没有合适的资源?快使用搜索试试~ 我知道了~
227⊗−→《理论计算机科学电子札记》44卷第1期(2001)网址:http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume44.html14页二维线性代数马丁·海兰剑桥大学纯数学与数理统计系英国剑桥约翰·鲍尔1爱丁堡大学信息学系国王摘要我们引入二维线性代数,这里我们不是指二维向量空间,而是指线性代数中集合被范畴的系统替换这就需要研究的范畴,同时范畴的代数单子和范畴的coalgebras comonad一类,如SymMon的,范畴的小对称monoidal范畴。我们概述了相关的概念,如伪闭2-范畴,对称monoidal Lawvere理论,和交换性的对称monoidal Lawvere理论,我们解释的作用,coalgebra,解释其优先于代数在此设置。我们概述了显着的结果和观点给出的代数和余代数的对偶方法,扩展到两个维度的线性代数的研究1介绍线性代数发展的基础是以下事实的扩展:对于任何交换环R,从R-模范畴到阿贝尔群范畴的遗忘函子U:R-Mod Ab具有左伴随和右伴随。左伴随将阿贝尔群A发送到Ab中的张量积RA,其中R-作用由R的乘法引起。右伴随将阿贝尔群A发送到由从R到A的阿贝尔群态射的集合给出的R-模[R,A],其中逐点阿贝尔群1这项工作得到了EPSRC基金GR/M56333:编程语言的结构:语法和语义,以及英国文化协会基金和STA日本COE预算2000年1月,出版社dbyElsevierScienceB。 V.操作访问和C CB Y-NC-ND许可证。海兰-鲍尔公司228−结构和预合成诱导的R对[R,A]的作用这些伴随可以分别表示为左和右Kan扩张,如果在交换群的对称么半群闭范畴中进行扩充,因为交换环恰好是范畴Ab中的交换么半群。这两个伴随展示R-Mod既是AB上单子的代数范畴,也是AB上余单子的余代数范畴。这表明线性代数是余代数研究的一个潜在的应用领域。但这并不意味着线性代数与计算机科学有关。然而,现在假设我们在群的定义中放弃逆的假设。然后,上面的阿贝尔群将被交换幺半群代替,环将被半环代替,R-模保持不变,只是底层对象只需要是交换幺半群而不是阿贝尔群。做完这一步之后,考虑第二步,从集合推广到范畴。交换幺半群的一些等式最自然地被相干同构所取代,所以让我们假设我们系统地这样做。交换幺半群的阿贝尔群现在成为小的对称幺半群范畴.我们可以证明,小对称么半群范畴范畴在其上不具有系统地推广Ab的结构的协调的对称么半群闭结构,但它具有伪闭结构,这一伪闭结构在我们的目的中应该是成立的。正如我们将要解释的那样,基本的数学还没有完成。但原则上,交换环现在变成SymMon中的伪交换伪幺半群M,我们可以考虑形式为[M,]的余代数。所以我们仍然在coal- gebra的领域,这现在与计算机科学有关,如[12]所示,因为它支持分析各种上下文以及各种布线,例如由有限乘积或有限余积或对称幺半群结构的范畴或这些的变体或组合提供。[18]见一个复杂的组合,并看到[12]的其他几个例子。然而,如上所述,基础数学尚未完成。我们确实有一个伪闭2-范畴的定义[13],推广了Eilenberg和Kelly因此,先验地,我们还不能说什么是SymMon中的伪交换伪幺半群。但这似乎在未来几年内是可能实现的,我们已经有明确的证据,基于[13]的工作,这里的共代数观点将比代数观点原始得多。此外,尽管还没有完成基础的数学,我们已经能够解释相关的共代数结构。 特别是,我们有一个定义,在伪闭2-范畴中,我们可以定义一个幺半群为形式为[M,-]的余幺半群,并以此类推。我们在很大程度上把这一点隐含在海兰-鲍尔公司229纸,但它是基本的想法。这种应用程序的余代数计算机科学以前没有考虑过,所以在这里,我们提出了一些想法和底层结构,我们一直在发展。这可以被看作是所谓二维线性代数的开始:正如线性代数的特征在于它在泛代数所给出的特征之上的特殊附加特征,特别是它的余代数结构,二维线性代数同样可以由它的特殊特征来表征,特别是余代数,相对于[2]的二维泛代数。