体因此，我们认为，TCF绝对值R=R=R; 如果FE6FE最大值=COF，则第1圈R =R;如果FEPFE最大值=COFð6Þ系统温度（平均温度）与邻近的流体温度（周围环境）相互作用以建立热平衡状态。对流传热由牛顿Q对流¼hAΔTms-Ts≤400其中X0j;i是更新的解;j^l;2;. . ;n;i;1;2;. . . ;m;FE为函数求值;COF为对流因子;R为随机变量;R 0： 6666; 1 ;r为随机数;ri 0; 1 ;R和r表示牛顿冷却定律的对流参数初始化随机生成的种群并对其进行评估。短人口和储存的精英解决方案。随机生成R值。导通相放射线相位对流相R是否≤没0.3333 R是否≤0.6666？没是是使用等式2和等式3生成新的解。使用公式8和9生成新的解。使用等式5和等式6生成新的解。是新的解决方案是否比现有的更好？没接受继续之前的解决方案。用最好的解决方案取代最差的解决方案。是否满足终止标准？没是的显示最终解决方案。定义种群规模，终止下限，上限，CDF，COF，RDF。Fig. 1. HTS算法流程图。16G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报6（2019）132½]ð ð ÞÞSSr温度（最佳解决方案）和系统的平均温度;TCF是温度变化因子，以平衡对流阶段的勘探和开采;COF设置为10。在此阶段中，所有设计变量都将在每次迭代中更新。2.3. 的放射线相位在这个阶段，由于其温度水平以电磁波的形式发射的辐射而发生热传递。因此，系统与周围温度（即最佳解决方案）或系统内（即其他解决方案）相互作用，以建立热平衡状态。温度高于绝对零度的物体都发出辐射.辐射热传递的最大速率取决于绝对温度水平，并由Stefan-Boltzmann定律表示如下：Q辐射量：1/4erAT4-T47在HTS算法中，更新的解决方案受到最佳解决方案、平均解决方案和/或群体的随机选择的解决方案的高度影响。因此，当解接近最佳解、平均解和/或随机选择的总体解时，解可能会移动一个小值。这种状态会导致局部最优解的过早收敛和停滞，因为解几乎彼此接近。针对这一问题，在基本HTS算法中引入了同时传热和种群再生两个改进措施，以加快搜索速度，提高收敛速度，避免陷入局部最优。下文解释了拟议改进的工作3.1. 同时传热在基本的HTS算法中，系统与周围环境之间的热传递被认为是由于在每一代具有相等概率热交换器FER的发生可能是由于以下因素之一或其组合其中，e是系统的发射率，r是Stefan-Boltzmann与优化方程相关，如方程的简化版本。（7）在Patel 和Savsani（ 2015 ）中， 并更新 了方 程中表 达的解 （8 ）和（9）。三种传热模式中的一种以上。因此，我们将同时传热的传导，对流，和辐射的改进HTS（IHTS）算法。在这种状态下，热传递模式的概率取决于热传递概率因子，例如传导概率因子（CDPF）、对流概率因子（COPF）和辐射概率因子（RAPF）。其中，CDPF;COPF;和RAPF0;1CDPF+ COPF+ RAPF = 1。 因此，第一个三分之一的人口更新，X0j;iXj;i<$Rω<$Xk;i-Xj;i<$;如果F<$Xj<$>F<$Xk<$;Xj;i<$Rω<$Xj;i-Xk;i<$;如果F<$Xj<$F<$Xk<$<如果FE6FEMax=RDFð8Þ在传导阶段，在辐射阶段更新接下来的三分之一的布居，并且在对流阶段更新剩余的布居辐射阶段在提供二次、三次和多项式函数的解X0j;iXj;i<$riω<$Xk;i-Xj;i<$;如果F<$Xj<$>F<$Xk<$;Xj：i<$riω<$Xj;i-Xk;i<$;如果F<$Xj<$F<$Xk<$<如果FEPFEMax =RDFð9Þ而对流阶段在为线性函数提供解方面更有效，而传导阶段在为非线性函数提供解因此，为了HTS算法的有效运行，所有三个阶段其中X0j;i是更新后的人口;j1;2;。 . . ;n;i;1;2;.. . ;m;j- k ; k 2 = 1 ;2 ;. ;n=;k是随机选择的分子;FE是功能评估;R是随机变量;R2½0：3333;0：6666];ri是随机数;ri2½0;1];R和ri表示辐射Stefan-Boltzmann定律的参数;Xj和Xk分别表示系统和周围环境的温度;RDF是辐射因子，设置为2以平衡辐射相位的探索和利用。在此阶段中，所有设计变量都将在每次迭代中更新。HTS算法通过上述三个阶段估计给定问题的全局最优解。此外，每个阶段被分为两个子阶段，由功能评估和传热阶段的各种因素决定。因此，设计变量的值突然或逐渐波动，因为所有三种传热模式都具有相等的传热概率。设计变量的大的和小的变化分别表示搜索空间的探索和利用HTS流程图如图1所示。流程图表示HTS算法的各个阶段，如初始化、传导阶段、对流阶段、辐射阶段和终止标准。3. 改进HTS算法系统分子在系统和周围环境中传递热量，以达到热平衡状态。