Sobolev型随机微分系统的近似边界能控性的研究——埃及数学学会论文

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2014）22，201埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章Sobolev型随机微分系统的近似边界能控性M. Palanisamy*，R. 钦纳坦比地址：Gandhigram 624 302，Tamilnadu，India接收日期：2013年5月28日;修订日期：2013年6月27日;接受日期：2013年2013年9月13日在线提供摘要研究Hilbert空间中Sobolev型随机微分系统该系统的控制函数通过使用无限维可控性算子适当地构造。利用压缩映射原理和随机分析技巧，在Hilbert空间中建立了该问题近似边界能控的充分条件.将所得结果推广到具有Poisson跳的随机微分系统。最后，给出了一个例子来说明主要结果.数学潜规则分类： 34K50; 60H10; 93B05; 93E03？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍在许多情况下，对实际环境下的系统进行精确的分析、设计和评估时，必须考虑到系统特性中可能存在的随机载荷和随机性。随机性是许多现象（如股票市场的波动或通信网络中的噪声）的数学公式所固有的。到q这项工作得到了印度新德里印美科学技术论坛（IUSSTF）和印度政府UGC-SAP（DRS-II）的支持。印度，新德里根据制裁没有。F. 510/2/DRS/2009（SAP-I）。* 通讯作者。 联系电话： +91 451 2452371;传真：+91 4512453071.电子邮件地址：pmuthukumargri@gmail.com（M.Palanisamy）。同行评审由埃及数学学会负责在经济学、社会科学、化学、金融、物理学和其他领域建立更现实的模型时，需要考虑随机效应。这类系统的数学建模通常会导致具有随机参数的微分方程。使用确定性方程忽略参数的随机性或用其平均值代替它们可能导致粗差。所有这些问题都是由各种随机系统来数学建模和描述的，这些随机系统由随机微分方程、随机延迟方程以及在某些情况下随机积分微分方程来描述，这些随机微分方程是具有不规则波动现象的数学模型。随机微分方程从应用的角度来看是重要的，因为它们将（自然）随机性纳入现象的数学描述中，从而更准确地描述它。随机微分系统理论由于其在通信、控制技术、机械、动力学等领域的广泛应用，1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.07.005制作和主办：Elsevier关键词近似边界能控性;压缩映射原理;Hilbert空间;半群理论;随机微分系统202M.帕拉尼萨米河钦纳坦比公司简介你好 C！ðÞ电气工程、医学、生物、航空、航天、光、材料、机器人、生物工程等[1，2]。这是由于这样一个事实，即在现实生活中的情况下，数学模型适用的大多数问题基本上是随机的，而不是确定性的（见[3]）。数学控制理论是研究在某种容许的控制输入下，使动力系统从给定的初始状态转向其它任何最终状态或最终状态的邻域的重要概念之一。发展方程的可控性问题也包括在有限的时间间隔内将系统的解驱动到规定的最终目标状态（精确地或以某种近似的方式）（见[4]及其参考文献）。这种类型的问题在科学和工程中很常见，特别是，它们经常出现在湍流控制、柔性机器人和大型空间结构中出现的柔性结构的控制、量子化学等方面（见[5]）。从数学观点看，精确能控性和近似能控性问题是有区别的.显然，精确能控性是比近似能控性更强的概念.精确能控性总是包含近似能控性。相反的说法一般是错误的。然而，应该指出的是，在案件中，在有限维系统中，精确可控性和近似可控性的概念是一致的。文献[6]讨论了一类分数阶中立型发展系统的能控性结果。Sakthivel等[7]利用半群理论和不动点技巧研究了一类具有状态依赖时滞的非线性脉冲微分方程的近似能控性问题近年来，人们从不同的方向研究了各种类型的确定性和随机动力系统的能控性问题（见[8在文献中，对于线性和非线性动力系统，有不同的SDES可控性定义[8，9，14]。