在二维研究中,最大的挑战是仔细注意等式和相干同构之间的微妙关系[15,2]。我们还没有,在这个时候,发展线性代数的其他方面的二维,但我们预计这样做。本文的独创性主要在于它的识别二维线性代数作为一个主题的研究,其发展的相关概念,如对称monoidal Lawvere理论,并在解释如何这可以被视为一个领域的应用,余代数在计算机科学。这里的一些技术结果,主要是第3节和第4节的结果,以前在[12]中以不同的(更复杂的)形式提出过,但其他结果没有。该文件的组织如下。在第二节中,我们将概述二维线性代数的概念以及我们希望如何发展它,我们将简述基本的定义和结果,并解释为什么余代数在这里比在普通的一维线性代数中起更大的作用。在第三节中,我们引入了对称么半群Lawvere理论的概念。在第4节中,我们定义了对称么半群的Lawvere理论是交换的意味着什么,并且我们证明了这在SymMons上诱导出一个余子。在第5节中,我们展示了如何通过一个最终可能被证明不那么自然的更复杂的构造,获得一个comonad来解释那些非交换的对称monoidal Lawvere理论的例子。2二维线性代数概述把Ab的情形,或者更好地说,把交换幺半群范畴CMon的情形推广到二维,我们想证明小对称幺半群范畴和严格对称幺半群函子范畴SymMon s本身是一个对称幺半群范畴。有一个定理,最终由于Kock [16],但也在[14]中表达,这是我们的主要参考,可能会有所帮助。给定Cat上的2-monadT,monadT自动获得强度t:X×TY−→T(X×Y)利用Cat的carbohydrate封闭结构和T海兰-鲍尔公司230−→一个2-functor 它还获得了一个共强tT:TX×Y−→T(X×Y)通过猫的有限产品的对称性的平凡使用。Cat上的一个2-单子T是交换的,如果对每对范畴X和Y,图表TX×TYt*❄tT(T X×Y)TtT2(X×Y)µ❄T(X×TY)<$T2(X×Y)<$T(X×Y)Tt µ其中,μ是2-monad的乘法。定理2.1对Cat上的任意有限2-单子T,范畴T-Alg是对称monoidal闭的,使得遗忘函子U:T-Alg Cat成为对称monoidal闭伴随的一部分当且仅当T是交换的。唉,从这个定理可以得出,2-范畴SymMons没有与Cat在定理意义上一致的对称monoidal封闭结构:原因是T不是交换的,原因是交换图不是交换的,而是包含由中的对称性确定的非平凡同构。对称monoidal范畴的定义。没有一个相干定理能强迫这种对称性是相等的,即使在最平凡的例子中也是如此。这与Ab相对于Set的情况形成对比:是对称幺半群闭的,关于集合的有限积结构是一致的,正因为如此,我们可以考虑交换环R作为对称幺半群范畴Ab中的交换幺半群,并继续考虑R −和[R,−]。所以,乍一看,我们似乎被卡住了。似乎有两种方法来解决这个难题。第一种更优雅的方法是定义伪对称伪monoidal伪闭2-范畴的概念,并试图证明小对称monoidal范畴和强对称monoidal函数的2-范畴SymMon这应该在未来几年内成为可能,因为我们在[13]中基于伪交换单子的概念在这个方向上取得了很好的进展。我们在这里没有给出详细的定义,因为我们的叙述还不完整,细节可能会分散论文的注意力。所以我们参考[13]阅读详情但中心思想如下。首先定义一个伪交换单子的概念。对于这里使用的2-范畴理论术语,我们请读者参考[15]。海兰-鲍尔公司231−−−⊗定义2.2Cat上的伪交换单子是一个2-单子T-合,具有同构,在X和Y上是自然的,有分量TX×TYt*❄tT(T X×Y)TtX,YT2(X×Y)µ❄T(X×TY)<$T2(X×Y)<$T(X×Y)Tt µ服从一个关于Cat的对称性、T的乘法、单位和强度的相干公理。伪交换单子的例子包括我们的主要例子:小对称monoidal范畴的2-monad,有限积小范畴的2-monad,以及有限余积小范畴的2-monad。另一个例子是2-monad,其中一个代数是一个小的对称monoidal范畴和一个强内函子,这是[9]的核心。一个非例子是2-单子,对于它,一个代数和它上面的单子一起是一个小范畴,这都可以通过常规计算来验证。