在基本的HTS算法中，热传递被假设为三种热传递模式之一，例如传导、对流和辐射，在每一代中具有相等的概率。然而，系统同时进行热传递以设置更快的热平衡状态。因此，我们提出了同时传热模式。应在优化过程中进行（Patel&Savsani，2015）。考虑到这一事实，将CDPF、COPF和RAPF的值设置为0.3333，以考虑每个相位的等概率的影响。此外，随机变量（R）被三个变量代替：R1是传导随机变量，R2是辐射随机变量，R3是对流随机变量。在算法的实现步骤中指定了这种修改的数学公式3.2. 种群更新在优化过程中，解可能陷入局部解。这一条件可能导致局部最优解，也降低了算法的精度如何避免局部解，提高数值稳定性，提高整体精度，是许多多变量求解的一个重要挑战此外，解高度依赖于初始种群，并且在某些情况下，初始种群不携带全局最优解。在这种情况下，初始种群应该重新生成，以搜索更好的解决方案，避免局部最优。因此，人口再生的概念被纳入IHTS算法，以减轻这些缺点。该模型再生人口，如果最适合的解决方案fX1保持相同的某些明确的功能评估，理想的FE（IDFE），并表示在方程。（十）、fX1FE¼fX1FE-IDFE10种群更新有两种方式：（I）翻转种群和（II）随机生成种群。翻转总体<$X0j;i<$是总体Xj;i的相对点，并且它是生成的.¼.¼G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报6（2019）1317þ* ⁄8* ⁄* ⁄2½]* ⁄j;ij;ij;i我通过观察其边界第i个设计变量和第j个总体分别为y的1/2Lj;i;Uj;i];L为下限;U为上限;ri为随机数;ri2/20;1];pf是人口翻转概率因子，pf2½0;1]。提出了翻转布居的数学模型通过以下等式（十一）：IHTS算法的原理图如图所示。 二、该图显示了IHTS算法的各个阶段（例如初始化、开始优化循环、对流阶段、对流阶段、辐射阶段和终止标准）的示意图。以下部分研究了IHTS和HTS算法使用多个无约束优化的效率。X0¼L 简体中文-X;ifr6pð11Þ最小化问题和两个桁架设计问题随机生成的总体<$X0j;i<$分别是第i个设计变量和第j个总体的上界和下界½Lj;i;Uj;i]内的随机点; ri是随机数; ri0; 1 ; p r是随机再生总体概率因子和pr2½0;1]：在这方面提出了以下公式。X0j;i<$Lj;irandiωUj;i-Lj;i;ifri6pr12种群再生（翻转种群或随机生成种群）与算法的“传导阶段”、"对流阶段“和”辐射阶段“合并。请注意，在传导阶段中仅重新生成总体的一个设计变量。相比之下，种群的每个设计变量分别在对流相和辐射相再生。控制参数pf、pr和IDFE对算法性能有重要影响。因此，在进行多次试验之后，将pf和pr的值设置为0.10，并将IDFE设置为1000FE。IHTS算法中涉及的步骤如下：初始化总体大小（n）、设计变量数（m）、设计变量限值（L、U）、停止标准（FE max、g max），并设置控制参数s。/<$initialization/<$tXj;i½Lj;irandiωUj;i-Lj;i;for8j2½1;n];for8i2½1;m]/初始化填充/评估人口并按升序排列人口！FE¼n当（ggmax和FEFEmaxx）/<$开始优化时loop/⁄生成随机变量R1、R2和R3对于j = 1到n如果j2½1;取整[nωCDP F]！R1/<$theconductionphase/<$如果方程10满足？根据方程11和12生成新的解&/种群再生/else生成新的解决方案，按照方程2和& 3结束，如果else如果j2½roundnωCDPF1;roundnωCDP PF<$COPF1]！R辐射相位/如果方程10满足？生成新的解决方案，方程11&12/人口再生/else生成新的解决方案，根据方程8&和9结束，如果else如果j2 ½roun d <$n ω<$CDPF<$COP F<$<$1;n] ！R¼R3/<$对流阶段/<$如果方程10满足？根据方程11和12生成新的解&/种群再生/否则根据等式5和6生成新的解&，如果Evaluatef<$X0j;i< $ ！FE¼FE1//fX0j;i是新的解决方案f<$X0j;i<$f<$Xj;i< $$Xj;i<$X0j;i/<$f<$Xj;i<$是当前解/<$/<$greedyselection/<$对于j=1：2：n/<$removeidealsolutions/<$t如果X j<$$> X j<$1！ X j1;i¼ L irandU i-L i;not j！FE ¼Fe1结束，如果结束端end while4. 数值实验与讨论在本节中，在两组无约束基准函数上测试IHTS算法的性能并进行比较一系列算法的结合。第一个测试集包括23个经典的基准函数。第二个测试选择了CEC 2014的30个基准问题（Liang，Qu，Suganthan，2014）。