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可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页:www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报5(2018)198基于变异的改进元分析法甘希亚姆湾Tejania,J.作者声明:a.Patelb,Poonam V.萨夫萨尼湾aRK大学,Rajkot,Gujarat,印度bPandit Deendayal Petroleum University,Raysan,Gandhinagar,Gujarat,India阿提奇莱因福奥文章历史记录:2017年5月5日收到2017年9月4日收到修订版,2017年2017年10月12日在线提供保留字:结构优化变异算子改进元分析改进算法桁架拓扑优化A B S T R A C T在这项研究中,同时尺寸,形状和拓扑优化的平面和空间桁架进行了调查。此外,桁架受到单元应力、节点位移和运动稳定性条件的约束桁架拓扑优化(TTO)从基础结构中删除多余的元素在该方法中,由于不可接受的和奇异的拓扑结构,出现的困难,因此,Grubler的准则和正定性来处理这样的问题。此外,TTO由于其搜索空间而具有挑战性,该搜索空间是隐式的、非凸的、非线性的,并且经常导致发散。因此,基于突变的元分析被提出来研究它们。本研究比较了四种改进的元算法(即改进的基于教学的优化(ITLBO)、改进的热传递搜索(IHTS)、改进的水波优化(IWWO)和改进的通行车辆搜索(IPVS))和四种基本元算法(即TLBO、HTS、WWO和PVS)的性能,©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)下访问文章1. 介绍桁架是一种二维或三维结构,由在节点处连接以承受载荷并承受拉伸或压缩的线性构件组成桁架优化是近三十年来结构优化中迅速兴起的一个桁架优化可以分为三类:尺寸优化、形状优化和拓扑优化。尺寸优化处理找到元件的最佳横截面积,形状优化通过移动节点位置来工作(Kaveh Talatahari,2009),而拓扑优化则通过添加和删除元件和节点来工作桁架拓扑优化(TTO)是优化方法的一个具有挑战性的问题,因为它处理所有生成的不同拓扑而不是特定的拓扑,并通过搜索最好的拓扑来显著节省重量(Deb&Gulati,2001)。应力和位移约束下的TTO问题对优化方法更具挑战性(Bojczuk Mróz,1998)。此外,应力、位移和运动稳定性约束也会产生后果效应,由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电子邮件地址:gmail.com(G.G.Tejani ),vimal.savsani@gmail. com(V.J.Savsani),viveksaparia@gmail.com(V.K.Patel),Poonam.savsani@gmail. com(P.V. Savsani)。包括额外的共谋,这使得TTO问题更具挑战性。因此,需要一种有效的方法来解决这些问题,研究人员正在不断研究这一领域。接地结构由节点之间所有可能的连接形成,并由元件长度控制。在基本结构法中,进行单元删除和添加操作,从而导致拓扑优化(Dorn,Gomory,Greenberg,1964; Kirsch,1989)。在该方法中,由于奇异解和不必要的分析而产生困难,为了解决这些困难,对有限元模型进行了改进(Kaveh,1995)。在这种方法中,拓扑结构可能导致奇异的拓扑结构的解决方案,这是一个具有挑战性的问题的TTO。如果将微小值分配给移除的元素,则可以避免奇异性(Savsani,Tejani,Patel,2016),但是,由于移除的元素以微量元素(具有可忽略面积的元素)的形式存在,因此增加了额外的分析。为了克服这些局限性,本研究考虑重构有限元模型。在该方法中,如果删除节点,则通过移除到节点的连通性根据优化问题所遵循的步骤,SO有两种方法,例如两阶段方法(Hajela Lee,1995)和单阶段(同时)方法(Deb Gulati,2001;Kaveh Ahmadi,2014; Kaveh,Hassani,Shojaee,Tavakkoli,2008; Kaveh Kalatjari,2003;Kaveh Mahdavi,2015)。