然后我们定义了一个伪闭2-范畴的概念。完整的定义是复杂的,由于一个冗长但定义明确的连贯公理列表:这些公理只比[8]中Eilenberg和Kelly的闭范畴定义中的公理复杂一点,后者也很长。中心数据是伪闭2-范畴,对于每对对象X和Y,一个对象[X,Y],作为X和Y的内弧或指数。这个构造成为伪闭2-范畴上的一个endo-2-函子[X,],所以我们处于一个可以考虑余代数的位置。[13]一个完整的定义出现。[13]的主要定理产生定理2.3若T是Cat上的伪交换单子,则严格T -代数的2-范畴T-Alg p与代数的伪映射构成伪闭2-范畴。这里的主要例子是T是2-单子,它的2-范畴T-Algp正好是SymMon。 因此,在适当的时候,我们希望用这个定理作为二维线性代数的基础。注意,伪封闭性是严格的,因为[X,]是一个endo-2-functor。 相比之下,如果一个相应的伪monoidal结构存在,我们相信这将在温和的假设下,然后建设X不会是2-函子,而是一个伪函子。 所以在这个精确的意义上,余代数比代数更原始。这一论点似乎很容易解决,但我们还没有成功地解决,特别是事实上海兰-鲍尔公司232−−→伪对称的一致性似乎与四范畴的定义具有本质上相同的特征,由于一致性的复杂性,四范畴还没有一个完全确定的定义:参见[11]以了解一些相关问题。但是一旦我们解决了这个问题,我们就可以定义一个伪交换伪幺半群M的概念,然后考虑2-余代数的2-范畴,这将是一个2-余幺半群[M,-]。但由于缺乏这种方法所需的数学知识,我们采用了一种更微妙的方法,包括我们主要感兴趣的所有例子,但绕过了这一困难。我们继续的方式是有效地忽略伪幺半群结构,并将伪闭范畴中的幺半群定义为形式为[M,]的余幺半群。我们没有在我们的发展中明确这一点,因为它可能很快就会过时然而,我们相信,我们现在开发的建筑具有独立的利益,并将在适当的时候融入上述环境。我们在这里已经有了一个共代数帐户,所以我们在下一节开始解释。3对称么半群Lawvere理论在这一节中,我们介绍对称monoidal Lawvere理论的概念。这是Lawvere理论的通常概念的对称monoidal版本,实际上它扩展了通常的定义。这两个定义都可以看作是同一个一般现象的实例,可以用猫上的任何单子T来描述:对于普通的Lawvere理论,考虑具有有限乘积的小范畴的单子T;对于对称的Monoidal Lawvere理论,考虑小的对称Monoidal范畴的单子T。为了使比较精确,我们回顾一下Lawvere理论的定义设N表示其对象为自然数且其态射均为自然数之间的函数的范畴。定义3.1一个Lawvere理论是一个小范畴L,它具有有限积和一个关于对象的恒等式严格有限积保持函子j:Nop−→L。在具有有限积的范畴C中的一个Lawvere理论L的模型是一个有限积保持函子h:L−→C。这里Nop的重要性在于它是在1上有严格关联有限乘积的自由范畴每一个有有限乘积的范畴都等价于一个有严格结合有限乘积的范畴,所以这里有几种不同的方法来处理一致性问题。为了简化说明,我们将采用与Lawvere在[1]中所解释的方法略有不同的方法:我们将使我们的理论不严格,而我们的模型严格。定义3.2对称monoidal Lawvere理论是一个小的对称monoidal范畴L和一个关于对象严格对称monoidal函子j的恒等式:S(1)L,其中S(1)是关于1的自由对称monoidal范畴。对称么半群Lawvere理论的严格模型海兰-鲍尔公司233·⊗−→−→在对称monoidal范畴中,C是严格对称monoidal函子h:L−→C。通常,在提到一个Lawvere理论时,我们将简单地使用符号L,把其余的数据当作隐含的。在范畴等价的前提下,S(1)可以等同于自然数和 置 换 的 范 畴 P 。 在 特 定 的 对 称 monoidal 范 畴 C 中 , 对 称 monoidalLawvere理论L的严格模型,连同对称monoidal自然变换,产生范畴Mods(L,C)。