特别地，Klam-ka[15]导出了具有控制时滞的线性系统的随机能控性. Muthukumar等人[16]证明了具有时变时滞的非线性随机发展系统的近似能控性。Sakthivel等人[17]通过使用Holders不等式、随机分析和不动点策略研究了具有脉冲效应的二阶随机微分方程的近似可解性。Shen等人[18]证明了电网的发电厂。已经开发了几种抽象设置来描述控制通过边界作用的域上的分布式控制系统。但在这些方法中，人们会遇到状态空间系统存在充分正则解的困难，控制必须在充分光滑函数空间中进行。Fattorini[21]首先提出了线性微分方程边界输入问题的半群方法。Balakrishnan[22]扩展了这种方法，他证明了具有L2控制的抛物边界控制方程的解可以表示为算子方程的温和解。Barbu[23]研究了Banach空间中一类边界分布线性控制系统。MacCamy等人[24]获得了热方程的近似边界可控性。Han等人[25]也利用Banach不动点定理研究了具有非局部条件的微分方程的边界能控性。许多作者在确定性情形下研究了非线性方程的边界能控性（见[26Balachandran等人[31]建立了Banach空间中包括积分微分系统在内的各种非线性Sobolev型系统的边界能控性的充分条件。Sobolev型方程出现在各种物理问题中，例如通过裂隙岩石的流体流动，热力学和小振幅长波的传播（见[32 ，33] ）。Wang[34]利用半线性时滞微分方程的近似边界能控性，给出了相应的近似边界能控性结果。Li等[35]利用Leray-Schauder非线性变换定理中的凝聚映射不动点定理证明了非线性随机微分包含的边界能控性.如果半群是紧的，则[35]中的假设（H2）成立当且仅当状态空间是有限维的。因此，其应用仅限于随机常微分控制系统。受[31，34，35]的启发，本文的目的是在不使用[35]中的假设（H2）的情况下，d Fxtq x t f t; x c1 t; x c2 t;. ;xcnt dtg.. ;xcntdWtd;t2J½0;b];利用相应的线性系统是近似能控的自然假设，sxtB1ut;x0.001 x0;ð1Þ可控的。Sakthivel等[19，20]利用不动点定理和随机分析理论研究了分数阶随机系统的近似能控性。特别是在过去的二十年里，由于技术的发展，引起了对由偏微分方程控制的无限维线性系统的研究。在工程中，这些系统被称为分布参数系统。这种类型的系统例如出现在炼钢厂中，其中必须控制金属板上的热分布，出现在生物学中，其中必须控制细菌种群的大小，或者出现在电力工程中，其中必须计算发电厂的最佳操作（参见[2]）。这些例子适合一类控制不能在任何地方被超越例如，仅可能在边界处加热金属板，以控制特定年龄的群体大小，或者在金属板中产生电流。其中，状态变量x（x）取希尔伯特空间H中的值具有内积，和ii以及控制函数u（），取值于希尔伯特空间U中。 B1：U∈H是一个线性连续算子.让：C J;L2X;H是从J到H的所有实值可测连续函数的空间。 设q：DC！R<$q<$H是一个闭的、稠密定义的线性算子，其中D（q）是q的定义域，R（q）是q和s的值域：R s∈H是线性算子，s是作用在H边界上的偏微分算子。让K是另一个可分的Hilbert空间。设{W（t）}tP0是一个具有有限迹核协方差算子QP0的给定K我们也对L（K，H）的范数使用相同的符号ii，其中L（K，H）表示从K到H的所有有界算子的空间，如果K=H，则简称为L（H）。 让F：DFC！R<$F<$H是线性算子，非线性函数f是Sobolev型随机微分系统的近似边界能控性203-2k k <$hi2R22Zf2gPpð Þ ð Þ¼¼222，其中期望E是t2J变量，例如kxt;·kdt<1. C（J，L（X，H））是g;F-1y= 0.001;XL2），AFT t-s f s; F-1 y cs; F-1 y c s;. ;F-1 ycs dT t-s g s; F-1 y cs; F-1 y c s;. ;F-1 ycs dWs;1n<$1kn<1（Tr表示算子的迹）。Rbjtdt6N我我ZRF006C1kx1csk-x 2cs k;定义在J ·Hn上的H -值映射，g是定义在J ·Hn上的 LQ（K，H）值映射.