可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记325（2016）85-110www.elsevier.com/locate/entcs吉里和机器弗雷德里克·达尔奎斯特1 文森特·达诺斯2 Ilias Garnier3UniversityCollegeLondonEcoleNormaleSup'erieureUniversityofBürburgh摘要本文提出了一种通用的方法--机器--来分析和证明Polish空间范畴Pol中著名函子之间的自然变换。该方法依赖于对Pol结构的详细分析和对域和上域函子的一小部分分类条件。我们应用机器的变换从吉里和积极措施函子的Vietoris，多集，吉里和积极措施函子的组合。多集函子显示为在《易经》中，它的地位和地位是确定的。我们还表明，对于这些功能的一些组合-在函子之间不可能存在一个以上的自然变换，特别是吉里单子除了恒等式之外没有自然变换。最后，我们展示了如何Dirichlet和Poisson过程可以用机器构造关键词：概率，拓扑，范畴论，单子1引言概率论的经典工具不适合组合性，特别是不适合组合近似（Kozen，[13]）。这并没有阻止作者基于概率论的结构方法（Giry，[9]）开发强大的技术（Chaput等人[5]，Kozen等人[14]）。在这里，我们采取了一个稍微不同的观点：我们建议在全球范围内解决这个工具问题，通过结合Pol的结构见解与一些经典的工具，概率论和拓扑结构放在函子的形式。其结果是机器，这是在[7]中进行的发展的范畴论方面的公理化重建因此，我们得到了一个更简单，更概念性的证明我们以前的结果。我们还获得了一个更全面的图片，并证明，自然transfa-之间的Giry-like函子的特点是完全由他们的组件上这项工作是由欧洲研究理事会（ERC）根据赠款规则（320823）赞助的。1楼ucl.ac.uk2vincent. ens.fr3igarnier@inf.ed.ac.ukhttp://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2016.09.0331571-0661/© 2016作者。出版社：Elsevier B.V.这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。86F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）85有限空间。例如，吉里函子的一元数据可以很容易地从有限情形（完全初等）和应用机器中获得。但这种构造并不局限于概率函子：我们同样处理多重集和Vietoris（紧子集的拓扑幂域）函子。这允许人们考虑混合概率和普通非确定性的变换，其方式让人想起（Keimel等人，[12]）。我们的机器的另一个副产品是，我们从无限的数据中重建概率论和统计学的经典对象，即泊松过程和狄利克雷过程。值得注意的是，泊松，狄利克雷（和许多其他类似的结构，通过重新组合的基本成分不同）获得的自然和连续的地图：自然性表达了粒度变化中“行为”的稳定性，因此是一致性的基本属性，但连续性（据我们所知，这是第一次在这里证明）表达了同样重要的属性，即“参数”变化中行为的鲁棒性。这对贝叶斯学习有潜在的影响本文的结构如下。节中 3，我们证明Pol被分层为子范畴Polf，Polcz，Polz，分别是有限的，紧的零维和零维波兰空间，并说明这些子范畴是如何相关的。节中4.引入了机器：我们确定了函子F，G上的一小组范畴条件，这些条件保证Polf中从F到G的任何自然变换都可以通过子范畴逐步扩展为Pol上的自然变换。节中5，我们说明了机器在自然变换上的工作，将Giry和正测度函子连接到Vietoris，multiset，Giry和正测度函子的就我们所知，在Pol中首次定义了多重集函子，并建立了它的性质作为机器的第一个应用程序，我们在SEC开发6个一般准则，在此准则下，至多存在一个从函子F到Giry函子的自然变换。特别地，我们证明了在Vietoris，多重集，正测度和Giry函子到Giry函子之间至多存在一个自然变换. 最后，我们在SEC中展示 7如何从一个生成态射M +（1）→ G H（1）在Pol f中建立M+→GH型变换，其中M+是有限测度函子，H是多重集或有限测度函子，并给出了这种变换是自然的准则。特别是，我们证明了Dirichlet和Poisson分布满足这些标准，并使用机器来构建Dirichlet和Poisson过程。