对称monoidal Lawvere理论的例子是由任何小的对称monoidal范畴给出的,其对象由自然数给出,直到等价,[12]中有很多例子,并有详细解释。例如,如果L是一个普通的Lawvere理论,它自动是一个对称的monoidal Lawvere理论。但也是一个普通的Lawvere理论的对立面,是一个对称的么半群Lawvere理论。 更具体地说,有一个Lawvere理论,模型在一个对称monoidal范畴中,等价于该范畴中的可换可换:这个例子是Milner在[17]中关于作用演算的工作的核心,如[12]中所解释的。另一个对称的monoidal Lawvere理论是由关系bimmant给出的模型,正如Plotkin计划用来建模并发性一样,在[12]中再次解释。我们觉得有义务详细说明至少一个例子,所以我们在这里这样做。例3.3设CMon是交换么半群的对称么半群Lawvere理论。CMon的基本范畴是表达交换幺半群的数据和交换性公理所需的范畴:它的对象必须全部由单个对象X生成,它具有由自然数的置换给出的所有映射,并且它具有附加映射j:IX和:X XX以及由它们通过关闭在张量积和复合下,所有这些都服从交换幺半群定义中的四个交换性公理。因此,CMon是交换幺半群上的自由对称幺半群范畴,它可能令人惊讶地等价于集合f。它也可以被刻画为在1上有有限余积的自由范畴。人们可以很容易地产生这种变体,沿着考虑comparison而不是monoid的路线,或者考虑bimonial,或者具有一些数据和一些或更多公理的结构,而不是monoid,comparison及其组合。现在,我们开始分析对称monoidal Lawvere理论如何产生SymMon上的comonads。命题3.4对任何对称monoidal Lawvere理论L和任何小对称monoidal范畴C,范畴Mods(L,C)有一个对称-海兰-鲍尔公司234⊗−−→度量monoidal结构如下给出:对于严格模型H和HJ,• put(h<$hJ)(1)=h 1<$hJ 1• 通过对对象的张量描述的复杂性的归纳,将hhj的定义推广到任意对象L,这是将张量运算归纳地应用于单位和1的结果。• 通过使用由(h <$hJ)(x)和h(x)<$hJ(x)之间的归纳诱导的正则同构,通过共轭在箭头上定义h <$h j。注意,这里的张量积不是逐点给定的:如果我们尝试为了定义一个逐点张量积,我们不能使hhJ严格对称monoidal,所以它不是Mods(L,C)的对象。如果我们进一步试图从Mods(L,C)扩展到范畴Mod(L,C)来处理这个问题,由于相干性,我们将无法得到一个内函子挑战:我们相信我们将能够在[13]中解决这个问题,但这是我们在这里退回到单排序理论的原因之一,因为它们允许我们严格控制对象上假定的张量积hhJ的行为。只要稍加改动,这个命题就可以扩展到:定理3.5给定一个对称的么半群Lawvere理论L,构造Mods(L,-)得到SymMons上的一个具有余点的内函子Mods(L,−)IdSymMons在1的评价。如果SymMons是对称monoidal闭的,关于Cat是一致的,那么它上的对称monoidal闭结构的单位是S(1),因为对称monoidal伴随的左伴随总是保持对称monoidal结构。因此,作为定义对称么半群Lawvere理论j:S(1)L的一部分,我们立即得到了L上么半群结构的单位数据。 我们还需要找到一个可以作为乘法的结构。由于我们对L的对象有如此严格的控制,构造被证明是唯一确定的,所以它只是我们已有数据的一个条件。我们将在下一节探讨这一情况。但现在,我们可以观察到,对于共点内函子(Mods(L,),ev1),形式为Mod s(L,-)-Coalg的范畴例如,如果L是交换幺半群的对称幺半群Lawvere理论,则余代数范畴是具有有限余积的小范畴范畴,这可以通过直接计算来检验对偶地,如果L是交换可积的对称monoidal Lawvere理论,则这里的余代数范畴是具有有限乘积的小范畴范畴。我们可以沿着这条线继续寻找对称么半群Lawvere理论的其他例子,以解释具有有限双积或有限关系双积等的小范畴范畴。