这里，L Q（K，H）表示所有Q的空间从K到H的Hilbert Schmidt算子。 ci（t）：JfiJ，i=1，2，. ，n是连续函数。初始数据x0是一个F0适应的H值随机变量，维纳过程W.设y（t）=Fx（t），则（1）可以是关于由 其中wQ w;w是具有上述范数拓扑的希尔伯特空间。所有强可测平方积分的集合bleH-重视随机变量表示通过L2=X;F;P;H=L。2<$X;H<$，是一个Banach空间，范数kx·k1/4Ekx1/2;wk写为dy tqF-1yt ft; F-1yc1 t; F-1yc2t;. ;F-1ycntdtL2H由EhXhwd P定义。类似地，L2<$X;H<$表示所有Ft-可测平方可积随机的Banach空间你是我的朋友ð2Þ从J到L2（X，H）的所有连续映射的Banach空间1使条件超级化Eix（t）i2<1.y =0;这里是F-1。设A：D（A）cHfiH是一个线性算子，定义为DAF-1afa2DqF-1a;AF-1a0g;A F-1aqF-1a，其中a2D（A F-1）.t2J设y（t）为（2）的解。然后定义函数z（t）=y（t）-Bu（t）。根据假设，可以得出z（t）2D（AF-1）。因此，（2）可以写成d ztAF-1ztqF-1But-Bu0tdtft;F-1yct;F-1yct;. ;F-1yctdt算子A：D（A）cHfiH和F：DFC！ RFH满足以下假设[12]（S1）A和F是闭线性算子，（S2）D（F）cD（A）和F是双射的，-1（S）The预解R（#，AF-1）是紧凑对于一些1 2Ng;F-1y= 0.0000000000000;z0 y0-Bu0;而（2）的温和解由[31，35]给出。Zt你好，我是说，F-1-AF-1 [T-1-F- 1]Bu-1-s-1-[T-1-F-1]Bu-1-04t-1-11 2NZt0给出了sto的一些符号、引理和初步结果。12N随机设置第三节和第四节研究了Sobolev型随机微分系统的存在性、近似边界能控性和边界控制性.Poisson跳系统的不稳定性结果在第5节中，这是很好的定义。因此，系统的温和解决方案（1）由Zt最后给出了一个例子来说明主函数xtF-1TtFx0Zt0F-1-AF-1-T-1-F-结果.第六节是结论。2. 预赛对于本节的更多细节，读者可以参考[1，3，9，10，14，16设X;F;P是完备概率空间，具有完备右连续增子代数族Ft;tJ满足Ft F. H值随机变量是F可测函数x（t）：Xf H，随机变量S={x（t，x）：XfHft2J}的集合称为随机过程。通常，我们抑制对x X的依赖，把x（t）写为x（t，x），把S写为x（t）：JfiH。设bn（t）（n = 1，2，.. . ）是一列相互独立的实值一维标准布朗运动，F-1Tt-sfs; xc1 s; xc2 s;. ;xcnss不F-1T ;xcnsdWs;3为了证明主要结果，我们假设以下假设[31，36]。（H1）D（q）cD（s），且s对D（q）的限制相对于D（q）的图范数是连续的.（H2）算子AF-1是有界线性算子T（t）的紧半群的无穷小生成元，使得iT（t）i26M，其中MP1.（H3）存在线性连续算子B：U ∈ Z使得qF-1B2L（U，Z），对所有u2U，s∈B u∈B1u. 此外，对于所有的u 2U，iBui 6 c0iB1ui，其中c0是常数。（H4）对所有的t2（0，b]和u2U，T（t）Bu2D（AF-1）和X;F;P. 设定W tn = 1，2，.是1n1其中knP0，房数字且{fn}，AF-1T（t）B是线性算子. 此外，存在正函数j2L（0，b）使得iAF-1T（t）-非负n = 1，2，.是完成正交基础在K. 让Q2L（K，PK）是定义为Qfn=knfn的有限算子1Bi26j（t）a.et2（0，b）.（H5）存在常数N1，N2>0使得01 和12F-1-26N-2。然后，上述K值随机过程W（t）被称为Q-Wiener过程。 我们假设Ft<$r<$W <$s<$：06s6t <$是由W和FtF生成的r -代数.