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1《理论计算机科学电子札记》65卷第6期(2002)网址:http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume65.html15页ITCPN状态空间的收缩H. Boucheneb1计算机工程系E'colePolytechniquedeMontr'ealP.O. Box6079,StationCentre-ville,Montr′eal,Qu′ebecG.贝特洛2号企业信息研究所国立艺术与医学学院18岁,All'eeJ. 电话:+86-051 - 8888888传真:+86-051-8888888摘要我们在这里展示如何收缩ITCPN状态空间。我们区分了三个层次的收缩,将ITCPN状态空间转换为一个良好的时间和一致的时间自动机。这里我们只考虑基于时滞的等价性为了实现更多的收缩,基于延迟的等价可以用基于颜色的等价来完成,如[4]所示。1介绍几乎所有系统的行为不仅取决于事件发生的顺序,而且还取决于事件发生的时间。为了在同一模型上进行正确性和性能分析,非定时模型已经随着时间而扩展。已经开发了几种时间模型,例如时间自动机[1]和各种时间Petri网(Ramchandani [13],Sifakis [14],Merlin [12],An dr′e[2],vanderAalst[15]和Diaz[8])。在模型中加入时间参数增加了模型的建模能力,但使分析复杂化。实际上,由于时间密度,时间模型的状态是有限的,那么它们的状态空间也是有限的。对于时间自动机([7,9,10])和某些时间Petri网([3,4,5,6,15]),已经发展了几种基于状态空间收缩的分析方法。然而,这些方法要么是复杂的,要么是他们的基本模型不够表达。1电子邮件:hanifa. polymtl.ca2电子邮件地址:berthelot@iie.cnam.fr·c2002PublishedbyElsevierScienceB. V. 操作访问根据C CB Y-NC-N D许可证进行。布舍内布和贝特洛2我们认为在这里的范德阿尔斯特该模型允许描述大型和复杂的实时,因为它的底层模型是一个有色Petri网。为了分析该模型,van der Aalst在[15]中提出了一种生成状态图的方法,该状态图是“健全的”,但不是“完整的”,即:所获得的状态图不一定等价于状态空间模型的。此外,对于允许无限发生序列的网,它将导致无限状态图。在[4]中,我们提出了一种生成没有这些缺点的简化状态空间的方法。本文致力于简化和改进这种方法,以产生一个更紧凑的状态空间。我们在这里提出了一种互模拟关系,它实现了更多的收缩,简化了收缩状态空间的构建。压缩状态空间是一个时间自动机,其顶点是ITCPN可达标记。这种转换释放了状态空间的有吸引力的收缩,并允许利用为时间自动机开发的方法和工具(Hytech[9],KRONOS[7],SGM[10])。此外,所获得的时间自动机具有良好的时间性和连贯性(即:所有峰会都是可以到达的,而且总是有可能离开任何非最终峰会)。这些特性允许使用其底层自动机来证明一些非定时属性。这里我们只考虑基于时滞的等价性。为了实现更多的收缩,基于延迟的等价可以用基于颜色的等价来完成,如[4]所示。因此,ITCPN模型允许生成压缩时间自动机。首先,在第2节和第3节中,我们给出了与ITCPN模型及其行为相关的一些定义。之后我们将展示如何收缩ITCPN状态空间。我们将区分收缩的三个层次。第4、5和6节专门讨论这些收缩水平。最后,我们以一个简单的例子结束。2区间赋时有色Petri网我们在这里只介绍必要的定义和符号。关于更多的细节,我们参考[11]中的有色Petri网和[15]中的区间赋时有色Petri网。定义2.1[时域和多集]• 时域是所有非线性实部的集合,即: R+。•设A是一个集合。 集合A上的多重集合是一个函数N,与一个元素一起构成一个整体。它是由a∈AN(a)·a.我们用AMS表示集合A上所有多重集合的集合。区间赋时有色Petri网(ITCPN)是一种由输出弧上的时间区间构成的有色Petri网。从语义的角度来看,每个创建的令牌都有一个时间戳,可以是任何值布舍内布和贝特洛3∗∈ →∗∈ −→×Fig. 1. ITCPN模型在与其创建弧相关联的间隔内。令牌的时间戳指示令牌变为可用所需的延迟(即:有用)。