海兰-鲍尔公司235×− −××4交换对称monoidal Lawvere理论在本节中,我们在对称么半群Lawvere理论L的概念上放置一个交换性条件,以便将SymMons上的共点内函子(Mods(L,−),ev1)扩展为SymMons上的一个共单子。回想一下,对称么半群Lawvere理论L与S(1)具有相同的对象,S(1)又等价于自然数和置换的范畴P。为了说明的简单,我们在这里抑制了相干同构,并将S(1)的对象与P的对象等同起来。 因此,我们用自然数来标识L的对象。现在,对于自然数m和p,用m p表示p的m个拷贝的张量积。 由此得出m在L中是函子。 请注意,这并不意味着m是L中的函子!定义4.1一个对称monoidal Lawvere理论L是交换的,如果对L中的所有映射f:m−→n和g:p−→q,从m×p到q×n,由下式m×pm×gm×qq×mq×fq×n,与另一个对偶,其中未标号映射由P中的典范同构给出,是一致的。这个定义提供了我们获得comonad所需的信息命题4.2若L是交换对称么半群Lawvere理论,则存在具有C-分量δC:Mods(L,C)−→Mods(Mods(L,C))使得Mods(L,-)与ev1和δ在范畴上形成一个余单子SymMons.证据给定一个严格对称monoidal函子h:L−→C,我们必须得到一个从L到对称monoidal范畴Mods(L,C)的严格对称monoidal函子δC(h),其对象是从L到C的严格对称monoidal函子。由于δC(h)必须是严格对称的么半群,并且由于L的每个对象都是由1生成的张量积给出的,因此δC(h)在对象上的行为完全由它在1上的行为决定。由于我们必须有ev1(δC(h))=h才能满足其中一个共模定律,我们必须有δC(h)(1)=h:L−→C交换性条件正是迫使映射上的δC的行为成为严格对称monoidal所需要的条件✷这个命题给了我们所寻求的共同点。但我们可以多说一点我们在分析中发现的有价值具体地说,我们可以将comonad的余代数范畴与海兰-鲍尔公司236−它的底层共点内函子。这是一个不寻常的情况,令人联想到埃克曼希尔顿的论点[7],如[12]所解释我们的论点如下。命题4.3对于交换对称monoidal Lawvere理论L,严格对称monoidal函子Mods(L,ev1):Mods(L,Mods(L,C))−→Mods(L,C)和(ev1)Mods(L,C):Mods(L,Mods(L,C))−→Mods(L,C)都是单形的证据证明需要一点小心,因为它相当于将一个任意严格对称monoidal函子从L分解为Mods(L,C),它可以被看作是两个变量m和n上的构造,考虑到它在形式为(1,n)和(m,1)的变量对上的行为,通过使用L的每个对象由1生成的张量积给出✷这两个命题产生定理4.4对任意交换对称幺半群Lawvere理论L,余点内函子(Mod s(L,-),ev1)的余代数范畴等于余单子(Mod s(L,-),ev1,δ)的余代数范畴。以上所有都符合我们的二维线性代数概念。此外,我们在这里所发展的定义,例如对称么半群的Lawvere理论的定义,显然可以扩展到远远超出对称么半群范畴。特别地,沿着SymMons上的Mods(L,)的路线使用comonad在两个方向上延伸,这两个方向似乎很重要,其中一个明确地适合于二维线性代数的范围,第二个不太清楚。这些方向的第一个涉及到从考虑2-范畴SymMon到考虑Cat上的伪交换2-单子T的2-范畴T-Algp的推广。我们在这里不探讨这个问题,但看看[13]。另一个方向涉及到去掉我们刚刚引入的交换性条件,但仍然得到一个共单子,必然是一个与我们所描述的有所不同的共单子:如果我们不需要它来得到我们所定义的共单子结构,我们几乎不会引入交换性的概念。我们将在下一节中详细5删除交换性条件在这一节中,我们试图获得一个comonad,就像我们在前一节中所做原因是我们感兴趣的一些对称么半群Lawvere理论,特别是Frobenius对象的对称么半群Lawvere理论,不是可交换的;所以我们想扩展我们的分析。