设WL（K，H），定义1（H6）函数f：J·HnfH和g：J·HnfLQ（K，H）连续，存在常数C1，C2，t2 J和x1（ci（s）），x2（ci（s））2 H，i = 1，2，. ，n，使得kft; x1c1s; x1c2s;. ;x1cns-ft; x2c1 s; x2c2s;. ;x2cnsk2w2TrwQwωXpkwf2n1kg ;x cs-gt; x cs; x cs;... ;xcs kk kQ¼2000万美元n nk：11121nXn21222nQ如果iwiQ1，那么w被称为Q-希尔伯特施密特歌剧-<托尔。设LQ（K，H）表示所有Q-Hilbert Schmidt空间运算符w：KfiH。L（K，H）的完备化LQ（K，H），其中C2¼ max droplkft; 0;. ;0 k2kgt; 0;. ;0k2（H7）存在常数C3，使得对于每个x1，x22H22f（F）是连续的，（S3）F# 2q（AF.þ本文的其余部分组织如下。第2þ简体中文1/1þ0204M.帕拉尼萨米河钦纳坦比22.对 每个06tL2<$X;Fb;H<$上边界可控，×fs; x1c1s; x1c2s;. ;x1cns-fs; x2c1s; x2c2s;. ;x2cnsdIZ t.1号线0S2其中，可达集Rbb;x0;un定义为Rbb;x0;un n/4×gs; x1c1s; x1c2 s;. ;x1cns-gs; x2c1 s; x2c2s;. ;x2cnsdWs k;F6N22 2020K2Zt.2110fxb;x;u;u·2LJ;Ug. 这里x（b;x，u）称为22MkqF-1kkBIkjtMbTrQC1Ekx1cs-x2cs kEkx1Ekx1条件x0和控制输入u。引理2.1[9]。为 任何xb2L2X;Fb;H， 那里 存在2 26N22 2NEkx1s-x2sk2ds;n nZt20u2LF<$X;L<$0;b;L<$K;H<$H使得x22Q0联系我们BRb usdWs。类似地Ekukt;xk264N2MkqF-1k2kBIk2jt。kxk2NMjFx0j2NMbTrQ为了得到近似能控性结果，对于任意xb2L2<$X;F;H<$，通过选择适当的控制uk（对于任何给定的K2.Zt0b2 22Σ ΣBkk k×C2bC1nC3Ekxskds;2（0，1]），则系统存在一个弱解x<$·;x0;u<$2 C，C.ZtCb C nC3B达到结果。 对于所有k> 0，定义系统的控制，k20项目（1）作为其中N1/2N2<$MkqF-1k2kBIk2 j.n和cN1/4 N2n nMkqF-1k2kBIk2 jFI-1-1-10bI.b/12000年2月20日，现在考虑×fs; xcs; xcs;. ;xcsdsZt-BIF-1½Tb-tqF-1-AF-1Tb-t]Zt×kICsF0不F-1T ;xcnss0þF-1T t-s g s; x c s; x c s;. ;xcs dWsk2;不.b/1 -1ZF-1F-1半Tb-tq-AF-1Tb-t]IZt我知道，usdWs：4064NMjFx0j28NcNZK不MkqF-1k2kBk2不EK X002使用这个控制函数，我们将C上的算子Uk定义为2 202 13Zt20如下不k-1F-1½Tt-sqF-1-AF-1Tt-s]Buks;xds0不F-1T ;xcsd0N4 N2MbTrQC2bC1nC3 Ekxskds;64N2MjFx0j28N2cNbMkqF-1k2kBk2N1C2bC1nC3bkxk24N MbTrQC bCnC bkxk1：因此，我们认为，我们获得的Ei（Ukx）（t）i21，<也就是说，1 2NZtU kxt2 C，对于每个xt2 C。因此，Uk是self map。到应用压缩映射原理，现在我们证明在1 203. 主要结果3.1. 解的存在性在一定条件下，Uk是C上收缩。为了证明这一点，让那么对于t2[0，b]，我们有EkUkx1t-Ukx2tk2tt¼EkF-1½Tt-sqF-1-A F-1Tt-s]Buks;x1-uks;x2d sF-1T-1T-1× fs; x1c1 s; x1c2 s;. ;x1cn s-f s; x2c1 s; x 2 c2 s;. ;x2cn sdZt考虑到上述符号、定义和术语，þF-1T t-s g s; x 1c1 s; x 1c2s;. ;x1cns0mas，我们将推导出非线性方程-gs; x2 cs; x2 cs;. ;x2csdWs k;n随机系统（1），利用压缩映射原理，请。