定义2.2[ITCPN模型]ITCPN是一个五元组(,P,T,C,F),其中• 颜色是一个有限的类型集合,称为颜色集合。• P是一组有限的位置。• T是一组有限的转换。• CP。C(p)是一个有限集合,它指定了位置p的任何标记的允许值(或颜色)的• 设CT是所有可能的彩色标记的集合,即:CT={(p,c)|p∈P<$c∈C(p)},且所有整数的集合INT都满足它们的有界是有理数,即:INT={[y,z]∈Q+×Q+|y≤z}。F是集合T上的转移函数:F(t)CTMS(CT INT)MSF(t)指定了哪些代币是由触发转换t以及必须选择它们的时间戳的间隔每个转换都应该产生一组有限的令牌。3ITCPN行为我们将首先使用[15]中给出的示例解释ITCPN的行为,并在图1中报告。图1是ITCPN模型的图形表示,其由三个位置pin、pbusy、pfree、两个转换t1、t2和三个颜色集组成:M ={M1,M2,...,M s},J ={J1,J2,.,J r}连接到位置p in,M×J连接到位置p busy。布舍内布和贝特洛4它表示一个车间,在这里,位置p的作业被重复执行。车间是由许多机器组成的。每台机器由一个令牌表示,该令牌在位置p空闲或在位置p繁忙。通过触发转换t1和t2消耗和产生的令牌由函数F(t1)和F( t2)指定:• <$j∈J,<$m∈M,F(t1)((pin,j)+(pfree,m))=((pbusy,(m,j)),[1,3])。这意味着转换t1消耗两个令牌,一个来自位置pin,一个来自位置pfree,并为位置pbusy产生一个令牌。当转换t1发生时,创建的令牌的时间戳是间隔[1, 3]内的一个值。• F(t2)(p忙,(m,j))=((p空闲,m),[2, 2])+((pin,j),[1, 1])。这意味着转换t2消耗了一个来自位置pbusy的令牌,并产生了两个令牌,一个用于位置pin,一个用于位置pfree。当转换t2发生时,在位置pfree中创建的令牌的时间戳在区间[2, 2]内,而在位置pin中创建的令牌的时间戳在区间[1, 1]内。3.1ITCPN的国家为了验证模型状态,我们将每个token与一个名为delay的变量相关联,该变量在创建时使用其时间戳进行初始化。之后,延迟随时间同步减小,直到其相关联的令牌被消耗。状态可以由多组定时令牌定义(即:用其延迟值完成的令牌)。定义3.1[定时标记和定时标记]• 定时令牌是一个3元组((p,c),d),其中p是它的位置,c是它的颜色,d是其延迟的值• 定时标记TM是多组定时令牌。ITCPN的状态是定时标记考虑前面的模型(图1)。其最初的定时标记,命名为TM0,可以写成:((p free,M1),2)+((p in,J1),1)+((pin,J2),2).在开始时,有三个令牌尚未可用。第一个和第三个将在两个时间单位后可用,而第二个将在一个时间单位后可用3.2状态演化最初,模型处于其初始定时标记中。之后,它的状态或者通过时间进程(延迟随时间减少)或者通过事件而演变。定义3.2为定时标记• 事件是由一个转换和执行转换所需的所有标记组成的一对布舍内布和贝特洛5≤∗∗∗其发生。• 让E成为一个事件。我们用J in(e)和J out(e)表示事件e使用和产生的多组标记。• 设TM为定时标记。当且仅当TM中存在所有所需的令牌(创建但不一定可用)时,事件e才能用于定时标记TM,即:(e)中的J≤TM。在此模型中,事件应尽快发生(即:当所有需要的令牌变得可用时)。它的发生不需要时间,但它会导致一个新的标记:被消耗的令牌消失,并最终创建新的令牌。定义3.3[时间进展和事件发生]令TM是ITCPN模型的可到达状态,ES(TM)是为定时标记TM启用的事件集合,ES(TM)是事件,dh是非负实数。• 发生延迟(即:事 件 e 的 触 发延 迟 (firing delay),由FD(e)表示,是J在(e)中的所有令牌变得可用所需的延迟,即:FD(e)=maxj∈Jin(e)(dj).• 当且仅当dh小于或等于ES(TM)的所有事件的发生延迟,即,:DHmine∈ES(TM)(FD(e)).在这个时间进程之后,TM的每个令牌的延迟减少了dh时间单位。 我们用·TM−dh表示所得到的时间标记。• 事件e可以在其他事件之前从TM发生,当且仅当它被启用并且它的发生延迟不大于其他启用事件的发生延迟,即,:(Jin(e)≤TM)(FD(e)≤mine∈ES(T M)(F D(e).