在两阶段方法中,通过考虑恒定截面,https://doi.org/10.1016/j.jcde.2017.10.0012288-4300/©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报5(2018)198199在第一阶段中识别的区域和在第一阶段中识别的拓扑在第二阶段中针对大小进行优化(Kaveh&Zolghadr,2013)。此外,两阶段方法降低了问题的复杂性,但如果在第一阶段识别的可行拓扑不具有最优拓扑,则可能无法达到全局最优解(Wu Tseng,2010)。另一方面,单阶段方法需要更多的计算工作,因为它同时处理尺寸、形状和拓扑优化,但能够实现全局最优解(Ahrari,Atai,Deb,2014; Deb Gulati,2001)。因此,单阶段的方法,地面结构的方法,和重建的有限元分析(FEA)模型用于本研究。许多研究人员已经研究了各种元分析方法来解决SO问题。元启发式是一种发现新的上层问题独立方法的艺术,该方法给出了一组规则来解决优化问题。遗传算法(GA)及其变体已广泛用于SO(Deb Gulati,2001;Rahami , Kaveh , Gholipour , 2008;Rajan , 1995;Richardson , Bouillard , Adriaenssens , Bouillard , Filomeno ,2012; Tang,Tong,&Gu,2005)。另一方面,当代和更吉祥的metabolistics以外的GA已被用于相当大范围的SO。最优准则方法(Canfield,Venkayya,&Grandhi,1989 ),蚁群优化(Luh&Lin,2008),组搜索优化器(GSO)和改进的GSO(Li& Liu,2011 ) , 自 适 应 多 种 群 差 分 进 化 ( AMPDE ) ( Wu& Tseng ,2010),萤火虫算法(FA)(Miguel,Lopez,&Miguel,2013),基于进化策略的全应力设计(Ahrari et al.,2014)、基于教学的优化(TLBO)(Savsani et al. 2016年; Tejani,Savsani,Patel,2016b),FA和比例拓扑优化方法(Fu,Wang,Zhao,2016)等已用于桁架优化。元启发式算法的改进是一个越来越受关注的领域,文献中已经报道了许多令人 满意的优化结果(Cheng& Prayogo,2017; Cheng,Prayogo,Wu,&Lukito,2016; Patel& Savsani,2014; Savsani等人,2016; Tejani,Savsani,&Patel,2016 a; Tejani等人,2016 b;Zhang,Zhang,Zhang,&Zheng,2015)。元启发式的性能可以可以通过提炼其特征或发挥另一种基本算法的优点来增强。元启发式算法的改进在探索和利用之间建立了良好的平衡,保持了种群的多样性,提高了鲁棒性,并加快了收敛速度。改进的元分析方法在解决工程问题时表现出了突出的可靠性和有效性,成为基本元分析方法的一种有吸引力的替代方法。这种非常有效的策略是改进元分析的实施的强大动力。TLBO ( Rao , Savsani , &Vakharia , 2011; Rao , Savsani ,&Vakharia , 2012 )、 传热搜索( HTS )( Patel &Savsani ,2015; Tejani,Savsani,&Patel,2017)、水波优化(WWO)(Zheng,2015)和过往车辆搜索(PVS)(Savsani &Savsani,2015)算法的程序取决于初始和当前种群的特征。在这样的算法中,当群体接近平均值、最佳或较差群体时,并且即使群体在优化过程中接近其他随机选择的群体,群体也可能变化非常小这种状态会导致早熟收敛和局部最优解,因为种群几乎保持在同一位置。此外,如果群体没有进一步改善,则搜索可以被认为是陷入局部最优。在这种情况下,人口应该探索更多,可以再生,以寻找更好的解决方案,避免局部最优陷阱。因此,一个随机变异为基础的搜索技术被纳入所提出的算法来回答所述的问题。