系统（1）解的存在性是一个自然的先决条件，1 26NZ T22. Zt2Σ0开展边界能控性研究不Ekx1s-x2sk2ds;63. NNbMkqF-1k2kBk2NNMbTrQCnCbsupEkxt-xtk2;1 7[1/4EkBIF-1 ½Tb-tqF-1-AF-1Tb-t]F-1T b-sF-1-AF-1Tb-t]F-1T b-sBEk xsk2 ds;½Tb-tqFTb-t]0T b-s我0 F-1 ½Tt-sqF-1-AF-1Tt-s]Buks;xdsþ0Ekx1s-x 2skds3N 2MbTrQC 1nC 306t6b我1Z00Sobolev型随机微分系统的近似边界能控性205b0的SCZ.1号线k kk.ΣS0B2Sk2kk0Z0BBBb0Z.1号线kkICZ.1号线kkICC6Ekk kICbExb-F-1Tkkk ICsk kF-1 Tb-sk0×kfs;tkds6TrQk k。kICb -1k2kF-1Tb-sk2×kF-1Tb-sk2kgs;tk2ds6TrQkk kI Cb-1k2kusk2ds！0为k！ 0分：×fs;xcs;xcs;. ;xcsd-BIF-1 ½Tb-sqF-1-AF-1Tb-sIþF-1 Tt-sg s;xc s;xcs;. ;xcsdWsCtTIb-tkICbCtTIb-tkICbF-1T b-sCtTIb-tkICb×kIC0bbZZZtþ0x b x-k. kIC- Ex- F- T bFx0k k k2ZBB则可以很容易地得出结论，如果满足（6），则Uk是完备赋范线性空间上的压缩映射，因此根据压缩映射定理，具有唯一的固定KB11B0B×fs;xcs;xcs;;xcsdsBkkICbK. kICb-1F-1T b-s点C。H1 2ns012n× F-1 T b-s g s; x kc s; x k c s;. ;x k cs-u s dW s3.2. 近似边界能控性从f和g的性质可以得出，k k k2k fs; xc1 s s; xc2 s s;.. . ; xcn s k下面的引理给出了一个控制操纵的公式，状态x0到xb2L2<$X;Fb;H<$的邻域。引理3.2. 对于任意xb2L2<$X;Fb;H<$，控制kg ; x cnskQ6L1：然后，有一个子序列，仍然表示为（4）中的uk（t，x）将系统（5）从x0转移到某个k k kxb的邻域xk b x-kk ICb-1B在时间B，BExb-F-1TkkICb-F-1T b-s{f（s，x（c1（s）），x（c2（s）），. ，x（cn（s），g（s，xk（c1（s）），xk（c2（s）），. . ，xk（cn（s）}弱收敛到H · L（K，H）中的{f（s，t），g（s，t）}。另一方面通过b-1个00s假设（H8），算子k kICs！0强如个zlb .1号线þB1kfi0+和kkkICb-k61与勒贝格×fs; xc1 s; xc2 s;. ;xcn s sICs0控制收敛定理，我们得到× F-1 T b-s g s; xc1 s s; xc2 s s;. ;xc ns-u sdW sEkxkb-xbk六、1号线2Zb0.中国-1222Zb0B.中国-122B-1×kfs; x c1 s; x c2 s;. ;x cn s-fs; tk ds 6kk kI Csk kF Tb-skZ×nBIF-1½Tb-sqF-1-AF-1Tb-s]I.kICb -1Ex-F-1TbFx00Z0bZ×kgs; x cs; x cs;... ;xcs-gs;tkds6TrQkk。1k2-BIF-1 ½Tb-sqF-1-AF-1Tb-s]I.f-1F-1T-1B-112n]1 2NQ s0个zlb.ΣZt.-1。ΣΣ×kICbZtF-1Tb-sgs; xc1 ss; xc2 ss;. ;xcns-usdWsds这给出了近似边界能控性，（一）. HF-1T ;xcnss不F-1Tt-sgs; xc1s; xc2s;. ;xcnsdWs;Zt备注3.4. 