• 如果事件e可以从状态TM发生,则它恰好在FD(e)时间单位。 所获得的状态TMJ为:•TM−Jin(e)−F D(e)+Jout(e). 其中,J out(e)是从F(t)(J in(e))通过将每个区间替换为在其中选择的一个值而获得的考虑图1中给出的模型及其初始状态TM0:((pfree,M1),2)+((pin,J1),1)+((pin,J2),2)。对于初始状态T M0,我们有两个启用的事件:e0=(t1,((pfree,M1),2)+((pin,J1),1))和e1=(t1,((p free,M1),2)+((p in,J2),2)).它们的触发延迟是:FD(e0)=max(2, 1)和FD(e1)=max(2,2)。两个事件都可以在两个时间单位之后从初始状态发生。例如,如果事件e0发生,则其发生导致状态TM1,使得:T M1=((pin,J2),0)+((pbusy,(M1,J1)),d)布舍内布和贝特洛6∗∗其中d∈[1, 3]。由于时间密度的原因,ITCPN模型通常具有有限个可达状态,每个状态具有有限个后继状态(即:在有限状态空间中)。在我们定义了ITCPN模型的操作语义之后,我们将在下面展示如何收缩它的有限状态空间。4由相同序列到达的状态为了收缩ITCPN状态空间,我们首先将同一事件序列所到达的所有状态聚集到一个状态组中,而与发生日期无关。定义4.1状态组• 状态组是由同一事件序列的发生所达到的状态的集合E,其独立于事件发生的时刻。它可以由一对(SM,FT)来表征,其中:通过用表示延迟的变量替换延迟的值,从E的任何定时标记获得SM。FT是一个逻辑公式,表示与令牌相关的所有延迟估值。• 设E为状态组,e为事件。事件e可以从状态组E发生,当且仅当存在组E的状态TM,使得事件事件发生的这种可能性用E [[e]表示。如果事件e可以从群E中发生,则它的发生导致状态群EJ,该状态群E J由事件e从群E的任何状态中发生所到达的所有状态组成。此事件由E[[e]<$EJ表示。图1的模型的初始状态组是E0=(SM0,FT0),其中:• SM0=((pfree,M1),d1)+((pin,J1),d2)+((pin,J2),d3).• FT0=(d1= 2 <$d2= 1 <$d3= 2)。使能事件e0=(t1,((pfree,M1),d1)+((pin,J1),d2))可以从状态组E0发生,当且仅当以下公式是一致的:FT0<$(max(d1,d2)≤ min(max(d1,d2),max(d1,d3).事件e0从组E0的发生所到达的组是E1=(SM1,FT1)其中:• SM1=((pin,J2),d3)+((pbusy,(M1,J1)),d4),以及•FT1=(d3= 0<$1≤d4≤ 3).··布舍内布和贝特洛7∗图二、ITCPN的演变5国家集团的聚集这个第一个收缩是不够的,因为即使模型有有限个可达的非定时标记,可达组的集合也可以是无限的。例如,如果有一个令牌从未使用过(其延迟无限减少),就会发生这种情况。为了压缩更多的状态空间并简化压缩状态空间的构建,我们在可达状态组的集合上定义了一个简单的互模拟关系。我们的关系是基于[4]中所示的下列定理。考虑从初始状态组通过触发长度为(n−1)且n>0的事件序列而到达的组E(见图2)。设E(k,l)∈[0,n− 1]2,我们用TEE(l,k)表示第l次和第k次点火的日期之间的最大距离T EE(l,k)=maxTM∈E(τk−τl)。设j是一个已创建的令牌。 我们用f j表示将de创建为kenj的击发次数,用y[aj,bj]表示与其创建弧相关的i值。定理5.1设e是对状态组E =(SM,FT)使能的事件。• 当且仅当以下情况时,事件e可以从状态组E<$i∈J in(e<$),<$e∈ES(SM),<$j∈J in(e),ai≤max(bj+TEE(fi,fj), TEE(fi, n−1))• 假设e可以从状态群E中出现,并且它的出现导致状态群EJ。状态组E j中的先前射击之间的距离可以使用状态组E中的那些射击来计算,如下所示:n(l,k)∈[0,n− 1]2TEEJ(l,n)=mine∈ES(M)(maxj∈Jin(e)(max(bj+T EE(l,fj), TEE(l,n−1)TEEJ(n,l)=min(T EE(n−1,l),mini∈Jin(e)(TEE(fi,l)−ai))TEEJ(l,k)=min(TEE(l,k),TEEJ(l,n)+TEEJ(n,k))5.1简化点火规则我们将在这里定义一个简单的点火规则,避免求解不等式系统或使用约束图。