2个符号我们的大部分发展都发生在波兰空间和连续映射的PolPol是拓扑空间和连续映射的Top范畴的一个完全子范畴Pol有所有可数极限和所有可数余积（Bourbaki [4]，IX）。将任意空间映射到具有相同底集和Borelσ-代数的可测空间并将连续映射解释为可测映射的函子记为B：Pol→Meas，其中Meas是范畴F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）8587fczzFz¸可测量的空间和可测量的地图。可数有向图（ccd）由可数有向偏序I和逆变函子D：Iop→Pol给出，使得对所有i≤Iopj，D（i≤Iopj）是满射的. 我们还假设ccd的范围在非空的空间。在这个假设下，ccdD的范畴极限，我们用limD表示，总是非空的。3Pol的结构Pol可根据以下夹杂物图进行分解：Pol，Poulcz Pol，Pol， 汽车旅馆（1）这里，Polf是有限（因此是离散）空间的全子范畴，Polcz是紧零维空间的全子范畴，Polz是零维空间的全子范畴，而Icz、Iz和Ip是明显的包含函子。在这幅图中，我们添加了基空间和保基映射的类别。定义3.1（基空间的范畴）基空间是X∈Obj（Pol）和X的拓扑的可数基F的对（X，F）。一个从（X，F）到（Y，G）的保基映射是一个函数f：X→Y使得f−1（G）<$F（它是连续的）。人们很容易检查到，这定义了一个以基空间为对象、以保基映射为态射的范畴我们用Polb表示这个范畴。类似地，基零维空间是一个对（Z，F），其中Z∈Obj（Polz），并且是闭集的可数基，它也是一个布尔代数。我们表示为基于零维空间和保基映射的范畴。当然，每个这样的基础类别都存在a（忠实的，但不完全！）健忘的函子，我们将分别表示为。Uz和Up。这种情况在Cat中的以下交换图中得到了总结：A. B. C. D. E.Polb，pPolf，Iczbz值z、、、UzUp、Izzc，cPolzIpPol在本节的其余部分，我们将进一步揭示这些类别之间的关系Polf是Pol cz的余稠密子范畴。Polf的对象是有限离散空间。注意，离散空间的每个子集都是闭闭的;因此，两个有限空间之间的任何映射都是连续的。我们将通过它们的基数m，n来表示Polf的对象。Polcz的对象是紧致的零维（或Profennite）空间，一个最好的例子是康托空间2N。这些空间是同胚的极限可数共向图（ccd的短）采取的值在Polf。这一点完全可以用余密度的概念来描述（见[15]，X.6）。我88F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）85∼zFzOPFzop命题3.2 Pol f在Pol cz中是余密的。证据 设X是一个紧的零维空间，考虑逗号category X↓Icz.我们用DX：（X↓Icz）→Polf表示对应于该锥底的这足以证明对于所有X∈Obj（Polcz），X= lim DX. 按照（Mac Lane [15]，IX. 3），它又足以展示一个二重图D：Iop→Pol，证明X=limD和一个卷积（[ 15 ]中的“初始”）函子c：I op →（X ↓ I cz）。[7]的命题3.1给出了这样一个图D其中I是X的有限划分的集合，取于X的闭集的布尔代数中（我们用Clo（X）表示），由划分细化部分排序并由划分交定向观察到任何连续映射f：X→n通过考虑其纤维而诱导X的有限开闭划分让我们用X/f表示这个划分。设c是将任意有限分划n∈Iop看作Polf的对象映射到商映射qn：X→n的函子，且任意加细m≤Iopn到明显的映射πmn使得qm=πmn<$qn。 对于任何f：X→n，分划X/f映射到c（X/f）：X→X/f，平凡地存在一个映射π：c（X/f）→f.对任意两个f，FJ∈Obj（X↓Icz），可以很容易地证明X的一个划分i∈ I使得存在π：c（i）→f和πJ：c（i）→FJ.QPolcz是Pol b的一个相对子范畴。 Polz的对象是零维空间，即拓扑允许闭集的（可数）基的空间离散空间（例如N）总是零维的。一个不太平凡的例子是Baire空间NN。Polcz和Polz之间的桥梁是通过对零维空间的非线性化来提供的，如在（[7]，Sec.3）。让我们回顾一下这一声明的基础。设Z是某个零维空间，F是Z的闭圈的可数基。我们很容易证明，由F生成的布尔代数，我们用Bool（F）表示，仍然生成相同的拓扑，并且仍然是可数的。因此，可以不失一般性地假设Z的基F是闭集的可数布尔代数。