设计变量的随机变化被称为突变,并且它已有效地用于许多研究(Ali等人,2015; Baumann&Kost,2005; Cheng &Prayogo,2014; Das&Parouha,2015; De Falco,Della Cioppa,&Tarantino,2002;Deb&Gulati , 2001; Eskandar , Sadollah , Bahreininejad ,&Hamdi,2012; Kunakote &Bureerat,2011; Lu,Jan,Hung,&Hung ,2013;Ohsaki , 1995; Piotrowski , 2013; Wang 等人,2014; Li& Yin,2015; Yi,Zhou,Gao,Li,&Mou,2016)。在提出的基于随机变异的搜索中,变异向量通过融合宿主设计变量和随机生成的变量来生成。基于随机突变的搜索阶段的高度启发式性质允许搜索跳转到非访问区域(探索),并且还允许访问区域的局部搜索(利用)。从而提高了初期勘探和后期开发的效率。以这种方式,该阶段具有避免父元启发式的局部最优陷阱的附加特征此外,HTS、WWO和PVS算法是近年来发展起来的,需要探索这些方法来解决具有挑战性的SO问题,而TLBO算法是一种有效的技术,对不同的工程优化问题产生了有效的影响此外,所考虑的元算法具有不同的搜索机制,并且实际上不可能预测修改对每个应用程序和元算法的影响。因此,TLBO,HTS,WWO,和PVS算法进行了改进,提出了改进的 TLBO ( ITLBO ) , 改 进 的 HTS ( IHTS ) , 改 进 的 WWO(IWWO),和改进的PVS(IPVS)算法基于随机变异的搜索技术。在这项研究中,四个不同的桁架进行了调查,使用四个以总重量为目标函数,以应力、位移和运动稳定性为约束条件,提出了基本元分析法(TLBO、HTS、WWO和PVS)和四种改进元分析法(ITLBO、IHTS、IWWO和IPVS)。本研究亦结合单阶段分析法、地面结构分析法及有限元模型之重建。2. 元分析学本研究以四种基本演算法与四种改良演算法来探讨SO问题。所有考虑的元算法都是基于种群的算法。元算法从优化问题的随机生成的种群开始然后,通过使用一系列简单的公式来更新算法的种群,这些公式主要是此外,选择元算法使用贪婪选择方案来选择是保留旧的解还是保留新的解。应该注意的是,本研究不包括删除TLBO、HTS、WWO和PVS算法中的重复解决方案,因为它需要更多的功能评估(FE)(Liu Mernik,2012; Waghmare,2013)。基于随机突变的搜索的工作原理、所考虑的算法及其改进将在后续章节中简要总结2.1. 基于随机变异的搜索变异算子包括在优化过程中随机改变设计变量。De Falco et al.(2002)全面综述了突变在各种代谢中的作用。他们还探讨了新的变异算子的有效性和重要性。Ohsaki(1995)在遗传算法中使用二进制变异算子,Baumann和Kost(2005)使用二进制结构向量的m点变异来建立拓扑最优结构,而Deb和Gulati(2001)研究了TTO的Kunakote和Bureerat(2011)通过实验证明,对于连续体结构的拓扑优化,面向变异的多目标进化算法比其面向交叉的版本性能更好Piotrowski(2013)在差分进化(DE)中使用了基于全局和局部邻域的突变算子,然而,原始的DE适用于200G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报5(2018)198⁄单点突变策略 Lu等人(2013)提供了一种粒子位置重置方法,其灵感来自GA中的突变,以加速收敛并避免局部最优。水循环算法的降雨过程阶段的作用类似于GA中的变异算子(Eskandar等人,2012年)的报告。此外,共生生物搜索的寄生阶段(Cheng Prayogo,2014)是随机突变搜索的有效使用。基于生物地理学的优化算法同样适用于变异算子阶段。Wang等人(2014年)使用修改的突变操作来消除TLBO算法中的重复解。Das和Parouha(2015)研究了DE变异策略对三种群方法的有效性,作为混合DE和实际群优化。Aliet al.(2015 )Balanced ensemble of three mutation strategiesforamulti-populationDEwithonlarge-scaleglobaloptimization problems. 此 外 , Yi 等 人 测 试 了 四 种 突 变 算 子 。(2016)通过可选的外部存档算法增强自适应DE的性能。变异算子可以帮助元启发式算法引导群体向全局最优解而不是陷入局部最优解。变异是一种增加搜索多样性的强大策略。在这方面,一个随机变异为基础的搜索是incorporated与TLBO,HTS,WWO,PVS算法,以研究其对SO问题的影响。