由于许多进化过程，最优控制经济学模型，受激神经网络，频率1/4F-1TtFx 0ZtF-1Tt-sfs; xc1s; xc2s;. ;xcnss调制系统和导弹或飞机的某些运动，-11 2n0 0Zt.1号线Zt.1号线自动控制系统、人工智能和机器人技术[37，38]是由动力系统与脉冲的特点效果。然而，除了冲动的影响，stochas-×gs; xc1s; xc2s;. ;xc ns-u sdW s上面的等式可以在t=b时重写，因此Bx kb-x b¼F-1TbFx0 F-1Tb-sfs;xc1s;xc2s;... ;xcnss个zlbþF-1T b-s g s; x c1 ss; x c2ss;. ;xcns dW s-k Ik ICb0许多动态系统都具有受随机扰动影响的变结构，这些扰动可能是由诸如部件的随机故障和修理、子系统互连的变化、环境的突然变化等突发现象引起的。因此，研究sto-具有脉冲效应的随机动力系统具有重要的.1号线Zb.- 是的-10SZb.- 是的-10S在[7，17，18]中已经讨论了动态系统。因此，在本发明中，定理3.3的结果可推广到研究×gs; xc1s; xc2s;. ;xcns-usdWs-xb;x kb x-k.kICbEx-FbFx0b0F-1T b-s本文讨论了具有脉冲效应Sobolev型随机微分系统B×fs; xc1 s; xc2 s;. ;xcnsss0× F-1 T b-s g s; xc1 s s; xc2 s s;. ;xcn s-u s dWs：Q定理3.3.假设（H1）-（H8）和定理3.1满意了。如果f和g是一致有界的，则系统(1)在J上是近似边界可控的。证据根据定理3.1，Uk在中有唯一的不动点xk通过随机Fubuni定理和引理3.2，可以很容易地看出，与定理3.3中讨论的思想和技术相同4. 具有Poisson跳的随机模型在科学和工程的许多分支中起着重要的作用。这些模型已在各种应用领域取得巨大成功，包括流行病学，力学，经济学和金融。基于布朗运动的连续路径随机过程风险资产模型存在严重的缺陷，k kkSS证据通过将（4）代入（5），可以很容易地得到：xkt F-1TtFx 0F-1 ½Tt-sqF-1-AF-1Tt-s]BQSQ0× ×Exb-F-1TbFx 0-×fs; xc s; xc s;. ;x c sd-Tb-s1在实际系统中也同样存在这种性质众所周知，2n0SSExb-F-1T-kIkICsF-1T b-s重要性近年来，脉冲系统的能控性问题得到了广泛的研究，×fs; xc1s; xc2s;. ;xcn sd--kIkICsTb-s12B不000000SBSs206M.帕拉尼萨米河钦纳坦比24242221Zb、1t2J1ðÞ262Z1272Z0BZ.Σ0þ22Z101S考虑如下非线性随机偏微分方程其他缺陷。首先，路径连续性假设不考虑到价格突然变化的可能性，Zkht;x;g-ht;x;gkkdg6CkxZ— xk;市场崩溃导致的波动（跳跃）。一个解决方案是使用具有跳跃的随机过程，Zkht;x;g-ht;x;gkkdg6Ckx— xk;资产价格的变化另一方面，这种跳跃模型通常基于泊松随机测度。Zkht;x;gkkdg6C81 kxk;Z4 4描述的许多流行的经济和金融模型在非Lipschitz条件下，讨论了具有Poisson跳和无限时滞的依 赖 于 时 间 的 随 机 发 展 方 程 温 和 解 的 稳 定 性 ， 其 中Lipschitz条件被认为是特例.最近，Sakthivel et al.[10]研究了随机发展方程的完全能控性，显然， 下 的 假设 （H9） 为 每u·2LFJ;U，积分Eq. （8）有独特的解决方案，C.为了应用压缩映射原理，我们将从C到自身的非线性算子Uk定义如下不假定半群Zt是紧的财产在本节中，我们讨论边界可控性对于带Poisson跳的随机微分系统，希尔伯特空间描述为UkxtF-1TtFx0Zt0F-1-AF-1-TZt0dFxtqxtft;xtdt gt;xtdWtZt ZþZ0F-1Tt-shs;xs;gNds;dg;9ht;xt;gNbdt;dg;t2J½0;b];sx t B1u t;哪里[2019-01 - 21][2019 - 01][2019 - 01][201kICb -1Ex-F-1TbFx0不x0.000000x0;0.00000— BHF-1 ½Tb-tqF-1-A F-1Tb-t]H. kI-1F-1T-1B-1F-1其中函数f：J·HFIH和g：J·HFIL（K，H）。