设IF是Z在F中的有限划分的有向偏序，设 DF：I→Polf是由 DF（ i∈I ）i 在 对象 上 定义 的 图（ 将Z 的 有限 划 分看 作 有限 离 散空 间 ），且 DF（j≤Iopi）=qij其中qij：j→i是显商映射。命题3.3（Wallman定义（[7]，Prop. 3.12））lim DF是Z的零维定义，我们用ωF（Z）表示。 我们用ηF：Z<$→ωF（Z）表示Z在其代数中的正则嵌入。请注意，这个定义不是普遍的，因为Polcz不是Polz的一个相对子范畴（关于相对子范畴的定义，见[15然而，我们将证明Polcz是Polb的一个相对子范畴。在下文中，回想一下Clo（X）是紧致零维空间X的闭集的布尔代数。命题3.4设Ib是将任何紧零维空间X映射到对（X，Clo（X））的运算，并且它对这些空间之间的映射作用相同。Ib是从Pol cz到Pol b的完全且忠实的函子。z zFF. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）8589zzzBzzzz我zz证据 对任意空间X∈Obj（Polcz），它的闭集布尔代数Clo（X）是可数的，因此，（X，Clo（X））是一个基零维空间。通过连续性，这种空间之间的映射是保基的。功能性、充实性和忠实性都是微不足道的。Q我们的品牌自然存在于Polb：命题3.5对任意（Z，F）∈Obj（Polb），嵌入ηF ：（Z，F）→Ib（ωF（Z））是基函数。证据通过构造ωF（Z），该空间的任何有限开闭分拆都将通过ηF诱导出Z在F中的有限分拆。因此，ηF是基本的零。Q下面的命题陈述了在这个新的设置中，定义的函性，以及Polcz是Polb的一个相对子范畴的事实。命题3.6（ω为反射向量）（i）设f：（Z，F）→（ZJ，FJ）是一个保基映射.存在唯一的ωFF′（f）：ωF（Z）→ωF′（ZJ）使得ωFF′（f）<$ηF=ηF′<$f. （ii）ω：Polz→Polcz是由ω（Z，F）ωF（Z）定义的函子，并且是由下式定义的保基映射f：（Z，F）→（ZJ，FJ）：ω（f）ωFF′（f），它与包含函子Ib（单位b∈ing）是左伴随的由η给出）。证据（一）这是prop。3.13和[7]的推论3.14让我们简述一下这个论点。因为f是保基的，所以Z j在F j中的任何有限开闭划分都将导出Z在F中的唯一有限开闭划分。利用Prop.3.3中的记号，我们推出DF′是DF的一个子图。因此，存在一个从lim DF到lim DF ′的唯一中介映射（ 记为ωFF′（f）） ，即 从 ωF（Z ）到 ωF′（ZJ），使得ηF′<$f=ωFF′（f）<$ηF. （ii）ω平凡地存在的概念。 对于所有f，FJ，等式W（fj <$f）= W（FJ）<$W（f）是（i）中因子分解唯一性的一个结果. 根据（Mac Lane [15]，IV.3），ω的左伴随性是（i）的直接结果，因为任何映射f：（Z，F）→Ib（X）将唯一地因子分解通过ηF：（Z，F）→Ib（ωF（Z））。Q该反射在下图中总结：IDBb波尔zηzvzb（二）波尔zωPolczbzPolozPolb是Pol b的一个核心范畴。在我们的结构中倒数第二步-对Pol的定性分析是将Polb与Polb联系起来。这是由联合国实现的在一个称为零维化的操作中，对任意空间进行零维精化。让我们来定义这个操作。90F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）85zzzi=1zpp我1n我我pp命题3.7（零维化（[7]，Prop.3.2））设X是一个具有基集U（X）的空间，F是X的一个可数基。 拓扑空间zF（X）（U（X），Bool（F））以U（X）为基础集，其拓扑由布尔代数Bool（F）生成，证明了以下性质：(i) zF（X）是波兰的;(ii) zF（X）是零维的。(iii) 可测集保持不变：B（X）= B（zF（X））。以类似于构造函数的方式，这个操作最好被类型化为从Polb到Polb的函子。让我们把零维化为一个函子：命题3.8设f：（X，F）→（Y，G）是Pol b中的保基映射.然后f：（zF（X），Bool（F））→（zG（Y），Bool（G））在Pol b中是保基的。我们表示为z：Polb→Polb函子定义为z（X，F）=（zF（X），Bool（F））在对象上，对箭头产生相同的证据 考虑任意有限的文字并集的情况是足够的L= A1 我... 阿贡 ∈Bool（G），其中Ai∈ G且A表示Ac或Ai。我们有f−1（L）=<$nf−1（Ai）<$i，因为f在Polb中是保基的，我们推出f −1（L）∈ Bool（F）。 