在该方法中,在总体的可行范围内随机选择相互不同的个体设计变量在基于随机变异的搜索中,通过随机变异一些选定的设计变量(即, j = 1,2,.. . ,m)因此,随机选择的设计变量使用其范围内的随机生成的数字来改进通过这种方式,突变向量是群体“i”的设计变量和随机生成的设计变量的融合在下一步骤中,将随机选择的群体“k”(其中k-i)的设计向量(Xk如果变异向量的函数值优于种群“k”的函数值因此,基于随机变异的搜索改进了搜索空间的探索和利用,因为变异向量是通过融合主机设计变量和随机生成的变量来生成的。该阶段的高度随机性允许搜索跳转到非访问区域(探索)以避免过早收敛,并且还允许访问区域的局部搜索(利用)以提高收敛速度。通过这种方式,该阶段提高了父元数据库的探索和利用能力。因此,TLBO,HTS,WWO和PVS算法的改进与变异向量,以提高其性能和变异过程中提高人口。生成第i个种群的变异向量的详细伪代码如下:教与学是学生向老师和同学学习以提高自己的知识水平的一种基本过程。TLBO算法是一种基于种群的算法,其中学习者被视为种群,提供给学习者的各种主题被视为设计变量。TLBO算法以随机生成的群体开始,其中班级有“n”个学生(即群体大小)学习受试者的数量(即设计变量)。 在接下来的阶段中,在每一代中通过教师阶段和学习者阶段更新种群。此外,更新的解决方案只有在它具有更好的函数值时才被接受。最后,最坏的解被精英解所取代。2.3. ITLBO算法TLBO算法适用于教师阶段和学习者阶段。从教师阶段可以理解,更新后的种群对最佳种群(X教师)和平均种群(X平均)有很大的影响,而在学习者阶段,种群是通过随机选择的种群之间的相互作用来更新的。在渐进优化过程中,当种群接近最佳种群(X教师)或平均种群(X平均)时,即使种群(Xi)接近另一个随机选择的种群(Xj或Xk),种群也可能变化很小或保持其当前位置。这种情况结束于过早收敛,因为人口仍然几乎接近早期的值。因此,这种情况导致过早收敛,需要有效解决。从文献中观察到,TLBO算法可以通过改进或杂交变得更有效(Patel&Savsani,2014; Tejani等人,2016 a; Tejani等人,2016年b)。这一特点促使我们制定ITLBO算法,并研究其对SO问题的影响。本研究的主要贡献是提出了基于变异向量的改进策略,以减少早熟收敛。 ITLBO算法的逐步过程的流程图如图1所示。从流程图中可以看出,在每一代中,通过TLBO算法的教师阶段、学习者阶段作为主要搜索过程来和随机突变阶段。2.4. HTS算法由Patel和Savsani(2015)提出的HTS算法适用于由于系统分子之间以及与周围环境之间的相互作用而产生的热传递,以达到热平衡。热力学的自然定律指出,环境”。因此,我们认为,热力学不平衡系统突变向量=Xi/<$Xiisithpopulation/<$iforj=1tomdo/<$jissdesignvariable/<$总是试图通过系统及其周围的热传递来实现热平衡。传热方式有r=round[rand(0,1)]//r是[0,1]上的随机整数/传导、对流和辐射在设定热平衡中起重要作用。因此,HTS算法考虑如果r=0?MutationVectorj=Lj+rand(0,1)<$(Uj-Lj)end,如果<$/Lj是设计变量j的下限且Uj是设计变量j的上限/端2.2. TLBO算法TLBO算法是由Rao等人提出的一种元启发式算法。(2011),Raoet al.(2012),研究教师对课堂学习者结果的影响。教室‘the conduction phase’, ‘the convection phase’, and ‘the达到热平衡状态。在HTS算法中,所有三种传热模式都有相同的传热机会,并且每一代随机决定三分之一。HTS算法以随机生成的群体开始,其中系统具有“n”数量的分子(即群体大小)和温度水平(即设计变量)。在下一阶段中,通过随机选择的热传递模式中的一个在每一代中更新群体。此外,只有当更新的解决方案具有更好的功能值时,才能接受更新的解决方案。随后,群体的最差解被替换为G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报5(2018)198201初始化随机生成的种群并评估它们,i = 1,FE = 0,g = 1定义总体大小(n)、终止标准、界限(U,L)、FEmax和gmax储存精英解决方案确定最佳人群(X教师)教师阶段计算每个设计变量的均值(X均值)TF = 1或2FE = FE+1是是否比现有的更合适?