所考虑的基准函数具有各种特征，如单峰、多峰、可分离、不可分离、规则、非规则、混合、旋转、合成和移位，并且提供非常具有挑战性的案例研究。所有函数都是最小化函数。各种调查的讨论和结果解释如下：4.1. 关于23个经典函数的结果在此测试期间，23个基准函数（如表1所示）用于检查IHTS算法的有效性在23个基准函数中，g1-g7为单峰函数，g8-g13为多峰高维函数，g14-g23为多峰低维函数.在该表中，dimension（D）指定函数的维数，range表示搜索空间的边界，optimum是函数的最小值IHTS和HTS算法在每个基准函数上运行25次，类似于Li等人。（2014年）。为了与以前的算法进行公平的比较，FE的最大数量被认为类似于Li等人。（2014），并如下所示。功能g1、g6、g10、g12和g13为150，000FE，功能g2和g11为200，000FE，功能g7、g8和g9为300，000FE，功能g3、g4、g5为 500，000FE，功能g15为 40，000FE ， 功 能 g14 、 g16 、 g17 、 g19 、 g21 、 g22 和 g23 为 10 ，000FE，功能g18为3000FE，功能g20为20，000FE此外，人口规模线性下降，从50到10的IHTS和HTS算法。将IHTS算法的性能与PSO （ Kennedy& Eberhart ， 1995 ） 、 DE （ Storn &Price ，1997）、BBO（Simon，2008）、CS（Yang &Deb，2010）、FA（ Yang ， 2009 ） 、 GSA （ Rashedi 等 人 ， 2009 ） 、 ABC（Karaboga &Basturk，2007，2008）、AMO（Li等人， 2014）和HTS（Patel &Savsani，2015）算法。前八种算法的实验参数设置和结果如Li等人（2014年）。单峰函数（g1算法的开发能力表2比较了25次独立运行的平均结果和标准偏差（SD）观察到IHTS算法已经在函数g7上实现了全局最优平均值，并且在函数g1、g2、g3和g4上排名第二最佳平均在函数g1、g2、g3和g4上，HTS算法的性能优于其余算法。ABC算法在函数g5上设置最佳平均值，而AMO算法在函数g6上实现全局平均值。此外，HTS算法的性能在函数g5、g6和g7上得到改善，而IHTS算法的结果与函数g1、g2、g3和g4对IHTS得到的平均解进行Friedman秩检验HTS和其他最先进的算法j;iF18G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报6（2019）131. 初始化设置：优化和控制参数定义：目标函数初始化：总体并对其进行评估。其中，总体（j =2. 开始优化循环排列：被评估的人口。（最小化的升序）生成：随机生成R1、 R2和 R3的值4.的放射线相位然后如果等式10满足，则种群再生（方程式11和12）其他更新辐射阶段的总体（公式8和9）恩迪夫3. 传导阶段然后如果等式10满足，则种群再生（方程式11和12）其他更新传导阶段的群体（公式2和3）恩迪夫5.对流阶段如果等式10满足，则然后是否终止是否符合标准？种群再生（方程式11和12）其他更新对流阶段的总体（公式5和6）恩迪夫显示最终解决方案图二、IHTS算法示意图表2给出了单峰函数的弗里德曼秩检验。弗里德曼测试的结果被归一化，并且算法基于归一化值进行排名结果表明，IHTS算法站在第二，以获得指定的函数的平均解AMO算法和HTS算法分别获得平均解的第一和第三位.对基本HTS算法的修改将Fried-man秩从3提高到2.此外，弗里德曼值的IHTS和AMO算法几乎是相同的，并给出了最高的整体排名之间的测试算法。所提出的修改实现了更高的收敛速度比HTS算法。因此，结果证明，该算法的开发能力，通过提出的修改得到改善。多峰函数（g8-g13）适合于测试算法的探索能力。表3比较了多模态高维函数的平均值、SD从结果可以看出，IHTS算法在函数g8、g9和g11上获得了全局最优均值，在函数g10上获得了次优结果。对于函数g8、g10、g12和g13，HTS算法的性能得到改善，而对于IHTS算法，结果与函数g9和g11相同。在函数g10和g12上，AMO算法的性能优于其余算法，而在函数g9和g11上的平均结果是全局最优的。GSA算法给出的函数g13的平均值比从其它算法获得的平均值对基本HTS算法的修改提高了多峰高维函数的平均值从4到2。然而，AMO算法报告了更好的性能作为总体结果。此外，结果证明，通过提出的修改，提高了算法的探索能力。表4比较了多模态低维函数（g14-g23）的平均值、SD和算法秩。结果表明，IHTS算法在函数g14、g16、g17、g18、g19、g21和g22上均达到了全局最优值，而在函数g15和g23上的结果优于GSA、ABC和AMO算法给出函数g20的全局最优值HTS算法的性能得到改善，因为建议修改的功能g14，g20，g21，g22，和f23，而结果是相同的功能g15，g16，g17，g18，和g19。