f在Polb中 的 连 续 性 是基的直接结果保存。z是一个函子的事实现在是微不足道的。Q现在很容易得出以下结果：命题3.9（z作为核心向量）z是包含函子的Ib，即 Pol b是Polb的一个核心范畴。p z证据观察到对于所有（X，F）∈Obj（Polb），恒等函数<$Fid：Ibz（X，F）→（X，F）是保基的。这实际上构成了核心剖分的计数：人们很容易证明，对于所有f：Ib（Z，F）→（X，G），存在唯一的f J：Ib（Z，F）→ Ibz（X，G），使得f =<$G<$f J（并且f J等于f作为a函数）。Q下图概括了这一核心部分：IdPolb（三）波尔bzzPolbPolb个zlbp对于所有的空间X∈Obj（Pol），让我们用Base（X）表示X的可数基的集合，它是由包含而偏序的。观察到基（X）是通过取基的并集并在有限个交集下闭合来定向的。因此，如果F <$G是X的两个可数基，则恒等函数id：（X，G）→（Y，、є吉吉F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）8591F）是平凡保基的。这定义了一个共向图BX：Bases（X）op→Polb，它将任何基F映射到（X，F），并且任何对92F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）85得双曲余切值.⊥p¸B我pFG到恒等函数。回想一下，Up：Pol→Pol是碱基遗忘，函子下一个定义和命题提供了波兰空间在零维化方面定义3.10（零维图）我们定义X的零维图：ZXUpIbzBX：碱（X）op→Pol它将基F∈Bases（X）映射到ZX（F）zF（X）。我们在没有证明的情况下给出了下面的结果，它是（[7]，定理3.5）的范畴论的一个重构：命题3.11对于所有的空间X∈Obj（Pol），X∈Z= ColimX.更具体地说，任何空间X都有恒等函数族{id：zF（X）→X}F的最终拓扑，其中F在基（X）上的范围。让我们总结一下 通过在下图中总结Pol的结构分解，来了解本节：Pol，Poulcz Polω我是说，、zTPol（四）f，czbz值z轴UzbUp拉克，拉克IzPolzIpPol4机器我们将利用前一节中给出的Pol的结构分解来构造一些“profennite”自然变换，因为它们在任意空间上的行为完全取决于它们在有限空间上的行为。我们以逐步和模块化的方式进行：机器被呈现为一系列的扩展定理，给出了自然变换从子范畴唯一扩展到环境范畴的充分条件（定理4.2-4.11）。这些结果合并在定理4.12中。I. 从Polf到Polcz。函子范畴[Polcz; Pol]的子范畴由函子组成，函子在[Polf;Pol]中以一定的编码极限交换. 这些函子定义如下。定义4.1（Polf-连续函子）一个函子F：Pol→Pol是Polf-连续的 ，如果对所有的ccdD：Iop→Polf，F（limD）=limFD。主要成果如下：定理4.2设F，G：Polcz∈ Pol是两个函子. 若G是Polf-连续的，则Nat（F|Polf，G|Polf）n=Nat（F，G）.这种同构源于存在一个沿着Icz计算右Kan扩张的函子（参见[15]，X），在下面用RanIcz表示B我F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）8593∼∼zzz命题4.3函子Ran Icz：[Polf;Pol]→[Polcz;Pol]是完全可信的.证据在下文中，对于任何X∈Obj（Polcz），DX：（X↓Icz）→Polf代表证明X=limDX的图（见Prop. 3.2的证明）。本文首先证明了任意函子F：Polf→Pol允许一个右Kan扩张RanIczF沿Icz。根据（MacLane [15]，X.3，推论4），证明对所有X∈Obj（Polcz），图F<$DX：（X↓Icz）→Pol有极限是足够的。通过一个类似于3.2的证明中所用的一致性论证，可以证明：证明了对一个可调表图D，limF<$DX<$= limF<$D，且由于Pol是可调完备的，所以存在这个极限，因此F容许一个右Kan扩张。让我们证明扩展是完整和忠实的。由于Icz是完整的和忠实的，通用箭头<$F：（Ran IczF）Icz<$F 是 iso 。 给 定 F ， G ： Polf→Polcz 和 α ： F<$G ， 存 在 唯 一 的 σ ： RanIczF<$Ran IczG使得α<$$>F：（Ran IczF）Icz→G因子化为α<$$>F=<$G <$σIcz. 