没有继续现有的解决方案选择随机总体j和k,jK i学习者阶段如果f(Xj)f(Xk),那么如果fFE = FE+1是没是否比现有的更合继续现有的解决方案选择一个随机总体k,k i基于突变的搜索从Xi创建突变向量FE = FE+1是突变载体是否比现有的更适合?没有继续Xki=n吗?没i = i +1是的用精英方案取代最差方案是否满足终止标准?没g = g +1,i =是替换Xk显示最终解决方案图1.一、ITLBO算法的流程图202G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报5(2018)198储存精英解决方案FE = FE +1用精英方案取代最差方案显示最终解决方案精 英 解 决 方 案 根 据 Patel 和 Savsani ( 2015 ) , 假 设 传 导 因 子(CDF)、对流因子(COF)和辐射因子(RDF)分别为2、10和2。2.5. IHTS算法如前所述,HTS算法适用于“对流阶段”、“对流阶段”和“辐射阶段”。每个阶段的数学公式见图二.可以理解的是,当群体接近平均群体(平均温度,Xms)或最佳群体(周围温度,Xs)时,并且即使在优化过程中群体(Xi)接近另一个随机选择的群体(Xk),群体也可能移动得非常小。这种情况结束于过早收敛,因为种群几乎保持接近早期值。Tejani等人(2017年)提出了改进版本,称为基于改进子群体的HTS算法;然而,初始化随机生成的种群并评估它们,i = 1,FE = 0,g = 1定义总体大小(n)、终止标准、界限(U,L)、FEmax和gmax随机生成R值不不是R0.3333?R是0.6666吗?对流阶段传导阶段是的的放射线相位是的选择一个随机总体k,ki;选择随机设计变量j选择一个随机总体k,k i确定最佳总体(Xs)是否是比现有的?继续现有的解决方案选择一个随机总体k,k 我从Xi创建基于突变的搜索FE = FE+1是的突变载体是否比现有的更适合?没有继续Xki=n吗?没有i = i +1是的是否满足终止标准No?是的图二、IHTS算法的流程图替换现有解决方案替换Xk计算平均设计变量(Xms)g = g +1,i = 1G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报5(2018)1982031/1M.; 1/4iPHTS算法的改进仍在研究中因此,必须努力改进HTS,使其更加有效、稳健,并能提供更好的解决方案。在这方面,HTS算法被改进为一个新的元启发式算法称为IHTS算法。本文的主要贡献是提出了基于变异向量的修正策略,以减少早熟收敛。 IHTS算法的逐步过程的流程图如图所示。 二、从流程图中可以看出,通过随机选择的传热模式和基于随机突变的相位中的一个,在每一代中更新种群2.6. WWO算法由Zheng(2015)提出的WWO算法是受浅水波理论启发的Meta启发式算法。WWO算法模拟水波运动的现象,如传播、折射和破碎。在该算法中,低能量水波具有允许在短生命周期期间使勘探能力更强的大波长,而高能量水波具有允许在长生命周期期间使勘探能力更强的小波长。此外,WWO算法的进展由各种参数控制即波长(k)、最大波高(hmax)、波长折减系数(a)、破碎系数(bmax和bmin)和最大破碎方向数(kmax)。WWO算法以随机生成的群体(即波)开始。在下一阶段,在每一代的人口更新的“传播算子”,“折射算子”和“破碎算子”分别。随后,群体中的最差解被精英解所取代。重复该过程,直到它满足终止标准。2.7. IWWO算法WWO算法适用于从图3所示的数学公式中可以看出,在优化过程中,当总体(Xi)接近平均总体(Xmean)或最佳总体(Xbest)时,即使总体(Xi)接近最差总体(Xworse),总体及其函数值F(X)和F(X 0)也可能变化很小此外,控制算子的WWO算法还依赖于总体及其函数值(即Xmean,Xbest,Xworse,F(X),F(X0)等)。这种状态导致过早收敛和局部最优解,因为种群几乎保持接近相同的值。Zhang等人(2015)已经提出了修改版本的WWO算法,使用可变种群大小和综合学习来提供探索和利用之间的更好权衡。因此,必须对WWO算法进行改进,以获得更有效、更鲁棒、更精确的解。在这方面,WWO算法被修改为新的改进的元启发式称为IWWO。IWWO算法结合了前面讨论的变异向量图3示出了具有逐步过程的IWWO算法的流程图。