在基本HTS算法的修改提高弗里德曼秩的平均值从5到1的平均结果的多峰低维函数。此外，IHTS算法给出了最高的排名在该组的测试算法。实验结果表明，改进后的算法提高了算法的探测能力。经典函数（g1-g23）的弗里德曼秩检验Friedman检验的结果相对于获得的最佳值进行归一化，并且算法（即PSO、DE、BBO、CS、FA、GSA、ABC、AMO、HTS和IHTS）基于Friedman秩值进行排名结果表明，IHTS算法站在最好的，其次是AMO和HTS算法，以获得指定函数的平均解G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报6（2019）13191/11/1Png7¼Png8¼Png9¼p我我P我-i¼1i1/1j-1j1/1我的拉吉吉¼-n1/1ð我的天4000i¼1i1/1pi-axia<<1/11/111a-xibibix2121121 2212i¼1i1ijJIJi¼1i1ij1/11/11/1Mþ1/1我IJJIJ表1调查中使用的基准函数1。测试功能尺寸范围最佳g1 ¼PnX230 [-100，100]D0g2 ¼Pnjxijqnjxij30 [-10，10]D0Dg3 ¼Pn伊斯坦堡岛X230 [-100，100] 0g4¼maxifjxij; 16i6ng30 [-100，100]D0g5¼Pn-1½100mmx我-x22x-1002]30 [-30，30]D0n1/11/1联系我们2019年12月20日[-100，100]D0ix4兰特½0;1]30[-1.28，1.28]D0-xisinojixij30 [-500，500]D-418.9829e5½x210cos2pxi10]30[-5.12，5.12]D0G1020ex p. 02q1exp. 1个Pncos2pxΣ20e30 [-32，32] D 0g11 ¼1个Pnx2-Qncos.xi130[-600，600]D0g12¼pf10 sinpypn-1y-12½110sin2py[001pdf1st-31files]gPnux;10; 100;430 [-50，50]D0n1yi¼1xi411/1我i1ni¼1i8kxi-amxi>a：k-xi -axi-a<1我我n我我g13¼0：1fsin23pxpnx-1ux;5;100;430[-50，50]D0.P-12[-65，65]D0.998004g14¼1500251j1j22000-2006年P 224 [-5，5]D0.00030g16¼ 4x2- 2： 1x41x6x1x2- 4x2 4x42 [-5，5]D-1.0316十七国集团1 13 1.x5： 1x 25x6Σ2210个。121000万美元x102 [-5，5]D0.398¼2-4p21个1 -2个-8升ð1Þþg18¼½1x1219-14x3x2-14x6x3x2]ω½302x-3x22 [-2，2]D318-32x1英寸 12x2英寸 48x2- 36x1x2英寸 27x2英寸]g19¼-P41Cexp-P32ax-p23[1，3]D-3.86g20¼-P4Cexp-P6我ax-p26[0，1]D-3.322D我我g21¼-P5½x-ax-aTC]-14[0，10]D我我我-10.1532g22¼-P7½ x-ax-aTC]-14[0，10]我我我-10.4028g23¼-P10½x-ax-aTC]-14[0，10]-10.5363表2在研究1中，IHTS和HTS算法与其他MH的g1到g7的比较结果（前八个算法的结果按照Li等人的方法）。（2014））。函数PSODEBBOCSFAGSAABCAMOHTSIHTSg1平均值3.3340E-105.6016E-140.3737 5.6565E-060.00173.3748E-182.9860E-208.6464E-4000电话：+86-021- 8888888传真：+86-0214.0608E-048.0862E-192.1455E-20 1.0435E-390 0g2平均值6.6598E-114.7348E-100.1656 0.0020 0.0453 8.9212E-09 1.4213E-158.2334E-320 02019 -05 - 19 00：00：0000：00：g3平均值2.9847 2.8038E-11 1.5972E+030.0014 0.0182 0.1126 2.4027 E +038.8904 E-040 2.5658 E-36标准差2.2778 3.6788E-11833.6020 6.0987E-040.0064 0.1266 6.5696E+028.7256E-040 7.3407E-36g4平均值7.9997 0.2216 7.9738 3.2388 0.0554 9.9302E-1018.5227 