海兰-鲍尔公司237⊗更具体地说,到目前为止,我们描述的对称幺半群律维理论的所有具体例子[12]凡此种种,皆是虚妄。但是对于一个非交换的对称么半群Lawvere理论的例子,考虑下面的例5.1设RF rob是关系Frobenius对象的对称么半群Lawvere理论这是由对象X连同X上的交换幺半群结构和X上的交换幺半群结构生成的,使得图XXXδM❄XXmX❄XXXδ(见[4])和m.δ=idX.这个范畴可以明确地描述为这样的范畴,其对象是有限集合,并且具有由m+n上的等价关系给出的从m到n的映射。这一范畴被Danos和Regnier [6]隐含地用于相互作用的几何学,Gardner在[10]中出于不同的原因考虑了这一范畴。再举一个例子,我们可以去掉上面的条件m.δ=idX,给出Frobenius对象的对称monoidal Lawvere理论,对它的明确描述是[3]的主要结果所以考虑非交换的对称monoidal Lawvere理论是有价值的我们构造一个 允 许 我 们 这 样 做 的 comonad 的 技 术 核 心 是 通 过 修 改 我 们 对 对 称monoidal Lawvere理论L和对称monoidal范畴C的Mods(L,C)的定义来给出的。先验地,这使我们有点远离我们最初设想的二维线性代数,因为Mod(L,C)是SymMon的伪封闭结构。然而,我们现在构造的对象与Mods(L,C)的对象相同,并且在对称monoidal闭范畴如Ab中,阿贝尔群的元素之间没有箭头,因此在精确的意义上,如果限制到像Ab这样的范畴,则构造Mod(L,C)和Mod(L,C)会同意。因此,二维线性代数的一个更微妙的观点可能会很好地结合这种结构。定义5.2给定一个对称monoidal Lawvere理论L和一个对称monoidal范畴C,设Mods(L,C)表示(唯一)因子分解Mds(L,C)Mds(L,C)C海兰-鲍尔公司238的ev1:Mods(L,C)−→Ci n到函子Mods(L,C)−→Mods(L,C),它是由一个完全忠实的函子Mods(L,C)−→C跟随的一个原函数。构造Mods(L,C)扩展到SymMons上的闭函子,ev1平凡地限制为给endofunctor一个cop。模拟上一节的结果,在这个有点com-丛设置,我们有命题5.3若L是对称么半群Lawvere理论,则存在具有C-分量δC:Mods(L,C)−→Mods(Mod(L,C))使得Mods(L,-)与ev1和δ在category上形成一个余元SymMons.证据证明本质上与交换情形相同。在交换的情况下,需要交换性来迫使δC表现良好在地图上,但在这里,我们把地图挂起来,maps地图is trivial平凡.✷命题5.4若L是对称monoidal Lawvere理论,则严格对称monoidal函子对Mods(ev1)和(ev1)Mods(S. C)从对称么半群Mods(Mods(L,C)到Mods(L,C)是共同的单态的范畴SymMons。证据 这里的证明与对易情形的证明相同。✷定理5.5若L是对称幺半群Lawvere理论,则关于ω点内函子(Mods(L,-),ev1)的ω代数范畴等于关于ω单子(Mods(L,-),ev1,δ)的ω代数范畴.6结论和进一步工作本文介绍了二维线性代数的概念,并开始了二维线性代数的发展出现了一些困难的连贯性问题,其中一些我们已经解决了,另一些我们还没有解决。所以我们不得不在某些时候绕过一些困难。但这本身是有价值的,因为它使我们确定了对称幺半群的Lawvere理论的概念,在我们看来是一个有趣的方向推广了我们进一步发展了对称monoidal律- vere理论的交换性条件. 余代数界最感兴趣的可能是在第二维中,余代数结构比线性代数的代数结构更简单和更原始一个有趣的观察,我们在这里没有发展,是我们在这里发现的comonads,在我们所有的主要例子中,都是幂等的comonads,即,余乘是一个同构,等价地,余代数范畴是SymMon的一个满核代数子范畴.我们认为海兰-鲍尔公司239[12] 对这种观察的充分理解可能为埃克曼·希尔顿的论证提供一个概念基础。