从流程图中可以看出,通过随机选择的传热模式和基于随机变异的搜索中的一种,在每一代中更新种群2.8. PVS算法PVS算法由Savsani和Savsani(2015)提出,是一种新的元启发式算法。PVS算法模拟了双车道公路上的车辆通过机制。最重要的标准是要有安全的超车机会(通过)在一个双车道的车辆通过机制。这种机制取决于许多复杂的、相互依赖的参数,例如,相对交通流中的间隙的可用性;单个车辆的速度和加速度;交通和驾驶员PVS算法考虑了双车道公路上的三种类型的车辆(即,后车(BV),前车(FV)和迎面而来的车辆(OV)),这是超车机制的关键因素BV打算通过FV,但是,只有当FV速度比BV慢时才有可能如果FV速度高于BV速度,则不可能通过此外,传球取决于OV的位置和速度,以及它们之间的距离和速度。因此,Savsani和Savsani(2015)考虑了以下各种条件:假设在双车道高速公路上有三辆不同的车辆(BV、FV和OV),它们具有不同的速度(V1、V2和V3),其中x是BV和FV之间的距离,y是FV和OV之间在任何特定时刻的距离。这导致根据FV和BV的速度的两个主要条件,即:FV比BV慢(V1>V3),反之亦然.如果FV比BV快,则不可能通过,并且BV可以以其期望的速度移动。只有当FV比BV慢时才可能通过。然而,超车是可能的,只有当距离FV在超车发生(x1)是小于 距 离行 驶 的OV ( y-y1 ) 。 因此 , 所 选车 辆 会 出现 不 同 的条 件(Savsani Savsani,2015)。2.9. IPVS算法许多研究已经报道了各种元算法的修改版本,然而,PVS算法的修改仍在研究中。因此,必须努力改进PVS算法,使其更加有效、鲁棒,能够提供更好的解决方案。从图4所示的数学公式中可以看出,当一个种群(Xi)到另一个随机选择的种群(Xk或Xl)之间的距离很小时,种群可能移动得很小,或者保持其当前位置。这种状态导致局部最优值被卡住,因为新的种群(X0)可能不会进一步改进。在这方面,将基于随机变异的搜索并入PVS算法中以形成IPVS算法。如前所述,IPVS算法结合了变异向量。具有逐步过程的IPVS算法的流程图如图4所示。从流程图中可以看出,种群是通过PVS算法作为素数搜索过程和基于随机变异的搜索的各种条件来更新的。3. 问题公式化SO问题的目标是通过满足所有规定的约束条件来最小化桁架的重量。如果元素存在,则目标函数考虑元素权重。此外,还采用了约束移除方法来处理移除元素对约束的影响.如前所述,在本研究中考虑了单元应力、节点位移和运动稳定性约束。优化问题的数学公式可以如下执行:找到; X ¼ fA1; A2;.. . ; A m; n1; n2;.. . ; nng1最小化;fXBiAiqiLi其中B0;ifAi临界面积<1;如果AiP临界区受制于:g1:检查结构的有效性204G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报5(2018)198我JJ我J我JJ临界上限确定最佳总体(X最佳)确定最差人群(X最差)传播是是否比现有的更合适?FE = FE+1没有继续现有的解决方案是是?没折射打破对于j = 1:k,如果如FE = FE+1)然后结束,如果然后结束,如果端其中d是随机维数选择一个随机总体k,k我基于突变的搜索从Xi创建突变向量FE = FE+1是是突变载体比现有的?没有继续Xki=n吗?没i = i +1是是否满足终止标准?没是替换XkFE = FE+1h=hmaxend ifh=h-1如果h=显示最终解决方案g = g +1,i = 1用精英方案储存精英解决方案初始化随机生成的种群并评估它们,i = 1,FE = 0,g = 1定义种群规模(n),终止 准则,边界(U,L),FEmax,gmax,,、 ,k,h,max和min图三. IWWO算法流程图。g2:检查运动稳定性g3X:应力约束;jBirij -jrmaxj60g4 X:位移约束; jdjj-jdmaxj 6 0 g5X:大小约束; A6Ai6 Ag6X:形状约束;n下6nj6n上其中Ai、qi、Li、Ei和ri分别表示元件“i”的横截面积、密度、长度、弹性模量和应力d和n分别是节点位移的实值和节点“j”的坐标。B i是拓扑位,其分别为0表示元素' i'不存在,1表示元素' i '存在。 