— BHF-1½Tb-tqF-1-AF-1Tb-t]HZ t.1号线0F-1Tb-sgs;xsdWsQ是一个补偿泊松随机测度，— BHF-1 ½Tb-tqF-1-AF-1Tb-t]HZt ZS我知道，F-1Tb-shs;xs;g由Poisson点过程k（k），它独立于Wie-HZ t.1号线ner处理W并在可测空间中取值定义在完备概率空间<$X;F;P<$X上。h：J×H× Z- f 0 gg！ H是适当的映射。此外，本发明还设{k（t）;t2J}为独立Poisson点过程×Nbds;dgBHF-1½Tb-tqF-1-AF-1Tb-t]KICb0您的位置：Wiener过程W，取其值为可测量的空间Z; B Z，具有有限强度测度k0（dg）。我们用N（ds，dg）表示泊松计数测度，其在-由k（k）导出，补偿鞅测度由B定理 4.1. 假设 的 的 假设 （H1）-（H5）和（H8）然后，系统（7）近似为[0，b]上的边界可控，四、NN2bMkqF-1k2 kBk2 NNMCbTrQNMb.CpCbN ds; dg<$ N ds; dg-k0 dg ds：假设由Q-Wiener过程W（k）、Poisson点过程k（k）产生的滤波是增广的，1k2<一曰：1 2 42 6 7通过，Ft<$rfWs;s6tgVrfN0;s;A;s6t;A2BZgVN0;t2J;其中N0是P-空集类类似于等式（3）在第2节中，系统（7）的温和解由下式给出：Zt0证据这个定理的证明与定理3.1和3.3的证明类似，并且可以很容易地证明，如果对所有k>0，算子Uk有一个不动点，则我们可以证明系统（7）是近似边界可控的（与定理3.3类似），因此它被省略。HxtF-1TtFx 0Zt0F-1-AF-1-T-1-F-Zt05. 例如Zt ZþZ0F-1Tt-shs;xs;gNds;dg：8形式的微分方程@@t zt; y-Dzt; yDzt; y ft; za1t; y; za2t; y;. ;znt;y（H9）函数f和g是连续的，对于t2J和x1，x22H，存在常数C4，C5，使得g. ;znt;yt@bt;t2J½0;b];y2K;z t;yut; t2 J; y2n;10z= 0; y=2K;2 2 2kft;x1-ft;x2k kgt;x1-gt;x2kQ6C4kx1-x2k;C5¼maxkft; 0k kgt; 0k（H10）非线性函数h是连续的，对于t2J和x1，x22H，存在常数C6，C7，C8，C9，使得其中K是Rn的有界开子集，具有足够光滑的边界n。设H=L2（K），b（t）表示H中定义在随机空间X;F;P上的一维标准布朗运动.上述问题可以通过适当地将抽象地公式化为边界控制系统（1），SB11随机 微分 方程 与 泊松 跳转（参见[39]）。Ren等人[40]讨论了存在性、唯一性和k ht;x;g k kd g6C9 1 kx k：þF-1Tt- s fs;x s d sF-1Tt-s gs;x sd W sþF-1Tt- s fs;x s d sF-1Tt-s gs;x sd W sþZ0ZSobolev型随机微分系统的近似边界能控性2072022-22ffiffiXX22n2n¼n1ðnn1年2nn241k k <$k k <$k k引用选择U=L2（n），Y=Z=L2（K），B1=I，算子F：D（F）cYfiz定义为Fw=WDw其中D（F）= H2（K）且D（q）={zL2（K）;DzL2（K）}，qz= Dz. 算子s是迹算子sz=z <$n定义良好，并且对于每个z 2 D（q）属于H-1<$n<$（参见[28]）。取ai（t）= k i t，tJ，K i（0，1]，其中i=1，2，. ，n. 观察到ai：j是有界连续函数。 定义算子A：D（A）cYfiz为AF-1w=DF-1w， 其 中 D<$AF-1H1<$K<$[H2<$K <$] 。 