因此，RanIcz从[Polf;Pol]定义一个函子。到[Polcz;Pol]，它是由双射Nat（RanIc zF，RanIc zG）=Ra nn所表示的满的和忠实的Nat（F，G）.Q证据[定理4.2] Prop.4.3和Ran的普适性质产生了一个同构Nat（F|Polf，G|Polf ）=Nat （ F ， Ran IczG|P 〇 lf ） 。召 回Ran IczG|Polf （ X ）=limGDX=limGD其中DX和D是Prop. 四点三 通过G的Polf-连续性，RanIczG|Polf（X）=G（limD）=G（X）。QII. 从Polcz到Polb。 在Prop中看到 3.6，Wallman定义使Polcz成为Pol b的一个相应的子范畴。从Polcz到Polb的自然变换的扩展可以被框架化，作为自然变换到嵌入到其分解中的空间的限制，我们使用交集来构造。定义4.4（交集，交集的保留如果j1：X <$→Z，j2：Y <$→Z是两个嵌入，我们将交集X<$Y→Z定义为j1和j2的回调（等式10）。5）。我们说一个内函子G：Pol→Pol保持相交，如果方程中的图6是一个十字路口Yp1X（5）G（X）G（p1） ˛X波什p2j1 c、cY）的G（p2） c，G（X）zG（j1）C（六）Yj2ZG（Y）简体中文G（j2）下面的引理描述了Pol.引理4.5 X ∈ Y是X，Y与Z诱导的子空间拓扑的集合论交.回想一下，如果f：X→Y是范畴C中的态射，它的上核对（如果存在）是f与自身的推出（Mac Lane [15]，III.3）。在顶部，存在众所周知的嵌入特性，即 它 们 的 Coker- nel 对 的 极 限 （ 参 见 例 如 ， （ Adamek et al.[1] ， 7.56-7.58））。在Pol中，我们有以下内容：94F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）85，zzzzz，zFXY命题4.6设X，Y是波兰的，f：X <$→Y是嵌入。 然后（i）推出对象Y + XY是波兰的，（ii）上核箭头j1，j2：Y → Y + XY是嵌入，（iii）j1和j2的交与X同胚。拉日什f j1C cYJ2Y+XY下面的引理确保了在Polcz中具有范围的嵌入的推出对象仍然是紧凑的零维。引理 4.7设f ：X <$→Y是Pol 中的嵌入，使得Y∈Obj（Polcz）。则Y+ XY∈ Obj（Polcz）.证据 证明Y+XY是波兰语是例行公事。因此，还需要看到，它是紧凑和零维的。因为紧的有限并是紧的，所以余积Y+Y是紧的。通过上积的普适性，上核映射j1，j2：Y→Y+XY定义了一个唯一的连续映射j1+j2：Y+Y→Y+XY，它很容易被看作是满射的，并且由此得出Y+XY是紧致的连续像，即是紧致的。为了证明它是零维的，我们利用了这样一个事实，即在紧致豪斯多尔空间上，零维与完全不连通一致。设x∈Y+XY，Ux是一个子集，使得x∈Ux.我们可以假设w.l.o.g. x在Y的第一个拷贝中，Ux包含在这个拷贝中。由于Y是完全不连通的，如果Ux/={x}，则它可以被写为由Y诱导的子空间拓扑中的两个不相交的开V1，V2的并集，因此也由Y + XY。因此，如果Ux{x}它无法在Y + XY中连接。Q定理4.8设F，G：Polb→Pol是一对函子，使得G保持环和交。 则Nat（F，G）=Nat（F|波尔茨角|Polcz）。证据 为了可读性，我们将避开包含Ib：Polcz→Polb。令α：F|波尔茨·吉格|波尔茨是一种自然的转变。我们证明了（i）对于所有X∈Obj（Polb），αω（X）：F（ω（X））→G（ω（X））唯一地限制到态射αX：F（X）→G（X）使得αω（X）<$（Fη）X=（Gη）X<$αX，并且（ii）这个限制唯一地将α推广到从F到G的自然变换.(i) 考 虑 给 定 X ∈ Obj （ Polb ） ， 嵌 入 ηX ： X <$→ ω （ X ） 。 根 据Prop.4.6，X是上核映射j1，j2：ω（X）<$→ω（X）+Xω（X）的交. 此外，根据引理4.7，存在分量αωX+XωX。 利用η的功能性和自然性，可以得到图10中的图.1（忽略αX）是通勤。 由于G保持嵌入和交，存在唯一的中介映射αX：F（X）→G（X）使整个图可交换。(ii) 最后，我们需要检查将α扩展到F|Polb→G|波尔b 以这种方式很自然 设f：X → Y在Polb中 ，ηX，ηY表示X的嵌入和Y在各自的零维空间中。图2中描绘了相应的示意图。