2.8622E-05 7.8547E-432.3219E-332019 - 05 - 25 00：00：00 00：00g5平均值 46.9202 0.2657 64.6907 8.0092 38.1248 20.0819 0.0441 4.1817 26.1560 22.8757粤ICP备16038888号-1g6平均值3.6925E-104.5028E-140.3695 5.4332E-060.0017 3.3385E-183.0884E-200 1.3920E-011.3906E-07标准差6.3668E-102.3309E-140.11152.2446E-064.1593E-045.6830E-194.0131E-2000.45102.7467E-07g7平均值1.350E-024.200E-033.000E-039.600E-038.200E-033.900E-033.240E-021.700E-031.737E-031.543E-030.0041 0.0014 0.0012 0.0028 0.0093 0.0013 0.0059 4.7058E-04 7.5904E-04 6.3685E-04弗里德曼值52336147523541202321归一化值2.6 1.65 3.05 2.35 2.6 1.75 2.05 11.15 1.05排名8 4 10 7 8 5 6 1 3 24.2. CEC 2014的30个基准函数的结果本节介绍了30个CEC 2014基准函数的结果（Liang等人，2014年）。基准函数汇总在表6中，并分为四类：单峰函数（f1在这里，比较八种不同的优化算法，即。的Pg6¼第一章1-：ni¼1i-þuxi;a;k;m ¼0克15夸脱1/1我b2bix3x 4D20G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报6（2019）13IWO （ Mehrabian &Lucas ， 2006 年 ） 、 BBO （ Simon ， 2008年 ） 、 GSA （ Rashedi 等 人 ， 2009 ） 、 HuS （ Oftadeh 等 人 ，2010）、BA（Yang，2010）、WWO（Zheng，2015）、HTS（Patel &Savsani，2015）和IHTS算法。为了保持算法比较的一致性，考虑了常用的实验参数。在这项研究中，使用30维函数，搜索范围为[ 100，100]D。种群规模从100线性减少到10。 建议的FE最大数量为150，000G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报6（2019）1321表3研究1中IHTS和HTS算法与其他MH的g8到g13的比较结果（前八个算法的结果按照Li等人的方法）。（2014））。功能PSO DE BBO CS FA GSA ABC AMO HTS IHTSg8平均值-8827.8-11276-12568-9149.2-6223.8-3049.9-12507-12569-12569.04—12569.491813.5 0.5758253.143 772.3 338.86 61.1186 1.2384E-07 5.7799E-013.7130E-12g9平均值18.2675134.67890.038551.220223.52137.2831000028.85980.01548.36831.89910000g10平均值3.8719E-067.4739 E-080.19471.4717E-091.1946E-094.4409E-152.8741E-142.8599E-14SD2.8604E-06 3.1082E-080.04611.1238 0.0014 1.4449 E-105.0065 E-100 5.6806 E-154.35117 E-15g11平均值 0.0168 0 0.27651.265E-020 0 0 0标准差0.0205 0 0.07968.9551E-054.691E-040.0216 0 0 0 0g12平均值 0.0083 4.7114E-150.002 0.5071 8.8694E-062.0358E-201.1928E-211.5705E-323.0249E-048.7527E-110.0287 3.2597 E-150.00230.26622.7999E-06 4.5322E-21 1.0783E-21 2.8080E-48 1.1323E-03 1.69181E-10 g13平均值4.6694E-073.1598E-140.02184.6965E-041.2812E-045.6991E-332.299E-201.3498E-32 2.8412E-031.75885E-09SD1.3713E-062.2825E-140.00962.9932E-04 4.1539E-056.2589E-332