然后，A和F可以分别写为：Aw¼X1n2w;ww;w2D-A-D;n1最后用适当的随机偏微分方程验证了理论结果的有效性。今后，作者将利用Poisson随机测度和乘性Levy噪声来研究分数阶Sobolev型随机积分微分系统的边界可解性。确认作者谨向《公约》缔约国表示诚挚的感谢。编辑和匿名评论者提供有用的评论，提出了提高这份手稿质量的建议。核心-FwX11n2w;ww;w2DF;作者P。穆图库马尔感谢印度-美国科学-能源与技术 论坛，新 印度德里 为他其中，w n n=yn =p2 sin ny;n n= 1; 2; 3;. 是正交集A的特征向量此外，对于w2Y，F-1w¼X11w;wn12012年IUSSTF研究员奖。第二作者感谢UGC，新德里在2013年提供BSR奖学金。AF-1 w¼1n1n21n2w;wnwn;[1] G.李文彬，随机变量理论与应用，北京大学出版社，1992。Tð tÞw¼1n1n2te1n2 w; wn wn：[2] T.陈文辉，分散式控制系统之研究，国立成功大学机械工程研究所硕士论文，（1997）。[3] B. Oksendal，随机微分方程：介绍很容易看出AF-1在Z上生成强连续半群T（t）。因此，假设（H1）、（H2）成立。 定义线性算子B：L2（n）fiL2（K）：Bu = v u，其中vuL2（K）是Dirichlet界的唯一解-元值问题Dvu¼0 在 K;111v uu在n中：在[23] 中 证 明 ， 对 于 每 个 u2H-n ， 方 程 （11 ） 有 唯 一解vu2L2（K）满 足 BuL2<$K <$vuL2 <$K<$c1uH-1n.这表明（H3）是饱和的。根据上述估计，应用，Springer-Verlag，1995。[4] J. Zabczyk，数学控制理论，Birkhauser，巴塞尔，1992年。[5] V. Kolmanovskii，A.李文，泛函微分方程的应用理论，数学与应用，清华大学出版社，1992。[6] R. Sakthivel，N.I. Mahmudov，J.J. Nieto，一类分数阶中立型进化控制系统的可控性，应用。数学。计算。218（2012）10334-10340。[7] R. Sakthivel，急诊室Anandhi，具有状态依赖时滞的脉冲微分方程的近似可控性，Int. J. Control 83（2010）387-393.[8] N.I.Mahmudov， A. 登克尔， 对 可控性 线性随机系统，Int. J. 对照73（2000）144-151。论点 [30个] thatkAF-1TtBk6ct-3，所有t>0，v≥t≤c2t-4，其中c1，c2为正常数，pendant ofu.因此，假设（H4）、（H5）成立。文[24，41]详细讨论了相应的线性系统的近似边界能控性。显然，非线性函数f和g满足假设（H6），（H7）。定理中的所有条件3.3因此，系统（10）在J上近似是边界可控的。6. 结论本文讨论了Sobolev型随机微分系统的边界能控性结果.利用Banach不动点定理得到了Sobolev型随机微分系统温和解的存在唯一性结果.在自然假设下，证明了该系统近似能控的充分条件，即相应的线性系统近似能控.结果表明，Banach不动点定理在控制问题中是有效的.此外，还证明了带Poisson跳的随机微分系统的边界能控性结果.抽象的确定性和随机性发展方程空间，SIAM J。控制Optim。 42（2003）1604-1622。[10] R. Sakthivel，Y. Ren，带跳随机演化方程的完全可控性，Rep. Math. Phys. 68（2011）163-174。[11] R. Sakthivel，Y. Ren，N.I. Mahmudov，关于半线性分数阶微分系统的近似可控性，计算机。62（2011）1451-1459。[12] N.I. Mahmudov，Banach空间中分数阶Sobolev型发展方程的 近 似 能 控 性 ， Abs. 应 用 分 析 （ 2013 ） ，http://dx.doi.org/10.1155/2013/502839。[13] R. Sakthivel