上、下、前、后和右手的正方形可交换，由此得出（Gη）Y<$G（f）<$αX=（Gη）Y<$αY<$F（f）。由于ηY是一个嵌入，并且由于G保持嵌入，（GηY）是一个嵌入，特别是单射的，因此G（f）<$αX=αY<$F（f）。zzF. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）8595F（j1）F（ωzz∼ppppppF（ω（X））F（j2）<$F（ω（X） +ω（X））F（Y）（Fη）YF（ω（Y））（Fη）XF（X）α、ω（X）（F η）XF（ω（X））αXω（X）+Xω（X）F（X）αX、（F η）X<$F（ω（X））αY、αω（Y）αXcG（j~ 2）<$cc，θ（Gη）Yθ cG（ω（X））α（Gη）X，ω（X）G（ω（X）+Xω（X））G（Y）G（f），αω（X）G（ω（Y））、c（Gη）XcG（j1）c，n（Gη）XcG（ω（f））G（X）ωG（ω（X））G（X）ωG（ω（X））图1.一、图二、III. 关于PolBQ波尔。机器 的最后一 部分是一个程序，Polb的自然转化在Pol。我们在Prop中看到3.11波兰语空间是它们的“零维图”的共极限。我们要求自然变换域中的函子与这些余极限交换。定义4.9（Z-上连续函子）一个函子F：Pol→Pol是Z-上连续的，如果对所有的X∈Obj（Pol），F（X）=colim FZX，其中ZX在Def中定义。三点十分此外，我们将要求这些函子是Z-稳定的，这意味着在所考虑的函子范围内的空间的基础集合是零维不变的。正如我们将在后面证明的，这是例如Giry，multiset和list函子的情况。定义4.10（Z-稳定函子）函子F ：Pol→Pol是Z-稳定的，如果UFX=UFZX（F），对于所有F ∈Base（X）。定理4.11设F，G：Pol→Pol是一对函子，使得F是Z-连续的Z-稳定的. 则Nat（F，G）=Nat（FUpIb，GUpIb）.证据 设α：FUpIb<$GUpIb，X ∈ Obj（Pol）已知. 通过Z-上连续性，F（X）是图FZX= FUpIBzBX：Bases（X）op→Pol（定义3.10）的共限对象。应用α，我们得到一个自然变换αzBX：FZX<$GZX。 与计数器Ibz → IdPolb组合得到自然变换（GUp<$）（αzBX）：FZX<$GUpIdPolbBX。注意GUpIdPolbBX等于具有值G（X）的常数函子。因此，我们构造了一个从FZX到G（X）的上锥。上述情况概括在下图中：F（f）96F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）85zє不IdPolbIbpPolbUpPol碱（X）opBXPolbzPolb吉夫PolαzbPolUp吉夫PolFIbpGF. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）8597、乘法的定义是：μX：G2（X）→G（X）P›→G是一个行为良好的函子：G（X）p dP（p）.利用普适性，存在唯一映射uX：F（X）→G（X）使得uX<$（FUp<$BX）F=（GUp<$BX）F<$（α zBX）F.我们证明{uX}X∈Obj（Pol）的自然性。对所有f：X→Y和Y的所有基G，存在X的基F使得f：（X，F）→（Y，G）是保基的，并且通过函性，z（f）：ZX（F）→ZY（G）也是保基的。我们得到以下图表：FZX（F）（α zBX）F<$GZ（F）（FUp <$BX）F（GUp <$BX）FzFXuX GX，tFz（f）F（f）G（f）Cc¸Gz（f）¸FYuYGYCcFZY（G）（αzBY）G<$GZY（G）在上图中，左细胞和右细胞通过自然的方向交换，而顶部细胞和底部细胞通过箭头uX，uY的构造交换。注意箭头（FUp <$BX）F是恒等函数<$F=id：ZX（F）→X通过F的像。因为F是Z稳定的，所以这个箭头是满射的.我们得出中心平方可换的结论，并且我们通过对所有X αX=uX设置如上所构造的来扩展αQIV. 该机把机器的各个部分放在一起，我们得到：定理4.12设F，G：Pol→Pol是一对函子，使得：(i) F是 Z-上连续和 Z-稳定的，(ii) G是Polf-连续的，保持嵌入和交. 则有Nat（F，G）= Nat（F|Polf，G|P〇lf）。5给机器我们现在研究一些函子的性质，着眼于应用机器。Giry functor。对于任何空间X，我们用G（X）表示X上的Borel概率测度空间，赋予弱拓扑（Giry，[9]）。