上标,‘其中; i 1; 2;. ; m和j ^l; 2;. ; n分别G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报5(2018)198205选择任意两个随机总体k& l,kL我分别计算总体BV(Xi)、OV(Xk)和FV(Xl)的距离(D1、D2和D3)和速度(V1、V2和V3计算V3是V1吗?是(y-y1)>x1?没没是FE = FE+1是新解决方案是否比现有解决方案更没有继续现有的解决方案选择一个随机总体k,k 我基于突变的搜索从Xi创建突变向量是是突变向量比现有的?没有继续Xki=n吗?没i = i+1是是否满足终止标准?没是替换XkFE = FE +1显示最终解决方案g = g +1,i = 1用精英方案取代最差方案计算距离x,y,x1和y1储存精英解决方案图四、IPVS算法流程图初始化随机生成的种群并评估它们,i = 1,FE = 0,g = 1定义总体大小(n)、终止标准、界限(U,L)、FEmax和gmax206G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报5(2018)198ð Þð Þ我00美元8>--联系我们如果桁架结构缺少荷载节点、支撑节点和未删除节点,则称桁架结构为无效g1(LiLiLiu,2011)。在这项研究中,运动稳定性g2按照Deb和Gulati(2001)的两个步骤进行审查,该方法的步骤如下:步骤(I).Grubler&步骤(II).桁架结构奇异性检验的整体刚度矩阵的正定性惩罚函数的方法来处理所有规定的约束。如果没有违反约束,则惩罚变为零;否则,惩罚旨在遵循cri-teria(Deb Gulati,2001年):IWWO算法考虑这些参数为最大波高hmax= 12,波长折减系数a=1.0026,破碎系数bmax= 0.25,bmin= 0.001,以及破碎方向的最大数量kmax= 12。用MATLAB(R2013a)软件编写了程序。讨论和结果将在后续章节中解释:4.1. 一个10杆桁架第一个基准桁架的地面结构及其荷载和边界条件如图5(a)所示。该桁架结构由10个设计变量组成,以表征尺寸和拓扑优化。这些元件受到的应力限制为±25Ks irmax¼25Ks i。所有的自由节点都受到了dis-放置限值±2每个方向最大j/1;2; 3; 4 ¼两百块这109如果g1是挥发性的>108,如果g2在DOF约束下被求值许多研究人员已经研究了这个问题(Deb&Gulati,2001; Hajela&Lee,1995; Miguel等人,2013年;理查德森f处罚金额100万美元107>:如果g2在正定性约束下是可解例如, 2012年,为离散变量。在这个问题上,十字架-截面积(A i,其中i = 1,2,.. . ,10)被认为超过[1,fX105Pjhg3Xijhg4Xij,否则4. 基准问题和讨论ð2Þ30]在2中以1在2中递增。因此,离散设计变量可以取2中[30,30]内的任何整数值,其中零或负值表示移除元件。在本节中,通过将种群大小和FEmax分别考虑为100和20,000,对结果是100个独立的在本节中,四个不同的基准桁架(Deb Gulati,2001; Luh Lin , 2008; Tang 等 人 , 2005; Miguel 等 人 ,2013;Richardson等人,2012; Ahrari等人, 2014年),介绍了离散和连续的设计参数。对于每个问题,材料特性(如弹性模量(E)和重量密度(q))分别假定为104 Ksi和0.1 lb in-3选取了设计变量的上界(U)和下界(L以这种方式,为元素存在和临界面积提供相等概率的A下Amax和A上Amax是用户定义的术语,如果面积小于临界面积,离散设计变量可以取[D,D]内的任何整数值,其中,D=总可用离散面积,设计变量的正整数表示元件横截面数量,设计变量的零或负整数表示元件的移除。此外,为了揭示TTO,搜索空间几乎转换为设计变量极限的两倍如前所述,所有问题都考虑应力、位移和运动稳定性作为约束。在这项研究中,TLBO,ITLBO,HTS,IHTS,WWO,IWWO,PVS和IPVS算法之间的比较被认为是在这项研究中。所提出的算法测量100个独立的运行为每个问题,以研究的随机性质的元分析- tics。所有的问题都是以100的人口规模来研究的。TLBO、ITLBO、HTS、IHTS、PVS和IPVS算法不需要其他算法控制参数,而WWO和运行,在这些运行中获得的最佳结果显示在表1中,并与先前研究中发现的结果进行比较。结果表明,元素2、5、6和10被移除,因此,表中没有列出所有的方法,这些要素。