定义5.2设EE是ITCPN的所有可达状态组的集合布舍内布和贝特洛80−∗∗−∗∗∗模型设A、B和D是与每个状态组相关联的函数E=EE的(SM,FT),函数AE,BE和DE定义如下:• AE:SM→Q,i∈SM,AE(i)=min(0,TEE(fi,n−1)−ai).• BE:SM→Q,<$j∈SM,BE(j)=max(0,bj+TEE(n−1,fj)).• DE:SM2→Q,Q(i,j)∈SM2,DE(i,j)=max(AE(i),min(BE(j),bj+TEE(fi,fj)−ai))对于初始状态组E0,关联函数AE0、BE0和DE0其中,[i,j]是定义如下:[i,j]∈SM2,AE0(i)=−ai;BE0(j)=bj和DE0(i,j)=bj−ai。DE(i,j)的值直观地是组E中令牌i和j的延迟之间的最大距离。AE(i)和BE(i)的值是状态组E中令牌i的最小和最大延迟。命题5.3设E=(SM,FT)是EE的一个状态组,e是一个事件,ES(SM)是为SM启用的事件集。事件e可以从状态组E发生,当且仅当:e∈ES(SM)在(e∈)中,<$i∈J,<$e ∈ES(SM),<$j ∈J,D E(i,j)≥ 0.证据假设:(1)<$i∈Jin(e∈),<$e∈ES(SM),<$j∈Jin(e),DE(i,j)<0. 根据DE(i,j)的表达式,DE(i,j)0当且仅当:E1J<$E2[[e<$$>E2J)<$(E1J,E2J)∈B因为,可以重命名SM2中的延迟,以便获得:DE1 =DE 2关系式(i)和(ii)由命题5.4和5.5推导得出。5.3可达状态类所有的双相似状态组被凝聚成一个状态类。模型的状态类是关系B的等价类。定义5.7[状态类]设E=(SM,FT)是EE的一个状态群。群E的状态类是对(SM,DE).状态类图的构建是通过将命题5.4和5.5中给出的触发规则应用于初始状态类和每个新的状态类来获得的。下面的定理建立了一个有有限类图的充分必要条件。这个定理的证明使用了[3]中所示的下列命题。命题5.8设Y是有限线性组合,即: Y=n1×y1+n2y2+... +n r y r其中n1,n2,.,n r是整数,y1,y2,.,y r是有理常数。 如果Y由有理常数限制(即: 的Yb)则不同线性组合的个数是有限的。换言之,Y的值域是有限的。定理5.9 ITCPN有有限状态类图当且仅当它是有界的。证据 )是显而易见的。如果模型是有界的,它就有一组有限的可达标记。 由于不同标记的数量是有限的,因此可以证明,一个给定的标记,我们有有限个不同的类共享相同的标记。更确切地说,我们将证明,对于任何可达标记SM,可能的DE的数目是有限的。 对于SM2的每一对(i,j),DE(i,j)是具有整数系数的有理常数的有限组合(finite组合,因为模型中不同时间间隔的数量是有限的)。DE(i,j)有界:a我DE(i,j)bj。根据命题5.8,它的价值域是有限的。✷这个有一个有限图的必要和充分条件可能很难使用,因为我们没有一个一般的程序来决定任何ITCPN是否有有限数量的不同标记。然而,我们有一个直接的充足条件,使用底层的有色Petri网(CPN),布舍内布和贝特洛11图3.第三章。有界ITCPN但无界CPN我们知道几种方法来确定CPN上的这个属性,即不变方法:ITCPN具有有限数量的标记(即:有界),如果其基础CPN具有有限数量的不同标记(即:bounded)。反之则不然。考虑图3中给出的ITCPN,并假设其初始标记为:M0=(p1,prod),其转移函数定义如下:F(t1)(p1,prod)=((p1,prod),[1, 2])+((p2,mess),[0, 1])且F(t2)(p2,mess)= 0。该模型有三个可达标记:M0,M1=(p1,prod)+(p2,mess)和M2=(p1,prod)+2(p2,mess).但它的底层着色Petri网是无界的(位置p2是无界的)。如果状态类图是有限的,并且它的大小不是太大,我们可以构建它,然后通过探索图来证明模型的属性。如果能够缩小图表的大小,以便能够分析更大的模型,那将是很有意思的。为了减小类图的大小,我们建议将所有类聚集成一个顶点,所有类共享相同的标记。这个操作大大减少了图的大小(如果每个标记由两个类共享,则减少一半)。所得到的图被转换成一个时间自动机。