这个运算可以推广到一个函子G：Pol→Pol，它允许Giry单子结构（G，δ，μ）（Giry，[9]）。G在映射f：X→Y上的作用定义为G（f）（P）P<$f−1。单位是由狄拉克δ：δX：X→G（X）给出的，而命题5.1（i）F或所有ccdD，G（limD）n= limG <$D;（ii）G是Z-连续的和Z-稳定的;（iii）G保持注入和嵌入;（iv）G保持相交.X98F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）85∼→≥0Σ证据 （i）是函子形式的Bochner扩张定理（[7]，定理2.5）。（ii）Z-上连续性在（[7]，定理3.7）中，Z-稳定性源于Prop.3.7（三）.对于（iii），例如参见（[7]，引理2.1）。对于（iv）：设j1，j2：A，B>X是两个嵌入，设 p1：A<$B→A和 p2：A<$B>B是相应的嵌入，并考虑μ∈G（A），ν∈G（B）使得G（j1）（μ）= G（j2）（ν）.从（Kechris [11]，定理15.1）和p1是单射的事实可以得出，只要U是A ∈ B的Borel集，p1 [U]就是A的Borel集，对p2也是如此。因此，我们可以定义λ ∈ G（A <$B）为λ（U）= μ（p1 [U]）= ν（p2[U]）。 要看到在rig h t上的等式y成 立 ，请注意， 由于 j1在注入p1[U] 中=j1−1（j1[p1[U]]），因此μ（p1[U]）=μ（j1−1（j1[p1[U]]））=G（j1）（μ）（j1[p1[U]]）=G（j2）（v）（j1[p1[U]]）=G（j2）（v）（j2[p2[U]]）=v（p2[U]）这种从对（μ，ν）使得Gj1（μ）= Gj2（ν）到λ∈G（A<$B）的指派显然是单射的，并且它作为集合推出G（A<$B）= GA<$GB。由于G保持嵌入，G（j1<$p1）= G（j2<$p2）是一个嵌入，由此得出G（A<$B）和GA<$GB实际上是同胚的。Q例5.2定理4.12意味着单位δ：IdGiry monad的G完全由其有限组成部分决定。我们还不知道G2是否是Z-余连续的，因而也不知道乘法μ：G2→G是否由它的有限分量决定。然而，从定理4.8可以得出，μ对Polz的限制由它的有限分量决定。我们猜想，这一结果扩展到整个类别Pol。非零有限测度函子。 我们还将考虑与G密切相关的函子：我们设M+是将任何空间X映射到具有弱拓扑的X上的非零正有限测度空间的函子，并且作用在与G类似的映射上。以下是平凡的（考虑有限个非零测度的归一化命题5.3对于空间X，我们有同构M+（X）R= G（X）×R>0.因此，M+验证了Prop中列出的所有属性5.1. 注意对所有有限空间n，M+（n）也同胚于Rn\{0}。multiset functor。我们考虑多重集函子B：Pol→Pol。它明确地由B（X）Xn/Snn∈N其中Xn/Sn是Xn在Sn（n个元素上的置换群）与商拓扑（即商映射q：Xn → Xn/Sn的最终拓扑）一起对元组的明显作用下的商。参见附录A，证明B（X）是波兰语。它在映射上的作用可以通过对任意f：X→Y和μ∈B（X）设B（f）（μ）= y<$→ x∈f−1（y）μ（x）给出。这很容易被证明是连续的。F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）8599nn是的。还注意到，对于X有限，B（X）=NX。multiset函子实现了以下属性：命题5.4（i）B是Pol f-连续的;（ii）B保持注入和嵌入;（iii）B保持相交。证据 参见附录B。QVietoris函子。作为一个非概率的例子，我们将考虑Vi- etoris函子。我们回顾它的定义。定义5.5我们用V：Pol→Pol表示将任何空间X映射到X的具有Hausdor距离拓扑的紧子集空间，并将任何连续函数f：X→Y映射到V（f）K∈V（X）<$→f（K）的函子。见（Kechris [11]，4.F）证明V（X）确实是波兰语。V具有以下属性：命题5.6（i）V是Pol f-连续的;（ii）V保持注入和嵌入;（iii）V保持相交。证据（ i）载于附录B。（ii）及（iii）载于附录B。Q例5.7迈克尔·米斯洛夫（Michael Mislove）提出了一个有趣的例子，证明了在Pol中不自然的变换是由测度的支持提供的。通常，p∈G（X）的支撑定义为测度1的最小闭子集。在有限空间上，对于p∈G（n），我们定义suppn（p）{x∈n|p（x）>0}。 让我们检查−1.