应当注意的是,所有方法都识别了如图5(b)所示的相同拓扑。此外,结果还表明,TLBO、ITLBO、WWO 、 IWWO 、 HTS 、 IHTS 、 PVS 和 IPVS 算 法 给 出 了 类 似 的4912.849 lb 的最 佳权 重,这 与先 前的研 究相 似(Deb& Gulati,2001;Miguel等人,2013; Richardson等人,2012 年,除哈杰拉和Lee(1995). TLBO、ITLBO、WWO、IWWO、HTS、IHTS、PVS和IPVS算法给出的平均权重为4951.4918、4931.7489、4964.8842、4963.8999、5313.9798、4924.8175、4929.3271和4926.5089磅。因此,IPVS算法在所考虑的算法中表现最好,以获得最小的平 均权重。 IPVS算法的 平均体重 效益为 27.4561、7.7132、40.8485、39.8642、389.9441、0.7818和5.2914图lb中示出了与分别从TLBO、ITLBO、WWO、IWWO、HTS、IHTS和PVS 获得 的那 些相比 的图 。而TLBO 、ITLBO、 WWO、IWWO、HTS、IHTS、PVS和IPVS算法给出了标准偏差(SD)的重量138.1679,16.9268,45.9577,32.2611、739.6206、12.3892、17.0078和12.3864。 它从结果可以看出,IPVS和IHTS算法更好地获得作为桁架的权重的均值和SD在提出的基于随机变异的搜索中,变异向量是通过融合宿主设计变量和随机图五、10杆桁架:(a)基础结构和(b)优化结构。G.G. Tejani等人/计算设计与工程学报5(2018)198207-我表110杆桁架的尺寸和拓扑优化设计与离散变量的比较设计变量TLBOITLBOWWOIWWOHTSIHTSPVSIPVS的13030303030303030一个32424242424242424一个41616161616161616一个766666666A82020202020202020一个92121212121212121重量(磅)4912.84934912.84934912.84934912.84934912.84934912.84934912.84934912.8493Fe20,00020,00020,00020,00020,00020,00020,00020,000是说4951.49184931.74894964.88424963.89995313.97984924.81754929.32714924.0357SD138.167916.926845.957732.2611739.620612.389217.007812.386459005700TLBOWWOHTSPVSITLBOIWWOIHTSIPVS55005300510049000200040006000800010000 12000 1400016000 18000 20000函数评估见图6。 10杆桁架的收敛图。生成的变量,从而改善搜索空间的探索和利用。基于随机突变的搜索阶段的高度启发式性质允许搜索跳转到非访问区域(探索),并且还允许访问区域的局部搜索(利用)。通过这种方式,这个阶段有一个额外的特性,可以帮助它避免父元启发式算法的因此,基于随机突变的搜索阶段的高度启发性性质改善了权重的平均值和SD值,如表1所示。 图图5(b)还给出了通过各种方法获得的每个桁架上的单元横截面积和最佳拓扑的相对虚拟效应。图6给出了通过该问题的所提出的算法通过考虑每代所有运行的平均重量计算平均重量收敛图表明,ITLBO,IHTS和IPVS算法设置优越的解决方案相比,其他算法。此外,TLBO和PVS算法在5000FE内表现出较早的收敛性,而IHTS和IPVS算法收敛性较好。基于随机突变的搜索阶段的高度启发式性质(根据所提出的修改)生成大量不同的拓扑。因此,在早期阶段,该阶段提供较慢的收敛,因为算法倾向于处理复杂的问题。然而,这种方法将增加找到全局拓扑的几率,并得到更好的解决方案。另一方面,TLBO和PVS算法处理较少的不同拓扑。因此,它们在较早的阶段就表现出早期收敛虽然这种方法降低了问题的复杂性,但如果在此阶段识别的可行拓扑不具有最优拓扑,则它可能无法达到全局最优解因此,TLBO和PVS算法显示出早期收敛
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