需要这种转换来保持ITCPN状态空间与其缩减状态空间之间的等效性。6将ITCPN转换为一个时间自动机6.1时间自动机模型时间自动机是一种自动机,它由时钟和与节点和弧相关联的时间公式完成。时钟与时间同步发展,但每个时钟都可以单独重置为零。每个弧都标记有一个事件,一个公式(命名为触发条件)和一个事件发生时必须执行的初始化列表。触发条件表征事件可能发生的一组时钟估值。与节点关联的公式(每个节点一个)被命名为验证条件,并指定每个节点中的逗留时间布舍内布和贝特洛12∗∗时间自动机的状态由当前节点和时钟值定义。只要时钟值满足某个节点的验证条件,模型就可以保留在该节点。 在验证条件变得不一致之前,必须保留一个节点。从节点,当且仅当时钟的当前值满足节点的验证条件和弧的触发条件两者时,传出弧的事件才6.2ITCPN模型的时间自动机ITCPN模型从其开始时刻开始如下演变:首先,它保持在其初始标记中,直到至少一个启用的转换准备好发生。此时,其中一个准备好的转换发生,然后导致另一个标记。ITCPN模型保持在到达的标记中,直到至少一个已启用的转换准备好发生,依此类推。在ITCPN模型中,转换尽可能快地发生(即: 当所有需要的令牌变得可用时)。ITCPN模型的时间自动机是它的标记图,它通过将一个时钟和两个参数与每个标记相关联,一个验证条件与每个标记相关联,一个触发条件和一个带有ch弧的初始化列表来完成。对于每一个ch到kenj,我们不需要由hj,aj和bj来表示它的clock和它的两个参数。 当令牌j被创建时,其时钟hj被初始化为零,并且其他时间参数被初始化为与其创建弧相关联的时间间隔的界限。之后,其时钟的值随时间增加,直到它被消耗,但其他参数的值不变。6.3标记的可识别性条件令SM为符号标记,ES(SM)为针对符号标记SM启用的事件集合。模型保持在符号标记SM中,直到至少一个启用的转换准备好发生(即:所有需要的令牌都变得可用)。换句话说,它保持在符号标记SM中,只要对于每个被启用的事件,存在至少一个其消耗的令牌,该令牌还不可用或者最后变得可用:∈ES(SM),∈Jin(e),hj≤bj其中ch等于nt:mine∈ES(SM)(maxj∈Jin(e)(bj−hj))≥0。6.4启用事件令SM为符号标记,并且e为针对标记SM启用的事件。事件e的触发条件指示事件可能发生的所有可能的时钟估值对于ITCPN模型,当所有必需的令牌都可用时,应该发生一个事件。从系统的概率标记SM出发,定义事件e的触发条件为:j∈Jin(ej),aj≤hj.其中ch等于nt:maxj∈Jin(e)(aj−hj)≤0。布舍内布和贝特洛13图四、时间自动机例如,考虑图1的模型及其初始符号标记SM0:((pfree,M1),h1,[a1,b1])+((pin,J1),h2,[a2,b2])+((pin,J2),h3,[a3,b3])其中h[a1,b1]=[2,2],[a2,b2]=[1,1]和d[a3,b3]=[2,2]。符号标记SM0有两个启用的事件:e0=(t1,((pfree,M1),h1,[a1,b1]) +((pin,J1),h2,[a2,b2])),并且e1=(t1,((pfree,M1),h1,[a1,b1]) +((pin,J2),h3,[a3,b3])).初始标记SM 0的有效条件是:min(max(b1−h1,b2−h2),max(b1−h1,b3−h3))≥0。事件e0和e1的触发条件为:FC(e0)=max(a1−h1,a2−h2)≤0且FC(e1)=min(a1−h1,a3−h3)≤0一个ITCPN及其相关的时间自动机具有相同的行为,因为在这两种情况下,进化的起点和规则是相同的。ITCPN的时间自动机是有限的,当且仅当ITCPN模型有一组有限的可达标记。7应用例如,将我们的方法应用于图1的ITCPN,产生图4所示的时间自动机。其中:SM0=((pfree,M1),h1)+((pin,J1),h2)+((pin,J2),h3)SM1=((pin,J2),h3,[a3,b3]) +((pbusy,(M1,J1)),h4,[a4,b4])SM2=((pin,J1),h2,[a2,b2]) +((pbusy,(M1,J2)),h4,[a4,b4]))CV0=(min(max(b1−h1,b2−h2),max(b1−h1,b3−h3))≥0)CV1=(b4−h4≥0)。CV2=(b4−h4≥0)。