这是自然的：对于f：m→n，我们有supp（G（f）（p））=supp（p<$f）=∅ ，即，supp（G（f）（p））=f（supp（p））=V（f）（supp（p））.然而，这并没有定义Pol中的自然转换：考虑序列在X = { 0，1 }上的测度（pn）n∈N的定义为pn= n−1δ0+ 1δ1。pn弱收敛当n→ ∞时，对δ0，且对所有n，supp（pn）={ 0， 1}，但supp（δ0）={ 0}。因此，我们认为，supp不是连续的！6刚度结果在SEC。4允许从有限个规范构造自然变换。在本节中，我们应用这些结果来展示G和相关函子的惊人刚性定义6.1一对函子F，G：C→D称为刚性的，如果至多存在一个自然变换η：F<$G。特别地，我们说函子F：C→D是刚性的，如果单位自然变换id：F<$F是唯一存在的从F到它自身的自然变换对于每个有限空间k和函子T：Pol→Pol，存在Sk的正则作用，S k是k个元素上的置换群，由下式给出α：Sk×T（k）→T（k），（π，x）›→Tπ（x）x∈ n |f −1（x）supp（p）100F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）85J.Σ⎪n−1p+ 1≤iKΣKKKKKKKKK在G（k）中稠密任何x∈Qk，可以不失一般性地写为：p1，...，pm考虑n wQk=Δk<$Qk，n k个元素的有理概率.. 很明显，从这个定义很容易看出。p1，...，pm = G（p）. 1、......、1分，其中nKn表示k个元素上的均匀分布，则我们将把这个动作称为规范动作。我们称一个在正则作用下被整个群Sk稳定的元素x∈T（k）为迷向元素。各向同性元在我们的定理中起着至关重要的作用定理6.2（刚性定理）设H：Pol→Pol是Giry monad G的子函子，满足下列条件：（i）对每个有限Polish空间k，H（k）= G（k）;（ii）H是Polf-连续的;（iii）H保持注入。 设T：Pol → Pol是一个函子，使得（iv）对于每个有限波兰空间k，存在一个稠密子集Qk<$T（k），其性质是：如果x ∈ Qk，则存在一个有限波兰空间KJ，一个态射f：KJ→k和一个迷向元XJ∈T（KJ），使得T（f）（x）= x。在这些情况下，对（T，H）是刚性的。我们分步骤证明这个定理。但是，让我们首先展示一些满足上述性质的函子的例子。例6.3让我们证明Vietoris函子V满足条件（iv）。首先注意，对于每个k，全集合k∈V（k）是迷向的：对于任何π∈Skα（π，k）= Vπ（k）= k，因为π是双射的。现在取Qk=V（k）（它是平凡稠密的）和x={x1，.，xn}∈V（k）.考虑全集合n∈V（n）以及映射f：n→k，i→xi，很明显V（f（n））=x，并且n是迷向的。例6.4吉里单子G满足定理6.2的所有条件：(i)简单地说，它通过Prop.5.1满足（ii）和（iii）。让我们证明它也满足（iv）。首先请注意，均匀概率是各向同性元素：如果1，...，1α。π，.1、 .. . ，1π= G（π）.1、 .. . ，1=。1、 .. . ，1π−1=.1、 .. . ，1个月n n对于一个共同的分母n。现在考虑由下式定义的投影图：如果1≤i≤p1，p：n→k，i<$→k2若p1 + 1≤i≤p1 +p2...如果Ki=1i=1pi. 1、......、1π是各向同性的。无无无无无无无例6.5设M+：Pol → Pol为有限个非零正测度函子。它很容易从prop。 5.3这个函子满足条件（iv）：各向同性元素是形状为（（1/k，...，1/k），λ），其中λ∈R>0.稠密子集由（Qk<$G（k））×R>0提供，并且与例6.4中相同的参数表明每个元素F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）85101（（p1/n，...，pk/n），λ）是（（1/n，.，1/n），λ）乘以G（p）×id，其中p的定义如例6.4所示。102F. 达尔奎斯特等人/理论计算机科学电子笔记325（2016）85KKKKK王空军王空军KKK例6.6多重集函子B也具有性质（iv）。B（k）有一个各向同性元素：无序列表[（1，...，k）]，以及任何[（x1，.，xk）] ∈B（k）是[（1，.，k）]在B（f）下对映射f：k→k，i<$→xi（它很可能不是单射的）。让我们继续证明定理6.2。以下
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