因此,我们可以继续进行大量的工作:解决突出的一致性问题,例如伪对称的概念以及2-范畴上伪monoidal和伪封闭结构之间的关系,为Eckmann Hilton论证提供概念基础,或者尝试开发特定类别的示例,例如支持在SymMon上使用结构进行并发[5]或上下文[9]。引用[1] Barr,M.,和C. Wells,[2] 布莱克威尔河,通用汽车王志华,二维单子理论,应用数学学报,2000年,第1期,第1-41页[3] Carmody,S. M., 毕业论文,剑桥,1996年。[4] Carboni,A.,和R.F.C.黄文,《笛卡尔双范畴》,《纯粹应用代数》,第49卷,第11[5] Cattani,G.,M.P.Fiore和G.陈文辉,递归域理论及其在并行计算中的应用,北京大学出版社,1998年,第214[6] 达诺斯,五,和L.Regnier,The Structure of Multiplicatives,Arch.数学逻辑28(1989)181[7] Eckmann,B.,和P. Hilton,一般类别I中的类群结构:乘法和余乘法,Math. Annalen145(1962)227[8] Eilenberg,S.,和G.M.凯利,封闭范畴,[9] Fiore,M.,G.D. Plotkin和A. J. Power,公理域理论中的立方集,Proc.LICS97(1997)268[10] Gardner,P.,“交互式系统的图形演示”,MathFit暑期学校,1998年。[11] 戈登河A.J. Power和R. Street,[12] Hyland,J.M.E.,和A.J.Power,对称Monoidal Sketches,Proc. PPDP00(2000)280[13] Hyland,J.M.E.,和A. J. Power,伪交换单子和伪闭2-范畴,J.纯应用代数(即将出版)。[14] 凯利,通用汽车,松弛代数和分配律的相干定理,数学讲义420(1974)281海兰-鲍尔公司240[15] 凯利,通用汽车,和R. Street,Review of the Elements of 2-categories,Lecture Notes in Mathematics420(1974)75[16] Kock,A.,由交换单子生成的闭范畴,J.Austral.Math.Soc.12(1971)405[17] 米尔纳河,微积分的相互作用,学报33(1996年)707[18] O'Hearn,P.W.,和D.J.Pym,Bunched Implications的逻辑,Bull. SymbolicLogic(即将出版)。
下载后可阅读完整内容,剩余1页未读,立即下载
cpongm
- 粉丝: 4
- 资源: 2万+
上传资源 快速赚钱
- 我的内容管理 收起
- 我的资源 快来上传第一个资源
- 我的收益 登录查看自己的收益
- 我的积分 登录查看自己的积分
- 我的C币 登录后查看C币余额
- 我的收藏
- 我的下载
- 下载帮助
会员权益专享
最新资源
- zigbee-cluster-library-specification
- JSBSim Reference Manual
- c++校园超市商品信息管理系统课程设计说明书(含源代码) (2).pdf
- 建筑供配电系统相关课件.pptx
- 企业管理规章制度及管理模式.doc
- vb打开摄像头.doc
- 云计算-可信计算中认证协议改进方案.pdf
- [详细完整版]单片机编程4.ppt
- c语言常用算法.pdf
- c++经典程序代码大全.pdf
- 单片机数字时钟资料.doc
- 11项目管理前沿1.0.pptx
- 基于ssm的“魅力”繁峙宣传网站的设计与实现论文.doc
- 智慧交通综合解决方案.pptx
- 建筑防潮设计-PowerPointPresentati.pptx
- SPC统计过程控制程序.pptx
资源上传下载、课程学习等过程中有任何疑问或建议,欢迎提出宝贵意见哦~我们会及时处理!
点击此处反馈
安全验证
文档复制为VIP权益,开通VIP直接复制
信息提交成功