e0=(t1,((pfree,M1),h1,[a1,b1]) +((pin,J1),h2,[a2,b2]))e1=(t1,((pfree,M1),h1,[a1,b1]) +((pin,J2),h3,[a3,b3]))布舍内布和贝特洛14e2=(t2,((pbusy,(M1,J1)),h4,[a4,b4]))FC(e0)=(max(a1−h1,a2−h2)≤0)FC(e1)=(max(a1−h1,a3−h3 ) ≤0 ) FC ( e2 ) =(a4−h4≤0)L0:h4=0; a3=2; b3=2; a4=1; b4=3。L1:h4=0; a2=1; b2=1; a4=1; b4=3。L2:h1=0; h2=0; a1=2; b1=2; a2=1; b2=1。L2J:h1=0; h3=0; a1=2; b1=2; a3=2; b3=2。初始y,weve:a1=b1=2;a2=b2=1和a3=b3=2。8结论我们已经展示了如何收缩ITCPN模型的状态空间。我们已经区分了三个层次的收缩。在第一个层次中,我们把由同一发生顺序所达到的所有状态集合成一组。之后,我们已经建立了一个有吸引力的互模拟关系,在组的集合,这使得两个凝聚,到一个类,所有的双相似组,并简化类图的建设。最后,共享相同标记的所有类被聚集到一个顶点。将得到的标记图转化为一个时间自动机,该自动机具有一致性和良好的时间性。此外,由于有一个有限的可达类共享相同的标记,我们认为所有这些特征都可以用来简化一些性质的证明。此外,所得到的时间自动机可以更收缩与基于颜色的等价,如[4]所示。引用[1] R. Alzheimer,D. 李文,一种新的实时系统建模方法,北京:计算机科学出版社,1990。[2] C. 和r′e,同步和基本网络S′s“,在P etri网络的广告,Grzegorz Rosenberg,编辑,LNCS424,Springer-Verlag,1989年[3] B. Berthomieu,M. Diaz,使用时间Petri网,IEEE软件工程学报,17:3,1991年3月。[4] G. Berthelot,H.张文龙,时间间隔着色网的发生图,第15届国际Petri网应用与理论会议,萨拉戈萨(西班牙),LNCS 815,Springer-verlag,1994年6月。[5] H. Boucheneb 湾 Berthelot , Towards a simplified building of time Petri NetReachability graphs,in proc.的Petri网和性能模型PNPM布舍内布和贝特洛15[6] S. Christensen,L.M. Kritensen,T. Mailand,Condensed State Spaces forTimed Petri Nets,2001年6月,Newcastle Upon Tyne,第22届Petri网应用与理论国际会议[7] C. Daws,A. Olivero,S. Tripakis和S.陈文,“混合控制系统的设计与实现”,北京:清华大学出版社,1996。[8] M. Diaz,P. 陈文,“Petri网在网络中的应用”,北京大学出版社,1994年6月[9] T. A. Henzinger,P-H. Ho,H. Wong-Toi,HyTech:技术转让的混合系统软件工具模型,1:110-122,1997年。[10] 熊宝安,王芳,一个即时系统规格说明与验证之状态图操作器工具,第五届即时计算系统与应用国际会议论文集,RTCSA[11] K. Jensen , Coloured Petri Nets : Basic concepts , Analysis Methods andPractical use , volumes 1 and 2 , EATCS Monographs on TheoreticalComputer Science,Springer-Verlag,1982。[12] P. Merlin,D.J.李文,通信协议的可恢复性,北京:通信出版社,1998。[13] C.陈文辉,以时间Petri网分析非同步系统,硕士论文,国立中山大学,1998。[14] 朱文清,张文清,张文清,等.[15] 王文,时间间隔着色Petri网及其分析,第十四届国际Petri网应用与理论会议,北京,1993。
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